2005年高考理科数学（福建卷）试题含答案.pdf

1、 2005 年高考年高考理理科数学科数学 福建福建卷卷 试题及答案试题及答案 奎屯 王新敞 新疆 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷（选择题 共 60 分） 注意事项注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题

2、5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1复数 i z = 1 1 的共轭复数是 （ ） A i 2 1 2 1 + B i 2 1 2 1 Ci1 Di+1 2已知等差数列 n a中，1,16 497 =+aaa，则 12 a的值是 （ ） A15 B30 C31 D64 3在ABC 中，C=90，),3 , 2(),1 ,(=ACkAB则 k 的值是 （ ） A5 B5 C 2 3 D 2 3 4已知直线 m、n 与平面,，给出下列三个命题： 若;/,/,/nmnm则 若;,/mnnm则 若.,/,则mm 其中真命题的个数是 （ ）

3、A0 B1 C2 D3 5函数 bx axf =)(的图象如图，其中 a、b 为常数， 则下列结论正确的是 （ ） A0, 1ba 1 -1 2 1 x O y B0, 1ba C0, 10ba D0, 10ba 6函数)20 , 0,)(sin(+=Rxxy的部分图象如图，则 （ ） A 4 , 2 = B 6 , 3 = C 4 , 4 = D 4 5 , 4 = 7 已知 p：, 0)3(:, 1|32|xxqx则 p 是 q 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2， AD=1，点

4、E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1的中 点，则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是（ ） A 5 15 arccos B 4 C 5 10 arccos D 2 9从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人 游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案 共有 （ ） A300 种 B240 种 C144 种 D96 种 10已知 F1、F2是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 =ba b y a x 的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角 形 MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（

5、 ） A324+ B13 C 2 13 + D13 + 11设bababa+=+则, 62, 22 R的最小值是 （ ） A22 B 3 35 C3 D 2 7 12)(xf是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且0)2(=f在区间（0，6）内解的个数 的最小值是 （ ） A2 B3 C4 D5 D1C1 B1 A1 G E D C B F A 3 1 1 x O y 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置 奎屯 王新敞 新疆 13 6 ) 1 2( x x 展开式中的常数项是 （用数字作答） 奎屯 王新敞

6、新疆 14非负实数yx,满足yx yx yx 3 , 03 , 02 + + + 则的最大值为 奎屯 王新敞 新疆 15若常数 b 满足|b|1，则= + n n n b bbb 12 1 lim . 16把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题： 若函数xxf 2 log3)(+=的图象与)(xg的图象关于_对称，则函数)(xg=_ 奎屯 王新敞 新疆 （注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 已知 5 1 cossin, 0 2 =+x

7、xx . （I）求 sinxcosx 的值； （）求 xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin2 2 sin3 22 + + 的值. 18 （本小题满分 12 分） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 5 2 2 1 与，投中得 1 分，投不中得 0 分. （）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望； （）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 19 （本小题满分 12 分） 已知函数 bx ax xf + = 2 6 )(的图象在点 M（1，f(x)）处的切线方程为 x+2y+5=0. （）求函数 y=f(x)的解析式；

8、（）求函数 y=f(x)的单调区间. 20 （本小题满分 12 分） 如图，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE. （）求证 AE平面 BCE； （）求二面角 BACE 的大小； （）求点 D 到平面 ACE 的距离. 21 （本小题满分 12 分） 已知方向向量为 v=(1,3)的直线 l 过点 （0， 23） 和椭圆 C：)0( 1 2 2 2 2 =+ba b y a x 的焦点，且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. （）求椭圆 C 的方程； （） 是否存在过点 E （2， 0

9、） 的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 N， 满足6 3 4 =ONOMcot MON0（O 为原点）.若存在，求直线 m 的方程；若不存在，请说明理由. E x O y 22 （本小题满分 14 分） 已知数列an满足 a1=a, an+1=1+ n a 1 我们知道当 a 取不同的值时，得到不同的数列，如 当 a=1 时，得到无穷数列：. 0 , 1, 2 1 :, 2 1 ;, 3 5 , 2 3 , 2 , 1=得到有穷数列时当a （）求当 a 为何值时 a4=0； （） 设数列bn满足 b1=1, bn+1=)( 1 1 + Nn bn ， 求证 a 取数列bn中的任一个数， 都可以

