2019-2020学年浙江省绍兴市上虞区高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2019-2020 学年浙江省绍兴市上虞区高三（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市上虞区高三（上）期末数学试卷 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分） 设全集1U ， 2， 3， 4， 5，6， 集合2A， 3，5，3B ， 4，6， 则()( UA B ) A3 B4，6 C1，3，4，6 D2，3，4，5，6 2 （4 分）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的离心率为 5 3 ，且其实轴长为 6，则双曲线C的方程为 ( ) A 22 1 916 xy B 22 1 169 xy C 22 1 34 xy D

2、 22 1 43 xy 3 （4 分）已知随机变量X的分布列（见表） ，21YX，则( )(E Y ) X 1 0 1 P 1 2 1 3 a A 1 3 B 5 3 C 7 3 D2 4 （4 分）若实数x，y满足约束条件 20 3 0 20 xy xy xy ，则2zxy的最大值是( ) A0 B3 C4 D5 5 （4 分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ 1 () 2 abc”是“A为 锐角”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 6 （4 分）函数 2 x xx y e 的大致图象是( ) A B 第 2 页（共 22

3、页） C D 7 （4 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原点，P 为第一象限内椭圆上的一点，且 12 4 FPF ，直线 1 PF交y轴于点M，若 12 | 2|FFOM， 则该椭圆的离心率为( ) A 3 3 B 10 4 C21 D 21 3 8 （4 分）若函数( ) |1|2|f xxxa的最小值为 3，则实数a的值为( ) A5 或 8 B1或 5 C1或4 D4或 8 9 （4 分）已知数列 n a中， 1 2a ，若 2 1nnn aaa ， 12 12 222 111 m m m aaa S aaa ，若 2

4、020 m S，则正整数m的最大值为( ) A1009 B1010 C2019 D2020 10 （4 分）在棱长均为2 3的正四面体ABCD中，M为AC的中点，E为AB的中点，P是 DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则APPQ的最小值是( ) A 311 2 B32 C 5 3 4 D2 3 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分 11 （6 分）已知复数 2 ( 1 i zi i 为虚数单位） ，则z ，| z 12 （6 分）已知方程为 22 20xyxaya的圆关于直线40xy对称，则圆的半径 第 3 页（共 22 页） r ，若过

5、点(1,0)M作该圆的切线，切点为A，则线段MA长度为 13 （6 分）某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图 为等腰直角三角形，则其体积为 ，表面积为 14 （6 分）若 2 1 (3)nx x 展开式中的各项系数之和为 1024，则n ，常数项为 15 （4 分）已知集合0AB，1，2，9，:fAB为从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域的不同情况有 种 16 （4 分）如图，已知 22 :(2)(2)1Cxy，ABD为圆C的内接正三角形，M为边BD 的中点，当ABD绕圆心C转动，同时N在边AB上运动时，ON CM的最大值是 17（4 分） 若关于x的

6、方程 1 | 2xaa x 恰有三个不同的解， 则实数a的取值范围为 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）已知函数 2 313 ( )cossin(0) 2244 x f xx 的图象如图所示，其中A为 图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且ABC为等腰直角三角形 （1）求的值及( )f x的单调递增区间； 第 4 页（共 22 页） （2）设 1 ( )( )() 3 g xf xf x，求函数( )g x在区间 1 1 , 2 3 上的最大值及此时x的值 19 （15 分） 已知斜三棱柱 111 ABCABC， 2 ABC ， 1 ACBC， 1

7、 2BCBA，1BC ， 1 2 3AC （1）求 1 AA的长； （2）求 1 AA与面ABC所成的角的正切值 20 （15 分）在数列 n a中，已知 1 1a ， 1 21 n nn aa （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）记(1) nn ban，且数列 n b的前n项和为 n S，若 2 S为数列 n S中的最小项，求 的取值范围 21 （ 15分 ） 已 知 抛 物 线 2 1: 2(0)Cypx p， 圆 222 2: (0 )Cxyrr， 直 线 :(0)l ykxm m与抛物线 1 C相切于点A，且与圆 2 C相切于点B （1）当2r ，1k 时，求直线l方程与抛

