1、高中自主招生数学全真模拟试卷（五）一 填空题1. 在直角ABC中，点D是斜边AB的中点，点P是线段CD的中点，则的值为_.2. 已知实数a、b、c满足，若二次函数的图像与x轴的交点中有一个是定点，那么这个定点的坐标是_.3. 如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，B(3，),C(，0),P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为_.4. 已知表示关于x的一个四次多项式，表示当x=a时的值，若公式，则_.5. 设实数x、y满足，则_6. 已知非零实数a、b、c满足，则对正整数k使得下列各式中总成立的是_7. 已知实数a、b、c满足且，则的值为_.8. 若函数(k为参数
2、)的图像与x轴没有公共点，则k的取值范围是_.二 解答题9. 已知函数，若对任意实数x，恒成立，求实数a的取值范围.10. 已知O是ABC的内切圆，分别与三边AB、BC、CA切于D、E、F三点，求证：(1)若，则ABC是直角三角形；(2)若ABC是直角三角形，则11. 设m为实数，关于x的一元二次方程的两个实根的倒数和不大于8，求m的取值范围.12. 在1，2，.1000这1000个正整数中，依次随机取两个数p、q(p、q可以相等)，设先取出的数为p，求大于的概率.参考答案1. 解：设AB=c，BC=a，AC=b，则PC=由中线长公式得，故；也可用特殊值法求解；2. 由题设得即有，因为的图像与
3、x轴相交，方程有解，必有一个根为1，故图像过定点(1,0)3. 如图，作点A关于OB的对称点D，连接CD，与OB交于点P，连接AP，过点D作DNOA于点N，此时PA+PC的值最小；注意到DP=AP，则PA+PC=PC+PD=CD，而AB=，OA=3，B=60，由勾股定理得OB=2，AM=3，AN=，DN=，CM=1，故CD=，故PA+PC的最小值为4. 因为，故四次多项式由得得，故从而5. 令A=，B=，则A=同理，令则，于是，ab=2,故得6. 由题设等式得得或或由对称性，可设则，故成立；取则，故不成立；此时故不成立，综上，总成立的序号是7. 令则，两边同时平方得=故原式=8. 当函数为二次
4、函数时，有解得；当函数为一次函数时，k=1,此时与x轴有公共点，不符合题意；当函数为常函数时，k=-1,此时y=1与x轴没有公共点，符合题意；故k的取值范围是或9. 显然a0，分两种情形.(1)恒成立.(2)有解，故，设其解集为，则因为所以，而，得(舍)或此时，结合(1)(2)知10.设AD=AF=x,BD=BE=y,CE=CF=z，记则，；(1)由海伦公式知得，故ABC为直角三角形.(2)因为ABC是直角三角形，所以由海伦公式知，于是，11.设方程的两实根为，由题意得解得由根与系数的关系得，得或，因此m的取值范围是12.注意到考虑如下两个集合：问题转化为：在A、B中各取一个数PA、PB使，若在A中取比7504更大的数，由于475131000,此时B中无论怎样取都有，故共有(1000-751+1)250000种取法；若在A中取比7514更小的数，则按除3后的余数分类：如果在PA中取5(3k+1)形数，则B中最大可取12k+1,因此可取4k+1个数；同理PA为4(3k+2)开数，有4k+2种取法；PA为4(3k+3)形数，则有4k+3种取法；又中3k+1,3k+2,3k+3形数有250个，此时共有62502种取法，全部取法共有10002种，所以所求概率P=5
