第五章-不定积分-(《微积分》课件).ppt

1、一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念四、不定积分的性质四、不定积分的性质三、基本积分表三、基本积分表五、小结五、小结 思考题思考题第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数.)0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间),0(内的原函数内的原函数.如如果果在在区区间间I内内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导导函函数数为为)(xf，一、原函数与不定积分的概念(primiti

2、ve function)定义定义原函数存在定理：原函数存在定理：如如果果函函数数)(xf在在区区间间I内内连连续续，简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例 xxcossin xCxcossin （为任意常数）为任意常数）C那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF .(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？定理定理关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF)(都都是是)(xf

3、的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()(xfxfCxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分不定积分(indefinite integral)的定义：的定义：在在区区间间I内内，()d()f xxF xC被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(.定义

4、定义原函数原函数例例1 1 求求5d.xx解解,656xx 656d.xxxC解解例例2 2 求求211d.xx ,11arctan2xx 211darctan.xxCx例例3 3 某商品的边际成本为某商品的边际成本为 ,求总成求总成 解解cxx21001002()()dC xxx其中 为任意常数cx2100 本函数本函数 .)(xC二、不定积分的几何意义函数函数)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xf的的积分曲线积分曲线.显然，求不定积分得到一显然，求不定积分得到一积分曲线族积分曲线族,横坐标横坐标 处处,任一曲线的切线有任一曲线的切线有相同的斜率相同的斜率.0 xx0 xy0

5、x在同一在同一实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.三、基本积分表基基本本积积分分表表1()d(k xkxCk是常数是常数);3d()ln;xxCx说明：说明：,0 xdln,xxCx )ln(,0 xx,1)(1xxx dln(),xxCxdln|,xxCx2141()dxx;arctanCx 2151()dxx;arcsinCx 6()cos dx x;sinCx 7()sin dx x;cosCx 28d()cos

6、xx2secdx x;tanCx 29d()sinxx2cscdx x;cotCx 10()sectan dxx x;secCx 11()csccot dxx x;cscCx 12()dxex;Cex 13()dxax;lnCaax 例例4 4 求积分求积分2d.xx x解解2dxx x52dxxCx 125125.7227Cx 1()()()df xg xx()d()d;f xxg xx证证()d()df xxg xx()d()df xxg xx).()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）四、不定积分的性质2()()d

7、kf xx()d.kf xx（k是是常常数数，)0 k例例5 5 求积分求积分解解223211()d.xxx223211()dxxx22113211ddxxxxxarctan3 xarcsin2 例例6 6 求积分求积分解解2211d.()xxxxx2211d()xxxxx2211()d()xxxxx2111dxxx2111ddxxxx.lnarctanCxx例例7 7 求积分求积分解解222121d.()xxxx222121d()xxxx22111ddxxxx.arctan1Cxx 例例8 8 求积分求积分解解112d.cosxx112dcosxx2112dcosxx.tan21Cx 说明：

8、说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.化积分为代数和的积分例例 9 9 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5,0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程.解解2dsecsin,dyxxx2secsindyxxx,costanCxx ,5)0(y,6 C所求曲线方程为所求曲线方程为.6costan xxy基本积分表（基本积分表（1）（）（13）不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定

9、积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系五、小结思考题思考题符号函数符号函数 0,10,00,1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),(思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.),()(xf结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.练习题练习题三、一曲线通过点三、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点

10、处的切线的斜，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.练习题答案练习题答案一、第一类换元法二、第二类换元法三、小结 思考题第二节 换元积分法问题2cosdx x,2sin)(Cx 解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xt2 12dd,xt2cosdx x12cos dt tCt sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法在一般情况下：设),()(ufuF 则()d().f uuF uC如果)(xu （可微）d ()()()dFxfxxx()()d()fxxxFxC()()d uxf uu 由此可得换元法定理设设)(uf具有

11、原函数，具有原函数，第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将()dg xx化为()()d.fxxx注意：观察点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理1定理如如何何求求解解？考考虑虑 xdx2sin解法12sindx x1122sin dcost ttC;2cos21Cx 解法22sindx x2 sincos dxx x22dt ttc ;sin2Cx 解法32sindx x2 sincos dxx x22dt ttC .cos2Cx 例1 求132d.xx解,)23(23121231 xxx132dxx1132232()dxxx112duuCu ln

12、21.)23ln(21Cx .，体体现现凑凑微微分分的的思思想想即即直直接接令令间间变变量量可可以以不不设设出出来来，注注：第第一一类类换换元元法法的的中中xdxfdxxxf 132dxx1ln|32|.2xC()df axbx1()df axbaxba一般地dxxx)23(23121 dxx 23 xdx2323121 xd23 例1 求132d.xx又解凑 微 分例2 求31d.()xxx解31d()xxx2311111d()()()xxxCxx 2)1(2111.)1(21112Cxx 例3 求112d.(ln)xxx解112d(ln)xxx112d(ln)lnxx11122 12d(l