8、物线 1 C的方程； （2）设F为抛物线 1 C的焦点，FAB，FOB的面积分别为 1 S， 2 S，当 2 1 S S 取得最大值时， 第 5 页（共 22 页） 求实数 2 2 r p 的值 22 （15 分）已知函数 2 ( )(2) x a f xx ea a （1）若1a ，求函数( )f x的单调区间及极值； （2）当0x 时，函数( )1f x（其中0)a 恒成立，求实数a的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年浙江省绍兴市上虞区高三（上）期末数学试卷学年浙江省绍兴市上虞区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：每小题一、

9、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分） 设全集1U ， 2， 3， 4， 5，6， 集合2A， 3，5，3B ， 4，6， 则()( UA B ) A3 B4，6 C1，3，4，6 D2，3，4，5，6 【解答】解：因为：全集1U ，2，3，4，5，6，集合2A，3，5， 所以：1 UA ，4，6 因为3B ，4，6， 则()1 UA B ，3，4，6， 故选：C 2 （4 分）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的离心率为 5 3 ，且其实轴长为 6，则双曲线C的方程为 ( ) A 22 1 916 xy B 22 1 169 xy C 22 1 34 xy

10、D 22 1 43 xy 【解答】解：双曲线 22 22 :1 xy C ab 的离心率为 5 3 ，且其实轴长为 6， 可得 5 3 c e a ，26a ，即有3a ，5c ，2594b ， 则双曲线的方程为 22 1 916 xy ， 故选：A 3 （4 分）已知随机变量X的分布列（见表） ，21YX，则( )(E Y ) X 1 0 1 P 1 2 1 3 a A 1 3 B 5 3 C 7 3 D2 【解答】解：由随机变量X的分布列得： 11 1 23 a，解得 1 6 a ， 1111 ()10( 1) 2363 E X 第 7 页（共 22 页） 15 ( )2 ()121 33

11、 E YE X 故选：B 4 （4 分）若实数x，y满足约束条件 20 3 0 20 xy xy xy ，则2zxy的最大值是( ) A0 B3 C4 D5 【解答】解：由2zxy，得 11 22 yxz ，作出不等式对应的可行域， 平移直线 11 22 yxz ， 由平移可知当直线 11 22 yxz 经过点B时， 直线 11 22 yxz 的截距最大，此时z取得最大值， 由 20 30 xy xy ，解得(1,2)A， 将(1,2)A，代入2zxy， 得1225z 故选：D 5 （4 分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ 1 () 2 abc”是“A为 锐角”的( ) A

12、充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 【解答】解：ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 第 8 页（共 22 页） A为锐角 222 bca， “ 1 () 2 abc” 2222 11 ()() 42 abcbc剟 “ 1 () 2 abc”是“A为锐角”的充分不必要条件 故选：A 6 （4 分）函数 2 x xx y e 的大致图象是( ) A B C D 【解答】解：函数 2 x xx y e 的导数为 2 1 x xx y e ， 令0y，得 15 2 x ， 15 (,) 2 x 时，0y， 15 15 (,) 22 x 时，0y， 15

13、 (,) 2 x 时，0y 函数在 15 (,) 2 ， 15 (,) 2 递减，在 15 15 (,) 22 递增 且0x 时，0y ， 故选：D 7 （4 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原点，P 为第一象限内椭圆上的一点，且 12 4 FPF ，直线 1 PF交y轴于点M，若 12 | 2|FFOM， 则该椭圆的离心率为( ) A 3 3 B 10 4 C21 D 21 3 【解答】解：如图， 由 12 | 2|FFOM，得 2 | |OFOMc， 在 1 Rt MOF中，可得 1 tan1MFO，即 12 45PFF

