2019-2020学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2019-2020 学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出分，在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项) 1 （5 分）设集合 |(3)(1)0Mxxx， |04Nxx，则(MN ) A(0,3) B( 1,4) C(0,1) D( 1,3) 2 （5 分）设复数 12 1 i z i ，则z在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3

2、 （5 分）若 3 log 0.2a ， 0.2 2b ， 2 0.2c ，则( ) Aacb Babc Ccab Dbca 4 （5 分）若1ba，则下列不等式一定正确的是( ) A2ab B2ab C 11 ab D2 ba ab 5 （5 分）抛物线 2 2(0)ypx p的焦点是双曲线 22 xyp的一个焦点，则(p ) A2 2 B8 C4 D1 6 （5 分）如图，一个简单空间几何体的主视图与左视图都是边长为 2 的正三角形，其俯视 图的轮廓为正方形，该几何体的侧面积是( ) A4 3 B4 34 C8 D12 7 （5 分）设非零向量a，b满足(2 )aba，则“| |ab”是“

3、a与b的夹角为 3 ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）当0x，1时，若函数 2 ( )(1)f xmx的图象与( ) | 2 m g xx的图象有且只有 第 2 页（共 17 页） 一个交点，则正实数m的取值范围是( ) A2，) B 5 (0,2,) 2 C 5 ,) 2 D(0，12，) 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分) 9 （5 分）sin() 6 10 （5 分）设 n S为公比1q 的等比数列 n a的前n项和，且 1 3a， 2 2a，

4、3 a成等差数列，则 q ， 4 2 S S 11 （5 分）若函数 2 ,0 ( ) 1,0 x ex f x xx ，则函数( )1yf x的零点是 12 （5 分）在ABC中，若8ac ，7ac， 3 B ，则b 13 （5 分）直线:1l ykx与圆 22 :1O xy相交于A，B两点，当AOB的面积达到最 大时，k 14 （5 分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记 为x，其函数图象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调 整方案，图（2） 、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象 给出下列四种说法： 图（2）对应的方案是

5、：提高票价，并提高成本； 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本 其中，正确的说法是 （填写所有正确说法的编号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15 （13 分）函数 2 3 ( )sincos3sin(0) 2 f xxxx的部分图象如图所示 （）求的值； 第 3 页（共 17 页） （）求( )f x在区间, 3 3 的最大值与最小值及对应的x的值 16（14 分）

6、 已知四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形，PD 平面ABCD，PDAB， E是PB的中点 （）求证：平面PBC 平面PCD； （）求二面角EADB的大小； （）试判断AE所在直线与平面PCD是否平行，并说明理由 17 （13 分）某学校高三年级有 400 名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使 用分层抽样的方法从中抽取了 100 名学生， 记录他们的分数， 将数据分成 7 组：30，40)， 40，50)，90，100，整理得到如图频率分布直方图： () I若该样本中男生有 55 人，试估计该学校高三年级女生总人数； （）若规定小于 60 分为“不及格” ，从该学校高三年级学

7、生中随机抽取一人，估计该学生 不及格的概率； （）若规定分数在80，90)为“良好” ， 90，100为“优秀” 用频率估计概率，从该 校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分 布列和数学期望 第 4 页（共 17 页） 18 （13 分）已知函数 2 ( )2f xxalnx，其中aR （）当2a 时，求曲线( )yf x在点(1A，f（1）)处的切线方程； （）若函数( )f x存在最小值Q，求证：1Q 19 （14 分）已知椭圆 22 :3412Cxy （）求椭圆C的离心率； （） 设A，B分别为椭圆C的左右顶点， 点P在椭圆C上， 直线AP，BP分

