幂函数37人教课标版课件.ppt

1、2.3幂函数【知识提炼知识提炼】1.1.幂函数的概念幂函数的概念函数函数_叫做幂函数叫做幂函数,其中自变量是其中自变量是_,_,_是常数是常数.y=xy=xx x2.2.幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质(1)(1)五个幂函数的图象五个幂函数的图象:(2)(2)幂函数的性质幂函数的性质:幂函数幂函数y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3y=xy=x-1-1定义域定义域_值域值域_奇偶性奇偶性_单调性单调性_x0,+),_x0,+),_x(-,0,_x(-,0,_x(0,+),_x(0,+),_x(-,0),_x(-,0),_公共点公共点都经过点都经过点_12y xR RR RR R

2、0,+)0,+)(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)R R0,+)0,+)R R0,+)0,+)y|yRy|yR且且y0y0奇奇偶偶奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇增增增增减减增增增增减减减减(1,1)(1,1)【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)二次函数都是幂函数吗二次函数都是幂函数吗?判断的依据是什么判断的依据是什么?提示提示:不一定不一定.如如y=5xy=5x2 2,y=x,y=x2 2-3-3都不是幂函数都不是幂函数,只有二次项系数为只有二次项系数为1,1,无无一次项和常数项的二次函数才是幂函数一次项和常数项的二次函数才是幂函数.判断的依据是函数解析式要判断的依

3、据是函数解析式要符合幂函数解析式的结构特征符合幂函数解析式的结构特征.(2)(2)幂函数的图象是否可以出现在坐标平面内的任意象限幂函数的图象是否可以出现在坐标平面内的任意象限?提示提示:不能不能.因为当因为当x0 x0时时,x,x0,0,因此图象不能出现在第四象限因此图象不能出现在第四象限.2.2.下列所给的函数中下列所给的函数中,是幂函数的是是幂函数的是()A.y=2xA.y=2x5 5B.y=xB.y=x3 3+1+1C.y=xC.y=x-3-3 D.y=3 D.y=3x x【解析解析】选选C.C.选项选项C C符合符合y=xy=x的形式的形式,对于对于A A系数不为系数不为1,B1,B中

4、含有常数中含有常数项项,而而D D是指数函数是指数函数.3.3.若若y=axy=ax3 3+(2b+4)+(2b+4)是幂函数是幂函数,则则a-ba-b的值为的值为()A.-1A.-1B.1B.1C.-3C.-3D.3D.3【解析解析】选选D.D.由于由于y=axy=ax3 3+(2b+4)+(2b+4)是幂函数是幂函数,则则解得解得a=1,b=-2,a=1,b=-2,故故a-b=3.a-b=3.a 1,2b 4 0，4.4.已知幂函数已知幂函数y=xy=x的图象经过点的图象经过点(2,16),(2,16),则则f(-3)=f(-3)=.【解析解析】由于幂函数由于幂函数y=xy=x的图象经过点

5、的图象经过点(2,16),(2,16),即即2 2=16,=16,解得解得=4,=4,故故f(-3)=(-3)f(-3)=(-3)4 4=81.=81.答案答案:8181【知识探究知识探究】知识点知识点1 1幂函数的概念幂函数的概念观察如图所示内容观察如图所示内容,回答下列问题回答下列问题:问题问题1:1:判定一个函数是否是幂函数应依据哪些特征判定一个函数是否是幂函数应依据哪些特征?问题问题2:2:幂函数和指数函数有哪些区别幂函数和指数函数有哪些区别?【总结提升总结提升】1.1.幂函数解析式的结构特征幂函数解析式的结构特征(1)(1)指数为常数指数为常数.(2).(2)底数是自变量底数是自变量

6、.(3).(3)幂幂x x的系数为的系数为1.1.2.2.幂函数与指数函数的比较幂函数与指数函数的比较式子式子名称名称常数常数x xy y指数函数指数函数:y=a:y=ax x(a0(a0且且a1)a1)a a为底数为底数指数指数幂值幂值幂函数幂函数:y=x:y=x为指数为指数底数底数幂值幂值知识点知识点2 2幂函数的图象及性质幂函数的图象及性质观察图形观察图形,回答下列问题回答下列问题:问题问题1:1:观察上述图象观察上述图象.在第一象限在第一象限,它们有何特点它们有何特点?问题问题2:2:这些图象有何对称性这些图象有何对称性?奇偶性如何奇偶性如何?【总结提升总结提升】1.1.幂函数幂函数y

