2019-2020学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（文科）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（文科）学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1 （3 分）设集合 2 |230AxZ xx ， 1B ，0，1，2，则(AB ) A0，1 B0，1，2 C 1，0，1 D 1，0 2 （3 分）设复数z满足(1)2zii，i为虚数单位，则下列说法正确的是( ) A| 2z Bz的虚部是i Cz在复平面内所对应的点为(1,1) D1zi 3 （3 分）设函数( )

2、sincosf xxx，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x的图象关于直线 9 4 x 对称 C()f x的一个零点为 4 D( )f x在 3 (,) 44 ，上单调递减 4 （3 分）函数 1 (1)yln x x 的图象大致为( ) A B C D 5 （3 分）某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编 号，编号分别为 001，002，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12

3、23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45 第 2 页（共 20 页） 若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取数据，则得到的第 6 个样本编号( ) A478 B324 C535 D522 6 （3 分）设直线m，n和平面、，则的一个充分条件是( ) Amn，/ /m，/ /n Bm

4、n，m，n C/ /mn，n，m D/ /mn，m，n 7 （3 分）已知为圆周率，e为自然对数的底数，则( ) A3 ee B 22 33 ee C 3 loglogee D 3 log3logee 8 （3 分）已知三点(2,0)A，(1, 3)B，(3, 3)C，则ABC的外接圆的圆心到原点的距离 为( ) A 5 3 B 4 3 3 C 2 5 3 D 4 3 9 （3 分）已知双曲线C与双曲线 22 1 26 xy 有公共的渐近线，且经过点( 2, 3)P ，则双曲 线C的离心率为( ) A2 B 2 3 3 C4 D2 10 （3 分）在ABC中， 2 3 B ，3AB ，E为AB

5、的中点， 3 3 8 BCE S，则AC等于( ) A13 B10 C7 D3 11 （3 分）已知向量a，b满足| 1a ，| 2b ，则|abab的取值范围是( ) A( 2,2) B 2，4 C( 4,2) D 2，2 12 （3 分）如图，棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，M是线段 1 A B上的动点，则下列 结论正确的是( ) 异面直线AD与 1 CB所成的角为45 11 DCD M 三棱锥 1 MDCC的体积为定值 1 AMMD的最小值为 2 第 3 页（共 20 页） A B C D 二、填空题：二、填空题： 13 （3 分） 如图所示， 在边长为 2 的正方

6、形中随机撒 1500 粒豆子， 有 300 粒落到阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为 14 （3 分） 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有圆 窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为： “有圆柱形容器，底面圆周长五丈 四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米” （古制 1 丈10尺，1 斛1.62立方尺，圆周率 3)，则该圆柱形容器能放米 斛 15 （3 分）现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界 第一运动” 早在 2000 多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠” ，后来经过阿 拉伯人传到欧洲，发展成现代足球186

7、3 年 10 月 26 日，英国人在伦敦成立了世界上第一 个足球运动组织 英国足球协会，并统一了足球规则人们称这一天是现代足球的诞生 日如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五 边形和正六边形都称为足球的面， 任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱 已知足球表面中 的正六边形的面为 20 个，则该足球表面中的正五边形的面为 个，该足球表面的棱为 条 第 4 页（共 20 页） 16 （3 分） 已知函数 2 (0) ( ) (0) xx eem x f x xe x 的图象上存在两点关于y轴对称，则实数mm 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程

8、或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答，第题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题 17 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ，PD 平 面A B C D，ABCD是 平 行 四 边 形 ， 2ACABAD，AC、BD交于点O，E是PB上一点 （1）求证：ACDE； （2）已知3PD ，若E为PB的中点，求三棱锥EPCD的体积 18已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 21(2) nn aan （1）求证：1 n a