8、别与直线4x 相交于点M，N当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你 的结论 20 （13 分）若无穷数列 n a满足：只要 * ( ,) pq aap qN，必有 11pq aa ，则称 n a具有 性质P （）若 n a具有性质P，且 1 1a ， 2 3a ， 4 1a ， 678 19aaa，求 3 a； （）若无穷数列 n b是等差数列，无穷数列 n c是等比数列， 14 1bc， 41 64bc， nnn abc判断 n a是否具有性质P，并说明理由； （）设 n b是无穷数列，已知 * 1 sin() nnn aba nN 求证： “对任意 1 a， n a

9、都具有性 质P”的充要条件为“ n b是常数列” 第 5 页（共 17 页） 2019-2020 学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷学年北京市顺义区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出分，在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项) 1 （5 分）设集合 |(3)(1)0Mxxx， |04Nxx，则(MN ) A(0,3) B( 1,4) C(0,1) D( 1,3) 【解答】解： | 13Mxx ， |04N

10、xx， (0,3)MN 故选：A 2 （5 分）设复数 12 1 i z i ，则z在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： 12(12 )(1)13 1(1)(1)22 iii zi iii ， z在复平面内对应的点的坐标为 1 ( 2 ， 3) 2 ，在第二象限 故选：B 3 （5 分）若 3 log 0.2a ， 0.2 2b ， 2 0.2c ，则( ) Aacb Babc Ccab Dbca 【解答】解： 3 log 0.20a ， 0.2 21b ， 2 0.2(0,1)c ， acb 故选：A 4 （5 分）若1ba，则下列不等式一

11、定正确的是( ) A2ab B2ab C 11 ab D2 ba ab 【解答】解：当 63 42 b ， 5 4 a 时， 15 2 8 ab ；故A错； 此时 11 2 4 ab，故B错； 而 1412 53ab ，故C错； 因为：0a ，0b ，2 ab ba ，而ab，所以2 ab ba ，故D 对 第 6 页（共 17 页） 故选：D 5 （5 分）抛物线 2 2(0)ypx p的焦点是双曲线 22 xyp的一个焦点，则(p ) A2 2 B8 C4 D1 【解答】解：抛物线 2 2(0)ypx p的焦点是双曲线 22 xyp的一个焦点， 可得2 2 p p，解得8p 故选：B 6

12、（5 分）如图，一个简单空间几何体的主视图与左视图都是边长为 2 的正三角形，其俯视 图的轮廓为正方形，该几何体的侧面积是( ) A4 3 B4 34 C8 D12 【解答】解：由已知中几何体的三视图中， 正视图与侧视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图轮廓为正方形 可得这个几何体是一个正四棱椎， 且底面的棱长为 2，棱锥的高为3，其侧高为 2 则棱锥的侧面积 1 4228 2 S 故选：C 7 （5 分）设非零向量a，b满足(2 )aba，则“| |ab”是“a与b的夹角为 3 ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】 解： 2 (

13、2 )(2 )|2|cos,0abaab aaa ba b| 2|cos,aba b， 由| |ab，得 1 cos, 2 a b，则a与b的夹角为 3 ； 第 7 页（共 17 页） 反之，由a与b的夹角为 3 ，得| |ab 非零向量a，b满足(2 )aba，则“| |ab”是“a与b的夹角为 3 ”的充分必要条 件 故选：C 8 （5 分）当0x，1时，若函数 2 ( )(1)f xmx的图象与( ) | 2 m g xx的图象有且只有 一个交点，则正实数m的取值范围是( ) A2，) B 5 (0,2,) 2 C 5 ,) 2 D(0，12，) 【解答】解：因为由于m为正数，所以 2

14、( )(1)f xmx为二次函数， 在区间 1 (0,) m 为减函数， 1 (,) m 为增函数， 函数( ) | 2 m g xx为增函数，( ),1 22 mm g x 当01m 时， 1 1 m ，在区间0，1上( )f x为减函数， ( )f x值域为 2 (1)m，1，此时两个函数的图象有 1 个交点，符合题意； 当1m 时，有 1 1 m ，( )f x在区间 1 (0,) m 为减函数， 1 (,1) m 为增函数， 若两个函数的图象有 1 个交点，则有 2 (1)1 2 m m 或1 2 m ， 所以 5 2 m或2m，又1m ，所以 5 2 m或12m， 综上，m的取值范围