7、=xy=x在第一象限内的图象特征在第一象限内的图象特征(1)(1)指数大于指数大于1,1,在第一象限为抛物线型在第一象限为抛物线型(下凸下凸).).(2)(2)指数等于指数等于1,1,在第一象限为上升的射线在第一象限为上升的射线(去掉端点去掉端点).).(3)(3)指数大于指数大于0 0小于小于1,1,在第一象限为抛物线型在第一象限为抛物线型(上凸上凸).).(4)(4)指数等于指数等于0,0,在第一象限为水平的射线在第一象限为水平的射线(去掉端点去掉端点).).(5)(5)指数小于指数小于0,0,在第一象限为双曲线型在第一象限为双曲线型.五个幂函数在第一象限内的图象大致情况可以归纳为五个幂函

8、数在第一象限内的图象大致情况可以归纳为“正抛负双正抛负双,大竖大竖小横小横”即即0(1)0(1)时的图象是抛物线型时的图象是抛物线型(1(1时的图象是竖直抛物线时的图象是竖直抛物线型型,01,01时的图象是横卧抛物线型时的图象是横卧抛物线型);0);0(2)0时时,幂函数的图象经过原点幂函数的图象经过原点,并且在区间并且在区间(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数.特别地特别地,当当11时时,幂函数的图象下凸幂函数的图象下凸;当当0101时时,幂函数的图象上凸幂函数的图象上凸.(3)0(3)0时时,幂函数的图象在区间幂函数的图象在区间(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数.在第一象限内在第

9、一象限内,当当x x从右边趋向原点时从右边趋向原点时,图象在图象在y y轴右方无限地逼近轴右方无限地逼近y y轴正半轴轴正半轴;当当x x趋于趋于+时时,图象在图象在x x轴上方无限地逼近轴上方无限地逼近x x轴正半轴轴正半轴.【题型探究题型探究】类型一类型一幂函数的概念幂函数的概念【典例典例】1.1.下列函数下列函数:y=;y=;y=;y=;y=2xy=2x4 4;y=xy=x3 3-2;-2;y=(x+1)y=(x+1)2 2;y=x;y=x;y=ay=ax x(0a1).(0a1).其中幂函数的个数为其中幂函数的个数为()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.42.(20152.

10、(2015开封高一检测开封高一检测)已知幂函数已知幂函数f(x)=(mf(x)=(m2 2-2m+2)-2m+2)则则f(-3)=f(-3)=.12xx1()32m2m 3x，【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中应从哪几个方面判定函数为幂函数中应从哪几个方面判定函数为幂函数?提示提示:应从指数应从指数,底数底数,以及幂以及幂x x的系数三方面判定的系数三方面判定.2.2.典例典例2 2中的中的m m2 2-2m+2-2m+2应满足什么条件应满足什么条件?提示提示:应使应使m m2 2-2m+2=1.-2m+2=1.【解析解析】1.1.选选B.B.为指数函数为指数函数;中系数不为中系数不

11、为1;1;中的解析式为中的解析式为多项式多项式;中底数不是自变量本身中底数不是自变量本身,所以只有是幂函数所以只有是幂函数,故选故选B.B.2.2.由于由于f(x)=(mf(x)=(m2 2-2m+2)-2m+2)为幂函数为幂函数,故故m m2 2-2m+2=1,-2m+2=1,解得解得m=1,m=1,所以所以f(x)=xf(x)=x2 2,则则f(-3)=9.f(-3)=9.答案答案:9 92m2m 3x【延伸探究延伸探究】若典例若典例2 2中的函数中的函数“f(x)=(mf(x)=(m2 2-2m+2)-2m+2)”改为改为“f(x)=(mf(x)=(m2 2-m-1),-m-1),且此函

