北师大版九年级数学下册第三章《圆》专题和答案.docx

1、第 1 页，共 20 页 圆的专题专练圆的专题专练含答案含答案 一、解答题 1. 如图，在 中， = 90，的平分线交 AC 于点E， 过点E作BE的垂线交AB于点F， 是 的外接圆 (1)求证：AC是 的切线； (2)过点 E 作 ，垂足为 H，求证： = ； (3)若 = 1， = 3，求 BF 及 AF 长 2. 如图，AB 为 的直径，点 E 在 上，C 为 的中点， 过点 C作直线 于 D，连接 AC、BC (1)试判断直线 CD与 的位置关系，并说明理由； (2)若 = 2， = 6，求 AB 的长 3. 如图，AB 为 的直径，C 是 上一点，过点 C 的直线交 AB 的延长线于

2、点 D， ，垂足为 E，F是 AE与 的交点，AC平分 (1)求证：DE是 的切线； (2)若 = 6， = 30， 求图中阴影部分的面积 4. 如图， AB是 的直径， = 90， 四边形EBOC 是平行四边形，EB 交 于点 D，连接 CD 并延长 第 2 页，共 20 页 交 AB的延长线于点 F (1)求证：CF是 的切线； (2)若 = 30， = 4，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和) 5. 如图，AB为半圆 O的直径，AC是 的一条弦，D 为 的中点，作 ，交 AB 的延长线于点 F， 连接 DA (1)求证：EF 为半圆 O 的切线； (2)若 = = 63， 求阴影区域的

3、面积 (结果保 留根号和) 6. 如图在 中， = 90，BD平分，过 D作 交AB于点E， 经过B， D， E三点作 (1)求证：AC与 相切于 D点； (2)若 = 15， = 9，求 的半径 7. 如图，在 中， = ，以 AB 为直径作 ， 交 BC于点 D，过点 D 作 ，垂足为 E (1)求证：DE是 的切线； (2)如果 = 8， = 5，求 CE的长 第 3 页，共 20 页 8. 如图，AB 为 的直径，C 是 上一点，过点 C 的直线交 AB 的延长线于点 D， ，垂足为 E，F是 AE与 的交点，AC平分 (1)求证：DE是 的切线； (2)若 = 6， = 30，求图中

4、阴影部分的面积 9. 如图，在 中， = 90，BD是角平分线，以点 D为圆心，DA为半径 的 与 AC 相交于点 E (1)求证：BC是 的切线； (2)若 = 5， = 13，求 CE 的长 10. 如图，在 中， = 90，以 AC 为直径作 交 AB 于点 D，E为 BC 的中点，连接 DE 并延长交 AC的延长线于点 F 第 4 页，共 20 页 (1)求证：DE是 的切线； (2)若 = 2， = 4，求 直径的长 11. 如图， 内接于 ， = ， = 36，过点 A作/，与的 平分线交于点 D，BD与 AC交于点 E，与 交于点 F (1)求的度数； (2)求证：2= ； (3

5、)求证：AD是 的切线 12. 如图， AB是 的直径， BD是 的弦， 延长 BD 到点 C， 使 = ，连接 AC，过点 D作 ，垂足为 E (1)求证：DE为 的切线； (2)若 的半径为 5， = 60，求 DE的长 第 5 页，共 20 页 13. 如图， 点D在 的直径AB的延长线上， 点C在 上， 且 = ， = 120 (1)求证：CD是 的切线； (2)若 的半径为 2，求图中阴影部分的面积 14. 如图，AB为 的直径，点 C在 外，的平分线与 交于点 D， = 90 (1)与 有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若 = 60， = 6，求 的长 15. 如图，在 中，

6、= ，以 AC为直径的 交 BC于 点 D，交 AB于点 E，过点 D 作 ，垂足为 F，连接 DE (1)求证：直线 DF与 相切； (2)若 = 7， = 6，求 AC 的长 第 6 页，共 20 页 16. 如图， 在 中， 点 O 在斜边 AB 上， 以 O为圆心， OB 为半径作圆，分别与 BC，AB相交于点 D，E，连结 .已知 = (1)求证：AD是 的切线 (2)若 = 8， = 1 2，求 的半径 17. 如图， 已知 是等边三角形， 以AB为直径作 ， 交 BC边于点 D，交 AC边于点 F，作 于点 E (1)求证：DE是 的切线； (2)若 的边长为 4，求 EF的长度

