2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(天津卷)文科试卷含答案.pdf

1、 2003 年普通高校招生数学年普通高校招生数学(文文)统一考试统一考试(天津卷天津卷) （文史类） 第卷（选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P（A）+P（B） S=4R2 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P（AB）=P（A） P（B） 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P. 3 3 4 RV= 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP =)1 ()( 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给

2、出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1不等式xxx 2 4的解集是 （ ） A （0，2） B （2，+） C （2，4） D （，0）（2，+） 2抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2，则 a 的值为 （ ） A 8 1 B 8 1 C8 D8 3= + 2 )3( 31 i i （ ） Ai 4 3 4 1 + Bi 4 3 4 1 Ci 2 3 2 1 + Di 2 3 2 1 4 已知=xxx2tan, 5 4 cos),0 , 2 (则 （ ） A 24 7 B 24 7 C 7 24 D 7 24 5等差数列为则已知中naaaaa nn ,33, 4

3、, 3 1 , 521 =+= （ ） A48 B49 C50 D51 6 双曲线虚轴的一个端点为M， 两个焦点为 F1， F2， F1MF2=120， 则双曲线的离心率为 （ ） A3 B 2 6 C 3 6 D 3 3 7设函数 = 0 , 0, 12 )( , 2 1 xx x xf x 若1)( 0 xf，则 x0的取值范围是 （ ） A （1，1） B （1，+） C （，2）（0，+） D （，1）（1，+） 8O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 )., 0 | (+= AC AC AB AB OAOP则 P 的轨迹一定通过ABC 的 （ ）

4、A外心 B内心 C重心 D垂心 9函数), 1 (, 1 1 ln+ + =x x x y的反函数为 （ ） A), 0(, 1 1 + + =x e e y x x B), 0(, 1 1 + + =x e e y x x C)0 ,(, 1 1 + =x e e y x x D)0 ,(, 1 1 + =x e e y x x 10棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A 3 3 a B 4 3 a C 6 3 a D 12 3 a 11已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的 中点 P

5、0沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上 的点 P2，P3和 P4（入射角等于反射角） 奎屯 王新敞 新疆若 P4与 P0重合，则 tan= （ ） A 3 1 B 5 2 C 2 1 D1 12一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A3 B4 C33 D6 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案填在题中横线上. 13 92 ) 2 1 ( x x 展开式中 9 x的系数是 奎屯 王新敞 新疆 14某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆

6、，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的 产品质量 奎屯 王新敞 新疆现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 奎屯 王新敞 新疆 15在平面几何里，有勾股定理： “设ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系 奎屯 王新敞 新疆可以 得出的正确结论是： “设三棱锥 ABCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直， 则 ” 奎屯 王新敞 新疆 16将 3 种作物种植在如图 5 块试验田里，每块种植一种 作物且相邻的试验田不能种植同一作物，

7、不同的种植 方法共有 种.（以数字答） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点 E 为 CC1中点，点 P 为 BD1中点. （1）证明 EF 为 BD1与 CC1的公垂线； （2）求点 D1到面 BDE 的距离. 18 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 C1：y=x2+2x 和 C：y=x2+a，如果直线 l 同时是 C1和 C2的切线，称 l 是 C1和 C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （）a 取什么值时，C1和 C

8、2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （）若 C1和 C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分. 19 （本题满分 12 分） 已知数列).2(3, 1 1 1 1 += naaaa n n nn 满足 （）求;, 32 aa （）证明. 2 13 = n n a 20 （本小题满分 12 分） 在三种产品，合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验. （）求恰有一件不合格的概率； （）求至少有两件不合格的概率. （精确到 0.001） 21 （本小题满分 12 分） 已知函数)0 , 0)(sin()(+=xxf是 R 上的偶函数，其图象关于点 )0 ,

9、 4 3 ( M对称，且在区间 2 , 0 上是单调函数.求和的值. 22 （本小题满分 14 分） 已知常数 a0，向量 c=（0，a） ，i=（1，0） ，经过原点 O 以 c+i 为方向向量的直线与 经过定点 A（0，a）以 i2c 为方向向量的直线相交于点 P，其中R.试问：是否存 在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理 由. 2003 年普通高校招生数学年普通高校招生数学(文文)统一考试统一考试(天津卷天津卷) 答案答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 5 分，满分 60 分 奎屯 王新敞 新

10、疆 1C 2B 3B 4D 5C 6B 7D 8B 9B 10C 11C 12A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分 奎屯 王新敞 新疆 13 2 21 146，30，10 15S2ABC+ S2ACD + S2ADB = S2BCD 1642 三、解答题 17本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （1）证法一：取 BD 中点 M.连结 MC，FM . F 为 BD1中点 ， FMD1D 且 FM= 2 1 D1D . 又 EC 2 1 CC1且 ECMC ，四边形 EFMC 是矩形 EFC

11、C1. 又 CM面 DBD1 .EF面 DBD1 . BD1面 DBD1 . EFBD1 . 故 EF 为 BD1 与 CC1的公 垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得 B（0，1，0） ，D1（1，0，2） ，F（ 2 1 ， 2 1 ，1） ，C1（0，0，2） ，E（0，0，1）. , 0, 0 ).2 , 1, 1 ().2 , 0 , 0(),0 , 2 1 , 2 1 ( 11 11 = = EFBDCCEF BDCCEF 即 EFCC1，EFBD1 . 故 EF 是为 BD1 与 CC1的公垂线. （）解：连结 ED1，有 VEDBD1=VD1DBE . 由（）知 EF面 DBD

12、1 ，设点 D1到面 BDE 的距离为 d. . 3 32 2 3 2 2 2 2 3 )2( 2 3 2 1 . 222 2 1 , 2 2 ,2 . 1, 2. 2 1 1 1 = = = = dS SEFEDBEBD ABAAEFSdS DBE DBD DBDDBE 则 故点 D1到平面 DBE 的距离为 3 32 . 18本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分 12 分 奎屯 王新敞 新疆 （）解：函数 y=x2+2x 的导数 y=2x+2,曲线 C1在点 P（x1,x 2 1 +2x1）的切线方程是： y(x 2 1 +2x1)=(2x1+2)(xx1)

13、,即 y=(2x1+2)xx 2 1 函数 y=x2+a 的导数 y=2x, 曲线 C2 在点 Q（x2,x 2 2+a）的切线方程是 即 y(x 2 2+a)=2x2(xx2). y=2x2x+x 2 2+a . 如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线，则式和式都是 l 的方程， x1+1=x2 所以 x 2 1 =x 2 2+a. 消去 x2得方程 2x 2 1 +2x2+1+a=0. 若判别式=442（1+a）=0 时，即 a= 2 1 时解得 x1= 2 1 ，此时点 P 与 Q 重合. 即当 a= 2 1 时 C1和 C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为 y=x 4 1 . （）证明：由（）可知.当 a0，所以得： （i）当 a= 2 2 时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F； （ii）当 0a 2 2 时， 方程表示椭圆， 焦点 E() 2 1 2 1 , 0( 2 + aa和 F( 2 1 2 1 , 0( 2 aa） ） 为合乎题意的两个定点.