2019-2020学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2019-2020 学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（理科）学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设复数 1 ()(1) 2 zii，则| (z ) A5 B 10 2 C 5 2 D 5 2 4 2 （5 分）已知集合 |0Ax x或2x， 2 |2 0Bx xx ，则( ) AAB BBA CAB DABR 3 （5 分）执行如

2、图所示的程序框图，若输入的a，b分别为 4，2，则输出的(n ) A6 B5 C4 D3 4 （5 分）已知向量(2, )a，( ,2)b，则“2”是“/ /(2 )aab”的( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 5 （5 分）若 525 0125 (2)(2)(2)xaa xa xa x，则 0 (a ) A32 B2 C1 D32 第 2 页（共 22 页） 6 （5 分）若实数a，b满足 2 01aba，且 22 log,(log) ,log aaa mb nbpb，则m， n，p的大小关系为( ) Ampn Bpnm Cnpm Dpmn 7 （

3、5 分）若2cos21sin2xx ，则tan(x ) A1 B 1 3 C1或 1 3 D1或 1 3 或 3 8 （5 分）若x，y满足约束条件 31 9 33 xy xy 剟 剟 ，则zxy的最小值为( ) A1 B3 C5 D6 9 （5 分） 把函数( )sincosf xxx图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 （纵坐标不变） ， 再把得到的图象向左平移 8 个单位长度，所得图象对应的函数为( )g x，则( ) A( )2cos2g xx B 3 ( )2sin(2) 8 g xx C 15 ( )2sin() 216 g xx D 13 ( )2sin() 28 g xx

4、 10 （5 分）已知四边形ABCD为正方形，GD 平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC 也都为正方形，连接EF，FB，BE，点H为BF的中点，有下述四个结论： DEBF； EF与CH所成角为60； EC 平面DBF； BF与平面ACFE所成角为45 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，若E上点A 满足 12 | 2|AFAF，且向量 12 ,AF AF夹角的取值范围为 2 , 3 ，则E的离心率取值范围是 ( ) A 3, 5 B 7,3 C3，5 D7，9

5、12 （5 分）已知函数 2 1 ( )2, ( )f xxax g x x ，若存在点 1 (A x， 1 ()f x， 2 (B x， 2 ()g x， 使得直线AB与两曲线( )yf x和( )yg x都相切，当实数a取最小值时， 12 (xx ) A 3 2 2 B 3 3 2 2 C 3 2 D 3 3 2 4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 第 3 页（共 22 页） 13 （5 分）函数 ,0 ( ) 1,0 x x x f x ex ，则f（2）( 1)f 14 （

6、5 分）设抛物线 2 2ypx上的三个点 123 23 ( ,), (1,),( ,) 32 AyByCy到该抛物线的焦点距离 分别为 1 d， 2 d， 3 d若 1 d， 2 d， 3 d中的最大值为 3，则p的值为 15 （5 分）已知 n S为数列 n a前n项和，若 1 5 2 a ，且 1(2 )2 nn aa ，则 21 S 16 （5 分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ， 古称“角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国 主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿

7、虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体 内有一球，则该球体积的最大值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第22、 23题为选考题， 考生根据要求作答（一）题为选考题， 考生根据要求作答（一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC中，1,7ACBC （1）若150A，求cosB； （2）D为AB边上一点，且22BDADCD，求

8、ABC的面积 18 （12 分）等差数列 n a的公差为 2， 2 a， 4 a， 8 a分别等于等比数列 n b的第 2 项，第 3 项，第 4 项 （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 12 1 12 n n n ccc b aaa ，求数列 n c的前 2020 项的和 19（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB， E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点 （1）求证：平面AEF 平面PBC （2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30 第 4 页（共 22 页） 20 （12

9、 分）已知圆 22 4 : 3 O xy，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长等于圆O半径的 6倍，C的离心率为 2 2 （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：AOB为直角三角形 21 （12 分）已知函数 2 ( )cos1f xxax （1）当 1 2 a 时，证明：( ) 0f x ； （2）若( )f x在R上有且只有一个零点，求a的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目