12、数为奇函数且此函数为奇函数”,则则f(-3)f(-3)的值应为多少的值应为多少?【解析解析】由于由于f(x)=(mf(x)=(m2 2-m-1)-m-1)为幂函数为幂函数,则有则有m m2 2-m-1=1,-m-1=1,解得解得m=-1m=-1或或m=2,m=2,又因为该函数为奇函数又因为该函数为奇函数,则当则当m=-1m=-1时时,f(x)=x,f(x)=x6 6不符合不符合;当当m=2m=2时时,f(x)=x,f(x)=x3 3,符合符合.故故f(-3)=(-3)f(-3)=(-3)3 3=-27.=-27.2m2m 3x2m2m 3x2m2m 3x【方法技巧方法技巧】求幂函数解析式的依据

13、和常用方法求幂函数解析式的依据和常用方法(1)(1)依据依据:若一个函数为幂函数若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.(2)(2)常用方法常用方法:设幂函数解析式为设幂函数解析式为f(x)=xf(x)=x,依据条件求出依据条件求出.【变式训练变式训练】已知函数已知函数f(x)=lg(mf(x)=lg(m2 2+6)+6)x xm m(xR)(xR)为幂函数为幂函数,则则f(3)=f(3)=.【解析解析】已知函数已知函数f(x)=lg(mf(x)=lg(m2 2+6)

14、+6)x xm m(xR)(xR)为幂函数为幂函数,则则lg(mlg(m2 2+6)=1,+6)=1,即即lg(mlg(m2 2+6)=lg10,+6)=lg10,解得解得m=m=2,2,又函数的定义域为又函数的定义域为R,R,故故m=2,m=2,则则f(x)=xf(x)=x2 2,得得f(3)=9.f(3)=9.答案答案:9 9类型二类型二幂函数的图象幂函数的图象【典例典例】1.1.如图是函数如图是函数y=(m,nNy=(m,nN*,m,n,m,n互质互质)的图象的图象,则则()A.m,nA.m,n是奇数是奇数,且且 111C.mC.m是偶数是偶数,n,n是奇数是奇数,且且 111mnxmn

15、mnmnmn2.(20152.(2015烟台高一检测烟台高一检测)如图是幂函数如图是幂函数y=xy=xm m与与y=xy=xn n在第一象限内的图在第一象限内的图象象,则有则有()A.-1n0m1A.-1n0m1B.n-1,0m1B.n-1,0m1C.-1n1C.-1n1 D.n1 D.n13.3.如图如图,图中曲线是幂函数图中曲线是幂函数f(x)=xf(x)=x在第一象限内的大致图象在第一象限内的大致图象,已知已知取取-2,-,2-2,-,2四个值四个值,则相应于曲线则相应于曲线C C1 1,C,C2 2,C,C3 3,C,C4 4的的的值依次为的值依次为.1212【解题探究解题探究】1.1

16、.典例典例1 1中的函数中的函数y=y=的定义域和值域分别是什么的定义域和值域分别是什么?提示提示:由图象可以看出由图象可以看出,定义域是全体实数定义域是全体实数,而值域是非负数而值域是非负数,由此可得由此可得m m是偶数是偶数,n,n是奇数是奇数.2.2.典例典例2 2中中x(0,1)x(0,1)内任取同一个值时内任取同一个值时,这三个函数对应的图象的高低这三个函数对应的图象的高低如何如何?图象的高低与指数的大小有怎样的对应关系图象的高低与指数的大小有怎样的对应关系?提示提示:当当x(0,1)x(0,1)时时,这三个函数对应的图象由高到低的顺序为这三个函数对应的图象由高到低的顺序为y=xy=

17、xn n,y=x,y=x-1-1,y=x,y=xm m.点低指数大点低指数大.mnx3.3.典例典例3 3中当中当取取-2,-2,-时时,对应的函数在第一象限内的图象如何对应的函数在第一象限内的图象如何?当当取取 ,2,2呢呢?提示提示:当当取取-2,-2,-时时,在第一象限内对应的图象是下降的在第一象限内对应的图象是下降的;当当取取 ,2,2时时,对应的图象是上升的对应的图象是上升的.12121212【解析解析】1.1.选选C.C.由图象知由图象知,函数为偶函数函数为偶函数,所以所以m m为偶数为偶数,n,n为奇数为奇数.又函数图象在第一象限内上凸又函数图象在第一象限内上凸,所以所以 1.1