14、， 第 9 页（共 22 页） 则 21 | 22 22PFPFacc，即 1 21 21 c e a 故选：C 8 （4 分）若函数( ) |1|2|f xxxa的最小值为 3，则实数a的值为( ) A5 或 8 B1或 5 C1或4 D4或 8 【解答】解：1 2 a 时， 2 a x ，( )12311 2 a f xxxaxa ； 1 2 a x剟，( )1211 2 a f xxxaxa ； 1x ，( )12312f xxxaxaa ， 13 2 a 或23a ， 8a或5a ， 5a 时，12 2 a a ，故舍去； 1 2 a 时，1x ，( )12312f xxxaxaa ；

15、 1 2 a x剟，( )1211 2 a f xxxaxa ； 2 a x ，( )12311 2 a f xxxaxa ， 23a 或13 2 a ， 1a 或4a ， 1a 时，12 2 a a ，故舍去； 综上，4a 或 8 故选：D 9 （4 分）已知数列 n a中， 1 2a ，若 2 1nnn aaa ， 12 12 222 111 m m m aaa S aaa ，若 第 10 页（共 22 页） 2020 m S，则正整数m的最大值为( ) A1009 B1010 C2019 D2020 【解答】解：由 1 2a ， 2 1nnn aaa ，得 1 (1) 6 nnn aa

16、a ， 1 1111 (1)1 nnnnn aa aaa ， 1 111 1 nnn aaa ， 则 12122311 111111111111 ()()()(0, ) 11122 nnnn aaaaaaaaaa ， 1 1 1 nn nn aa aa ， 12 1211 11212 2()22()21212 111233 m m mmm aaa Smmmm aaaaa ， 2020 m S ， 2 22020 3 m， 1 1010 3 m， 正整数m的最大值为 1010， 故选：B 10 （4 分）在棱长均为2 3的正四面体ABCD中，M为AC的中点，E为AB的中点，P是 DM上的动点，Q

17、是平面ECD上的动点，则APPQ的最小值是( ) A 311 2 B32 C 5 3 4 D2 3 【解答】解：由题意，平面CDE 平面ABC， 又平面CDE平面ABCCE，过M作MGCE， 第 11 页（共 22 页） 则MG 平面CDE，连接DG，则DG为DM在平面CDE上的射影， 要使APPQ最小，则PQDG，沿DM把平面ADM展开，使得平面ADM与平面DMG 重合， 则APPQ的最小值为A到DG的距离 13 22 MGAE， 22 (2 3)( 3)3DM ，则 3 sin 6 MDG， 33 cos 6 MDG， 30ADM， sinsin(30 )sincos30cossin30A

18、DGMDGMDGMDG 33331333 626212 又2 3AD ， 333113 2 3 122 AQ 故选：A 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分 11 （6 分）已知复数 2 ( 1 i zi i 为虚数单位） ，则z 1i ，| z 【解答】解： 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii ， 1zi ；|2z 故答案为：1i ；2 12 （6 分） 已知方程为 22 20xyxaya的圆关于直线40xy对称， 则圆的半径r 第 12 页（共 22 页） 3 ，若过点(1,0)M作该圆的切线，切点为A，则线段MA长度

19、为 【解答】解：圆标准方程可化为 2 22 (1)()1 24 aa xya， 所以圆心( 1,) 2 a 在直线40xy上，代入解得8a ，所以 2 13 4 a ra， 则圆的方程为 22 (1)(4)9xy，圆心( 1,4)C 当直线为1x 时，明显与圆不相切， 因为直线MA与圆相切，故MAAC， 所以 22 20911MAMCr， 故答案 3，11 13 （6 分）某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图 为等腰直角三角形，则其体积为 4 3 ，表面积为 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为四棱锥PABCD，ABCD是边长为 2 的正方形， 第