10、计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 5, 2 ( 1 3 2 xt t yt 为参数） 以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos （1）求C的直角坐标方程； （2）设点M的直角坐标为(5, 3)，l与曲线C的交点为A，B，求 11 |MAMB 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 1 ( ) |21| 2 f xxx 的最小值为m （1）求m的值； （2

11、）若a，b，c为正实数，且abcm，证明： 222 1 3 abc 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（理科）学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设复数 1 ()(1) 2 zii，则| (z ) A5 B 10 2 C 5 2 D 5 2 4 【解答】解：因为：复数 2 11

12、131 ()(1)(1) 22222 ziiiii； 所以： 22 3110 |( )( ) 222 z 故选：B 2 （5 分）已知集合 |0Ax x或2x， 2 |2 0Bx xx ，则( ) AAB BBA CAB DABR 【解答】解：集合 |0Ax x或2x， 2 |2 0 | 12Bx xxxx剟?， ABR 故选：D 3 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为 4，2，则输出的(n ) 第 6 页（共 22 页） A6 B5 C4 D3 【解答】解：模拟程序的运行，可得 4a ，2b ，1n 6a ，4b ，2n 不满足条件a b，执行循环体，9a ，8b ，3n

13、 不满足条件a b，执行循环体，13.5a ，16b ，4n 满足条件a b，退出循环，输出n的值为 4 故选：C 4 （5 分）已知向量(2, )a，( ,2)b，则“2”是“/ /(2 )aab”的( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：向量(2, )a，( ,2)b，且/ /(2 )aab，则(2 )(22ab，4)， (22 )2(4) ，解之得2 ， 则2是2 的充分不必要条件， 即“2”是“/ /(2 )aab”的充分不必要条件， 故选：A 第 7 页（共 22 页） 5 （5 分）若 525 0125 (2)(2)(2)xaa

14、xa xa x，则 0 (a ) A32 B2 C1 D32 【解答】解： 525 0125 (2)(2)(2)xaa xa xa x， 令20x ，可得 5 0 232a ， 故选：D 6 （5 分）若实数a，b满足 2 01aba，且 22 log,(log) ,log aaa mb nbpb，则m， n，p的大小关系为( ) Ampn Bpnm Cnpm Dpmn 【解答】解： 2 01aba， 2 12 aaa log alog blog a， 222 ()2()log(2log)0 aaaaaa log blog blog blog bbb， 22 ()log aaa log blo

15、g bb， pnm 故选：B 7 （5 分）若2cos21sin2xx ，则tan(x ) A1 B 1 3 C1或 1 3 D1或 1 3 或 3 【解答】解：2cos21sin2xx ， 222 2(cossin)(sincos )xxxx， 即： 2 2(cossin )(cossin )(sincos )xxxxxx， cossin0xx，或2(cossin )sincosxxxx， 解得：tan1x ，或 1 tan 3 x 故选：C 8 （5 分）若x，y满足约束条件 31 9 33 xy xy 剟 剟 ，则zxy的最小值为( ) A1 B3 C5 D6 第 8 页（共 22 页）

16、 【解答】解：作出x，y满足约束条件 31 9 33 xy xy 剟 剟 ， 表示的平面区域，如图所示的阴影部分： 由zxy可得yxz ，则z表示直线yxz 在y轴上的截距，截距越小，z越小， 由题意可得， 3 93 xy xy ，解得( 2, 3)A ， 当yxz 经过点A时，z最小， 由可得( 2, 3)A ，此时5zxy 故选：C 9 （5 分） 把函数( )sincosf xxx图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 （纵坐标不变） ， 再把得到的图象向左平移 8 个单位长度，所得图象对应的函数为( )g x，则( ) A( )2cos2g xx B 3 ( )2sin(2) 8

