第一章状态空间表达式课件.ppt

1、第一章状态空间表达式第一章状态空间表达式一、控制系统中状态变量的基本概念一、控制系统中状态变量的基本概念 1.系统的状态与状态变量系统的状态与状态变量 l l 状态：能够完全描述系统时域行为的最小变量状态：能够完全描述系统时域行为的最小变量 组。组。l l 状态变量：构成系统状态的变量。即状态变量组的每一个变量。状态变量：构成系统状态的变量。即状态变量组的每一个变量。2.状态向量状态向量 由系统的状态变量构成的向量由系统的状态变量构成的向量(矢量矢量)。3.状态空间状态空间 由状态变量坐标轴构成的由状态变量坐标轴构成的n维空间。维空间。4.总结总结 返回主页返回主页 二、控制系统中状态空间表达

2、式及结构框图二、控制系统中状态空间表达式及结构框图 1.状态空间表达式的一般形式（四种）状态空间表达式的一般形式（四种）(t)uD(t)xC(t)y(t)uB(t)xA(t)x1rrmnnm1m1rrn1nnn1n1(t)(t)uD(t)(t)xC(t)y(t)(t)uB(t)(t)xA(t)x1rrmnnm1m1rrn1nnn1n1（1）线性定常系统状态空间表达式 （2）线性时变系统状态空间表达式（3）非线性定常系统状态空间表达式（4）非线性时变系统状态空间表达式),(),()(),(),()(11ttutxgtyttutxftxmn)(),()()(),()(11tutxgtytutxft

3、xmn 输入向量、输出向量、状态向量 状态方程为一阶微分方程组的向量矩阵表示形式 输出方程为代数方程组的向量矩阵表示形式 研究重点为线性定常系统（A、B、C、D常数矩阵）2.控制控制系统结构图系统结构图 Bxy 1/s C A Dux注意：信号线为向量传递，矩阵乘法不存在交换律，矩阵下标角码要符合矩阵运算条件。状态空间表达式的模拟结构图举例1：状态空间表达式如下所示，试绘制模拟结构图。展开成一阶方程组的形式为采用古典控制理论中的方框图绘制法则和积分组件可以方便的获得系统的模拟结构图；模拟结构图清楚的反映了系统输入、输出和内部状态各变量（每一个标量）之间的内在联系。返回主页xyuxx611430

4、12)(6)()()()(3)()(4)()(2)(2122211txtxtytutxtxtutxtxtx三三.根据物理模型建立状态空间表达式根据物理模型建立状态空间表达式1依据物理模型建立状态空间表达式的步骤 (1)确定输入u（t）和输出y（t）和状态x（t）。其中状态变量x（t）的维数等于物理系统中独立蓄能元件的个数；(2)根据系统物理特性由输入到输出列写描述系统动态特性或运动规律的代数方程和微分方程组；（3）去掉多余的中间变量，得出状态变量的一阶导数与各状态变量、输入变量的关系式。方程整理成状态空间表达式的标准形式。2 应用举例（1）三容水箱（2）无源网络 返回主页例1：三容水箱。输入量

5、：第一个水箱入水流量q1(t)。输出量：第三个水箱的水位h3(t)。列写状态空间表达式，并绘制模拟结构图。Ai水箱截面积，Ri管路流动阻力。返回q1(t)h3(t)q 4(t)q 3(t)q 2(t)R1R2R3h2(t)h1(t)例2：图示阻容电路。输入量：输入电压u1（t）。输出流量：电容上的电压u2（t）。列写状态空间表达式。返回u1（t）u2（t）i1（t）i2（t）R1R2LC四四.根据微分方程或传递函数建立状态空间表达式根据微分方程或传递函数建立状态空间表达式1、控制系统的原始模型为微分方程控制系统的原始模型为微分方程（1）微分方程不含输入导数项；微分方程不含输入导数项；（2）微分

6、方程含输入导数项，且输出项阶次高于输入项阶次；微分方程含输入导数项，且输出项阶次高于输入项阶次；（3）微分方程含输入导数项，且输出项阶次等于输入项阶次；微分方程含输入导数项，且输出项阶次等于输入项阶次；2 2、控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式（1）无重极点；无重极点；（2）有重极点；有重极点；（3）极点个数与零点个数相同。（含有）极点个数与零点个数相同。（含有D阵，自学推导过程）阵，自学推导过程）3、多输入、多输入/多输出系统状态空间表达式的列写多输出系统状态空间表达式的列写 返回主页1、控制系统的原始模型为微分方程控制系统的原始模型为微