15、是 5 (0,2,) 2 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分) 9 （5 分）sin() 6 1 2 【解答】解： 1 sin()sin 662 故答案为： 1 2 10 （5 分）设 n S为公比1q 的等比数列 n a的前n项和，且 1 3a， 2 2a， 3 a成等差数列，则 q 3 ， 4 2 S S 第 8 页（共 17 页） 【解答】解： n S为公比1q 的等比数列 n a的前n项和，且 1 3a， 2 2a， 3 a成等差数列， 可得 213 43aaa， 即有 2 111 43aqaaq， 即 2

16、 430qq，解得3(1q 舍去） ， 4 1 41 (13 ) 40 13 a Sa ， 21 4Sa， 则 41 21 40 10 4 Sa Sa ， 故答案为：3，10 11 （5 分）若函数 2 ,0 ( ) 1,0 x ex f x xx ，则函数( )1yf x的零点是 0，2 【解答】解：当0x时，令1 x e ，解得0x ； 当0x 时，令 2 11x ，解得2x 或2x （舍) 则函数( )1yf x的零点是 0，2 故答案为：0，2 12 （5 分）在ABC中，若8ac ，7ac， 3 B ，则b 5 【解答】解：8ac ，7ac， 3 B ， 由余弦定理 222 2cos

17、bacacB，可得 22222 ()373 825bacacacac ， 5b 故答案为：5 13 （5 分）直线:1l ykx与圆 22 :1O xy相交于A，B两点，当AOB的面积达到最 大时，k 1 【解答】解：圆 22 :1O xy的圆心坐标为(0,0)，半径1r ， 把直线l的方程为1ykx化为一般式方程得：10kxy ， 圆心(0,0)O到直线AB的距离 2 1 1 d k ， 弦AB的长度 222 | 22 1ABrdd， 第 9 页（共 17 页） 22 2 111 |1 222 AOB dd SAB ddd ， 当且仅当 2 1 2 d时取等号， ABC S取得最大值，最大值

18、为 1 2 ， 此时 2 1k ，即1k ， 故答案为：1 14 （5 分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记 为x，其函数图象如图（1）所示由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调 整方案，图（2） 、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象 给出下列四种说法： 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本 其中，正确的说法是 （填写所有正确说法的编号） 【解答】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成

19、本，直线的斜率表示的是票价， 故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即对；图（3）成本保持不变，但提高了票价， 即对； 故选： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15 （13 分）函数 2 3 ( )sincos3sin(0) 2 f xxxx的部分图象如图所示 （）求的值； （）求( )f x在区间, 3 3 的最大值与最小值及对应的x的值 第 10 页（共 17 页） 【解答】解： （）因为 2 3 ( )sincos3sin 2 f xxxx 11cos23 2sinc

20、os3 222 x xx 1333 sin2cos2 2222 xx 13 sin2cos2 22 xx sin(2) 3 x ； ( )f x的最小正周期 25 2() |2|63 T (0 ) 1 (), 3 3 IIx 2 3 x , 3 3 sin(2),1 32 x ； 当2 33 x 即 3 x 时，函数取最小值 3 2 ； 2 32 x 即 12 x 时，函数取最大值 1 ( )f x在区间, 3 3 的最大值为 1，最小值为 3 2 16（14 分） 已知四棱锥PABCD中， 底面ABCD是正方形，PD 平面ABCD，PDAB， E是PB的中点 （）求证：平面PBC 平面PCD

21、； （）求二面角EADB的大小； （）试判断AE所在直线与平面PCD是否平行，并说明理由 第 11 页（共 17 页） 【解答】 （）证明：ABCD是正方形，BCCD PD 平面ABCD，BC 平面ABCD，PDBC PDCDD，PD，CD 平面PCD， BC平面PCD 又BC 平面PBC， 平面PBC 平面PCD； （）解：PD 平面ABCD，AD，CD 平面ABCD， PDAD，PDCD， 又ABCD是正方形，ADCD DA，DC，DP两两垂直 以D为原点如图建系，设1PDAB 则(0D，0，0)，(1A，0，0)，(0C，1，0)，(1B，1，0)，(0P，0，1)， 1 (2E， 1