17、g xx C 15 ( )2sin() 216 g xx D 13 ( )2sin() 28 g xx 【解答】解：函数( )sincos2sin() 4 f xxxx 图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 （纵坐标不变） ，得到：2sin(2) 4 yx ， 再 把 得 到 的 图 象 向 左 平 移 8 个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 对 应 的 函 数 为 ( )2sin(2)2cos2 2 g xxx ， 第 9 页（共 22 页） 故选：A 10 （5 分）已知四边形ABCD为正方形，GD 平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC 也都为正方形，连接EF，FB，BE

18、，点H为BF的中点，有下述四个结论： DEBF； EF与CH所成角为60； EC 平面DBF； BF与平面ACFE所成角为45 其中所有正确结论的编号是( ) A B C D 【解答】解：根据已知条件，四边形ABCD为正方形，GD 平面ABCD，四边形DGEA与 四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，点H为BF的中点， 如图所示： （1）对于选项：由于DEAG，/ /BFAG，所以DEBF；故选项正确 （2）对于选项：由于/ /CHDE，连接DE，DF，所以DEF为等边三角形， 所以EF与CH所成角为EF和DE 所成的角， 所以EF与CH所成角为60； 故选项正确 （3）对于选项：

19、把几何体进行扩充，得到一个正方体， 所以EC为对角线，由于DBF为等边三角形， 所以CE与OF的交点为等边三角形的中心， 故EC 平面DBF，故选项正确 （4）对于选项：由于CF 平面ABCD， 所以CFBD，由于ACBD， 所以BD 平面ACEF， 所以BF与平面ACFE所成角为BFO， 设ABa，则 2 2 BOa，2BFa， 在Rt BOF中， 2 1 2 sin 22 a BFO a ， 所以30BFO，故选项错误 故选：B 第 10 页（共 22 页） 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，若E上点A 满足

20、12 | 2|AFAF，且向量 12 ,AF AF夹角的取值范围为 2 , 3 ，则E的离心率取值范围是 ( ) A 3, 5 B 7,3 C3，5 D7，9 【解答】解：如图， 设 2 |AFm，则 12 | 2| 2AFAFm， 由双曲线定义： 12 | 2AFAFa，得22mma， 则2ma， 则 12 AFF中，由余弦定理可得： 222222222 12 222 (2 )4542045 cos 224164 mmcmcacac F AF m mmaa ， 向量 12 ,AF AF夹角的取值范围为 2 , 3 ，即 12 F AF的取值范围为 2 , 3 ， 12 1 1 cos 2 F

21、 AF剟， 即 22 2 51 1 42 ac a 剟，解得73e剟 E的离心率的取值范围是 7，3 故选：B 第 11 页（共 22 页） 12 （5 分）已知函数 2 1 ( )2, ( )f xxax g x x ，若存在点 1 (A x， 1 ()f x， 2 (B x， 2 ()g x， 使得直线AB与两曲线( )yf x和( )yg x都相切，当实数a取最小值时， 12 (xx ) A 3 2 2 B 3 3 2 2 C 3 2 D 3 3 2 4 【解答】解：( )22fxxa， 2 1 ( )g x x 11 ()22fxxa ， 2 2 2 1 ()g x x 由题意可得：

22、2 11 2 1 2 122 1 2() 1 22 xax x xa xxx 化为： 2 2 1 2 x x 4 1 111 2 2 1 222( ) 4 x axxg x x 32333 11111 ( )2(2)(24)g xxxxx 可得 3 1 2x 时，a取得极小值即最小值： 3 3 2 4 ， 3 12 2 2xx 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13 （5 分）函数 ,0 ( ) 1,0 x x x f x ex ，则f（2）( 1)f 2 2e 【解答】解