10、得到一个有穷数列an； （）若)4(2 2 3 nan，求 a 的取值范围. F E DC B A 2005 年高考年高考理理科数学科数学 福建福建卷卷 试题及答案试题及答案 参考答案参考答案 1 B 2 A3 A 4 C 5 D 6 C 7 A 8 D 9 B 10 D 11 C 12 D？ 12解答：f(x)是奇函数，f(0)0 奎屯 王新敞 新疆 f(x)是以 3 为周期，f(2)0 f(3)f(03)f(0)0 奎屯 王新敞 新疆 f(5)f(23)f(2)0 奎屯 王新敞 新疆 f(1)f(23)f(2)0；f(x)是奇函数，f(1)f(1)0。f(1)0 奎屯 王新敞 新疆 f(4

11、)f(13)f(1)0 奎屯 王新敞 新疆 f(x)是以 3 为周期，f(1.5)f(1.53)f(1.5)f(1.5) 奎屯 王新敞 新疆 也就是 f(1.5)f(1.5)，即 2f(1.5)0, f(1.5)0 奎屯 王新敞 新疆 f(4.5)f(1.53)0 奎屯 王新敞 新疆 由此可见，f(x)0 在区间(0,6)内的解有 7 个，分别是：1、2、3、4、5、1.5、4.5 奎屯 王新敞 新疆 四个选项中都没有正确答案 奎屯 王新敞 新疆 说明出题者当时忽视了 f(4.5)f(1.5)0 也成立的情况 奎屯 王新敞 新疆 构造出符合四个条件（1）定义在 R 上； （2）奇函数； （3）

12、周期为 3； （4）f(2) =0的一个函数 f(x)=sin 3 2 x+sin 3 4 x，图像如下： f(x)=sin2 3 x+sin4 3 x 4.5 6543 2 1.5 1o y x 只需后面再加上一项 sin2x，图像如下： 21 4 15 4 9 4 3 4 f(x)=sin2 3 x+sin4 3 x+sin2x 9 2 65 4 323 2 1o y x 就可以在上一个原有的根不变的的基础上增加四个根： 3 9 15 21 , 4 4 44 若再增加一项：sin4x 19 4 17 4 7 4 5 4 21 4 15 4 9 4 3 4 f(x)=sin 2 3 x+si

13、n 4 3 x+sin2x+sin4x 9 2 65 4 323 2 1o y x 在前一个原有的根不变的基础上又可以增加四个根： 5 7 17 19 , 4 444 这样符合四个条件 的函数的根就有 15 个！ 13 240 奎屯 王新敞 新疆 14 9 奎屯 王新敞 新疆 15 1 1b . 16x轴 , 2 3log x 奎屯 王新敞 新疆y轴 , 2 3log () x+ 奎屯 王新敞 新疆 原点 , 2 3 log () x 奎屯 王新敞 新疆 yx=直线 , 3 2x 奎屯 王新敞 新疆 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17

14、（本小题满分 12 分） 已知 5 1 cossin, 0 2 =+xxx . （I）求 sinxcosx 的值； （）求 xx xxxx cottan 2 cos 2 cos 2 sin2 2 sin3 22 + + 的值. 本题主要考查三角函数的基本公式、 三角恒等变换、 各个象限内三角函数符号的特 点等基本知识，以及推理和运算能力 奎屯 王新敞 新疆 解法一： （）由, 25 1 coscossin2sin, 5 1 cossin 22 =+=+xxxxxx平方得 即 . 25 49 cossin21)cos(sin. 25 24 cossin2 2 =xxxxxx 又, 0cossin

15、, 0cos, 0sin, 0 2 xxxxx 故 . 5 7 cossin=xx （） x x x x x x xx xxxx sin cos cos sin 1sin 2 sin2 costan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin3 222 + + = + + 125 108 ) 5 1 2() 25 12 ( )sincos2(cossin = =xxxx 解法二： （）联立方程 =+ =+ . 1cossin , 5 1 cossin 22 x xx 由得,cos 5 1 sinxx=将其代入，整理得, 012cos5cos25 2 =xx = = = . 5 4 cos