7、分方程（1）微分方程不含输入导数项；微分方程不含输入导数项；0122300012)()(asasasbsUsYubyayayay xbyuxaaax001001000100210 绘制模拟结构图，设置状态变量得状态空间表达式为绘制模拟结构图，设置状态变量得状态空间表达式为：返回 1、控制系统的原始模型为微分方程控制系统的原始模型为微分方程（2）微分方程含输入导数项，微分方程含输入导数项，且输出项阶次高于输入项阶次且输出项阶次高于输入项阶次 012230122012012)()(asasasbsbsbsUsYubububyayayay xbbbyuxaaax210210100100010 状态空

8、间表达式为：状态空间表达式为：返回1、控制系统的原始模型为微分方程控制系统的原始模型为微分方程（3）微分方程含输入导数项，微分方程含输入导数项，且输出项阶次等于输入项阶次且输出项阶次等于输入项阶次 状态空间表达式为：状态空间表达式为：返回0122301223012230122330123012)()(asasasbsbsbbasasasbsbsbsbsUsYububububyayayay ubxbbbyuxaaax32102101001000102 2、控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式（1）无重极点；）无重极点；)()()()()()()

9、()(csCbsBasAcsbsassFsUsY)()(1);()(1);()(1)()()()()()()(321sUcsXsUbsXsUasXsUcsCsUbsBsUasAsYxCBAyuxcbax111000000返回2 2、控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式控制系统的原始模型为传递函数的零极点分布形式（2）有重极点；）有重极点；得状态空间表达式：得状态空间表达式：)()()()()()(22asCasBsAasssFsUsY321332212)()(1;)(1)()(1);(1)()()()()()(CxBxAxysUasXXassUasXsUsXsUasCsUasBsUsA

10、sYxCBAyuxaax1010010000返回举例：举例：可以直接设状态变量列写状态空间表达式可以直接设状态变量列写状态空间表达式：返回212221211gufyeyyducubyyay 2133213222311211,gufxexxducubxaxxyxxyxyx100001000000102121332132221yuugdcxefbaxgufxexxducubxaxxxx3、多输入多输出系统状态空间表达式的列写多输入多输出系统状态空间表达式的列写根据方框图建立状态空间表达式根据方框图建立状态空间表达式 1典型环节转换成模拟结构图 2.由模拟结构图写状态空间表达式由模拟结构图写状态空间

11、表达式 3.应用举例应用举例（自学）（自学）例例11：P55-56 1-3-P55-56 1-3-（a a）例例22：P55-56 1-3-P55-56 1-3-（b b）返回主页 1/s asb1Tskasbsbassk2六六.由状态空间表达式求传递函数矩阵由状态空间表达式求传递函数矩阵1、单输入单输出系统的传递函数单输入单输出系统的传递函数 由状态空间表达式得：由状态空间表达式得：与古典控制理论的传递函数定义比较得：与古典控制理论的传递函数定义比较得：结论：结论：传递函数的分母为系统矩阵传递函数的分母为系统矩阵A的特征多项式；的特征多项式；传递函数的极点为系统矩阵传递函数的极点为系统矩阵A

12、的特征值。的特征值。AsIAsIdbAsIcdbAsIcsUsYsGducxybuAxxnnnnnnnn1111111*)()()()()(012230122)()()(asasassbsbsbssUsYsGnm2多输入多输出系统的传递函数矩阵多输入多输出系统的传递函数矩阵3应用举例应用举例 例例11：例例22：P32 P32（例（例1-121-12）说明传递函数矩阵中各元素表示的物理意义。）说明传递函数矩阵中各元素表示的物理意义。返回主页rmrnnnnmrmrrmnnmmrrnnnnnDBAsICsGuDxCyuBxAx1111111)()(12)(210121102ssssGxyuxx 2

13、355.05.1)(5.115.0100235100010232ssssssGxyuxx 七七.组合系统的状态空间表达式的传递函数矩阵组合系统的状态空间表达式的传递函数矩阵已知两个独立系统的数学模型传递函数和状态空间表达已知两个独立系统的数学模型传递函数和状态空间表达式如下所示。式如下所示。研究系统间各种连接后的数学模型研究系统间各种连接后的数学模型1、串联、串联2、并联、并联3、反馈连接、反馈连接 返回主页)(),();(),(222222111111sGDCBAsGDCBA（1）系统结构图及串联的条件系统结构图及串联的条件（2）状态空间表达式）状态空间表达式（3）传递函数矩阵）传递函数矩阵

14、 返回12y1=u2u1=uy=y2uDDxxCCDyuDBBxxACBAxxX0122121212121212121)()()(12sGsGsG1.串联2.并联并联（1）系统结构图及串联的条件系统结构图及串联的条件（2）状态空间表达式）状态空间表达式（3）传递函数矩阵）传递函数矩阵 返回12u=u1=u2y1y2yuDDxxCCyuBBxxAAxxX0012212121212121)()()(12sGsGsG3.反馈连接反馈连接（1）系统结构图及串联的条件系统结构图及串联的条件（2）状态空间表达式）状态空间表达式（3）传递函数矩阵）传递函数矩阵 返回12-y2y=y1=u2u1u211121

