1、数乘向量复习1:向量的加法BA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bo.O.Ca+bbaABa+ba1.向量加法三角形法则:2.向量加法平行四边形法则:特点:首尾相接，首尾连特点:共起点复习2:向量的减法o.BAa-b如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab-bo.BAab特点：共起点，连终点，方向指向被减数实际背景实际背景表示，试画出该向量。用秒的位移对应的向量那么在同方向上向量，一秒钟的位移对应一物体作匀速直线运动aa33,aa3在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量讲授新课思考题1:已知向量如何作出
2、和a,raa a?rrr(a)(a)(a)?rrrarOAarBarCarNMQPa?ra?ra?rOC OA AB BC a a a?u u u r u u u r u u u r u u u r r r r记:aaa3a?rrrr即:OC3a.?u u u rr同理可得:PN(a)(a)(a)3a?u u u rrrrr思考题2:向量与向量有什么关系?向量与向量有什么关系?3ararar3a?r(1)向量的方向与的方向相同,向量的长度是的3 倍,即3ararar3ar3a3a.?rr(2)向量的方向与的方向相反,向量的长度是的3 倍,即3a?rar3a?rar3a3a.?rr定义定义:特别
3、地，当=0 或 a=0 时,a=0(2)方向 当0时,a的方向与 a方向相同；当0时,a的方向与 a方向相反；(1)长度|a|=|a|一般地，实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作a。它的长度和方向规定如下：练习2:结论:2a+2b2b(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。ab结论:2a+2b=2(a+b)a+b6a3(2a)a2(a+b)2a3(2a)=6a(2+4)a=2a+4a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a0)，并比较。(a)=()a运算律:设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：(+)a=a+a(a+b)=a+b数乘向量
4、的运算律：数乘向量的运算律：?aa?结合律?aaa?第一分配律?baba?第二分配律练习练习3:解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=计算：(口答)(1)(-3)4 a(2)3(a+b)2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)(3a-2b+c)(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12a向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量 a,b 以及任意实数,恒有(1a2b)=1a2b思考:判定定理:当a与b同方向时，有b=a;当a与b反方向时，有b=-a，所以始终有一个实数，使b=a。1、如果 b=a,那么，向量a与b是否
5、共线？2、如果非零向量a与b共线，那么是否有，使b=a？对于向量a(a0)、b，如果有一个实数，使得b=a,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。若向量a与b共线，a0，且向量b的长度是a的长度的倍，即有|b|=|a|,且2)b 可以是零向量吗?思考思考:1)a为什么要是非零向量?向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数，使得 b=a.a是一个非零向量，若存在一个实数，使得b=a，则向量b与非零向量a共线例题例题1:AEDCB解：=3 AC=3(AB+BC)AB+BC=AC=3 AB+3 BC又 AE=AD+DEAC与AE 共线如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断AC与AE是否
6、共线?变：若B、C分别是AD、AE的三等分点，证明：BCDE。例题例题2:解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线A、B、C三点共线.abbb已知任意两非零向量a、b，试作 OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？baAB=OB-OAAC=2AB又 AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又 AB与AC有公共点A，APBCa例例3 ABC平面内的三点，切平面内的三点，切A与与B不重合，不重合，P是是平面内任意一点，若点平面内任意一点，若点C在在AB上，则存在实上，则存在实数数，使得，使得PC=PA+(1-)PB小结回顾小结回顾:二、知识应用：1.证明 向量共线；2.证明 三点共线:AB=BC A,B,C三点共线；3.证明 两直线平行:AB=CD ABCDAB、CD不重合直线AB直线CD一、概念与定理 a 的定义及运算律 向量共线定理(a0)b=a向量a与b共线