16、, 5 3 sin , 0 2 . 5 4 cos 5 3 cos x x xxx 或 故 . 5 7 cossin=xx （） x x x x x x xx xxxx sin cos cos sin 1sin 2 sin2 cottan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin3 222 + + = + + 125 108 ) 5 3 5 4 2( 5 4 ) 5 3 ( )sincos2(cossin =+= =xxxx 18 （本小题满分 12 分） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 5 2 2 1 与，投中得 1 分，投不中得 0 分. （）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求

17、两人得分之和的数学期望； （）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率； 本题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力 奎屯 王新敞 新疆 解： （）依题意，记“甲投一次命中”为事件 A， “乙投一次命中”为事件 B，则 . 5 3 )(, 2 1 )(, 5 2 )(, 2 1 )(=BPAPBPAP 甲、乙两人得分之和的可能取值为 0、1、2，则概率分布为： 0 1 2 P 10 3 2 1 5 1 3119 02 102510 E=+= 答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和的数学期望为 10 9 . （） “甲、乙两人在罚球线各投球

18、二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、 乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件 C 的对立事件， 而( ) 0202 02 22 11239 2255100 P CCC = 奎屯 王新敞 新疆 甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为( ) 91 1 100 P C= 奎屯 王新敞 新疆 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为 91 100 奎屯 王新敞 新疆 19 （本小题满分 12 分） 已知函数 bx ax xf + = 2 6 )(的图象在点 M（1，f(x)）处的切线方程为 x+2y+5=0. （）求函数 y=f

19、(x)的解析式； （）求函数 y=f(x)的单调区间. 本题考查函数的单调性，导数的运用等知识，考察运用数学知识、分析问题和解决问题的能 力 奎屯 王新敞 新疆 解：由函数 f(x)的图像在点 M（-1，()1f ）处的切线的方程为 x+2y+5=0,知 ()()() 1 12150,12,1 2 fff += = 即， ( ) ()() () 2 2 2 26 , a xbx ax fx xb + = + ()() () 2 6 2 1 2 , 126 1 3 2 1 a b a aba b b = + = + = = + 解得，( ) 2 26 3 x f x x = + 奎屯 王新敞 新

20、疆 （II）( ) () 2 2 2 2126 3 xx fx x + = + ， ( )032 3fxx+由得到3-2 3； 由( )0fx 得到，32 332 3xx+或 所以函数 f(x) 在(,32 3),(32 3,)+上单调递减， 在(32 3,32 3)+上单调递 增 奎屯 王新敞 新疆 20 （本小题满分 12 分） 如图， 直二面角 DABE 中， 四边形 ABCD 是边长为 2 的正 方形，AE=EB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE. （）求证 AE平面 BCE； F E DC B A （）求二面角 BACE 的大小； （）求点 D 到平面 ACE 的距离. 本

21、题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思 维能力和运算能力 奎屯 王新敞 新疆 （I）,BFACEBFAE平面 D-AB-EABCDABE二面角为直二面角， 平面平面， BCABBCABEBC,AE又，平面， BFBCEBFBC=BBCEAE又平面，平面。 （II）连结 AC、BD 交于 G，连结 FG，ABCD为正方形，BDAC，BF平面 ACE， FGAC，FGB 为二面角 B-AC-E 的平面角，由（I）可知，AE平面 BCE，AEEB， 又 AE=EB，AB=2，AE=BE=2， 在直角三角形 BCE 中，CE= 22 2 22 6, 63 BC

22、BE BCBEBF CE += 在 正 方 形 中 ， BG=2， 在 直 角 三 角 形BFG中 ， 2 6 3 sin 3 2 BF FGB BG = 二面角 B-AC-E 为 6 arcsin 3 奎屯 王新敞 新疆 （III） 由 （II） 可知， 在正方形 ABCD 中， BG=DG， D 到平面 ACB 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离，BF平面 ACE，线段 BF 的 长度就是点 B 到平面 ACE 的距离，即为 D 到平面 ACE 的距离 奎屯 王新敞 新疆所以 D 到平面的距离为 22 3 3 3 = 奎屯 王新敞 新疆 另法：过点 E 作ABEO 交 AB 于点 O.

