2001年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题含答案.pdf

1、 2001 年上海市普通高等学校春季招生考试年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷数学试卷 考生注意：考生注意：本试卷共有 22 道试题，满分 150 分 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每题填对得题，只要求直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1函数xxxf( 1)( 2 +=)0的反函数= )( 1 xf 2若复数 z 满足方程1=ii z（i是虚数单位） ，则 z= 3函数 x x y cos1 sin =的最小正周期为 奎屯 王新敞 新疆 4二项式 6 ) 1 ( x x

2、+的展开式中常数项的值为 奎屯 王新敞 新疆 5若双曲线的一个顶点坐标为（3，0） ，焦距为 10，则它的标准方程为 奎屯 王新敞 新疆 6圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为 奎屯 王新敞 新疆 7计算：= + + n n n n 1 3 lim 奎屯 王新敞 新疆 8若非零向量 、 满足| +|=| |，则 与 所成角的大小为 奎屯 王新敞 新疆 9在大小相同的 6 个球中，2 个是红球，4 个是白球，若从中任意选取 3 个，则所选的 3 个球中至少有一个红球的概率是 奎屯 王新敞 新疆（结果用分数表示） 10若记号“*” 表示求两个实数a与b的算术平均数的运算

3、，即a*b 2 ba+ =，则两边 均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意 3 个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是 奎屯 王新敞 新疆 11关于x的函数)sin()(+=xxf有以下命题： （1）对任意的)(,xf都是非奇非偶函数； （2）不存在,使)(xf既是奇函数，又是偶函数； （3）存在,使)(xf是奇函数； （4）对任意的,)(xf都不是偶函数 其中一个假命题的序号是 因为当= 时， 该命题的结论不成 立 12甲、乙两人于同一天分别携款 1 万元到银行储蓄甲存五年期定期储蓄，年利率为 2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为 2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储 蓄按

4、规定每次计息时，储户须交纳利息的 20%作为利息税若存满五年后两人同时从银 行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元 （假定利率五年内保持不变结果 精确到 1 分） 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选 对得对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内） ，一律得零分分，不选、选错或者选出的代

5、号超过一个（不论是否都写在圆括号内） ，一律得零分 13若a、b为实数，则ab0 是 22 ba 的 （ ） (A) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (B) 充要条件 (D) 既非充分条件也非必要条件 14若直线x=1 的倾斜角为，则 （ ） (A) 等于 0 (B) 等于 4 (C) 等于 2 (D) 不存在 15若有平面与，且lPPl=,，则下列命题中的假命题 （ ） (A) 过点 P 且垂直于的直线平行于 (B) 过点 P 且垂直于l的平面垂直于 (C) 过点 P 且垂直于的直线在内 (D) 过点 P 且垂直于l的直线在内 16若数列 n a前 8 项的值各异，且 nn aa=

6、+8 对任意的Nn都成立，则下列数列 中可取遍 n a前 8 项值的数列为 （ ） (A) 12 +k a (B) 13 +k a (C) 14 +k a (D) 16 +k a 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17 （本题满分 12 分） 已知 R 为全集，A=)3(log| 2 1 xx2，B= 2 5 | +x x1，求BA 18 （本题满分 12 分） 已知) 24 ( tan1 2sinsin2 2 = + + k，试用k表示cossin的值 19 （本题满分

7、14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器（如图） ， 设容器的高为h米，盖子边长为a米 （1）求a关于h的函数解析式； （2）设容器的容积为 V 立方米，则当h为何值时，V 最大？求出 V 的最大值 （求解本题时，不计容器的厚度） 20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 9 分 在长方体ABCDA1B1C1D1中， 点E、 F分别在B B1、 DD1上， 且AEA1B， AFA1D （1）求证：A1C平面 AEF； （2）若规定

8、两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角） ，则在 空间中有定理： 若两条直线分别垂直于两个平面， 则这两条直线所成的角与这两个平面所成 的角相等 试根据上述定理，在 AB=4，AD=3，AA1=5 时，求平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成角的 大小 （用反三角函数值表示） 21 （本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 9 分，第 2 小题满分 7 分 已知椭圆 C 的方程为1 2 2 2 =+ y x，点),(baP的坐标满足 2 2 2 b a +1过点 P 的直线l 与椭圆交于 A、B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点求： （1）点 Q 的轨

9、迹方程； （2）点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数 22 （本题满分 18 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 13 分 已知 n a是首项为 2，公比为 2 1 的等比数列， n S为它的前n项和 （1）用 n S表示 1+n S； （2）是否存在自然数c和k，使得2 1 + cS cS k k 成立 2001 年上海市普通高等学校春季招年上海市普通高等学校春季招生考试生考试 数学试题参考解答数学试题参考解答 一、填空题一、填空题 1xx(1) 1 21-i 32 420 51 169 22 = yx 61) 1() 1( 22 =+yx 7 2 e 890

10、 9 5 4 10),(*)()(cababca+=+ ),*()*()*(cbcacba+=+ ,*)(*)(*)()(*bcaacbcbacba+=+=+=+ cabcba+=+)*()*(等 4 11 （1） ，)(Zkk； （1） ，)( 2 Z+kk ； （4） ，)( 2 Z+kk 等 （两个空格 全填对时才能得分其中k也可以写成任何整数） 12219.01 二、选择题二、选择题 13A 14C 15D 16B 三、三、解答题解答题 17解由已知)3(log 2 1 x4log 2 1 由 , 03 3 x x 解得-1x3所以1|= xA3x 由 2 5 +x 1，解得-2x3所