22、2 ， 1 ) 2 1 (1,0,0),(2DADE， 1 2 ， 1 ) 2 ， 又PD 平面ABCD，平面ADB的法向量为(0,0,1)DP 设平面ADE的法向量( , , )nx y z， 则DAn，DEn， 0 111 0 222 DA nx DE nxyz ， 令1z ，得1y ，0x ，(0, 1,1)n 12 cos, 2| |12 DP n DP n DPn 第 12 页（共 17 页） 二面角EADB的大小为45； （）解：PDAD，ADCD，PDCDD， 又PD，CD 平面PCD，AD平面PCD， 平面PCD的法向量为(1,0,0)DA 又 1 ( 2 AE ， 1 2 ，

23、 1 ) 2 ， 1 0 2 AE DA AE与DA不垂直，即AE与平面PCD不平行 17 （13 分）某学校高三年级有 400 名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使 用分层抽样的方法从中抽取了 100 名学生， 记录他们的分数， 将数据分成 7 组：30，40)， 40，50)，90，100，整理得到如图频率分布直方图： () I若该样本中男生有 55 人，试估计该学校高三年级女生总人数； （）若规定小于 60 分为“不及格” ，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生 不及格的概率； （）若规定分数在80，90)为“良好” ， 90，100为“优秀” 用频率估计概率，从该

24、 校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分 布列和数学期望 第 13 页（共 17 页） 【解答】解：() I样本中男生有 55 人，则女生 45 人 估计总体中女生人数 45 400180 100 人 ()II设“不及格”为事件A，则“及格”为事件A， ( )1( )1 (0.20.40.20.1)0.1P AP A ()III设“样本中“良好”或“优秀” ”为事件B， 则P（B）0.20.10.3，依题意可知：(3,0.3)XB， 3 (0)0.7P X ， 112 3 (1)0.30.7P XC， 221 3 (2)0.3 0.7P XC， 3 (3

25、)0.3P X ， 所以，X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 ()3 0.30.9E Xnp 18 （13 分）已知函数 2 ( )2f xxalnx，其中aR （）当2a 时，求曲线( )yf x在点(1A，f（1）)处的切线方程； （）若函数( )f x存在最小值Q，求证：1Q 【解答】解： （）2a 时， 2 ( )4f xxlnx，f（1）1， 4 ( )2fxx x ， 切线斜率k f （1）242 ， 第 14 页（共 17 页） 曲线( )yf x在点(1A，f（1）)处的切线方程为：12(1)yx 即：230xy， （） 2 2

26、2() ( )2(0) axa fxxx xx ， 当0a时，( ) 0fx恒成立( )f x在(0,)单调递增，( )f x无最小值， 当0a 时，由( )0fx得xa或xa （舍)， (0,)xa时，( )0fx，( )f x在(0,)a单调递减，(,)xa时，( )0fx，( )f x在 (,)a 单调递增 所以( )f x存在最小值，()Qfaaalna， 下面证明1Q 设函数g（a）(0)aalna a， g （a）1(1)lnalna 由 g （a）0得1a ，易知g（a）在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减 所以g（a）的最大值为g（1）1， 所以g（a）1恒成立，1Q得证

27、19 （14 分）已知椭圆 22 :3412Cxy （）求椭圆C的离心率； （） 设A，B分别为椭圆C的左右顶点， 点P在椭圆C上， 直线AP，BP分别与直线4x 相交于点M，N当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你 的结论 【解答】解： （）由 22 1 43 xy 得 22 1 43 xy ， 那么 2 4a ， 2 3b ， 所以 222 1cab， 解得2a ，1c 所以离心率 1 2 c e a ； （）解法一：( 2,0)A ，(2,0)B， 设 0 (P x， 0) y，则 22 00 :3412Cxy， 直线AP的方程： 0 0 (2) 2 y yx x