23、 OE=1. 二面角 DABE 为直二面角，EO平面 ABCD. 设 D 到平面 ACE 的距离为 h，, ACDEACED VV = . 3 1 3 1 EOShS ACDACB = AE平面 BCE，.ECAE . 3 32 62 2 1 122 2 1 2 1 2 1 = = = ECAE EODCAD h 点 D 到平面 ACE 的距离为. 3 32 G F E DC B A O 解法二： （）同解法一. （）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图. AE面 BCE

24、，BE面 BCE， BEAE ， 在ABOABAEBRt为中, 2,=的中点， ).2 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 1, 0(. 1CEAOE= ).2 , 2 , 0(),0 , 1 , 1 (=ACAE 设平面 AEC 的一个法向量为),(zyxn =， 则 =+ =+ = = . 022 , 0 , 0 , 0 xy yx nAC nAE 即 解得 = = , , xz xy 令, 1=x得) 1 , 1, 1 ( =n是平面 AEC 的一个法向量. 又平面 BAC 的一个法向量为)0 , 0 , 1 (=m， . 3 3 3 1 | , ),cos(= = n

25、m nm nm 二面角 BACE 的大小为. 3 3 arccos （III）AD/z 轴，AD=2，)2 , 0 , 0(=AD， 点 D 到平面 ACE 的距离. 3 3 2 3 2 | | ,cos|= = n nAD nADADd 21 （本小题满分 12 分） 已知方向向量为 v=(1,3)的直线 l 过点 （0， 23） 和椭圆 C：)0( 1 2 2 2 2 =+ba b y a x 的焦点，且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. （）求椭圆 C 的方程； （）是否存在过点 E（2，0）的直线 m 交椭圆 C 于 点 M、N，满足6 3 4 =ONOMc

26、otMON0（O 为原点）. 若存在，求直线 m 的方程；若不存在，请说明理由. 本题考查直线、 椭圆及平面向量的基本知识， 平面解析几何的 M F E DC B A y x O z E x O y 基本方法和综合解题能力 （I）解法一：直线323:=xyl， 过原点垂直l的直线方程为xy 3 3 =， 解得. 2 3 =x 椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆 C 的右准线上， . 3 2 3 2 2 = c a 直线l过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）. . 2, 6, 2 22 =bac 故椭圆 C 的方程为. 1 26 22 =+ yx 解法二：直线333:=xyl. 设原点关于

27、直线l对称点为（p，q） ，则 = = . 13 32 2 3 2 p q pq 解得 p=3. 椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆 C 的右准线上， . 3 2 = c a 直线l过椭圆焦点，该焦点坐标为（2，0）. . 2, 6, 2 22 =bac 故椭圆 C 的方程为. 1 26 22 =+ yx （II）解法一：设 M（ 11, y x） ，N（ 22, y x）. 当直线 m 不垂直x轴时，直线)2(:+=xkym代 入，整理得 , 061212) 13( 2222 =+kxkxk , 13 612 , 13 12 2 2 21 2 2 21 + = + =+ k k xx

28、 k k xx , 13 )1 (62 13 612 4) 13 12 (14)(1| 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 21 2 + + = + + +=+= k k k k k k kxxxxkMN 点 O 到直线 MN 的距离 2 1 |2| k k d + = N M E x O ,cot6 3 4 MONONOM= 即 , 0 sin cos 6 3 4 cos| = MON MON MONONOM ,6 3 4 |. 6 3 2 ,6 3 4 sin|= dMNSMONONOM OMN 即).13(6 3 4 1|64 22 +=+kkk 整理得. 3 3 , 3 1 2

29、=kk 当直线 m 垂直 x 轴时，也满足6 3 2 = OMN S. 故直线 m 的方程为, 3 32 3 3 +=xy 或, 3 32 3 3 =xy或. 2=x 经检验上述直线均满足0ONOM. 所以所求直线方程为, 3 32 3 3 +=xy或, 3 32 3 3 =xy或. 2=x 解法二：设 M（ 11, y x） ，N（ 22, y x）. 当直线 m 不垂直x轴时，直线)2(:+=xkm代入，整理得 , 061212) 13( 2222 =+kxkxk , 13 12 2 2 21 + =+ k k xx E（2，0）是椭圆 C 的左焦点， |MN|=|ME|+|NE| = .