7、 第 7 页，共 20 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】证明：(1)如图，连接 OE ， = 90， 是圆 O的直径 平分， = ， = ， = ， = ， /， = = 90， 是 的切线； (2)如图，连结 DE = ， 于 C， 于 H， = + = 180， + = 180， = 在 与 中， = = = 90 = ， ()， = (3)由(2)得 = ，又 = 1， = 1， 在 中， = 32+ 12= 10， ， = 90， = = 90， = ， ， = ，即 10 = 1 10 ， = 10， = 1 2 = 5， = 5 1 = 4， 中，cos = 4 5， 中，c

8、os = = 4 5， 5 = 4 5， = 25 4 ， 第 8 页，共 20 页 = 25 4 5 = 5 4 【解析】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和 性质以及解直角三角形等要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这 点(即为半径)，再证垂直即可 (1)连接 OE， 由于 BE是角平分线， 则有 = ； 而 = ， 就有 = ， 等量代换有 = ，那么利用内错角相等，两直线平行，可得/；又 = 90，所以 = 90，即 AC是 的切线； (2)连结 DE，先根据 AAS 证明 ，再由全等三角形的对应边相等即可得出 = (3)先证得 ，根据相似

9、三角形的性质求得 = 10，进而根据直角三角形 斜边中线的性质求得 = 5，进一步求得 OH，然后解直角三角形即可求得 OA，得出 AF 2.【答案】解：(1)相切，连接 OC， 为 的中点， 1 = 2， = ， 1 = ， 2 = ， /， ， ， 直线 CD 与 相切； (2)连接 CE， = 2， = 6， = 90， = 2 2= 2， 是 的切线， 2= ， = 1， = 2+ 2= 3， 为 的中点， = = 3， 为 的直径， = 90， = 2+ 2= 3 【解析】 本题考查了直线与圆的位置关系， 切线的判定和性质， 圆周角定理， 勾股定理， 平行线的性质，熟练掌握各定理是解

10、题的关键 (1)连接 OC，由 C 为 的中点，得到1 = 2，等量代换得到2 = ，根据平行 线的性质得到 ，即可得到结论； 第 9 页，共 20 页 (2)连接 CE，由勾股定理得到 = 2 2= 2，根据切割线定理得到 2= ，根据勾股定理得到 = 2+ 2= 3，由圆周角定理得到 = 90，即可得到结论 3.【答案】(1)证明：连接 OC， = ， = ， 平分， = ， = ， /， = ， ， = 90， = 90， ， 点 C 在 上，OC 为 的半径， 是 的切线； (2)解：在 中， = 30， = 6， = 2 = 12， 在 中， = 30， = 2 = + = + ，

11、= = = 1 3 = 4， = 8， = 2 2= 82 42= 43， = 2 = 434 2 = 83， = 30， = 90， = 60， 扇形= 1 6 2= 8 3， 阴影= 扇形 阴影= 83 8 3 ， 阴影部分的面积为83 8 3 【解析】 本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算， 解(1)的关键是证明 ， 解(2)的关键是求出扇形 OBC的面积，此题难度一般 第 10 页，共 20 页 (1)连接 OC，先证明 = ，进而得到/，于是得到 ，进而证明 DE 是 的切线； (2)分别求出 的面积和扇形 OBC的面积，利用阴影= 扇形即可得到 答案 4.【答案】(1)证明：

12、如图连接 OD， 四边形 OBEC 是平行四边形， /， = ， = ， = ， = ， = ， 在 和 中， = = = ， ， = = 90， ， 是 的切线 (2)解： = 30， = 90， = = = 60， = ， 是等边三角形， = 60， = + ， = = 30， /， = 180 = 120， = 180 = 30， = ， = = ， = 60， = ， 是等边三角形， = ， = 4， = = 2， 在 中， = 90， = 2， = 60， = 2 = 4， = 2 2= 42 22= 23， 第 11 页，共 20 页 阴= 2 扇形= 2 1 2 2 23 120

13、22 360 = 43 4 3 【解析】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式、等边三角 形的判定和性质、 平行四边形的性质等知识， 解题的关键是添加辅助线构造全等三角形， 注意寻找特殊三角形解决问题，属于中考常考题型 (1)欲证明 CF是 的切线，只要证明 = 90，只要证明 即可 (2)根据条件首先证明 是等边三角形， = = = 30，推出 = = = = 由此根据阴= 2 扇形即可解决问题 5.【答案】(1)证明：连接 OD， 为 的中点， = ， = ， = ， = ， ， = 90， + = 90，即 + = 90， ， 为半圆 O 的切线； (2)解：连接 O