9、 为等比数列，并求数列 n a的通项公式； （2）若数列 nn ab是首项为 1，公差为 3 的等差数列，求数列 n b的前n项和 192017 年 3 月 18 日，国务院办公厅发布了生活垃圾分类制度实施方案 ，我市环保部 门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查， 每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台 参与， 但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样， 得到参与网络问卷调查的 100 人的得分 第 5 页（共 20 页） （满分按 100 分计）数据，统计结果如表 组别 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 女 2 4 4 15 21 9 男

10、1 4 10 10 12 8 （1）环保部门规定：问卷得分不低于 70 分的市民被称为“环保关注者” 请列出22列联 表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别 有关？ （2）若问卷得分不低于 80 分的人称为“环保达人” 现在从本次调查的“环保达人”中利 用分层抽样的方法随机抽取 5 名市民参与环保知识问答， 再从这 5 名市民中抽取 2 人参与座 谈会，求抽取的 2 名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率 附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.

11、15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20已知函数( )() x f xxa e （1）求函数( )f x的极值； （2）若( )f xf（1） ，证明： 32 111 ( ) 326 f xxxe 21已知P为椭圆 22 :1 54 xy S上的动点，PQx轴于Q，M为PQ的中点，设点M的 轨迹为T （1）求曲线T的方程； （2）若点( 5,0)A，直线(0)ykx k与曲线T交于C，D两点，与椭圆S交于E，F两 点，问是否存在与k无关的实数l，使得 ACAF AE

12、AD kk kk 成立，若存在求出的值；若不存在请 说明理由( AC k， AE k， AF k， AD k分别表示直线AC，AE，AF，AD的斜率） （二）选考题（二）选考题选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 4 3cos2 ，以极点为原点，以极轴所在直 线为x轴建立直角坐标系，曲线C分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于点A，B，P为直线 第 6 页（共 20 页） AB上任意一点，点Q在射线OP上运动，且| |2OPOQ （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求点Q轨迹围成的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数

13、( ) |3|f xxmxm， * mN，存在实数x，使得( )4f x 成立 （1）求不等式( ) 2f xx的解集； （2）若3a，3b，且满足f（a）f（b）12，求证： 419 10ab 第 7 页（共 20 页） 2019-2020 学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（文科）学年内蒙古赤峰市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1 （3 分）设集合 2 |230AxZ xx ， 1B ，0，1，2，则(AB ) A0

14、，1 B0，1，2 C 1，0，1 D 1，0 【解答】解：| 130AxZx ，1，2； 0AB，1，2 故选：B 2 （3 分）设复数z满足(1)2zii，i为虚数单位，则下列说法正确的是( ) A| 2z Bz的虚部是i Cz在复平面内所对应的点为(1,1) D1zi 【解答】解：由(1)2zii，得 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii z在复平面内所对应的点为(1,1) 故选：C 3 （3 分）设函数( )sincosf xxx，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B( )f x的图象关于直线 9 4 x 对称 C()f x的一个零点为 4 D(

15、 )f x在 3 (,) 44 ，上单调递减 【解答】解：因为( )sincos2sin() 4 f xxxx ， 结合周期公式可知2T，故A错误； 结合正弦函数的对称性可知，当 9 4 x 时，函数值为 0，不是最值，不符合对称轴处取得最 值的条件，故B错误； 由于 3 ()2sin() 4 f xx ，当 4 x 时，函数值为 0， 即 4 为()f x的一个零点，故C 第 8 页（共 20 页） 正确； 结合正弦函数的性质可知，函数( )f x在( 4 ， 3 ) 4 上单调递增，故D错误 故选：C 4 （3 分）函数 1 (1)yln x x 的图象大致为( ) A B C D 【解答

16、】解：由于函数 1 (1)yln x x 在( 1,0)，(0,)单调递减，故排除B，D， 当1x 时，120yln ，故排除C， 故选：A 5 （3 分）某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编 号，编号分别为 001，002，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23

