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1、2.1 2.1 引言引言l 贝叶斯决策论是解决模式分类问题的一种基本统计途径。它做了如下假设，即决策问题可以用概率的形式来描述，并且假设所有的概率结构已知。l 例：鲑鱼和鲈鱼分类l两类鱼自然状态下的先验概率l先验概率是一个随机变量(=1鲈鱼;=2鲑鱼)l等概率假设下有：P(1)=P(2)P(1)+P(2)=1 仅根据先验概率的判决规则if P(1)P(2)则 判为1否则 判为 2连续判决连续判决和误差概率误差概率 使用类条件概率信息（P(x|)类条件概率密度函数）P(x|1)和 P(x|2)描述两类鱼光泽度的不同2.1 2.1 引言引言2.1 2.1 引言引言2.1 2.1 引言引言 处于类别

2、j并具有特征值x的模式的联合概率密度如下：p(j,x)=P(j|x).p(x)=p(x|j).P(j)21)()|()(jjjPxpxpp(x)P(|p(x x)|P(jjjevidencepriorlikelihoodposterior l由上可得贝叶斯公式：两类问题情况下非正式表示：根据后验概率判决X 是观测属性if P(1|x)P(2|x)判决状态为 1if P(1|x)P(2|x)判为 1 否则判为 2;所以:P(error|x)=min P(1|x),P(2|x)2.2 2.2 贝叶斯决策论贝叶斯决策论连续特征连续特征l 贝叶斯推广l使用多余一个的特征l允许多余两种类别状态的情形l允

3、许有其他行为而不是仅仅是判定类别l通过引入一个更一般的损失函数来替代误差概率2.2 2.2 贝叶斯决策论贝叶斯决策论连续特征连续特征 令1,2,c 表示有限的c个类别集 1,2,a 表示有限的a种可能的行为集 (i|j)为类别状态j 时采取行动i的风险。则有下面的几个等式：cjjjiixPxR1)|()|()|(cjjjjjjPpppPpP1)()|()()()()|()|(xxxxx总风险：xxxxdpRR)()|)(两类情况下 1 :判为 1 2 :判为 2 ij =(i|j):类别为j 时误判为i所引起的损失 条件风险:R(1|x)=11P(1|x)+12P(2|x)R(2|x)=21P

4、(1|x)+22P(2|x)2.2 2.2 贝叶斯决策论贝叶斯决策论连续特征连续特征 判决规则如下:如果 R(1|x)(12-22)P(2|x)判为 1 否则判为22.2 2.2 贝叶斯决策论贝叶斯决策论连续特征连续特征2.2 2.2 贝叶斯决策论贝叶斯决策论连续特征连续特征 等价判别规则2：如果：(21-11)P(x|1)P(1)(12-22)P(x|2)P(2)判为 1 否则判为2 l等价判别规则3(合理假设21 11)：)()()|()|(121121221221PPppxx成立，则判为1 否则判为2似然比超过某个不依赖x x 的阀值，那么可判决为1 2.3 2.3 最小误差率分类最小误

5、差率分类 基于类别的行为 如果采取行为 i i 而实际类别为 j j，那么在i=j 的情况下判决是正确的，如果i j，则产生误判。为避免误判，需要寻找一种判决规则使误判概率最小化。对称损失或0-1损失函数:c,.,1j,i ji 1ji 0),(ji 则,条件风险为:11)|(1)|()|()|()|(jijcjjjiiPPPRxxxx 最小化误差概率，需要最大化后验概率 P(i|x)(因为 R(i|x)=1 P(i|x)基于最小化误差概率，有：对任给j i，如果P(i|x)P(j|x)，则判为 i2.3 2.3 最小误差率分类最小误差率分类2.4 2.4 分类器、判别函数及判定面分类器、判别

6、函数及判定面 多类别情况 判别函数 gi(x),i=1,c如果：gi(x)gj(x)j i 分类器将特征向量x判为i 2.4 2.4 分类器、判别函数及判定面分类器、判别函数及判定面 一般风险情况下，可令gi(x)=-R(i|x)l(最大判别函数与最小的条件风险相对应)根据最小误差率情况下gi(x)=P(i|x)(最大判别函数与最大后验概率相对应)其他判别函数：)(ln)|(ln)()()|()()()|()()|()|()(1iiiiiicjjjiiiiPxpgPxpgPxpPxpPgxxxx2.4 2.4 分类器、判别函数及判定面分类器、判别函数及判定面 每种判决规则将特征空间分为c个判决

7、区域if gi(x)gj(x)j i 则 x属于Ri(也就是把x判为i)2.4 2.4 分类器、判别函数及判定面分类器、判别函数及判定面 两类情况（二分分类器）令 g(x)g1(x)g2(x)如果 g(x)0判为1;否则判为 2g(x)的另类计算：)()(ln)|()|(ln)()|()|()(212121PPPPgPPgxxxxxx2.5 正态密度l分析的简易型l连续性l很多处理都是渐进高斯的，大量小的独立的随机分布的和l手写字符,语音等都是高斯的单变量密度函数：其中:是x的期望值 2 是方差221exp 21)(xxP2.5 正态密度 多元密度函数 一般的d维多元正态密度的形式如下:x=(

8、x1,x2,xd)t =(1,2,d)t 均值向量=d*d 协方差矩阵|行列式值 -1逆矩阵)()(21exp)2(1)(12/12/xxxtdP2.5 正态密度2.6 2.6 正态分布的判别函数正态分布的判别函数 最小误差概率分类可以通过使用判别函数获得gi(x)=ln P(x|i)+ln P(i)多元情况下：)(Plnln212ln2d)x()x(21)x(gii1iitii 2.6 2.6 正态分布的判别函数正态分布的判别函数 情况1：i=2.I (I 是单位矩阵)(ln21,)()(ln221)()()(ln2)(20202222iitiiiiitiiiitititiitiiiiiPwwgPgPgwxwxxxxxxxxx其中：得到线性判别函数：）（其中“线性机器”使用线性判别函数的分类器。线性机器的决策面是一个由下式定义的超平面:gi(x)=gj(x)2.6 2.6 正态分布的判别函数正态分布的判别函数 情况：2 i=(有所类的协方差矩阵都相等，但各自均值向量任意!)2.6 2.6 正态分布的判别函数正态分布的判别函数2.6 2.6 正态分布的判别函数正态分布的判别函数 情况3：i=任意，每一类的协方差矩阵是不同的2.6 2.6 正态分布的判别函数正态分布的判别函数精品课件精品课件！精品课件精品课件！Thank you!