14、C与 CD， = ， = ， = = ， 又 + + = 90， = 30， = 60， = ， 为等边三角形， = 60， = 120， ， = 30， = 60， 在 中， = 63， = 30 = 6， 在 中， = 63， = 30， = 30 = 33， = 30 = 9， = 180 = 60， 由 = ， 是等边三角形， = 60， = = 60， /， 故= ， 阴影= 扇形= 1 2 9 33 60 360 6 2 = 273 2 6 第 12 页，共 20 页 【解析】(1)直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出 ，即可得出答 案； (2)直接证明= ，再利用阴影=

15、扇形，求出答案 此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，得出= 是解 题关键 6.【答案】(1)证明：连接 OD，如图所示： = ， 1 = 2， 又 平分， 2 = 3， 1 = 3， /， 而 = 90， ， 与 相切于 D 点； (2)解： ， 在 中，2= 2+ 2， 又 = 15， = 9，设半径为 r， ( + 9)2= 152+ 2， 解方程得， = 8， 即 的半径为 8 【解析】(1)连接 OD，则有1 = 2，而2 = 3，得到1 = 3，因此/，又由 于 = 90，所以 ，即可得出结论 (2)根据 ， 则在 中， 2= 2+ 2， 设半径为 r， = 15，

16、 = 9， 得到( + 9)2= 152+ 2，解方程即可 本题考查了圆的切线的判定方法、 平行线的判定与性质、 等腰三角形的性质、 勾股定理； 熟练掌握切线的判定方法，由勾股定理得出方程是解决问题(2)的关键 7.【答案】解：(1)连接 OD， = ( 的半径)， = (等边对等角)； = (已知)， = (等边对等角)； = (等量代换)， /(同位角相等，两直线平行)， = (两直线平行，内错角相等)； (已知)， = 90， = 90，即 ， 第 13 页，共 20 页 是 的切线； (2)连接 AD， 是 的直径， = 90(直径所对的圆周角是直角)； ； 在 和 中， = (公共角

17、)， = = 90， ()， = ； 又由(1)知，/，O 是 AB 的中点， 是三角形 ABC的中位线， = 1 2； = 8， = 5， = ， = 16 5 【解析】本题综合考查了切线的判定，圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角 形中位线的判定与性质解答(2)时，还可以利用射影定理来求 CE 的长度 (1)连接 OD，只要证明 即可； (2)连接 AD 构造直角三角形 ACD， 根据相似三角形的判定定理 AA判定 ，然后由相似三角形的对应边成比例得， = ；最后根据三角形中位线的判定 与性质求得 CD的长度，从而求得 CE 的长 8.【答案】(1)证明：连接 OC， = ， = ，

18、 平分， = ， = ， /， = ， ， = 90， = 90， ， 点 C 在圆 O 上，OC 为圆 O的半径， 是圆 O的切线； 第 14 页，共 20 页 (2) 在 中， = 30， = 6， = 2 = 12， 在 中， = 30， = 2 = + = + ， = = = 1 3 = 4， = 8， = 2 2= 82 42= 43， = 2 = 434 2 = 83 1 2 43 4 = 83， = 30， = 90， = 60， 扇形= 1 6 2= 8 3， 阴影= 扇形 阴影= 83 8 3 ， 阴影部分的面积为83 8 3 【解析】(1)连接 OC，先证明 = ，进而得到

19、/，于是得到 ， 进而证明 DE 是 的切线； (2)分别求出 的面积和扇形 OBC的面积，利用阴影= 扇形即可得到 答案 本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算， 解(1)的关键是证明 ， 解(2)的 关键是求出扇形 OBC 的面积，此题难度一般 9.【答案】(1)证明：过点 D作 于点 F， = 90，BD 平分， = 是 的半径， ， 是 的切线； (2)解： = 90 与 相切， 是 的切线， = = 5， = 13， = 8， = 2 2= 132 52 = 12 在 中， 设 = = ，则 2+ 64 = (12 )2， 解得： = 10 3 = = 12 2 10 3 = 1

20、6 3 第 15 页，共 20 页 【解析】(1)过点 D 作 于点 F，根据角平分线的性质得到 = .根据切线的 判定定理即可得到结论； (2)根据切线的性质得到 = .根据勾股定理列方程即可得到结论 本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键 10.【答案】解：(1)如图，连接 OD、CD， 为 的直径， 是直角三角形， 为 BC的中点， = = ， = ， = ， = ， = 90， + = 90， + = 90，即 ， 是 的切线； (2)设 的半径为 r， = 90， 2+ 2= 2，即2+ 42= ( + 2)2， 解得： = 3， 的直径为 6 【解析】(1)

