2019-2020学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，只有一在每小题列出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | 21Axx ， | 13Bxx ，则(AB ) A | 23xx B | 11xx C |13xx D | 21xx 2 （5 分）在复平面内，复数 1 i z i （其中i是虚数单位）对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三

2、象限 D第四象限 3 （5 分）已知点(2, )Aa为抛物线 2 4yx图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF等于 ( ) A4 B3 C2 2 D2 4 （5 分）若0xy，则下列各式中一定正确的是( ) A 11 xy Btantanxy C 11 ( )( ) 22 xy Dlnxlny 5 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为( ) A2 7 B4 2 C2 11 D4 3 6 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲 同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为( ) A24 B12 C8 D6 7 （5 分）对

3、于向量a，b， “| |a a b”是“| 0b ”的( ) 第 2 页（共 17 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）关于函数 21 ( )(1) x f xxaxe 有以下三个判断 函数恒有两个零点且两个零点之积为1； 函数恒有两个极值点且两个极值点之积为1； 若2x 是函数的一个极值点，则函数极小值为1 其中正确判断的个数有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 9 （5 分）已知向量(3, 2)a ，(1, )bm，若()

4、aab，则m 10 （5 分）在公差不为零的等差数列 n a中， 1 2a ，且 1 a， 3 a， 7 a依次成等比数列，那 么数列 n a的前n项和 n S等于 11 （5 分）已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为( 2,0)，且两条渐近线互相垂直，则 此双曲线的标准方程为 12 （5 分）在ABC中，3a ，2 6b ，2BA ，则cosB 13 （5 分）已知a，b，am均为大于 0 的实数，给出下列五个论断： ab，ab，0m ，0m ， bmb ama 以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题 14 （5 分）如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，

5、直径为 1 千米的圆，花园一侧有一 条直线型公路l， 花园中间有一条公路(AB AB是圆O的直径） ， 规划在公路l上选两个点P， Q， 并修建两段直线型道路PB，QA 规划要求： 道路PB，QA不穿过花园 已知OCl， (BDl C、D为垂足） ，测得0.9OC ，1.2BD （单位：千米） 已知修建道路费用为m元 /千米在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 元 第 3 页（共 17 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （13 分）已知函数( )2cos()sin

6、 3 f xxx （）求( )f x的最小正周期； （）求( )f x在区间0, 2 上的最大值和最小值 16 （13 分）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区 8 所学校学生的体质健 康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格良好及其以上的比例之和超过40% 的学校为先进校各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表： 学校 比例 等级 学校 A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3% 良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35% 及格 22% 30% 33% 26% 22% 17%

7、 23% 38% 不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （）从 8 所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率； （）从 8 所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数 为X，求X的分布列； （） 设 8 所学校优秀比例的方差为 2 1 S， 良好及其以下比例之和的方差为 2 2 S， 比较 2 1 S与 2 2 S 的大小 （只写出结果） 17 （14 分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ /ADBC， 90SADDAB ，3SA，5SB ，4AB ，2BC ，1AD （）求证：AB 平面SAD； （）求

8、平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值； （） 点E，F分别为线段BC，SB上的一点， 若平面/ /AEF平面SCD， 求三棱锥BAEF 的体积 第 4 页（共 17 页） 18 （13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 4，离心率为 2 2 ，点P在椭圆C 上 （）求椭圆C的标准方程； （）已知点M (4,0)，点(0, )Nn，若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的 取值范围 19 （13 分）已知函数( )sincosf xxxx （）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）求函数 2 1 ( )( ) 4 g xf

9、xx零点的个数 20 （14 分）已知项数为 * (m mN，2)m的数列 n a满足如下条件： *( 1 n aN n，2， ，)m； 12m aaa若数列 n b满足 *12 () 1 mn n aaaa bN m ，其中1n ， 2，m，则称 n b为 n a的“伴随数列” （）数列 1，3，5，7，9 是否存在“伴随数列” ，若存在，写出其“伴随数列” ；若不存在， 请说明理由； （）若 n b为 n a的“伴随数列” ，证明： 12m bbb； （）已知数列 n a存在“伴随数列” n b，且 1 1a ，2049 m a ，求m的最大值 第 5 页（共 17 页） 2019-202

10、0 学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，只有一在每小题列出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | 21Axx ， | 13Bxx ，则(AB ) A | 23xx B | 11xx C |13xx D | 21xx 【解答】解：根据题意，集合 | 21Axx ， | 13Bxx ， 则 | 23ABxx ； 故选：A 2 （5 分）在复平面

