人教B版高中数学必修一-《函数的奇偶性》函数-课件.pptx

1、-1-函数函数首页首页一二知识点一、奇、偶函数的定义1.思考提示:y=的定义域为x|x0,经过对一系列互为相反数的x值代入函数式可得:若x的取值互为相反数,则其函数值相等.即对xx|x0总有f(-x)=f(x)成立,我们把这类函数称为偶函数.你还能得出函数f(x)=x5在xR时仍有上述(1)问中的规律吗?提示:f(x)=x5满足的规律是对xR,总有f(-x)=-f(x)成立,我们把这类函数称为奇函数.(2)一个函数具有奇偶性,其定义域有什么特点?提示:一个函数若具有奇偶性,其定义域一定关于原点对称,这等价于定义中的“对D内的任意一个x,都有-xD”这一说法.首页一二2.填写下表:设函数y=f(

2、x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,首页一二3.做一做(1)下列函数是偶函数的为()A.y=2|x|-1,x-1,2B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x-1,0)(0,1答案:D(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为()A.y=x-1B.y=3x2答案:D首页一二知识点二、奇、偶函数的图像特征1.思考(1)如果f(x)的图像关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?提示:f(x)的图像关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.(2)若f(x)为奇函数,且

3、点(x,f(x)在其图像上,则哪一个点一定在其图像上?若f(x)为偶函数呢?提示:若f(x)为奇函数,则点(-x,-f(x)一定在其图像上;若f(x)为偶函数,则点(-x,f(x)一定在其图像上.首页一二2.填空(1)偶函数的图像关于y轴对称;反之,结论也成立,即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.(2)奇函数的图像关于原点对称;反之,结论也成立,即图像关于原点对称的函数一定是奇函数.名师点拨名师点拨 奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间a,b(0ab)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间-b,-a上的最大值为-m,最小值为-M;偶函数

4、f(x)在区间a,b,-b,-a(0a0时,f(x)=x|x-2|,求当x0时,f(x)的表达式.分析:已知函数f(x)是奇函数,可利用对称性求对称区间上的解析式.解:令x0.f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).f(x)=x|x+2|.故当x0时的解析式,则x0时的解析式,则x0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x0时的解析式.首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测若本例题中题干不变,如何求当x0时,f(x)的表达式?解:只需将f(0)单独求出.因为f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,所以f(0)=0.又因为

5、f(x)=x|x+2|,x0,所以f(x)=x|x+2|,x0.延伸探究 首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测奇奇、偶函数偶函数图像图像的的应用应用例3若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-,0上是增函数,若f(2)=0,则使f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)(2,+)D.(2,+)解析:由偶函数f(x)在(-,0上为增函数,且f(2)=0,可知函数f(x)在0,+)上为减函数,且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如图的草图.由图可知使f(x)0的x的取值范围是(-,-2)(2,+),故选C.答案:C首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思

6、感悟函数奇、偶性的应用1.研究函数图像时,要注意对函数性质的研究,这样可避免作图的盲目性和复杂性.2.利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称.因此在研究这类函数的性质(或图像)时,可通过研究函数在y轴一侧的性质(或图像),便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图像).首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练变式训练2奇函数f(x)的定义域为-5,5,它在y轴右侧的图像如图所示,则f(x)0的x的取值集合为.解析:奇函数f(x)在-5,5上的图像如图所示,由图像可知,x(2,5)时,f(x)0.因为其图像关于原点对称,所以x(-5,-2)时,f(x)0

7、;x(-2,0)时,f(x)0,所以使f(x)0的x的取值集合为x|-2x0,或2x5.答案:x|-2x0,或2x5首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测利用函数的单调性与奇偶性解不等式典例典例 设定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函数,若f(1-m)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式,再根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,列出不等式(组),同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.(多选)下列函数是偶函数的为()A.f(x)=x2B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x2+x4答案:AD首页探究

8、一探究二探究三思维辨析当堂检测2.有下列说法:偶函数的图像一定与y轴相交;若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,xR;若一个图形关于y轴成轴对称,则该图形一定是偶函数的图像.其中不正确的是()A.B.C.D.解析:中可举反例f(x)=x2+2,x(-,-2)(2,+);中f(x)在x=0处可能无定义;中也可以是f(x)=0,xA(A为关于原点对称的数集);中该图形可能不是函数的图像.故均错误.答案:D首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=.解析:f

9、(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,25+523+2b=-18.f(2)=25+235+2b-8=-18-8=-26.答案:-26首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x(-,0)时,f(x)=x-x4;当x(0,+)时,f(x)=.解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,即答案为-x-x4.方法二:设x(0,+),则-x(-,0),则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x).f(x)在区间(0,+)上的函数表达式为f(x)=-x-x4.答案:-x-x4首页探

10、究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.函数f(x)(xR),若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数.证明:令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),f(0)=0.又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),得f(-x+x)=f(-x)+f(x).即f(-x)+f(x)=0,f(-x)=-f(x).f(x)为奇函数.首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分析:先判断f(x)的奇偶性,再根据图像特征补全函数f(x)的图像;证明f(x)+g(x)=1的关键是先求出g(x)的解析式.(1)如图是f(x)在区间0,+)内的图像,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像,请说明你的作图依据;(2)求证:f(x)+g(x)=1(x0).首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测