30、 13 ) 1(62 62) 13 12 ( 6 2 2)()()( 2 2 2 2 212 2 1 2 + + =+ + =+=+ k k k k axx a c x c a ex c a e 以下与解法一相同. 解法三：设 M（ 11, y x） ，N（ 22, y x）. 设直线2:= tyxm，代入，整理得. 024)3( 22 =+tyyt , 3 2 , 3 4 2 21 2 21 + = + =+ t yy t t yy . ) 3( 2424 3 8 ) 3 4 (4)(| 22 2 2 2 2 212121 + + = + + + =+= t t tt t yyyyyy N

31、M Ex O y ,cot6 3 4 MONONOM= 即 , 0 sin cos 6 3 4 cos| = MON MON MONONOM . 6 3 2 ,6 3 4 sin|= OMN SMONONOM =+= | 2 1 21 yyOESSS OENOEMOMN . )3( 2424 22 2 + + t t 22 2 )3( 2424 + + t t =6 3 2 ，整理得.3 24 tt = 解得, 3=t或. 0=t 故直线 m 的方程为, 3 32 3 3 +=xy或, 3 32 3 3 =xy或. 2=x 经检验上述直线方程为. 0ONOM 所以所求直线方程为, 3 32 3

32、 3 +=xy或, 3 32 3 3 =xy或. 2=x 22 （本小题满分 14 分） 已知数列an满足 a1=a, an+1=1+ n a 1 我们知道当 a 取不同的值时，得到不同的数列，如 当 a=1 时，得到无穷数列：. 0 , 1, 2 1 :, 2 1 ;, 3 5 , 2 3 , 2 , 1=得到有穷数列时当a （）求当 a 为何值时 a4=0； （） 设数列bn满足 b1=1, bn+1=)( 1 1 + Nn bn ， 求证 a 取数列bn中的任一个数， 都可以得到一个有穷数列an； （）若)4(2 2 3 nan，求 a 的取值范围. 本题主要考查数列不等式的基础知识，考

33、察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆 （I）解法 1： 14321 1 1112 1,0,1,; 123 nn nn aaaaaaa aa + + = += = = 解法 2： 112344 1121322 ,1,.,0, 113 n n aaa aa aaaaaa aaaa + + = += + （II） 1 1 11 ,1, , 1 nnnnn nn bbabbab bb + + =+= 若 取数列的一个数即, 132 121 1111 11,11, nn nn bab abab = += += += += 2 则a 11 1 1 1,10 nn n aba a =

34、 = += 所以数列 n a只能有 n 项为有穷数列 奎屯 王新敞 新疆 （III）解法一：因为 ()()()() 1 1 1 1 1 31 1212 233 245525 3 222 3 22 2 n n nn n n a a annnan a a + 所以 () 4 33332 24220 22221 n a anaa a + + 这就是所求的取值范围 奎屯 王新敞 新疆 解法二： 1123456 1121325385 ,1,., 1213253 n n aaaaa aa aaaaaa aaaaaa + + = += + 为运算方便，引入FibonacciFibonacci 数列：数列：

35、1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 令 0123456 1,1,2,3,5,8,13,FFFFFFF= 当 n1 时，Fn+2- Fn+1 Fn，而 01 1FF= 奎屯 王新敞 新疆 容易观察得到 12 23 nn n nn FaF a FaF + = + ()4n 奎屯 王新敞 新疆 特别地，() 4 33332 24220 22221 n a anaa a + + () 5 33353 24220 22232 n a anaa a + + 所以，当0a 时，对于6n， 由 ()() 12 23 33 2626 22 nn n nn F aF ann FaF + + 231223 332244 nnnnnn FaFF aFFaF + 2312 1223 3322 2244 nnnn nnnn FaFFaF FaFFaF + + 3212 2321 32(23) 24(42) nnnn nnnn FFFFa FFFFa 3432 4323 2(2) 22(22) nnnn nnnn FFFFa FFFFa 5434 54 () 22 nnnn nn FFFFa FFa 65 54 nn nn FFa FFa 恒成立；所以0a 奎屯 王新敞 新疆 所以() 3 240 2 n ana 这就是所求的取值范围 奎屯 王新敞 新疆