11、内，复数 1 i z i （其中i是虚数单位）对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：复数 (1)111 1(1)(1)222 iiii i iii ， 复数对应的点的坐标是( 1 2 ， 1 ) 2 复数 1 i i 在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A 3 （5 分）已知点(2, )Aa为抛物线 2 4yx图象上一点，点F为抛物线的焦点，则|AF等于 ( ) A4 B3 C2 2 D2 【解答】解：由题意可得抛物线 2 4yx的焦点为(1,0)F，准线的方程为1x ， 由抛物线的定义可知|AF等于点A到准线的距离d， 而|2( 1)| 3d ，

12、故| 3AF ， 故选：B 4 （5 分）若0xy，则下列各式中一定正确的是( ) A 11 xy Btantanxy C 11 ( )( ) 22 xy Dlnxlny 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：A0xy， 11 yx ，因此不正确； B取 4 x ， 3 y ，满足0xy，但是tantanxy，因此不正确； C由0xy， 11 ( )( ) 22 xy ，因此不正确； D由0xy，lnxlny，因此正确 故选：D 5 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为( ) A2 7 B4 2 C2 11 D4 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 所

13、以： 222 44(2 3)2 11AB 故选：C 6 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲 同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为( ) A24 B12 C8 D6 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： ，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有 2 种，乙的站法有 2 种， 第 7 页（共 17 页） ，乙同学与老师相邻，则乙的站法有 2 种， ，将剩下的 2 人全排列，安排在剩下的 2 个位置，有 2 2 2A 种情况， 则不同站法有2228 种； 故选：C 7 （5 分）对于向量a，b， “| |a a b”是“|

14、0b ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当| |ab，且a与b的夹角为120时，有| |aab，故由| |aab，不 能得到| 0b ； 反之，由| 0b ，能够得到| |aab “| |aab”是“| 0b ”的必要不充分条件 故选：B 8 （5 分）关于函数 21 ( )(1) x f xxaxe 有以下三个判断 函数恒有两个零点且两个零点之积为1； 函数恒有两个极值点且两个极值点之积为1； 若2x 是函数的一个极值点，则函数极小值为1 其中正确判断的个数有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【解答】解：函数 21

15、( )(1) x f xxaxe ， 1 0 x e 令( )0f x ， 则 2 10xax ， 2 40a， 则函数恒有两个零点且两个零点之积为1， 正确； 21 ( )(2)1 x f xxa xae 令 2 ()(2)1gxxaxa， 22 (2)4(1)80aaa 方程 2 (2)10xa xa ，有两个不相等的实数根又 1 0 x e ，函数( )f x有两个极 值点 1 x， 2 x， 第 8 页（共 17 页） 不妨设 12 xx，则函数( )f x在 1 (,)x， 2 (x，)上单调递增，在 1 (x， 2) x上单调递减 函数恒有两个极值点且两个极值点之积为1a ，因此不

16、正确； 若2x 是函数的一个极值点，则42(2)10aa ，解得1a 211 ( )(2)(2)(1) xx f xxxexxe 可得1x 时函数( )f x取得极小值， f（1） 0 (1 1 1)1e 则函数极小值为1 其中正确判断的个数有 2 个 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 9 （5 分）已知向量(3, 2)a ，(1, )bm，若()aab，则m 5 【解答】解：向量(3, 2)a ，(1, )bm，则(2,2)abm， 又()aab，所以()0a ab， 即3 22 (2)0m ，解得5m 故答案为：

17、5 10 （5 分）在公差不为零的等差数列 n a中， 1 2a ，且 1 a， 3 a， 7 a依次成等比数列，那 么数列 n a的前n项和 n S等于 2 13 22 nn 【解答】解：在公差d不为零的等差数列 n a中， 1 2a ，且 1 a， 3 a， 7 a依次成等比数列， 可得 2 317 aa a，即 2 (22 )2(26 )dd， 解得1d ，(0舍去） ， 则数列 n a的前n项和 2 113 2(1) 222 n Snn nnn 故答案为： 2 13 22 nn 11 （5 分）已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为( 2,0)，且两条渐近线互相垂直，则 此双曲线的标准方

18、程为 22 1xy 【解答】解：设双曲线的标准方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 由题意可得 22 2cab， 第 9 页（共 17 页） 双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 两条渐近线互相垂直，可得 2 2 1 b a ， 解得1ab， 则双曲线的标准方程为 22 1xy， 故答案为： 22 1xy 12 （5 分）在ABC中，3a ，2 6b ，2BA ，则cosB 1 3 【解答】解：3a ，2 6b ，2BA ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，可得 32 62 6 sinsin2sincosABAA ， 解得 6 cos 3 A， 2 1 coscos