18、.2.2.选选B.B.在在(0,1)(0,1)内取内取x x0 0,作直线作直线x=xx=x0 0,与各图象有交点与各图象有交点,则则“点低指点低指数大数大”由此可判定由此可判定0m1,n-1.0m1,n-1.3.3.由幂函数的图象与性质由幂函数的图象与性质,0,2 23 34 4.答案答案:1 12 23 34 41212【方法技巧方法技巧】解决幂函数图象问题应把握的两个原则解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)(1)依据图象高低判断幂指数大小依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为相关结论为:在在(0,1)(0,1)上上,指数越指数越大大,幂函数图象越靠近幂函数图象越靠近x x轴轴(简记为

19、指大图低简记为指大图低););在在(1,+)(1,+)上上,指数越指数越大大,幂函数图象越远离幂函数图象越远离x x轴轴,(,(简记为指大图高简记为指大图高).).(2)(2)依据图象确定幂指数依据图象确定幂指数与与0,10,1的大小关系的大小关系,即根据幂函数在第一即根据幂函数在第一象限内的图象象限内的图象(类似于类似于y=xy=x-1-1或或y=y=或或y=xy=x3 3)来判断来判断.12x【拓展延伸拓展延伸】幂函数幂函数y=xy=x(=,m,n(=,m,n互质互质)的奇偶性的奇偶性幂函数幂函数y=xy=x的奇偶性是由的奇偶性是由m,nm,n的值确定的的值确定的,当当m,nm,n均为奇数

20、时均为奇数时,y=x,y=x是是奇函数奇函数;当当m m为偶数为偶数,n,n为奇数时为奇数时,y=x,y=x是偶函数是偶函数;当当m m为奇数为奇数,n,n为偶数为偶数时时,y=x,y=x既不是奇函数既不是奇函数,也不是偶函数也不是偶函数.mn【变式训练变式训练】已知函数已知函数y=xy=xa a,y=x,y=xb b,y=x,y=xc c的图象如图所示的图象如图所示,则则a,b,ca,b,c的大的大小关系为小关系为.【解题指南解题指南】结合函数在第一象限内的图象以及相应的判断规律进行结合函数在第一象限内的图象以及相应的判断规律进行辨别辨别.【解析解析】根据在第一象限内的图象可知根据在第一象限

21、内的图象可知:a0,b0,c0,b0,c1,b1,bbc.abc.答案答案:abcabc【补偿训练补偿训练】函数函数y=y=的图象大致是的图象大致是()53x【解析解析】选选B.B.函数函数y=y=是定义域为是定义域为R R的奇函数，且此函数在的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A A，C.C.另外，因为另外，因为y=y=所以当所以当x(0,1)x(0,1)时，时，函数函数y=y=的图象在直线的图象在直线y=xy=x的下方；的下方；当当x(1,+)x(1,+)时，函数时，函数y=y=的图象在直线的图象在直线y=xy=x的上方的

22、上方.故选故选B.B.5353xx52552333331111()(),y 11,y 22 22,2222 53x53x类型三类型三利用幂函数的性质比较大小利用幂函数的性质比较大小【典例典例】比较下列各组数中两个数的大小比较下列各组数中两个数的大小:0.30.311211()().53232()().35与与【解题探究解题探究】本典例本典例(1)(2)(1)(2)中可以利用什么形式的幂函数来进行比较？中可以利用什么形式的幂函数来进行比较？提示：提示：(1)(1)中中 的指数都是的指数都是0.30.3，因此可以利用函数，因此可以利用函数y=xy=x0.30.3的的增减性比较大小增减性比较大小.0

23、.30.321()()53与(2)(2)中中 的指数都是的指数都是-1-1，因此可以利用函数，因此可以利用函数y=xy=x-1-1的增减的增减性来比较大小性来比较大小.【解析解析】(1)(1)因为幂函数因为幂函数y=xy=x0.30.3在在(0,+)(0,+)上是单调递增的，上是单调递增的，(2)(2)因为幂函数因为幂函数y=xy=x-1-1在在(-,0)(-,0)上是单调递减的，上是单调递减的，1123()()35与0.30.32121()().5353又，所以112323()().3535 又，所以【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)若将典例若将典例(1)(1)中的中的“”“