17、 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取数据，则得到的第 6 个样本编号( ) A478 B324 C535 D522 【解答】 解： 第 6 行第 6 列的数开始的数为 808， 不合适， 436， 789 不合适， 535， 577， 348， 994 不合适，837 不合适，522，535 重复不合适，478 合适 则满足条件的 6 个编号为 436，535，577，348，522

18、，478， 则第 6 个编号为 478， 故选：A 6 （3 分）设直线m，n和平面、，则的一个充分条件是( ) Amn，/ /m，/ /n Bmn，m，n 第 9 页（共 20 页） C/ /mn，n，m D/ /mn，m，n 【解答】解：Amn，/ /m，/ /n，则不一定成立； Bmn，m，n，则不一定成立； C/ /mn，n，m，根据面面垂直的判定定理可知正确 D/ /mn，m，n，不一定成立 故选：C 7 （3 分）已知为圆周率，e为自然对数的底数，则( ) A3 ee B 22 33 ee C 3 loglogee D 3 log3logee 【解答】解：已知为圆周率，e为自然对数

19、的底数，2e，()1 3 e ，3 ee ， 故A错误； 3 01 ，120e， 2 33 ()e ， 22 33 ee ，故B错误； 3， 3 loglogee ，故C错误； 由3，可得 3 loglogee ， 3 log3logee ，故D正确， 故选：D 8 （3 分）已知三点(2,0)A，(1, 3)B，(3, 3)C，则ABC的外接圆的圆心到原点的距离 为( ) A 5 3 B 4 3 3 C 2 5 3 D 4 3 【解答】解：根据题意，设ABC的外接圆的圆心为M， 又由(1, 3)B，(3, 3)C，则M在线段BC的垂直平分线上，则设C的坐标为(2, ) t， 则有 2222

20、(22)(0)(2 1)(3)tt， 解可得： 2 3 3 t ，故圆心的坐标为 2 3 (2,) 3 ， 则 44 3 |4 33 OC ； 故选：B 9 （3 分）已知双曲线C与双曲线 22 1 26 xy 有公共的渐近线，且经过点( 2, 3)P ，则双曲 第 10 页（共 20 页） 线C的离心率为( ) A2 B 2 3 3 C4 D2 【解答】解：根据题意，双曲线C与双曲线 22 1 26 xy 有公共的渐近线，设双曲线C的方程 为 22 26 xy t，(0)t ， 又由双曲线C经过点( 2, 3)P ，则有 1 2 2 t，则 3 2 t ， 则双曲线的C的方程为 22 3 2

21、62 xy ，即： 22 1 39 xy ，其焦距2 3c ，3a ， 所以双曲线的离心率为：2 c e a 故选：D 10 （3 分）在ABC中， 2 3 B ，3AB ，E为AB的中点， 3 3 8 BCE S，则AC等于( ) A13 B10 C7 D3 【解答】解：由题意可知在BCE中， 2 3 B ， 3 2 BE ， BCE的面积 11333 3 sin 22228 SBCBEBBC， 解得1BC ，在ABC中由余弦定理可得： 22222 1 2cos3123 1 ()13 2 ACABBCAB BCB ， 13AC， 故选：A 11 （3 分）已知向量a，b满足| 1a ，| 2

22、b ，则|abab的取值范围是( ) A( 2,2) B 2，4 C( 4,2) D 2，2 【解答】解：| 1,| 2ab， 1 | 3baabab剟，1 | 3baabab剟， 1 | 3, 3|1abab剟剟， 第 11 页（共 20 页） 2 |2abab剟， |abab的取值范围是 2，2 故选：D 12 （3 分）如图，棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，M是线段 1 A B上的动点，则下列 结论正确的是( ) 异面直线AD与 1 CB所成的角为45 11 DCD M 三棱锥 1 MDCC的体积为定值 1 AMMD的最小值为 2 A B C D 【解答】 解： 由