15、2122112100 xxCyuBxxACBCBAxxX)()()()()()()(11211121sGsGsGIsGsGIsGsG状态空间表达式的特征标准型状态空间表达式的特征标准型一种最能直接反映系统内部特性的状态空间表达式一种最能直接反映系统内部特性的状态空间表达式1、系统状态的线性变换系统状态的线性变换2、系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量 3、化状态空间表达式为对角标准型化状态空间表达式为对角标准型4、化状态空间表达式为约旦标准型、化状态空间表达式为约旦标准型1.系统状态的线性变换系统状态的线性变换（1）线性变换的方法）线性变换的方法l l 系统在系统在x状态空间表达式为：

16、状态空间表达式为：l l Tnn为任意非奇异矩阵，为任意非奇异矩阵，n为系统状态空间的维数。为系统状态空间的维数。l l 设设 作线性变换，得系统在新的状态空间的表达式为作线性变换，得系统在新的状态空间的表达式为：DuCxyBuAxx xTx uDxCDuxCTyuBxAuBTxATTx)()()(11（2）线性变换的特点）线性变换的特点 l l 线性变换不改变系统的传递函数矩阵；线性变换不改变系统的传递函数矩阵；l l 线性变换不改变系统的特征方程；线性变换不改变系统的特征方程；l l 系统的状态空间表达式是非唯一的，但输系统的状态空间表达式是非唯一的，但输入输出特性是唯一的。入输出特性是唯

17、一的。（3 3）线性变换在系统性能分析中的作用线性变换在系统性能分析中的作用 根据需要，选择确定的变换阵，使状态空间根据需要，选择确定的变换阵，使状态空间表达式的形式规范化。便于进行系统的性能分析。表达式的形式规范化。便于进行系统的性能分析。返回 2.系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量（1）系统的特征值系统的特征值l l 系统系统l l 特征多项式：特征多项式：l l 特征方程：特征方程：l l 特征值（特征根）：特征值（特征根）：特征方程的解。特征方程的解。DuCxyBuAxxDCBA:),(0111)(aaaAIfnnn00111aaaAInnnn,21 （2）系统的特征向量）系

18、统的特征向量 若存在一个若存在一个n维非零向量维非零向量pi满足满足 则称则称pi为系为系统对应于特征值统对应于特征值i的特征向量。特征向量是非唯一的。的特征向量。特征向量是非唯一的。（3）系统的广义特征向量）系统的广义特征向量 设设i为系统的重根，为系统的重根，pi为系统对应于为系统对应于i的特征向量，的特征向量，则存在同维非零向量则存在同维非零向量pi+1，pi+2，且满足，且满足 则称则称pi+1，pi+2为系统对应于特征值为系统对应于特征值i的广义特征的广义特征向量。广义特征向量的个数等于特征根向量。广义特征向量的个数等于特征根i重根的个数。重根的个数。广义特征向量亦是非唯一的。广义特

19、征向量亦是非唯一的。（4）特征向量和广义特征向量的作用特征向量和广义特征向量的作用 构成线性变换阵，化状态空间表达式中的状态阵构成线性变换阵，化状态空间表达式中的状态阵A为为对角标准型或约旦标准型。对角标准型或约旦标准型。返回返回iiipAp121)()(iiiiiippAIppAI3.3.化状态空间表达式为对角标准型化状态空间表达式为对角标准型 （1）化对角标准型的条件：系统特征根无重根。化对角标准型的条件：系统特征根无重根。（2）化对角标准型的方法化对角标准型的方法 l l 计算特征值计算特征值1 1，2 2，n n；l l 求特征值求特征值1 1，2 2，n n对应的特征向量对应的特征向

20、量p p1 1，p p2 2，p pn-1n-1，p pn n；l l 选择线性变换阵选择线性变换阵p=p=p p1 1 p p2 2 p pn-1 n-1 p pn n；l l 对原状态空间表达式实施线性变换得对角标准型为：对原状态空间表达式实施线性变换得对角标准型为：DuxCPyuBPxuBPxAPPxN)()()()(12111（3）应用举例应用举例 例例1：系统状态空间表达式为：系统状态空间表达式为 ，化对角，化对角标准型。标准型。解：解：求求 特征值：特征值：1=-1，2=-2。求特征向量：求特征向量：xyuxx300231201222323120121111211121112111