23、： ,0 ( ) 1,0 x x x f x ex ， 则f（2） 22 ( 1)1 12fee 第 12 页（共 22 页） 故答案为： 2 2e 14 （5 分）设抛物线 2 2ypx上的三个点 123 23 ( ,), (1,),( ,) 32 AyByCy到该抛物线的焦点距离 分别为 1 d， 2 d， 3 d若 1 d， 2 d， 3 d中的最大值为 3，则p的值为 3 【解答】 解： 由抛物线的性质得， 到焦点的距离转化为到准线的距离， 而准线方程为： 2 p x ， 所以由题意得： 3 ()3 22 p ，3p， 故答案为：3 15 （5 分）已知 n S为数列 n a前n项和，

24、若 1 5 2 a ，且 1(2 )2 nn aa ，则 21 S 8 3 【解答】解：数列 n a满足 1(2 )2 nn aa ，则 1 2 2 n n a a ， 由于 1 5 2 a ， 当1n 时，整理得 2 2 4 5 2 2 a ， 当2n 时，整理得 3 21 2( 4)3 a ， 当3n 时，整理得 4 26 1 5 2 3 a ， 当4n 时，整理得 5 25 6 2 2 5 a ， 所以数列 n a的周期为 4， 所以 21 51658 5(4) 23523 S， 故答案为： 8 3 16 （5 分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ，

25、 古称“角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国 主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿 虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 2 6 ；若该六 面体内有一球，则该球体积的最大值为 第 13 页（共 22 页） 【解答】解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为 1， 如图，在棱长为 1 的正四面体SABC中， 取BC中点D，连结SD、AD， 作SO 平面ABC，垂足O在AD上， 则 22 13 1( ) 22 ADSD， 13 36 ODAD， 22 6 3 SOSD

26、OD， 该六面体的体积： 11362 221 32236 SABC VV 当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切， 过球心O作OESD，则OE就是球半径， SOODSDOE，球半径 63 6 36 93 2 SOOD ROE SD ， 该球体积的最大值为： 3 68 64 () 39729 V 球 故答案为： 2 6 ， 8 6 729 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答 第题为必考题， 每个试题考生

27、都必须作答 第22、 23题为选考题， 考生根据要求作答（一）题为选考题， 考生根据要求作答（一） 必考题：共必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC中，1,7ACBC 第 14 页（共 22 页） （1）若150A，求cosB； （2）D为AB边上一点，且22BDADCD，求ABC的面积 【解答】解法一： （1）在ABC中，由正弦定理及题设得 sinsin ACBC BA ， 故 17 sinsin150B ， 解得 1 sin 2 7 B ， 又030B， 所以 3 33 21 cos 142 7 B （2）设ADCDx，则2BDx 在ABC中，由余弦定理得， 222 2cosB

28、CABACAB ACA ， 即 2 7916 cosxxA ， 在等腰ACD中，有 1 1 2 cos 2 AC A ADx ， 联立，解得1x 或1x （舍去） ， 所以ACD为等边三角形， 所以60A ， 所以 113 3 sin3 1 sin60 224 ABC SABACA 解法二： （1）同解法一 （2）设ADx，则CDx，2BDx， 因为ADCBDC， 所以coscosADCBDC ， 由余弦定理得， 得 222 22 4721 42 xxx xx ， 所以 2 1x ，解得1x 或1x （舍去） ， 所以ACD为等边三角形，所以60A ， 所以 113 3 sin3 1 sin6

29、0 224 ABC SABACA 18 （12 分）等差数列 n a的公差为 2， 2 a， 4 a， 8 a分别等于等比数列 n b的第 2 项，第 3 项，第 4 项 第 15 页（共 22 页） （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 12 1 12 n n n ccc b aaa ，求数列 n c的前 2020 项的和 【解答】解： （1）依题意得： 2 32 4 bb b， 2 111 (6)(2)(14)aaa， 22 1111 12361628aaaa， 解得 1 2a 22(1)2 n ann 设等比数列 n b的公比为q， 34 22 8 2 4