20、 13 页（共 22 页） 侧面PAB为等腰直角三角形，2PAPB，侧面PAB 底面ABCD， 14 22 1 33 P ABCD V ； 表面积 111 222222226152 25 222 S 故答案为： 4 3 ；52 25 14 （6 分）若 2 1 (3)nx x 展开式中的各项系数之和为 1024，则n 5 ，常数项为 【解答】解： 2 1 (3)nx x 中，令1x 得到展开式的各项系数和为41024 n 解得5n ， 其通项公式为： 5 5 55 2 155 2 1 (3)()3 r rrrrr r Txx x 痧； 令 55 01 2 r r ； 其常数项为： 41 5 3

21、405 故答案为：5，405 15 （4 分）已知集合0AB，1，2，9，:fAB为从集合A到集合B的一个函数， 那么该函数的值域的不同情况有 15 种 【解答】解：集合0AB，1，2，9，:fAB为从集合A到集合B的一个函数， 则值域的不同情况为 1234 4444 464 1 15CCCC 故答案为：15 16 （4 分）如图，已知 22 :(2)(2)1Cxy，ABD为圆C的内接正三角形，M为边BD 的中点， 当ABD绕圆心C转动， 同时N在边AB上运动时，ON CM的最大值是 1 2 4 第 14 页（共 22 页） 【解答】解：由题意可得ONOCCN， ()ON CMOCCN CMO

22、C CMCN CM 11 | | cos| cos 24 CN CMCNCMMCNCNMCN， 即N与B重合时取得最大值 1 4 ， OC CMCO CM ， 由圆 22 :(2)(2)1Cxy，得圆心(2,2)C，半径为 1， 则| 2 2CO ， 1 | 2 CM ， 可得| | cos,2, 2CO CMCOCMCO CM ON CM的最大值是 1 2 4 故答案为： 1 2 4 17 （4 分）若关于x的方程 1 | 2xaa x 恰有三个不同的解，则实数a的取值范围为 1，1 【解答】解：原题等价于方程 1 |2xaa x 恰有三个不同的解， 记( ) |f xxaa，则函数( )f

23、 x的图象是顶点( ,)aa在直线yx 的“V”型函数，作出 图象如下图所示， 第 15 页（共 22 页） 直线（蓝色）与函数 1 2y x 的图象（红色）相切于点A，与函数 1 2y x 的图象（紫色） 相切于点B， 当点P（函数( )f x图象上的顶点）在直线yx 上运动时，当且仅当点P在线段AB上时 有三个交点，此时 1a ，1 故答案为： 1，1 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18 （14 分）已知函数 2 313 ( )cossin(0) 2244 x f xx 的图象如图所示，其中A为 图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且ABC为等腰直角三角形

24、（1）求的值及( )f x的单调递增区间； （2）设 1 ( )( )() 3 g xf xf x，求函数( )g x在区间 1 1 , 2 3 上的最大值及此时x的值 【解答】解：（1） 2 3133131 ( )sin(1cos)sincos() 224444426 x f xcosxxxx ， 故( )f x的振幅为 1 2 ，ABC为等腰直角三角形，所以 1 21 2 BC ， 所以2T ， 2 2 ， 1 ( )cos() 26 f xx ， 当2 6 xk ，22 k时函数( )f x递增，故( )f x的单调递增区间为 5 2 6 k ， 11 2 6 k ； （2） 11131

25、1333 ( )( )()cos()cos()cossinsincossincos() 326224424423 g xf xf xxxxxxxxx ， 在区间 1 1 , 2 3 上， 2 , 363 x ， 第 16 页（共 22 页） 当0 3 x ，即 1 3 x 时，( )g x有最大值 3 2 19 （15 分） 已知斜三棱柱 111 ABCABC， 2 ABC ， 1 ACBC， 1 2BCBA，1BC ， 1 2 3AC （1）求 1 AA的长； （2）求 1 AA与面ABC所成的角的正切值 【解答】解： （1）斜三棱柱 111 ABCABC， 2 ABC ， 1 ACBC，