13、n)lnxx1ln|12ln|.2xC例4 求22111111d;cosd;d;d;ln;.xxxxxxexxxxxexxeeexdxdxxe凑微分凑微分 )()()()(xdxfdxxxf 利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成中间变量的微分，常见的有：122221dd11dddd(ln|);1dd()dd()lncos dd(sin)sin dd(cos)secdd(tan)cscdd(cot)1dd(arcsin)d(arccos)11dd(arctan)d(cot)1nnxxxxxaxbaxxxxxnxexeaxaax xxx xxx xxx xxxxxxxxarcxx 例5 求

14、tandcotd.xxxx和sintanddcos1d(cos)ln cos.cosxxxxxxxCx 解coscotddsin1d(sin)ln sin.sinxxxxxxxCx tandln coscotdln sinxxxCxxxC 例6 求221d.xax解221dxax222111dxaxa2111dxaaxa.arctan1Caxa 2211darctanxaxCaax 例7 求221d.xax解221darcsinxaxCax 2222111dd11darcsin.1xxaaxxaxxCaaxa 例8 求221d.xax解2211dln2axxCaaxax 221111dd211

15、1dd211lnlnln.22xxaaxaxaxaxaxaaxaxaxaxaxcCaaax 例9 求解（一）1dsinxxcsc d.x xcsc dx x21222dtancosxxx122d tantanxxCx 2tanln.cotcsclnCxx csc dln csccotx xxxC 解（二）1dsinxxcsc dx x211d(cos)cosxx 211duu 111211duuu Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出sec dln sectanx xxxC例10 求21825d.xxx解21825dxxx22113413dxx211433413d

16、xx.34arctan31Cx 2211darctanxaxcaax例11 求1211()d.xxexx解,1112xxx 1211()dxxexx11d()xxexx.1Cexx 例12 求12321d.xxx原式232123212321dxxxxxxx11232144ddxxxx112323212188d()d()xxxx 33112321.1212xxC例13 求解2542sincosdsincosd.xx xxx x和.cossin个个的的提提出出来来凑凑微微分分有有一一个个为为奇奇数数时时，将将单单，的的解解题题思思路路：形形如如nmxdxxmn 222sin(1sin)d(sin)

17、xxx246(sin2sinsin)d(sin)xxxx357121sinsinsin.357xxxC25sincosdxx x.22cos1sin22cos1coscossin22降降幂幂，用用均均为为偶偶数数时时，的的解解题题思思路路：形形如如xxxxnmxdxxmn 242231cos21cos2sincosdd221(1cos2cos 2cos 2)d8xxxx xxxxxx 降幂拆项xxcoscos2例14 求解cos3 cos2 d.xx x),5cos(cos212cos3cosxxxx 1cos3 cos2 d(coscos5)d2xx xxxx11sinsin5.210 xx

18、C例15 求 sincoscossinsin1ddsincos2sincoscossin1dd2sincos1ln sincos.2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxC sindsincosxxxx .cossincossincossincossincossin拆项拆项令令的解题思路：的解题思路：形如形如 xBxAnxBxAmxbxadxxBxAxbxa解例16求解3533tandtansecddsincosd1cosx xxx xxxxxx 2222tan1sec,cot1cscxxxx例17 求解11dd.1cos1sinxxxx和 2211dd(sin)sinsinxxxx1cot

19、.sinxCx 21cosdsinxxx 21cosd1cosxxx 1d1cosxx 1d1sinxx 2211dd(cos)coscosxxxx21 sind1 sinxxx21 sindcosxxx1tan.cosxcx例18 求解21d.4arcsin2xxx 21d4arcsin2xxx 1d(arcsin)2arcsin2xx lnarcsin.2xC问题521d?xxx 解决方法改变中间变量的设置方法.过程令txsin dcos d,xt t 521dxxx 52(sin)1sincos dttt t 52sincosdtt t （应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法其其

20、中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数.证设 为 的原函数,)(t)()(ttf 令)()(xxF 则dd()ddtFxtx)()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数，()()d()()dtxf xxfttt 则有换元公式并且并且0)(t，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理2第二类积分换元公式()d()f xxF xC,)(Cx )(tf ).(xf 说明说明)(xF为为)(xf的原函数的原函数,例19 求 221d0.x aax 解法一第一类换元法解法二第二类换元法22sin,dcos d,2 211dcos dcosarcsi