23、题意可知， 异面直线AD与 1 CB所成的角， 就是直线BC与 1 CB所成的角为45， 所以正确； 因为 1 AB 平面 11 A D B，所以 11 DCD M，所以正确； 因为 1 DCC的面积是定值，M到平面 1 DCC的距离是定值，所以三棱锥 1 MDCC的体积为 定值，所以正确； 把三角形 1 ABA，沿 1 A B折起，与 11 ADCB在一个平面内，连接 1 AD， （图形中红色虚线） 此时 1 AD的距离就是 1 AMMD的最小值为： 22 2 112 1 1 ()222 2 ，所以 不正确； 故选：A 第 12 页（共 20 页） 二、填空题：二、填空题： 13 （3 分）

24、 如图所示， 在边长为 2 的正方形中随机撒 1500 粒豆子， 有 300 粒落到阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为 4 5 【解答】解：正方形的面积4S ，设阴影部分的面积为S， 随机撒 1500 粒豆子，有 300 粒落到阴影部分， 几何槪型的概率公式进行估计得 300 41500 S ， 即 4 5 S ， 故答案为： 4 5 14 （3 分） 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有圆 窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为： “有圆柱形容器，底面圆周长五丈 四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米” （古制 1 丈10尺，1 斛1.62立方尺，圆

25、周率 3)，则该圆柱形容器能放米 2700 斛 【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则254r，9r ， 故米堆的体积为 2 9184374立方尺， 1斛米的体积约为 1.62 立方尺， 43741.622700斛， 故答案为 2700 15 （3 分）现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界 第 13 页（共 20 页） 第一运动” 早在 2000 多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠” ，后来经过阿 拉伯人传到欧洲，发展成现代足球1863 年 10 月 26 日，英国人在伦敦成立了世界上第一 个足球运动组织 英国足球协会，并统一了足球规则人们称这一天是现

26、代足球的诞生 日如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五 边形和正六边形都称为足球的面， 任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱 已知足球表面中 的正六边形的面为 20 个，则该足球表面中的正五边形的面为 12 个，该足球表面的棱为 条 【解答】解：简单多面体的顶点数V，面数F与棱数E间有关系式2VFE， 设该足球表面中的正五边形的面为x个，正六边形的面为y个， 则Fxy，5Vx， 3 5 2 Exy， 3 5()(5)2 2 xxyxy， 化简，得24xy， 正五边形的边有两种算法： 单从正五边形看，这x个正五边形共有5x条边， 从正六边形的角度看，每个正六边

27、形有 3 条边是正五边形的边， y个正六边形有6y条边，共中正五边形的边的总数为： 3 63 6 yy， 53xy 联立 24 53 xy xy ，解得12x ，20y ， 该足球表面中的正五边形的面为 12 个， 该足球表面的棱为 3 590 2 Exy个 故答案为：12，90 第 14 页（共 20 页） 16 （3 分） 已知函数 2 (0) ( ) (0) xx eem x f x xe x 的图象上存在两点关于y轴对称，则实数mm 的取值范围是 (2,)e 【解答】解：函数 2 (0) ( ) (0) xx eem x f x xe x 图象上存在两点关于y轴对称， 则函数 2 yx

28、e的图象关于y轴对称变换后，与 xx yeem ，0x 的图象有交点， 即 2xx eemxe 有正根， 即 2xx mxeee 有正根， 令 2 ( ) xx g xxeee ， 则( )2 xx g xxee； 0x ； ( )0g x ； 所以 2 ( ) xx g xxeee 单调递增； ( )(0)2g xge； 实数m的取值范围是(2,)e 故答案为：(2,)e 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答，第题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生

29、根据要求作答 （一）必考题题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题 17 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ，PD 平 面A B C D，ABCD是 平 行 四 边 形 ， 2ACABAD，AC、BD交于点O，E是PB上一点 （1）求证：ACDE； （2）已知3PD ，若E为PB的中点，求三棱锥EPCD的体积 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）证明：PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，PDAC 又ABCD为菱形，BDAC 又BDPDD，AC平面PBD，DE 平面PBD， ACDE （2）由（1）知CA 平面PBD， 所以 2 111133 3 22 244342 E