28、 ， 令4x ，得 0 0 6 2 M y y x ，从而M点坐标为 0 0 6 (4,) 2 y x ， 第 15 页（共 17 页） 直线BP的方程： 0 0 (2) 2 y yx x ， 令4x ，得 0 0 2 2 N y y x ，从而N点坐标为 0 0 2 (4,) 2 y x ， 设以MN为直径的圆经过x轴上的定点 1 (Q x，0)，则MQNQ， 由0MQ NQ 得 2 20 1 00 12 (4)0 (2)(2) y x xx ， 由式得 222 000 123699(4)yxx，代入得 2 1 (4)9x ， 解得 1 1x 或 1 7x ， 所以以MN为直径的圆是否经过x

29、轴上的定点(1,0)和(7,0)， 解法二：( 2,0)A ，(2,0)B设 0 (P x， 0) y，则 22 00 :3412Cxy， 2 0 2 000 22 0000 123 3 4 22444 APBP x yyy kk xxxx ， 设直线AP的方程：(2)yk x， 令4x ，得6 M yk，从而M点坐标为(4,6 )k， 则直线BP的方程： 3 (2) 4 yx k ， 令4x ，得 3 2 N y k ，从而N点坐标为 3 (4,) 2k ， 设以MN为直径的圆经过x轴上的定点 1 (Q x，0)，则MQNQ， 由0MQ NQ 得 2 1 3 (4)(06 )(0)0 2 x

30、k k ， 可得 2 1 (4)9x ，解得 1 1x 或 1 7x ， 所以以MN为直径的圆经过x轴上的定点(1,0)和(7,0) 20 （13 分）若无穷数列 n a满足：只要 * ( ,) pq aap qN，必有 11pq aa ，则称 n a具有 性质P （）若 n a具有性质P，且 1 1a ， 2 3a ， 4 1a ， 678 19aaa，求 3 a； （）若无穷数列 n b是等差数列，无穷数列 n c是等比数列， 14 1bc， 41 64bc， nnn abc判断 n a是否具有性质P，并说明理由； 第 16 页（共 17 页） （）设 n b是无穷数列，已知 * 1 si

31、n() nnn aba nN 求证： “对任意 1 a， n a都具有性 质P”的充要条件为“ n b是常数列” 【解答】解：( ) I因为 14 1aa，所以 25 3aa， 36 aa， 47 1aa， 58 3aa 所以 6783 13aaaa ，又因为 678 19aaa，解得 3 15a () n IIb的公差为 21，所以121(1)2120 n bnn ， n c的公比为 1 4 ，所以 14 1 64 ( )4 4 nn n c ， 所以 4 21204 n nnn abcn 所以 14 65aa， 2 38a ， 5 341 4 a ，因为 25 aa， 所以 n a不具有性

32、质P ()III证充分性 当 n b为常数列时， 11 sin nn aba 对任意给定的 1 a，只要 pq aa，则由 11 sinsin pq baba，必有 11pq aa 充分性得证 必要性：用反证法证明假设 n b不是常数列，则存在 * kN， 使得 12k bbbb，而 1k bb 下面证明存在满足 1 sin nnn aba 的 n a，使得 121k aaa ，但 21kk aa 设( )sinf xxxb， 取 * mN， 使 得|mb， 则()0fmmb， ()0fmmb ，故存在c使得f（c）0 取 1 ac，因为 1 sin(1) nn aban k 剟，所以 21 sinabcca， 依此类推，得 121k aaac 但 2111 sinsinsin kkkk ababcbc ，即 21kk aa 所以 n a不具有性质P，矛盾必要性得证 综上， “对任意 1 a， n a都具有性质P”的充要条件为“ n b是常数列” 第 17 页（共 17 页） （其它解法酌情给分）