清华大学数学实验小结：科学计算中的基本概念课件.ppt

1、大学数学实验大学数学实验Mathematical Experiments 小结：科学计算中的基本概念小结：科学计算中的基本概念A JokeAnother Joke科学计算研究的核心问题算法的构造算法的构造算法的分析算法的分析 了解、理解、选择、使用了解、理解、选择、使用分析、改进、创造、创新分析、改进、创造、创新构造算法的基本手段构造算法的基本手段:近似近似研究算法的核心问题研究算法的核心问题:近似对计算结果的影响近似对计算结果的影响科学计算中的基本概念 收敛性收敛性(or 复杂度复杂度)-误差估计和分析误差估计和分析 -收敛速度收敛速度 病态性病态性 稳定性稳定性研究的出发点研究的出发点:误

2、差误差 !误差 计算地球的表面积计算地球的表面积:A=4r2 模型误差：模型误差：地球被看成是一个球地球被看成是一个球地球的简单理想模型地球的简单理想模型 测量误差测量误差:测量仪器误差和前面的计算误差测量仪器误差和前面的计算误差地球的半径要经过测量和计算得到地球的半径要经过测量和计算得到 截断误差：截断误差：公式中的公式中的是无理数，取为是无理数，取为3.143.14 舍入误差：舍入误差：浮点数的计算浮点数的计算 浮点数(LsU)stddd21.一般非零一般非零进制数进制数(d1非非0)1()1(,11tUtiiULMmMfm|(非非零零)浮点数浮点数 f尾数尾数阶码阶码IEEE标准标准(7

3、54):2进制进制(Float)符号符号 尾数尾数 阶码阶码 位移位移(Bias)single 1 23 8 127double 1 52 11 1023 (1+f)2e,0f1-126e127-1022e0微分方程稳定微分方程稳定),(1nnnnyxhfyy向前欧拉公式向前欧拉公式向后欧拉公式向后欧拉公式11nnnyyh y经典经典龙格龙格-库塔公式库塔公式2.785/h算法稳定算法稳定)(,()(,(),(*yyyxfxxyxfyxfyyx0,yy(特征根特征根-)nnh)1(1nkn11h2/h111nnhh任意任意xycenyh)1(思考与练习 二次代数方程的求根，下面公式分别在何时更

4、好？二次代数方程的求根，下面公式分别在何时更好？aacbb242acbbc422 sin(x)用下面公式计算，如何控制精度？用下面公式计算，如何控制精度？exp(x):x=0.0005 T=T+0.1;t1=T-0.1,T;x1=x(n,:);t2,x2=ode45(chuan,t1,x1);n1=length(t2);n=n+1;x=x;x2(n1,:);t=t;T;endn1=length(t);t(1:10),x(1:10,:),t(n1-10):n1),x(n1-10):n1,:),Tpauseplot(t,x),grid,xlabel(t),ylabel(x1,x2),gtext(x

5、1(t),gtext(x2(t),pauseplot(x(:,1),x(:,2),grid,xlabel(x1),ylabel(x2)pausev1=1;v2=2;k=v1/v2;x1=d/2*(x(:,2)/d).(1-k)-(x(:,2)/d).(1+k);x(1:10,:),x1(1:10),x(n1-10):n1,:),x1(n1-10):n1),xiaochuan.m t x y 0 0 100.0000 0.1000 0.0999 99.8000 0.2000 0.1996 99.6000 0.3000 0.2991 99.4000 0.4000 0.3984 99.2000 0.

6、5000 0.4975 99.0000 0.6000 0.5964 98.8000 0.7000 0.6951 98.6000 0.8000 0.7936 98.4000 0.9000 0.8919 98.2000.t x y.65.6000 1.0660 0.0455 65.7000 0.9661 0.0374 65.8000 0.8663 0.0300 65.9000 0.7664 0.0235 66.0000 0.6665 0.0178 66.1000 0.5665 0.0128 66.2000 0.4666 0.0087 66.3000 0.3666 0.0054 66.4000 0.

7、2666 0.0028 66.5000 0.1666 0.0011 66.6000 0.0666 0.00020102030405060700102030405060708090100tx1,x2x1(t)x2(t)024681012141618200102030405060708090100 x1x2解决方法解决方法2)使y 由正变负时，由正变负时，dy/dt不变号2222221/yxyvdtdyyxxvvdtdx2222221/yxyvdtdyyxxvvdtdx改变变量t，y的地位：y从d到02222221/yxyvdtdyyxxvvdtdx2222222221/1/yxyvdydtyxy

8、vyxxvvdydx解决方法解决方法3)解决方法解决方法 4)运动观点（细节略去）：运动观点（细节略去）：以河水为参照系，目标点以水速运动以河水为参照系，目标点以水速运动 变成与书上例题（缉私问题）类似处理变成与书上例题（缉私问题）类似处理21222vvdvT点小船不能到达且秒时秒时秒时秒时结果同理可计算时当BTvTvTvTvsmvv,5.242,24.113,5.14.53,5.050,0:,)/(2,5.1,5.0,0,2111112c)计算结果计算结果v1(米/秒)0 0.5 1 1.5 2T (秒)50 53.4 66.7 113.4 (无法到达B点)思考思考:如何尽快达到目的地如何尽快达到目的地?(变分法变分法!)21222vvdvT孔子曰孔子曰:“学而不思则罔学而不思则罔,思而不学则殆。思而不学则殆。”-与同学们共勉！与同学们共勉！谢谢 谢！谢！