2003年普通高等学校春季招生（北京数学文）试卷含答案.pdf

1、 2003 年普通高等学校春季招生考试 数 学（文史类） （北京卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分.考试时间 120 分钟. 第卷（选择题 共 60 分） 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题 卡上. 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式： 三角函数的积化和差公式 )sin()sin( 2 1 cossin+= )sin()sin( 2 1 sincos+= )cos()cos(

2、 2 1 coscos+= )cos()cos( 2 1 sinsin+= 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1设dcbaRdcba,.,且，且下列结论中正确的是( ) Adbca+ Bdbca Cbdac D c b d a 2设 M 和 m 分别表示函数1cos 3 1 =xy的最大值和最小值，则 M+m 等于( ) A 3 2 B 3 2 C 3 4 D2 3若 x x xf 1 )( =，则方程xxf=)4(的根是 ( ) 正棱台、圆台的侧面积公式 lccS)( 2 1 += 台侧

3、其中 c 、c 分别表示上、下底面周长 l 表示斜高或母线长 球体的体积公式 3 3 4 RV= 球 其中 R 表示球的半径 A2 B2 C 2 1 D 2 1 4若集合=PMxyyPyyM x 则,1|,2|( ) A1|yy B1|yy C0|yy D0|yy 5若 A，B，C 是ABC 的三个内角，且) 2 ( CCBA，则下列结论中正确的是 ( ) AtgCtgA BctgCctgA CCAsinsin D CAcoscos 6在等差数列 n a中，已知20 54321 =+aaaaa，那么 3 a等于( ) A4 B5 C6 D7 7设复数=+=+= 2 1 21 arg, 2 3

4、2 1 ,1 z z iziz则( ) A 12 5 B 12 5 C 12 7 D 12 13 8函数)2()(|)(xxxgxxf=和的递增区间依次是( ) A 1 ,(,0 ,( B), 1 ,0 ,(+ C 1 ,(), 0+ D), 1 ), 0+ 9在同一坐标系中，方程)0(01 2 2 2 2 2 =+=+babyax b y a x 与的曲线大致是( ) x y x y x y x y O OO O A BC D 10 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将 这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为( ) A

5、6 B12 C15 D30 A B C DE FG H J L 11如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I，J 分别为 AF， AD，BE，DE 的中点.将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度 数为( ) A90 B60 C45 D0 12已知直线1)0(0 22 =+=+yxabccbyax与圆相切，则三条边长分别为|a|，|b|， |c|的三角形 ( ) A是锐角三角形 B是直角三角形 C是钝角三角形 D不存在 绝密启用前 2003 年普通高等学校春季招生考试 数 学（文史类） （北京卷） 第卷（非选择题 共 90 分）

6、注意事项： 1第卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2答卷前将密封线内的项目填写清楚. 题 号 二 三 总 分 17 18 19 20 21 22 分 数 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上. 13函数12sin+=xy的最小正周期为 奎屯 王新敞 新疆 14如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有 适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球，水 r r （ 1） （ 2） 面高度恰好升高 r，则= r R 奎屯 王新敞 新疆 15在某报自测健康状况的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的

7、数填入表中空白 （ ）内 奎屯 王新敞 新疆 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）88 16如图，F1，F2分别为椭圆1 2 2 2 2 =+ b y a x 的左、右焦点， 点 P 在椭圆上，POF2是面积为3的正三角形，则 b2的值是 奎屯 王新敞 新疆 三、解答题：本题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分）解不等式：).22(log)2(log 2 2

8、 2 xxx 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 )(, 2cos 1cos5cos6 )( 24 xf x xx xf求 + = 的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. x y O P F1 F 19 （本小题满分 12 分） 如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为 1，底面边长为 2，E 是棱 BC 的 中点. （）求三棱锥 D1DBC 的体积.； （）证明 BD1平面 C1DE； （） 求面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的正切 值. 20 （本小题满分 12 分） AB C D E C1D1 A1 B1 设)0)(0 ,(),0 ,(ccBcA为两定点，动点 P