19、22cos1 3 BAA 故答案为： 1 3 13 （5 分）已知a，b，am均为大于 0 的实数，给出下列五个论断： ab，ab，0m ，0m ， bmb ama 以其中的两个论断为条件， 余下的论断中选择一个为结论， 请你写出一个正确的命题 推出（答案不唯一还可以推出等） 【 解 答 】 解 ： 因 为 ： 若a，b满 足ab，0b ， 则ab，0m ， ()()() 0 ()() bmba bmb amm ab amaa ama am ； 即由 （答案不唯一） 故答案为：推出（答案不唯一还可以推出等） 14 （5 分）如图，某城市中心花园的边界是圆心为O，直径为 1 千米的圆，花园一侧有

20、一 条直线型公路l， 花园中间有一条公路(AB AB是圆O的直径） ， 规划在公路l上选两个点P， Q， 并修建两段直线型道路PB，QA 规划要求： 道路PB，QA不穿过花园 已知OCl， (BDl C、D为垂足） ，测得0.9OC ，1.2BD （单位：千米） 已知修建道路费用为m元 /千米在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 2.1m 元 第 10 页（共 17 页） 【解答】解：根据题意，因为道路PB，QA不穿过花园， 所以作AQl，垂足为Q，此时AQ最短，过B作圆O的切线BP交l于P，此时PB最短， 如图： 根据平行线段成比例可得0.6AQ ，即有AQ为BMD的中位线，所以22BMA

21、B， 则在Rt BMD中，1.6DM ， 又因为PBDBMD，所以 1.2 21.5 1.6 BD PBBM MD ， 故修建道路总费用的最小值为1.50.62.1mmm， 故答案为：2.1m 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （13 分）已知函数( )2cos()sin 3 f xxx （）求( )f x的最小正周期； （）求( )f x在区间0, 2 上的最大值和最小值 【解答】解： 13133 ()2cos()sin2(cossin)sinsin2(1cos2)si

22、n(2) 3222232 fxxxxxxxxx ， （）( )f x的最小正周期 2 2 T ， （）因为0, 2 x ，所以 2 2, 333 x ， 所以当2 33 x ，即0x 时，( )f x取得最小值 0； 当2 32 x ，即 5 12 x 时，( )f x取得最大值 3 1 2 第 11 页（共 17 页） 16 （13 分）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区 8 所学校学生的体质健 康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格良好及其以上的比例之和超过40% 的学校为先进校各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表： 学校 比例 等级 学校 A 学校B 学校C

23、学校D 学校E 学校F 学校G 学校H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3% 良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35% 及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38% 不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24% （）从 8 所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率； （）从 8 所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数 为X，求X的分布列； （） 设 8 所学校优秀比例的方差为 2 1 S， 良好及其以下比例之和的方差为 2 2 S， 比较 2 1 S与 2 2

24、S 的大小 （只写出结果） 【解答】解： （）8 所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比 例超过40%， 所以从 8 所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为 1 2 （）8 所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值 为 0，1，2 2112 5533 222 888 5153 (0)(1)(2) 142828 CC CC P XP XP X CCC ， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 5 14 15 28 3 28 （） 22 12 SS 17 （14 分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ /A

25、DBC， 第 12 页（共 17 页） 90SADDAB ，3SA，5SB ，4AB ，2BC ，1AD （）求证：AB 平面SAD； （）求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值； （） 点E，F分别为线段BC，SB上的一点， 若平面/ /AEF平面SCD， 求三棱锥BAEF 的体积 【解答】 （）证明：在SAB中，因为3SA，4AB ，5SB ， 所以ABSA 又因为90DAB 所以ABAD， 因为SAADA 所以AB 平面SAD （）解：因为SAAD，ABSA，ABAD 建立如图直角坐标系 则(0A，0，0) (0B，4，0)，(2C，4，0)，(1D，0，0)，(0S，0，3)

26、平面SAB的法向量为(1,0,0)AD 设平面SDC的法向量为( , , )mx y z 所以有 0 0 m CD m SD 即 40 30 xy xz ， 令1x 所以平面SDC的法向量为 1 1 (1, ) 4 3 m ， 第 13 页（共 17 页） 所以 12 cos| 13| m SD m SD （）解：因为平面/ /AEF平面SCD， 平面AEF平面ABCDAE，平面SCD平面ABCDCD， 所以/ /AECD， 平面AEF平面SBCEF，平面SCD平面SBCSC， 所以/ /FESC， 由/ /AECD，/ /ADBC 得四边形AEDC为平行四边形 所以E为BC中点 又/ /FE