21、连接 OD、CD，由 AC为 的直径知 是直角三角形，结合 E为 BC 的中点知 = ，由 = 且 + = 90可得答案； (2)设 的半径为 r，由2+ 2= 2，即2+ 42= ( + 2)2可得 = 3，即可得 出答案 本题主要考查切线的判定与圆周角定理、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线 的判定与圆周角定理是解题的关键 11.【答案】(1)解： /， = ， = ， = 36， = = 1 2 (180 ) = 72， = = 72， 平分， = = 1 2 = 1 2 72 = 36， = = 36， = 180 = 180 36 36 = 108， = 180 = 180 3

22、6 72 = 72， = = 108 72 = 36； 第 16 页，共 20 页 (2)证明： = 36， = ， = 36 = ， = ， ， = ， 2= ； (3)证明：连接 OA、OF， = 36， = 2 = 72， = ， = = 1 2 (180 ) = 54， 由(1)知 = 36， = 36 + 54 = 90， 即 ， 为半径， 是 的切线 【解析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质 等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键 (1)求出、 、 的度数， 求出度数， 根据三角形内角和定理求出和 度数，即可求出答案； (2)求出 ，根据

23、相似三角形的性质得出即可； (3)连接 AO，求出 = 90即可 12.【答案】(1)证明：如图，连接 OD = ， = ， /. = 又 ， = 90 = 90，即 是 的切线 (2)解： /， = 60， = = 60， = 又 = ， 是等边三角形 = = 60， = = 5 ， 第 17 页，共 20 页 = sin = 5 60 = 53 2 【解析】(1)连接 OD，根据 = ， = ，得出/， = ，再 根据 ，即可证出 ，从而得出答案； (2)结合(1)中的结论，可以证明 是等边三角形，即可求得 CD 和 BD的长，再根 据锐角三角函数即可计算 DE 的长 本题考查了切线的判定

24、与性质，用到的知识点是圆周角定理的推论、线段垂直平分线的 性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型 13.【答案】证明：(1)连接 OC， = ， = ， 又 = 120， = 1 2(180 ) = 30， = ， = 2 = 30， = 60， 又 = 30， = 180 = 90， 是 的切线； (2) = 30， 1 = 2 = 60 扇形= 6022 360 = 2 3， 在 中， = 60 = 23 = 1 2 = 1 2 2 23 = 23 图中阴影部分的面积为23 2 3. 【解析】本题考查了本题考查了圆的切线的判定方法，等腰三角形性质，三角形的内角 和定理，切线的性质，扇形的

25、面积，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出扇形和 三角形的面积，题目比较典型，难度适中 (1)连接 OC，根据 ， 为等腰三角形， = 120，利用三角形内角和定 理求 = 90即可； (2)求出和， 求出边 DC长， 分别求出三角形 OCD 的面积和扇形 COB的面积， 即可求出答案 14.【答案】解：(1)相切理由如下： 连接 OD， 是的平分线， 第 18 页，共 20 页 = ， 又 = ， = ， = ， /， = = 90， 与 相切； (2)若 = 60，可得 = = 30， = 60， 又 = 6， = 3， = 603 180 = 【解析】(1)连接 OD，只需证明 = 9

26、0即可； (2)由(1)中的结论可得 = 30，可求得弧 AD的圆心角的度数，再利用弧长 公式求得结果即可 此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用一条直线和圆 只有一个公共点， 叫做这条直线和圆相切， 这条直线叫圆的切线， 唯一的公共点叫切点 15.【答案】(1)证明：如图， 连接 OD = ， = ， = ， = ， = ， /， ， ， 点 D 在 上， 直线 DF 与 相切； (2)解：四边形 ACDE 是 的内接四边形， + = 180， + = 180， = ， = ， ， = ， /， = ， 第 19 页，共 20 页 = = 1 2 = 3， 又 = 7

27、， 3 7+ = 6 ， = 2， = = + = 7 + 2 = 9 【解析】(1)连接 OD，利用 = ， = ，证得/，易证 ，故 DF 为 的切线； (2)证得 ，求得 BE，利用 = = + 求得答案即可 此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆 上某点，连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可 16.【答案】(1)证明：连接 OD， = ， 3 = ， = 1， 1 = 3， 在 中，1 + 2 = 90， 4 = 180 (2 + 3) = 90， ， 则 AD为圆 O的切线； (2)设圆 O的半径为 r， 在 中， = = 4， 根据勾股定理得： = 42+ 82=