21、nxatxat ttxat tataxdttcxca 令 ax例20 求解324d.xxx 令txsin2 2cos ddxt t 2,2t324dxxx 322sin44sin2cos dttt t 3232 sincosdtt t 2232 sin(1cos)cosdttt t 2432(coscos)dcosttt Ctt )cos51cos31(32532x例21 求解221d(0).xaxa 令taxtan 2dsecdxat t221dxxa 21secdsecat tat sec dt t 1)tanln(secCtt 22221lnln.xxaCxxaCaa 2,2t 2222

22、1dln(0)xxxaCaxa 解221d(0).xaxa 令taxsec 2,0tdsec tan dxatt t 221dxxa sectandtanatttat sec dt t 1)tanln(secCtt 22221lnln.xxaCxxaCaa 例21 求 22221dln(0)xxxaCaxa 说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令;sintax 22)2(xa 可令;tantax 22)3(ax 可令.sectax 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(2

23、)例22 求52d1xxx （三角代换很繁琐）21xt 令,122 txdd,x xt t 52d1xxx 221dtt tt 4221 dttt Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解说明(3)当分母的阶较高时,可采用倒代换.1tx 例23 求71d(2)xx x 令tx1 21dd,xtt 71d(2)xx x 721d12tttt 67d12ttt Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解例24 求解421d.1xxx 421d1xxx 令tx1 21dd,xtt 24211d111xttt （分母的阶较高）32d1ttt 2221d21tt

24、t 1d21uuu 111d(1)21uuu Cuu 11313.1131232Cxxxx 说明(4)当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数）lkxx,ntx n例25 求31d.(1)xxx 解令6tx 5d6 d,xtt 31d(1)xxx 5326d(1)tttt 226d1ttt 22116d1ttt 216dd1ttt 6arctanttC 666arctanxxC例26 求积分31d.11xxx 解 令16 xt56 dd,ttx31d11xxx 53216 dtttt 36d1ttt Ctttt|1|ln6632233662131616l

25、n(11).xxxxC注意 无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例27 求积分11dxxxx 解 令1xtx 21,xtx 说明(5)当被积函数含有t将将无无法法处处理理的的部部分分设设为为,nndcxbaxbax 21,1xt 222 dd,1t txt 11dxxxx 22221d1ttttt 22d21ttt 2121d1tt 12ln1ttCt 2112ln1.xxxCxx 例28 求解1d.1xxe xet 1令,12 tex22dd,1txtt 1d1xxe 22d1tt 11d11ttt Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx说明(6)当被积函数含有例29

26、求21d.122xxx 解cbxax 2根号内配方法根号内配方法 222211dd1221111tan,dsecd11secdd1seccos(1cos)xxxxxxtxt tt ttttt令原式 22211dcos1cos11dcos2cos2ln sectantan2221ln122.1tttttttttcxxxxxcx 说明(7)无理函数的积分方法要会用会选例2d4xxx 2sin,d2cos dxtxt t法一令 1xt法二令 24xt法三令.凑微分凑微分法四法四(14)tan dln|cos|;x xxC (15)cot dln|sin|;x xxC (16)sec dln|sect

27、an|;x xxxC (17)csc dln|csccot|;x xxxC 2211(18)darctan;xxCaaax 基本积分表2211(20)dln;2axxCaaxax 221(21)darcsin;xxCaax 22221(22)dln().xxxaCxa 2211(19)dln;2xaxCaxaxa 三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(14)（22）思考题求积分(ln)(ln1)d.pxxxx 思考题解答d(ln)(1ln)dxxxx (ln)(ln1)dpxxxx(ln)d(ln)pxxxx 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxp

28、Cpxxp练 习 题练习题答案一、基本内容一、基本内容二、小结二、小结三、思考题三、思考题第三节第三节 分部积分法分部积分法问题问题d?xxex 解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,vuvuuv ,vuuvvu 分部积分分部积分(integration by parts)公式公式一、基本内容例例1 1 求积分求积分cos d.xx x 解（一）解（一）令令,cos xu 21ddd2x xxvcos dxx x 22cossin d22xxxx x 显然，显然，选择不当选择不当，积分更难进行，积

29、分更难进行.vu,解（二）解（二）令令,xu cos ddsindx xxvcos dxx x dsinxx sinsin dxxx x.cossinCxxx 例例2 2 求积分求积分2d.xx ex 解解,2xu ddd,xxexev2dxx ex 22dxxx exex.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu ddxexv 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)例例3

30、 3 求积分求积分arctan d.xx x 解解令令,arctan xu 2ddd2xx xvarctan dxx x 22arctand(arctan)22xxxx 2221arctand221xxxxx 2211arctan(1)d221xxxx .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例4 4 求积分求积分3ln d.xx x 解解,ln xu 43ddd,4xxxv3ln dxx x 4311lnd44xxxx.161ln4144Cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积