26、ABBC，又 1 ACABA，BC平面 1 ABC， 1 BC 平面 1 ABC， 1 BCBC， 11/ / BCBC， 111 BCBC， 1 2BCBA，1BC ， 1 2 3AC 222222 111111 125AABBBCBCBCBC （2）延长AB，过 1 C作 1 C HAB于H， 由（1）知CB 平面 1 ABC，平面ABC 平面 1 ABC， 又面ABC面 1 ABCAB， 1 C HAB， 1 C H 面 1 ABC， 进而 1 C H 面ABC， 11 / /AACC，面/ /ABC面 111 A BC， 第 17 页（共 22 页） 1 AA与面ABC所成角即为 1

27、CC与面ABC所成角， 1 C CH为 1 CC与面ABC所成角， 在 1 ABC中， 1 120ABC， 1 3C H ，2CH ， 1 1 6 tan 2 C H C CH CH ， 1 AA与面ABC所成的角的正切值为 6 2 20 （15 分）在数列 n a中，已知 1 1a ， 1 21 n nn aa （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）记(1) nn ban，且数列 n b的前n项和为 n S，若 2 S为数列 n S中的最小项，求 的取值范围 【解答】解： （1）由 1 1a ， 1 21 n nn aa ， 得 1 21 21aa， 2 32 21aa， 3 43

28、 21aa， 1 1 21 n nn aa 1231 1 (2222)(1) n n aan ， 第 18 页（共 22 页） 1 2(12) 112 12 n n n ann ； （2）(1)2(1)2 nn nn bannnn， 前n项和为2482(1 23) n n Sn 2(12 )(1) 122 n n n ， 若 2 S为数列 n S中的最小项，则对 * nN 有 1 (1) 2263 2 n n n 恒成立， 即 22 216 (6) n nn 对 * nN 恒成立， 当1n 时，得2； 当2n 时，得0； 当3n时， 2 6(3)(2)0nnnn恒成立， 2 2 216 6 n

29、 nn 对3n 恒成立 令 2 2 216 ( ) 6 n f n nn ，则(1)( )0f nf n对3n 恒成立， 2 2 216 ( ) 6 n f n nn 在3n时为单调递增数列 f （3） ，即 8 3 ， 综上， 8 2 3 剟 21 （ 15分 ） 已 知 抛 物 线 2 1: 2(0)Cypx p， 圆 222 2: (0 )Cxyrr， 直 线 :(0)l ykxm m与抛物线 1 C相切于点A，且与圆 2 C相切于点B （1）当2r ，1k 时，求直线l方程与抛物线 1 C的方程； （2）设F为抛物线 1 C的焦点，FAB，FOB的面积分别为 1 S， 2 S，当 2

30、1 S S 取得最大值时， 求实数 2 2 r p 的值 第 19 页（共 22 页） 【解答】解： （1）由题意可知，设直线l的方程为0xym，且0m ， 由l与圆相切，可知2 2 m d ，解得2 2m ， 所以直线l的方程为2 20xy， 由 2 2 20 2 xy ypx ，所以 2 24 20ypyp，由0，解得4 2p ， 所以抛物线 1 C的方程 2 8 2yx； （2）解法一：联立方程组 2 2 ykxm ypx ，消去x，整理得 2 220kypypm， 令0，即 2 480pkpm，解得2pkm，即 2 p m k ，0k ， 此时切点 2 ( 2 p A k ，) p k

31、 ，直线方程为 2 p ykx k ，可得 2 2 1 p k r k ， 再有直线 2 p ykx k ， 联立圆的方程 2 22 22 4(1) p xy kk ， 解得 2 9 ( 2(1) B k ， 2 ) 2 (1) p kk ， 所以 22 22 22222 (12) 1 |()() 22(1)2 (1)2(1) pppppkk AB kkkkkkk ， F到AB的距离 2 1 2 pk d k ， 22222 1 223 11(12) 1112 | 222(1)28 pkkpkpk SAB d kkkk ， 2 2 22 11 2 2 2 (1)8(1) ppp S kkkk