21、21211121112111111ppppppppppppppppApp113222312022212222122212221222221222122212222ppppppppppppppppApp 求线性变换阵：求线性变换阵：对原状态空间表达式实施线性变换：对原状态空间表达式实施线性变换：例例22：P39P39例例1-151-15。例例33：P42P42例例1-161-16。返回 2111211111121111212221121121PppppppPxyuxuBPxAPPx33222001)()(114.化状态空间表达式为约旦标准型化状态空间表达式为约旦标准型 （1）化约旦标准型的条件：

22、特征根具有重根。化约旦标准型的条件：特征根具有重根。（2）化约旦标准型的方法化约旦标准型的方法 l l 计算特征值计算特征值1=2（二重根），（二重根），3，n；l l 求特征值求特征值1，2，n对应的特征向量和广义特征向量对应的特征向量和广义特征向量p1，p2，pn-1，pn；l l 选择线性变换阵选择线性变换阵p=p1 p2 pn-1 pn；l l 对原状态空间表达式实施线性变换得约旦标准型为：对原状态空间表达式实施线性变换得约旦标准型为：DuxCPyuBPxuBPxAPPxN)()(00000000001)()(11111（3）应用举例应用举例 例例1：系统状态空间表达式为：系统状态空间

23、表达式为 ，化约旦标准型。，化约旦标准型。解：解：求特征值：求特征值：1=2=-3。求特征向量：求特征向量：求广义特征向量求广义特征向量：xyuxx1024691031336933691032111121112111211121211121112111111ppppppppppppppppApp10131336931369103221222212221222122222122111221222121222pppppppppppppppppppApp 求线性变换阵求线性变换阵：对原状态空间表达式实施线性变换对原状态空间表达式实施线性变换：例例2：P45 例例1-16 例例3：P45 例例1-17

24、 返回主页1301130112221121121PppppppPxyuxuBPxAPPx131443013)()(11离散系统状态空间表达式离散系统状态空间表达式 1.1.离散系统状态空间表达式的形式离散系统状态空间表达式的形式（1）线性定常系统：线性定常系统：（2）线性时变系统：线性时变系统：（3）系统结构框图：系统结构框图：)()()()()()1(111111kuDkxCkykuHkxGkxrrmnnmmrrnnnnn)()()()()()()()()()1(111111kukDkxkCkykukHkxkGkxrrmnnmmrrnnnnn 1/z G H C Dy（k）x（k）x（k+1

25、）u（k）2离散系统状态空间表达式的求取和模拟结构离散系统状态空间表达式的求取和模拟结构图的绘制图的绘制 （1）由差分方程或脉冲传递函数化状态空间表达式由差分方程或脉冲传递函数化状态空间表达式（以三阶系统为例）（以三阶系统为例）l l 输入只有输入只有b0 u（k）时时差分方程为：差分方程为：脉冲传递函数为：脉冲传递函数为：建立状态空间表达式：建立状态空间表达式：设：设：)()()1()2()3(0012kubkyakyakyaky012230)()(azazazbzUzY)3()1()1()2()()1()1()()()(323121kykxkxkykxkxkykxkykx得：整理得：整理得

26、：系统状态空间表达式为系统状态空间表达式为：)()()()()()3()1()()1()()1(1032211033221kxbkyukxakxakxakykxkxkxkxkx)(00)()(100)(100010)1(0210kxbkykukxaaakx模拟结构图为：模拟结构图为：l l 输入包括输入包括 u u（k k），），u u（k+1k+1），），u u（K+2K+2）时（自学）时（自学）l l 输入包括输入包括 u u（k k），），u u（k+1k+1），），u u（K+2K+2），），u u（K+3K+3）时（自学）时（自学）（2 2）脉冲传递函数为零极点分布形式化状态空间表达

27、式（自学）脉冲传递函数为零极点分布形式化状态空间表达式（自学）返回主页 1/z 1/z 1/z -a0-a1-a2 b0u（k）x（k+3）x（k+2）y（k）x（k+1）x（k）十.由离散系统状态空间表达式求脉冲传递函数离散系统状态空间表达式求脉冲传递函数 已知离散控制系统的状态空间表达式为：已知离散控制系统的状态空间表达式为：利用零初始条件下的利用零初始条件下的z变换可得：变换可得：返回主页)()()()()()1(111111kuDkxCkykuHkxGkxrrmnnmmrrnnnnnrmrnnnnmrmDHGzICzUzYzG1)()(/)()(单元练习单元练习11、已知系统传递函数为 ，试用串联和并联方式绘制系统模拟结构图，写出系统的状态空间表达式。2、已知系统的状态空间表达式如下所示。化约对角型或约旦标准型。求传递函数。3、已知离散系统的差分方程，求状态空间表达式。绘制模拟结构图。返回)23)(3(32)()(2sssssUsYxyuxx10111102xyuxx31012102)(8)2(2)(6)1(4)2(2)3(2kukukykykyky