31、，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .例例5 5 求积分求积分sin(ln)d.xx 解解sin(ln)dxx sin(ln)dsin(ln)xxxx 1sin(ln)cos(ln)dxxxxxx sin(ln)cos(ln)dcos(ln)xxxxxx sin(ln)cos(ln)sin(ln)dxxxxx sin(ln)dxx sin(ln)cos(ln).2xxxC例例6 6 求积分求积分sin d.xex x 解解sin dxex x sin dxxe sind(sin)xxexex sincos dxxexex x sincos dxxexxe sin(cosdcos)

32、xxxexexex(sincos)sin dxxexxex x sin dxex x.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式例例7 7 求积分求积分2arctand.1xxxx 解解 ,1122xxx 2arctand1xxxx 2arctan d1xx 221arctan1d(arctan)xxxx 22211arctan1d1xxxxx 2211arctand1xxxx 令令21d1xx 221secd1tant tt sec dt t Ctt )tanln(secCxx )1ln(22arctand1xxxx xx arctan12 .)1ln(2Cxx 解解()dxfx

33、x d()xf x ()()d,xf xf xx 2()d,xf xxeC ()d(),f xxf x 两边同时对两边同时对 求导求导,得得x,2)(2xxexf ()dxfxx ()()dxf xf xx 222xex .2Cex 合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式vu,二、小结思考题思考题 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？应注意什么？思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.u例例cos dxex x 第一次时若选第一次时若选xucos1 cos dxex x cossin d

34、xxexex x 第二次时仍应选第二次时仍应选xusin2 练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、六个基本积分一、六个基本积分二、待定系数法举例二、待定系数法举例三、小结三、小结 第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之为两个多项式的商表示的函数称之为有理函数有理函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.一、六个基本积分一、六个基本积分定义定义假定分子与分母之间没有公因式假

35、定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.理论上，理论上，任何一个有理函数任何一个有理函数(真分式真分式)都可分为都可分为以下六个类型的基本积分的代数和以下六个类型的基本积分的代数和:dlnxxaCxa 1d1()(1)()nnxCxanxa 22d1arctan()xxCaaxa 1.2.3.)2(

36、n4.5.6.2222d1ln()2x xxaCxa 22221d1()2(1)()nnx xCxanxa 22d()nxxa (2)n (2)n 可用递推法求出可用递推法求出（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中其中kAAA,21都是常数都是常数.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;axA 二、待定系数法举例（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMq

37、pxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM,都是常数都是常数),2,1(ki.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx ,3)23(,1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并

38、将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,1,02,02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得例例4 4 求积分求积分 21d.(1)xx x 21d(1)xx x 2111d1(1)xxxx 2111ddd1(1)xxxxxx 1ln|ln|1|.1xxCx 解解例例5 5 求积分求积分 解解21d.(12)(1)xxx 2421555dd121xxxxx

39、21d(12)(1)xxx 2221211ln(12)dd55151xxxxxx2211ln(12)ln(1)arctan.555xxxC例例6 6 求积分求积分解解3621d.1xxxxeee 令令6xet ,ln6tx 6dd,xtt 3621d1xxxxeee 3216d1ttttt 216d(1)(1)tttt 26333d11ttttt 236ln3ln(1)ln(1)3arctan2ttttC26333d11ttttt 63633ln(1)ln(1)3arctan().2xxxxeeeC36ln3ln(1)2tt222d(1)13d11tttt 说明说明 将有理函数化为部分分式之和

40、后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分讨论积分2d,()nMxNxxpxq ,42222pqpxqpxx 令令tpx 2,422pqa ,2MpNb 则则2d()nMxNxxpxq 22d()nMttta 22d()nbtta ,222atqpxx ,bMtNMx 记记,1)2(n2d()nMxNxxpxq 122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.,1)1(n)ln(22qpxxM ;2arc

41、tanCapxab 结论：有理函数都可积，且积分结果可能的形式为有理函数、反正切函数、对数函数及它们之间的组合。2dMxNxxpxq 有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三、小结思考题思考题任何有理函数都有原函数吗？任何有理函数都有原函数吗？任何初等函数都有原函数吗？任何初等函数都有原函数吗？都能求出其原函数吗？都能求出其原函数吗？思考题解答思考题解答任何有理函数都有初等原函数，任何初等函数任何有理函数都有初等原函数，任何初等函数在其连续区间内也有原函数，但并不是所有连在其连续区间内也有原函数，但并不是所有连续的初等函数都有初等原函数，如：续的初等函数都有初等原函数，如：24sindddd.ln1xxxxxexxxx ，即有些初等函数是不可积的。即有些初等函数是不可积的。练习题练习题4.4.有理函数的原函数都是有理函数的原函数都是_._.练习题答案练习题答案