27、SC， 所以F为SB中点， 所以F到平面ABE的距离为 3 2 ， 又ABE的面积为 2， 所以1 B AEFFABE VV 18 （13 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为 4，离心率为 2 2 ，点P在椭圆C 上 （）求椭圆C的标准方程； （）已知点M (4,0)，点(0, )Nn，若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的 取值范围 【解答】解： （）由椭圆的长轴长24a ，得2a 第 14 页（共 17 页） 又离心率 2 2 c e a ，所以2c 所以 222 2bac 所以椭圆C的方程为； 22 1 42 xy （）法一： 设点 0 (P

28、x， 0) y，则 22 00 1 42 xy 所以PN的中点 00 (,) 22 xyn Q ， 00 (4,) 22 xyn MQ ， 00 (,)NPxyn 因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点 所以MQNP，则0MQ NP ， 即 00 00 (4)()()0 22 xyn xyn 又因为 22 00 1 42 xy ，所以 2 20 0 820 2 x xn 所以 2 20 00 82, 2, 2 2 x nxx 函数 2 0 000 ()82, 2, 2 2 x f xxx 的值域为 12，20 所以 2 020n剟 所以2 52 5n剟 法二： 设点 0 (P x， 0)

29、y，则 22 00 1 42 xy 设PN的中点为Q 因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点 所以MQ是线段PN的垂直平分线， 所以| |MPMN， 即 222 00 (4)16xyn， 所以 2 20 0 82 2 x nx 函数 2 0 000 ()82, 2, 2 2 x f xxx 的值域为 12，20， 第 15 页（共 17 页） 所以 2 020n剟 所以2 52 5n剟 19 （13 分）已知函数( )sincosf xxxx （）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）求函数 2 1 ( )( ) 4 g xf xx零点的个数 【解答】解： （）( )c

30、osfxxx，(0)0 f 又(0)1f， 曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为1y ； （） 2 1 ( )( ) 4 g xf xx为偶函数，(0)1g， 要求( )g x在xR上零点个数， 只需求( )g x在(0,)x上零点个数即可 11 ( )cos(cos) 22 g xxxxxx，令( )0g x，得2 3 xk ， 5 2 3 xkkN ， ( )g x在(0,) 3 单调递增，在 5 (,) 33 单调递减，在 57 (,) 33 单调递增， 在 5 (2,2) 33 kk 单调递减，在(2,2) 33 kk 单调递增 * kN， 列表得： x 0 (0,) 3

31、 3 5 (,) 33 5 3 57 (,) 33 7 3 711 (,) 33 11 3 ( )g x 0 0 0 0 0 ( )g x 1 极大 值 极小 值 极大 值 极小值 由上表可以看出( )g x在2() 3 xkkN 处取得极大值，在 5 2() 3 xkkN 处取得极 小值， 又 2 31 ()0 36236 g ； 2 55 3125 ()0 36236 g 当 * kN且1k时， 22 31115 (2)(2)(2)(23)0 332243434 gkkkk ， （或 2 1 ( )1 4 g xxx ， 2 1 (2)(2)1(2)0) 3343 gkkk 第 16 页（

32、共 17 页） ( )g x在(0,)x上只有一个零点 故函数 2 1 ( )( )() 4 g xf xxxR零点的个数为 2 20 （14 分）已知项数为 * (m mN，2)m的数列 n a满足如下条件： *( 1 n aN n，2， ，)m； 12m aaa若数列 n b满足 *12 () 1 mn n aaaa bN m ，其中1n ， 2，m，则称 n b为 n a的“伴随数列” （）数列 1，3，5，7，9 是否存在“伴随数列” ，若存在，写出其“伴随数列” ；若不存在， 请说明理由； （）若 n b为 n a的“伴随数列” ，证明： 12m bbb； （）已知数列 n a存在“

33、伴随数列” n b，且 1 1a ，2049 m a ，求m的最大值 【解答】解： （）数列 1，3，5，7，9 不存在“伴随数列” 因为 * 4 1357979 512 bN ， 所以数列 1，3，5，7，9 不存在“伴随数列” （）证明：因为 1 1 1 nn nn aa bb m ，11n m剟， * nN， 又因为 12m aaa，所以有 1 0 nn aa ， 所以 1 1 0 1 nn nn aa bb m ， 所以 12m bbb成立 （）1 ij m剟，都有 1 ji ij aa bb m ， 因为 * i bN， 12m bbb 所以 * ij bbN， 所以 * 1 ji ij aa bbN m ， 所以 *1 1 2048 11 m m aa bbN mm ， 因为 *1 1 1 nn nn aa bbN m ， 所以 1 1 nn aam ， 第 17 页（共 17 页） 又 2 111221 ()()() (1)(1)(1)(1) mmmmm aaaaaaaammmm 所以 2 2049 1 (1)m 所以 2 (1)2048m， 所以46m， 又 * 2048 1 N m ， 所以33m， 例如：6463(133) n ann剟，满足题意， 所以，m的最大值是 33