9、到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为 定值)0( aa，求 P 点的轨迹. 21 （本小题满分 13 分） 某租赁公司拥有汽车 100 辆. 当每辆车的月租金为 3000 元时， 可全部租出. 当每辆 车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 200 元. （）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ （）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多 少元？ 22 （本小题满分 13 分） 如图， 在边长为 l 的等边ABC 中， 圆 O1为ABC 的内切圆， 圆 O2与圆 O1外切， 且与 AB，BC 相切，圆

10、 On+1与圆 On外切，且与 AB，BC 相切，如此无限继续下去. 记圆 On的面积为)(Nnan. （）证明 n a是等比数列； （）求)(lim 21n n aaa+ 的值. A B C O1 O2 2003 年普通高等学校春季招生考试 数学试题（文史类） （北京卷）参考答案 一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分. 1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C 9.A 10.D 11.B 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分. 13 14 3 32 15 （140） （85） 163

11、2 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满 分 12 分. 解：原不等式 3 30 , 2 03 , 01 , 0) 1)(2( 222 01 , 02 22 2 + x xx x xx x xx xxx x xx 或 . 故原不等式的解集是3|xx. 18本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分 12 分. 解：由 Zk k xkxx+, 42 , 2 202cos 解得得 . 所以)(xf的定义域为 .,

12、42 |Zk k xRxx+ 且 因为)(xf的定义域关于原点对称，且 )2cos( 1)(cos5)(cos6 )( 24 x xx xf + = )(),( 2cos 1cos5cos6 24 xfxf x xx 所以= + = 是偶函数. 又当 x xx xfZk k x 2cos 1cos5cos6 )(, 42 24 + =+时 1cos3 2cos ) 1cos3)(1cos2( 2 22 = =x x xx ， 所以)(xf的值域为2 2 1 2 1 1|yyy或 19本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分 12 分. （）解： 3 2

13、 122 2 1 3 1 1 = DBCD V . （）证明：记 D1C 与 DC1的交点为 O，连结 OE. O 是 CD1的中点，E 是 BC 的中点， EOBD1. BD1平面 C1DE，EO平面 C1DE， BD1平面 C1DE. （）解：过 C 作 CHDE 于 H，连结 C1H. 在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， C1C平面 ABCD， C1HDE， C1HC 是面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的平面角. DC=2，CC1=1，CE=1， 5 2 12 12 22 = + = = DE CECD CH ， AB C D E C1D1 A1 B1 o H 2 5 5 2

14、 1 1 1 = CH CC HCCtg 即面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的正切值为 2 5 20本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力. 满分 12 分. 解：设动点 P 的坐标为（x，y）. 由 a ycx ycx aa PB PA = + + = 22 22 )( )( )0( | | ，得 . 化简得. 0)1 ()1 ()1 (2)1 ( 2222222 =+yaacxacxa 当0 1 )1 (2 ,1 22 2 2 2 =+ + +ycx a ac xa得时 ，整理得 2 2 22 2 2 ) 1 2 () 1 1 ( =+ +

15、 a ac yc a a x . 当 a=1 时，化简得 x=0. 所以当1a时，P 点的轨迹是以)0 , 1 1 ( 2 2 c a a + 为圆心，| 1 2 | 2 a ac 为半径的圆； 当 a=1 时，P 点的轨迹为 y 轴. 21本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分 13 分. 解： （）当每辆车的月租金定为 3600 元时，未租出的车辆数为 12 50 30003600 = ， 所以这时租出了 88 辆车. （）设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益为 )200)( 50 3000 100()( =x x xf ， 整理得 304200)4

16、100( 50 1 32000164 50 1 )200)(8000( 50 1 )( 22 +=+=xxxxxxf . 所以，当 x=4100 时，)(xf最大，最大值为304200)4100(=f， 即当每辆车的月租金定为 4100 元时，租赁公司的月收益 最大，最大月收益为 304200 元. 22本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查 逻辑思维能力. 满分 13 分. （）证明：记 rn为圆 On的半径， B On-1 On A C 则 , 6 3 30 2 1 ltg l r= . 2 1 30sin 1 1 = + nn nn rr rr 所以 , 12 ),2( 3 1 2 2 111 l ranrr nn = 于是 9 1 )( 2 11 = n n n n r r a a 故 n a成等比数列. （）解：因为 ),() 9 1 ( 1 1 Nnaa n n = 所以 . 32 3 9 1 1 )(lim 2 1 21 la aaa n n = =+