30、 PCDC PDEC PDBP ABCD VVVV 18已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 21(2) nn aan （1）求证：1 n a 为等比数列，并求数列 n a的通项公式； （2）若数列 nn ab是首项为 1，公差为 3 的等差数列，求数列 n b的前n项和 【解答】解： （1）依题意，由 1 21(2) nn aan ，可得 1 2(1)1 nn aa ， 即 1 1 1(1) 2 nn aa ， 又 1 1 10 2 a ， 1 n a是以 1 1 1 2 a 为首项，公比为 1 2 的等比数列 1 11 1( ) 22 n n a ， 1 ( )1 2 n n a

31、，*nN （2）由已知得1(1)332 nn abnn ， 1 ( )1 2 n n a ， 11 (32)(32)( )1(31)( ) 22 nn nn bnann 数列 n b的前n项和为 2 12 111 (2)(5( ) )(31)( ) 222 n n bbbn 2 111 (25(31)( )( ) 222 n n 2 11 1( ) 2(31)31 22 1( ) 1 222 1 2 n n nnnn 第 16 页（共 20 页） 192017 年 3 月 18 日，国务院办公厅发布了生活垃圾分类制度实施方案 ，我市环保部 门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查， 每位市民都可

32、以通过电脑网络或手机微信平台 参与， 但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样， 得到参与网络问卷调查的 100 人的得分 （满分按 100 分计）数据，统计结果如表 组别 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 女 2 4 4 15 21 9 男 1 4 10 10 12 8 （1）环保部门规定：问卷得分不低于 70 分的市民被称为“环保关注者” 请列出22列联 表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别 有关？ （2）若问卷得分不低于 80 分的人称为“环保达人” 现在从本次调查的“环保达人”中利 用分层

33、抽样的方法随机抽取 5 名市民参与环保知识问答， 再从这 5 名市民中抽取 2 人参与座 谈会，求抽取的 2 名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率 附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）22列联表如下： 非“环保关注者” “环保关注者” 合计 女 10 45 55 男 15 30 45 合计 25 75 1

34、00 将22列 联 表 中 的 数 据 代 入 公 式 计 算 ， 得 2 K的 观 测 值 2 2 100 (45 1530 10)300 3.0302.706 25 75 55 4599 K ， 所以在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有 关的； （2）由题意可知，利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3 人，男“环保达人”2 人 设女“环保达人”3 人分别为A，B，C；男“环保达人”2 人为D，E 第 17 页（共 20 页） 从中抽取两人的所有情况为：( , )A B，( ,)A C，( ,)A D，( ,)A E，( ,)B C，( ,)B

35、D，( ,)B E， ( ,)C D，( ,)C E，( ,)D E，共0l种情况 既有女 “环保达人” 又有男 “环保达人” 的情况有( ,)A D，( ,)A E，( ,)B D，( ,)B E，( ,)C D， ( ,)C E，共 6 种情况 故所求概率为 63 105 P 20已知函数( )() x f xxa e （1）求函数( )f x的极值； （2）若( )f xf（1） ，证明： 32 111 ( ) 326 f xxxe 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域为(,) ， 由( )() x f xxa e，得( )(1) x fxxae， 由( )0fx得( )f x在

36、(1,)a 上为增函数， 由( )0fx得( )f x在(,1)a上为减函数， 所以， 1 ( )1 a f xf ae 极小值 ，无极大值 （2）由( )f xf（1）知( )minf xf（1） ，则 1 为( )f x极小值点， 由（1）知11a ，则2a ，( )(2) x f xxe， 令 3232 1111 ( )( )(2) 3232 x g xf xxxxexx， 则( )(1)() x g xxex， x ye的图象在yx图象的上方， 0 x ex，( )01g xx，( )01g xx， ( )g x在(,1)为减函数，在(1,)为增函数， 1 ( )(1) 6 g xge