32、， 第 20 页（共 22 页） 所以 2 2 22 2 1 2 11 32 2 1 (21)(1)32 2 32 Sk Skk k k ， 当且仅当 2 2 1 2k k ，即 2 2 2 k 时， 2 1 S S 的最大值为32 2， 此时 2 222 1121 4(1)22 22 r pkk 所以 2 2 r p 的值为 21 2 解法二： 设 1 (A x，1)y， 2 (B x， 2) y， 联立方程组 2 2 ykxm ypx ， 消去x， 整理得 2 220kypypm， 令0，即 2 480pkpm，解得2pkm，即 2 p m k ，0k ， 所以 1 p y k ， 直线A

33、B的方程为： 2 p ykx k ，所以该直线与x轴的交点为 2 ( 2 p Q k ，0)， 联立 2 1 p ykx k y k ，解得 2 2 2 (1) p y k k ， 22 112 2223 1112 ()()()() 2 222 222 (1)8 AQFBQF pppppppk SSSyy kkkk kk ， 2 22 2 11 2 28(1) pp Sy kk （下同解法一） 解法三：由解法二可得 2 ( 2 p Q k ，0)， 1 p y k ， 2 2 2 (1) p y k k ， 所以 22 222 22 1112 22 | |2 (1) 2 | |(21)(1)

34、222 (1) BQF BQF p p S SSyOFBQOFkk k pp pp SSSQFABQFyykk kkk k ， （下同解法一） 解法四：设 0 (A x， 0) y，则过点A的抛物线切线方程为 00 ()y yp xx， 所以该直线与x轴的交点为 0 (Qx，0)， 所以 0 | | 2 p QFAFx， 第 21 页（共 22 页） 取AQ中点M，则FMAQ， 设FBM，OBQ的面积 3 S， 4 S， 则 13324FBMFAM SSSSSSS ， 234314 2222 2 12 SSSSSS SSSS ， 因为OBAQ，FMAQ，所以/ /OBFM， 所以 0 3 20

35、0 | 2 1 |2 FBM OBM p x SSFMQFp SSOBQOxx ， 004 2 2| | 2 xxSQO p SOFp ， 所以 30014 22200 22 1212(1)332 2 2 SxxSSpp SSSxpxp ， 当且仅当 0 0 2xp xp ，即 0 2px，取等号， 所以 2 1 32 2 S S ， 所以 2 1 S S 的最大值为32 2， 直线 00 0pxy ypx与圆相切，所以 22 2200 2 22 0 0 () 2 pxp x r ppx py ， 所以 222 00 22 22 0 00 121 2222 222 2 xxr pppxxx 所

36、以 2 1 S S 取得最大值时， 2 2 r p 的为 21 2 第 22 页（共 22 页） 22 （15 分）已知函数 2 ( )(2) x a f xx ea a （1）若1a ，求函数( )f x的单调区间及极值； （2）当0x 时，函数( )1f x（其中0)a 恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）1a 时，函数( )1 x f xx e的导数为( ) xx f xexe ， 当1x 时，( )0fx，1x 时，( )0fx， 可得( )f x的增区间为(,1)，减区间为(1,)， ( )f x有极大值f（1） 1 1e，无极小值； （2）当0x 时，函数( )1f x（其中0)a 恒成立， 可得 2 (2)1 x a x ea a 对0x ，0a 恒成立，令 x t a ，可得xat， 即有(22)1 0 t ateata ，可得 21 1 t at ate ，设 21 ( ) t t g t te ， (21)(1) ( ) t tt g t te ，0t ， 可得( )g t在(0,1)递增，(1,)递减， 可得( )g t的最大值为g（1） 1 e ， 则 1 1 a ae ，解得 1 1 a e