1、专题三 最值问题一、将军饮马模型与最值类 型一定两动两定两动一定两动图 示在OA，OB上分别取点M，N，使得PMN周长最小在OA，OB上分别取点M，N，使得四边形PMNQ的周长最小.在OA，OB上分别取点M，N，使得PM+MN的值最小.说 明M，N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线），OB（折点N所在直线）的对称点P，P，化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP，当P，M，N，P四点共线时，PMN的周长最小PQ是条定线段，只需考虑PM+MN+NQ的值最小.分别作点P，Q关于OA，OB的对称点P，P，化折线段PM+MN+NQ为PM+MN+NQ，当P，M，N，Q四点共线时，四边形PMN
2、Q的周长最小.M为折点，作点P关于OA对称的点P，将折线段PM+MN转化为PM+MN，即过点P作OB的垂线分别交OA，OB于点M，N，得PM+MN的最小值.（点到直线的连线中，垂线段最短）例1 如图1，ABC是等边三角形，AB=6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 解析：连接CM，CN，如图1所示.因为ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，所以AC=AB，ADBC，BD=CD.所以AD是BC的垂直平分线.所以BM=CM.所以BM+MN=CM+MN.当C，M，N三点共线时，BM+MN有最小值，为CN的长.因为N是AB的中点，所
3、以CNAB，AN=AB=3.所以CN= .所以BM+MN的最小值为.故填例2 如图2，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 解析：作点P关于BD的对称点P，连接PQ与BD的交点即为所求的点K，如图2所示.根据直线外一点到直线的所有连线中垂线段最短的性质，知当PQCD时，PQ的值最小，即PK+QK的值最小.作AECD，此时AE=PQ.因为四边形ABCD是菱形，AB=4，所以AD=AB=4，ABCD.因为BAD=120，所以ADE=60.所以AE=ADsin60=4=.所以点P到CD的距离为.所以PK+QK的最小值为故
4、填二、胡不归中的双线段模型与最值图 示 APBlFEPNAPBl如图，A为直线l上一定点，B为直线l外一定点，P为直线l上一动点，求BP+kAP（0k1）的最小值 说 明在点B异侧，构造以线段AP为斜边的直角三角形，以定点A为顶点作NAP，使sinNAP=k；过动点P作垂线，构造RtAPE.将kAP转化为PE，使得BP+kAP=BP+PE.利用“垂线段最短”转化为求BF的长.在求形如“AP+kBP”式子的最值时，关键是构造与kPB相等的线段，将“AP+kBP”问题转化为“AP+CP” 例3 如图3，在ABC中，AB=5，AC=4，sinA=，BDAC交AC于点D，P为线段BD上的动点，则PC+
5、PB的最小值为 解析：过点P作PEAB于点E，过点C作CHAB于点H，如图3所示.因为BDAC，所以ADB=90.因为sin A=，AB=5，所以BD=4.由勾股定理，得AD=3.所以sinABD=.所以PE=PB.所以PC+PB=PC+PE.当C，P，E三点共线时，PC+PB的值最小，此时PC+PB的最小值为CH的长.因为SABC=ACBD=ABCH，所以44=5CH，解得CH=.所以PC+PB的最小值为故填三、隐圆问题与最值图 示 说 明如图，在ABC中，BC的长为定值，A的度数为定角度，探究点A的轨迹.当A90时，点A在劣弧上运动（不与点A，B重合），如图.例4 如图4，已知正方形ABC
6、D的边长为6，F是正方形内一点，连接CF，DF，且ADF=DCF，E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为_解析：因为四边形ABCD是正方形，所以ADC=90.所以ADFCDF=90.因为ADF=DCF，所以DCFCDF=90.所以DFC=90.所以点F在以CD为直径的半圆上移动.设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于点E，交半圆O于点F，此时线段FP的长即为BEFE长度的最小值.在RtCDF中，因为O为CD的中点，CD=6，所以OF=OD=3.因为G=90，PG=DG=AB=6，所以OG=9.所以OP=.
7、所以FP=-3.所以BEFE长度的最小值为-3.故填-3 图5跟踪训练1.如图，在RtAOB中，AOB=90，OA=4，OB=6，以点O为圆心，3为半径的O，与OB交于点C，过点C作CDOB交AB于点D，P是边OA上的点，则PC+PD的最小值为_ 第1题图 第2题图2. 如图，在ABC中，ABC=90，AB=8，BC=12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE.当ABD=BCE时，线段AE的最小值是（ ）A3B4C5D6专题三 最值问题1. 解析：延长CO，交O于一点E，连接PE，如图所示.因为OB=6，以点O为圆心，半径为3的O，所以OC=BC=OE=3.因
8、为AOB=90，CDOB，所以BCD=AOB=90.所以CDOA，CP=PE.所以BCDBOA.所以.因为OA=4，所以.因为CP=PE，所以PC+PD=PE+PD.当D，P，E三点共线时，PE+PD=DE，此时PE+PD的值最小，即PC+PD的值最小，如图所示.在RtDCE中，DE=，所以PC+PD的最小值为. 第1题图 第2题图2. B 解析：取BC的中点T，连接AT，ET，如图所示.因为ABC=90，所以ABD+CBD=90.因为ABD=BCE，所以CBD+BCE=90.所以CEB=90.因为CT=TB=6，所以ET=BC=6，AT=10.因为AEAT-ET，所以AE4.所以AE的最小值为4. 第5页
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