37、，即 32 111 ( ) 326 f xxxe 21已知P为椭圆 22 :1 54 xy S上的动点，PQx轴于Q，M为PQ的中点，设点M的 轨迹为T （1）求曲线T的方程； （2）若点( 5,0)A，直线(0)ykx k与曲线T交于C，D两点，与椭圆S交于E，F两 第 18 页（共 20 页） 点，问是否存在与k无关的实数l，使得 ACAF AEAD kk kk 成立，若存在求出的值；若不存在请 说明理由( AC k， AE k， AF k， AD k分别表示直线AC，AE，AF，AD的斜率） 【解答】解： （1）设 0 (P x， 0) y，( , )M x y，由题意得 0 0 2 x

38、x yy ， 又P在椭圆S上，代入得 22 1 54 xy ， 故曲线T的方程为 2 2 1 5 x y （2）要使 ACAF AEAD kk kk 成立，只要 ACADAEAF kkkk成立即可， 设( C C x，) C y，( C Dx，) C y，( E E x，) E y，( E Fx，) E y， 又已知点(5,0)A，得 2 2 555 CCC ACAD C CC yyy kk xxx ， 2 2 555 EEE AEAF E EE yyy kk xxx ， 因为( C C x，) C y在椭圆 2 2 1 5 x y上，所以 2 2 1 5 C C x y ， 因为( E E

39、x，) E y在椭圆 22 1 54 xy 上， 所以 2 2 2(1) 5 E E x y ， 1 5 ACAD kk ， 4 5 AEAF kk ， 因为 ACADAEAF kkkk，所以 1 4 故存在与k无关的实数 1 4 ，使得 ACAF AEAD kk kk 成立 （二）选考题（二）选考题选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 4 3cos2 ，以极点为原点，以极轴所在直 线为x轴建立直角坐标系，曲线C分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于点A，B，P为直线 AB上任意一点，点Q在射线OP上运动，且| |2OPOQ （1）求曲线C

40、的直角坐标方程； （2）求点Q轨迹围成的面积 【解答】解： （1） 2 4 3cos2 ， 2222 3(cossin)4 第 19 页（共 20 页） 由cosx，siny，得 22 22xy 曲线C的直角坐标方程 2 2 1 2 x y （2）由（1）知( 2,0)A，(0,1)B， 则直线AB的直角坐标方程为220xy， 极坐标方程为cos2 sin20 在极坐标系中，设( , )Q ，(, )P ，则2 点P在直线AB上， cos2sin20， 22 cossin20 ， 即cos2sin，即 2 cos2 sin 点Q轨迹的直角坐标方程为 22 20xyxy， 即 22 123 ()

41、() 224 xy， 点Q的轨迹为半径为 3 2 的圆，圆的面积为 3 4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数( ) |3|f xxmxm， * mN，存在实数x，使得( )4f x 成立 （1）求不等式( ) 2f xx的解集； （2）若3a，3b，且满足f（a）f（b）12，求证： 419 10ab 【解答】解： （1）由已知得|3|()(3 )| 2| 4xmxmxmxmm， 又 * mN， 1m， ( ) |1|3|2f xxxx等价于 1 24 2 x xx 或 13 2 2 x x 或 3 24 2 x xx 解得1x 或13x或3x， 第 20 页（共 20 页） 所以不等式( ) 2f xx的解集为1，) （2）证明：由（1）知f（a）f（b）|1|3|1|3|aabb， 3a，3b， f（a）f（b）22812ab，即：10ab， 4114114149 ()()(5)(52) 10101010 bab a ab abababa b 所以当且仅当 4ba ab 时等号成立，即 20 3 a ， 10 3 b 时等号成立