30、 ba q ba ， 又 22 4ba， 2 4 22 nn n b ； （2）由（1）知，2 ,2n nn an b 1112 121 2n nn nn cccc aaaa ， 当2n时， 112 121 2n n n ccc aaa ， 由得，2n n n c a ，即 1 2n n cn ， 又当1n 时， 3 11 2 2cab不满足上式， 1 8,1 2,2 nn n c nn ； 数列 n c的前 2020 项的和 342021 2020 82 23 22020 2S 2342021 41 2223 220202 设 23420202021 2020 1 22 23 22019 2

31、2020 2T ， 则 34520212022 2020 21 22 23 22019 22020 2T ， 由得： 23420212022 2020 22222020 2T 22020 20222022 2 (12) 2020 242019 2 12 2022 2020 2019 24T， 2022 20202020 42019 28ST 第 16 页（共 22 页） 19（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB， E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点 （1）求证：平面AEF 平面PBC （2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PC

32、D所成的锐二面角为30 【解答】 （1）证明：解法一：因为PA底面ABCD，BC 平面ABCD， 所以PABC 因为ABCD为正方形，所以ABBC， 又因为PAABA，所以BC 平面PAB 因为AE 平面PAB， 所以AEBC 因为PAAB，E为线段PB的中点， 所以AEPB， 又因为PBBCB， 所以AE 平面PBC 又因为AE 平面AEF， 所以平面AEF 平面PBC 解法二：因为PA底面ABCD，PA平面PAB， 所以平面PAB 底面ABCD， 又平面PAB底面ABCDAB，BCAB，BC 平面ABCD， 所以BC 平面PAB 因为AE 平面PAB，所以AEBC 因为PAAB，E为线段P

33、B的中点，所以AEPB 因为PBBCB，所以AE 平面PBC 又因为AE 平面AEF， 所以平面AEF 平面PBC 第 17 页（共 22 页） （2） 因为PA底面ABCD，ABAD， 以A为坐标原点， 分别以,AB AD AP的方向为x轴， y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 设正方形ABCD的边长为 2，则(0A，0，0)，(2B，0，0)，(2C，2，0)，(0D，2，0)， (0P，0，2)，(1E，0，1)， 所以(1,0,1),(2,2, 2),(0,2, 2)AEPCPD 设点F的坐标为(2，0)(02)剟，所以(2, ,0)AF 设 1 (nx， 1

34、 y， 1) z为平面AEF的法向量， 则 0, 0, n AE n AF 所以 11 11 0, 20, xz xy 取 1 2y ，则(n ，2，) 设 2 (mx， 2 y， 2) z为平面PCD的法向量， 则 0, 0, m PC m PD 所以 222 22 0, 0, xyz yz 取 2 1y ，则(0m，1，1) 因为平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30， 所以 2 |2|3 |cos30 | | |2 224 m n mn ， 解得1， 故当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30 20 （12 分）已知圆 22 4 : 3 O xy，椭圆 22 2

35、2 :1(0) xy Cab ab 的短轴长等于圆O半径的 6倍，C的离心率为 2 2 （1）求C的方程； 第 18 页（共 22 页） （2）若直线l与C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：AOB为直角三角形 【解答】解： （1）因为圆O的半径为 2 3 3 ， 所以 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长为 2 3 62 2 3 ， 所以22 2b ，解得2b 因为C的离心率为 2 2 ，所以 2 2 c a ， 又因为 222 acb，所以 22 2ac， 联立，解得 2 4a ， 所以所求C的方程为 22 1 42 xy （2）证明：证法一：当直线l斜率不存在时，直线l的

36、方程为 2 3 3 x 当 2 3 3 x 时， 2 3 2 32 32 3 (,), (,) 3333 AB， 所以 44 0 33 OA OB 当 2 3 3 x 时， 2 3 2 32 32 3 (,), (,) 3333 AB， 所以 44 0 33 OA OB ， 综上，OAOB 所以AOB为直角三角形 当直线l斜率存在时，设其方程为ykxm， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，直线l与圆相 切， 2 2 3| 3 1 m k ， 即 22 3440mk， 由 22 , 1 42 ykxm xy 得， 222 (1 2)4240kxkmxm， 所以 2 1212

