1、自主招生数学全真模拟试卷(二)一 填空题1. 方程有_个解.2. 将一个棱长为正整数的正方体分割为99个小正方体，其中98个小正方体为单位正方体，则原正方体的表面积为_.3. 方程的正整数解共有_组.4. 在ABC中，已知，且b=4,则a+c=_.5. 已知二次函数满足，且对于一切实数x均成立，则=_6. 设整数a、b、c满足，则=_7. 已知面积为3的ABC的两条中线AD、BE的长分别为3和6，则第三条中线CF的长为_8. 一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多上跃三级，从地面上到最上一级，一共有_种不同的爬跃方法.二 解答题9. 设(M、b均为整数，)在a、b变动下变动，当
2、M最小时，求的值.10. 已知十个互不相等的有理数，其中，每九个的和都是分母为22的既约真分数(分子分母没有公约数的真分数)，那么这十个有理数的和S为多少？11. 在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，已知BC边上的高为，求的最大值.12. 如图，已知O1过梯形ABCD的两顶点A、B，并切腰CD于点N，O2过点C、D并切腰AB于点M，求证：AMMB=CNND参考答案1. 解：易知x=3,为原方程的一个解.(通过尝试可得)，下证解的唯一性.当x3时，有故原方程有且仅有x=3一个解.2. 设原正方体的边长为x，99个小正方体的边长为1和y(xy1),则，即有所以(x-y)|98,所以x-y=1
3、,2,7,14,49,98，由得x-y=1,2；当x-y=1时，有3xy=97，矛盾; 当x-y=2时，有xy=15,解得(x,y)=(5,3),故原正方体表面积为150.3. 注意到原方程关于a,b,c对称，不妨设，则,代入原方程得当ab=3时，得(a,b,c)=(1,3,8)；当ab=4时，得(a,b,c)=(1,4,5)，(2,2,4)；当ab=5时，得(a,b,c)=(1,5,4)当ab=6时，c不为正整数，综上，时，原方程有三组正整数解(1,3,8)(1,4,5)(2,2,4),故原方程的正整数的解共有15组.4. 如图，(为了证明),设ABC内切圆为I，半径为r，I与边BC、CA分
4、别切于点D、E、F，连接IA、IB、IC、ID、IE、IF，由切线长定理得AF=p-a,BD=p-b,CE=p-c，其中p=，在RtAIF中，tanIAF=,即；同理可得，代入已知等式得5. 设由已知可得得b=,c=,又对一切实数x均成立，则对一切实数x均成立，易知,故，而b=,c=得6. 由题设得，当时，a=b=c=0,此时；，a、b、c中有一个1或-1，两个0，此时或；当时，a、b、c中有一个是0,另两个取1或-1，当时，；当时，；当时，；故或0或7. 如图所示，设ABC的重心为点G，CF=3x，延长GF到P，使得FP=GF，则四边形APBG为平行四边形，且，其中a、g、p为AGP的边长，且由已知条件得代入得，x=1或，故CF=6或38.81种；9.注意到，M为整数，故M最小值为1，即有，b为整数，则为完全平方数，故或解方程组，且满足仅有10.分母为22的既约真分数为，其中i=1,3,5.21，由题设各大，十个互不相等的有理数，每一次取九个的和(i=1,2.10),应为上面十个既约真分数中的一个，故11.由面积公式得：，即，由余弦定理得：2bccosA=b2+c2-a2所以，故最大值为12.如图，延长BA、CD相交于点O，若OA=a，OD=b，因为AD|BC，所以，故，ON=at,则，故同理，故4