24、”改为改为又如何进行大小比较？又如何进行大小比较？【解析解析】因为因为 =3=30.30.3，而，而y=xy=x0.30.3在在(0,+)(0,+)上是单调递增的，上是单调递增的，0.30.321()()53与0.30.321()()53“与”,0.313（）0.30.30.30.322213()3()().5553又，所以，即2.(2.(变换条件变换条件)若将典例若将典例(1)(1)中的中的“”“”改为改为又如何比较其大小？又如何比较其大小？【解析解析】因为因为y y1 1=在在x(0,+)x(0,+)上为减函数，又上为减函数，又0.30.30.30.3，所以，所以 ，所以，所以 0.30.

25、321()()53与20.352()0.35“与”，x2()525，20.3522()()55，25x2522552()0.35与20.352()0.35与.【方法技巧方法技巧】比较幂值大小的三种基本方法比较幂值大小的三种基本方法【补偿训练补偿训练】试比较试比较 的大小的大小.【解析解析】因为因为y y1 1=在在R R上为减函数，又上为减函数，又又因为函数又因为函数y y2 2=在在x(0,+)x(0,+)上是增函数，且上是增函数，且233423()()34与x2()323343222()()4333，所以，23x22333232()()4343，所以，233432()().43所以【延伸探

26、究延伸探究】1.1.若将若将“”“”改为改为“”“”，如何比较其大小？，如何比较其大小？【解析解析】因为函数因为函数y=y=在在x(0,+)x(0,+)上是增函数，上是增函数，233423()()34与334423()()34与34x33442323()().3434而，所以2.2.若将若将“”“”改为改为“”“”，又如何比较其大小？，又如何比较其大小？【解析解析】因为函数因为函数y=y=在在x(0,+)x(0,+)上是减函数，上是减函数，233423()()34与233433()()44与x3()423342333()().3444而，所以易错案例易错案例 利用幂函数的单调性求参数的范围利用

27、幂函数的单调性求参数的范围【典例典例】(2015(2015大同高一检测大同高一检测)若若(3-2a)(a-1),(3-2a)(a-1),则实数则实数a a的取值的取值范围为范围为_._.1313【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程分析解题过程,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗?提示提示:错误的根本原因是对幂函数的定义域考虑不全面错误的根本原因是对幂函数的定义域考虑不全面.在解答过程中在解答过程中只考虑了底数是同号只考虑了底数是同号,而忽略了底数不同号的情况而忽略了底数不同号的情况,从而定义域考虑不从而定义域考虑不全造成漏解全造成漏解.【自我矫正自我矫正】由题意可得，可利用幂函数

28、由题意可得，可利用幂函数y=y=的单调性来求解，的单调性来求解，类比类比y=xy=x-1-1的单调性可得：若的单调性可得：若 则有则有x0yx0y，yx0yx0或或0yx0y(a-1)(3-2a)(a-1)，则有如下三种可能：，则有如下三种可能：故实数故实数a a的取值范围为的取值范围为(-,1)(-,1)答案答案:(-,1)(-,1)13x1133xy，1313a 1 0,a 1 0,a 1 0,433 2a 0,3 2a0,a 1a.3 2a0 323 2a a 1,3 2a a 1,或或解得或，4 3(,).3 24 3(,)3 2【防范措施防范措施】1.1.准确把握幂函数的单调性准确把

29、握幂函数的单调性对于幂函数对于幂函数y=xy=x要分清要分清00和和00时的奇偶性和在时的奇偶性和在(0,+)(0,+)上的单上的单调性调性,如本例由如本例由y=y=是奇函数且在是奇函数且在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数,因此不要忘记因此不要忘记该函数在该函数在(-,0)(-,0)上也是减函数上也是减函数,由此可得不等式组由此可得不等式组.2.2.加强分析问题的全面性加强分析问题的全面性要明确五类幂函数的定义域要明确五类幂函数的定义域,要全面分析问题要全面分析问题,不要忽略某些方面不要忽略某些方面.如如本例中对于不等式本例中对于不等式,结合幂函数的单调性结合幂函数的单调性,对于底数有三种不等关系对于底数有三种不等关系.13x 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明