37、22 424 , 1212 kmm xxx x kk 所以 22 121212121212 ()()(1)()OA OBx xy yx xkxm kxmkx xkm xxm（10 分） 22222222 22 (1)(24)4(12)344 0 1212 kmk mmkmk kk ， 所以OAOB 第 19 页（共 22 页） 综上所述：OAOB所以AOB为直角三角形 证法二：当直线方程为 2 3 3 y 时， 2 3 2 32 3 2 3 (,), (,) 3333 AB， 44 0 33 OA OB ， 所以OAOB所以AOB为直角三角形 当直线方程为 2 3 3 y 时， 2 32 32

38、 32 3 (,), (,) 3333 AB， 44 0 33 OA OB ， 所以OAOB所以AOB为直角三角形 当直线l不与x轴平行时，设其方程为xtym， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 因为直线l与圆相切，所以 2 2 3| 3 1 m t ，即 22 3440mt 由 22 , 1 42 xtym xy 得， 222 (2)240tytmym 所以 2 1212 22 24 , 22 tmm yyy y tt 22222222 22 121212121212 22 (1)(4)2(2)344 ()()(1)()0 22 tmt mm tmt OA OBy yx

39、 xy ytym tymty ytm yym tt ， 所以OAOB，所以AOB为直角三角形 综上所述：AOB为直角三角形 21 （12 分）已知函数 2 ( )cos1f xxax （1）当 1 2 a 时，证明：( ) 0f x ； （2）若( )f x在R上有且只有一个零点，求a的取值范围 【解答】解： （1）当 1 2 a 时， 2 1 ( )cos1 2 f xxx， 所以( )f x的定义域为R，且()( )fxf x，故( )f x为偶函数 当0x时，( )sinfxxx ， 记( )( )sing xfxxx ，所以( )cos1g xx 因为( ) 0g x，所以( )g x

40、在0，)上单调递增， 即( )fx在0，)上单调递增， 第 20 页（共 22 页） 故( )(0)0fxf， 所以( )f x在0，)上单调递增，所以( )(0)0f xf， 因为( )f x为偶函数，所以当xR时，( ) 0f x （2）当0a 时，( )cos1f xx，令cos10x ，解得2()xkkZ， 所以函数( )f x有无数个零点，不符合题意； 当0a 时， 22 ( )cos10f xxaxax 剟，当且仅当0x 时等号成立，故0a 符合题意； 因为()( )fxf x，所以( )f x是偶函数， 又因为(0)0f，故0x 是( )f x的零点 当0a 时，( )sin2f

41、xxax ，记( )( )sin2g xfxxax ，则( )cos2g xxa 1)当 1 2 a时，( )cos2cos1 0g xxax 厖， 故( )g x在(0,)单调递增，故当0x 时，( )(0)0g xg即( )0fx， 故( )f x在(0,)单调递增，故( )(0)0f xf 所以( )f x在(0,)没有零点 因为( )f x是偶函数，所以( )f x在R上有且只有一个零点 2)当 1 0 2 a时，当(0x，2 时，存在 1 (0,) 2 x ，使得 1 cos2xa，且当 1 0xx时， ( )g x单调递减，故( )(0)0g xg， 即 1 (0,)xx时，( )

42、0fx，故( )f x在 1 (0,)x单调递减， 1 ()(0)0f xf， 又 22 (2 )cos2(2 )140faa ，所以 1 () (2 )0f xf， 由零点存在性定理知( )f x在 1 (x，2 )上有零点，又因为0x 是( )f x的零点， 故 1 0 2 a不符合题意； 综上所述，a的取值范围为 1 (,0),) 2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 5, 2 ( 1 3 2 xt t yt 为参数） 以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 第 21 页（共 22 页） （1）求C的直角坐标方程； （2）设点M的直角坐标为(5, 3)，l与曲线C的交点为A，B，求 11 |MAMB 的值 【解答】解： （1）由2cos，得 2 2 cos 将 cos , sin x y 代入得， 22 2xyx