11、以2|= xBx3 于是 xxxA或1|=3，故312|=xxxBA或 18解因为 cossin2 tan1 2sinsin2 2 = + + ，所以cossin2=k 因而k=1cossin21)cos(sin 2 又 24 ，于是0cossin 因此k=1cossin 19解（1）设 h为正四棱锥的斜高由已知 =+ =+ , 4 1 , 2 2 1 4 222 2 hah aha 解得 )0( 1 1 2 + =h h a （2）)0( ) 1( 33 1 2 2 + =h h h haV 易得 + = h h V 1 3 1 因为 h h 1 +2 1 2= h h，所以V 6 1 等式

12、当且仅当 h h 1 =，即1=h时取得 故当1=h米时，V有最大值，V的最大值为 6 1 立方米 20证（1）因为BACB 1 平面，所以CA1在平面BA1上的射影为BA1 由BA1AE，BAAE 1 平面，得CA1AE 同理可证CA1AF 因为CA1AF，CA1AE， 所以CA1AEF平面 解（2）过A作BD的垂线交GCD于因为AGDD 1 ，所以BDBDAG 11 平面 设CAAG 1 与所成的角为，则即为平面AEF与平面BDBD 11 所成的角 由已知，计算得 4 9 =DG 如图建立直角坐标系，则得点),0 , 3 , 4(),5 , 0 , 0(),0 , 3 , 4 9 (),0

13、 , 0 , 0( 1 CAGA 5, 3 , 4,0 , 3 , 4 9 =ACAG 因为AG与CA1所成的角为， 所以 25 212 | cos 1 1 = = CAAG CAAG ， 25 212 arccos= 由定理知，平面AEF与平面BDBD 11 所成角的大小为 25 212 arccos 21解（1）设点A、B的坐标分别为),( 11 yxA、),( 22 yxB，点Q的坐标为),(yxQ 当 21 xx 时，设直线l的斜率为k，则l的方程为baxky+=)( 由已知1 2 , 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 =+=+ y x y x， baxkybaxky+=+=)(

14、,)( 2211 ， 由得0)( 2 1 )( 21212121 =+yyyyxxxx， 由得bakxxkyy22)( 2121 +=+， 由、及 21 212121 , 2 , 2xx yy k yy y xx x = + = + =，得点Q的坐标满足方程 022 22 =+byaxyx 当 21 xx =时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q 的坐标为（0 , a） 显然点Q的坐标满足方程 综上所述，Q的坐标满足方程 022 22 =+byaxyx 设方程所表示的曲线为L，则由 =+ =+ , 1 2 , 022 2 2 22 y x byaxyx 得 024

15、)2( 2222 =+baxxba 因为) 1 2 (8 2 22 += b ab，由已知 2 2 2 b a +1，所以当 2 2 2 b a +=1 时，0=，曲线 L与椭圆C有且只有一个交点),(baP 当 2 2 2 b a +1 时，0，曲线L与椭圆C没有交点 因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内故点Q的轨迹方 程为 022 22 =+byaxyx （2）由 = =+ , 0 , 022 22 x byaxyx 解得曲线L与y轴交于点)0 , 0(、), 0(b 由 = =+ , 0 , 022 22 y byaxyx 解得曲线L与x轴交于点)0 , 0(、)

16、0 ,(a 当0, 0=ba，即点),(baP为原点时，)0 ,(a、), 0(b与)0 , 0(重合，曲线L与坐标轴 只有一个交点)0 , 0( 当0=a，且|0b2，即点),(baP不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点 )0 ,(a与)0 , 0(重合，曲线L与坐标轴有两个交点), 0(b与)0 , 0( 同理，当0=b，且|0a1，即点),(baP不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时， 曲线L与坐标轴有两个交点)0 ,(a与)0 , 0( 当|0a1,且|0b)1 (2 2 a， 即点),(baP在椭圆C内且不在坐标轴上， 曲线L 与坐标轴有三个交点)0 ,(a、), 0(b与)0 ,

17、0( 22解（1）由) 2 1 1 (4 n n S=，得+= + + nSS n n n (2 2 1 ) 2 1 1 (4 1 1 N) （2）要使2 1 + cS cS K K ，只要 K K Sc Sc )2 2 3 ( 0因为) 2 1 1 (4 k k S=4，所以 )(0 2 1 2)2 2 3 (N=kSSS kkk ， 故只要 )(2 2 3 NkScS kk 因为 kk SS +1 （Nk） ，所以 2 2 3 k S12 2 3 1 =S， 又4 k S，故要使成立，c只能取 2 或 3 当2=c时，因为，所以当 k时， k Sc 不成立，从而不成立因为 2 2 3 2 Sc= 2 5 ，由N) + kss kk ( 1 ,得 2 2 3 2 2 3 1 +kk SS， 所以当k时，2 2 3 k Sc，从而不成立 当3=c时，因为2 1 =S，3 2 =S，所以当2 , 1=k时， k Sc 不成立，从而不成立 因为2 2 3 3 Sc= 4 13 ，又 2 2 3 2 2 3 1 +kk SS， 所以当k3 时，2 2 3 3 Sc，从而不成立 故不存在自然数c、k，使2 1 + cS cS K K 成立