虚功原理讲解课件.ppt

1、第第 九九 章章 虚功原理 和和结构位移计算9.1 位移计算概述位移计算概述1。位移计算的目的位移计算的目的 验算结构的刚度（刚度条件、施工控制）计算超静定结构（力法）2。结构位移的分类结构位移的分类 位移位移与变形变形（外因作用下）刚体位移刚体位移与形变位移形变位移 线位移线位移：点沿直线移动；角位移角位移：截面转动 广义力广义力与广义位移广义位移3。位移计算的原理与方法位移计算的原理与方法 积分法求挠曲线方程 实功原理求位移能量法（功能原理）能量法（功能原理）虚功原理单位荷载法单位荷载法 线弹性体位移计算线弹性体位移计算 应用条件应用条件（亦即叠加原理叠加原理的应用条件）：材料满足虎克定律

2、 结构变形微小，不影响力的作用。（续）MyEI 9.2 虚功和虚功原理虚功和虚功原理 虚功的概念虚功的概念（虚功不虚！）力力P与经历的位移位移独立无关独立无关（无因果关系！）“虚功”区别于“实功”，并非不存在。虚功原理虚功原理（包含虚位移原理和虚力原理）定义：外力所做的虚功等于外力产生的内力在外力所做的虚功等于外力产生的内力在 微段上所做的虚功之和微段上所做的虚功之和。虚功方程：虚功方程：外力虚功外力虚功=内力虚功内力虚功（）虚位移原理虚位移原理 位移状态位移状态：可能的位移；力状态力状态：真实的平衡力系。ieWW（续）虚力原理虚力原理 位移状态位移状态：真实的位移（拟求）；力状态力状态：虚拟

3、的平衡力系（加单位荷载）。微元分析微元分析（计算变形体内力虚功）广义力：N、Q、M；广义位移：d、d、d 广义虚力：、微元内力虚功：MQNdMdQdNdWi9.3 单位荷载法及其位移计算公式单位荷载法及其位移计算公式 虚拟力虚拟力单位荷载（最简）P=1 或 M=1 或 广义单位力（成对）总外力虚功：总内力虚功：位移计算的一般公式：位移计算的一般公式：cRdMdQdNcRP9.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算1。假设材料是线弹性的假设材料是线弹性的（满足虎克定律）轴向应变：平均切应变：弯曲应变：dsEANdsdEANPP,dsGAQkdsdGAQkPP00,dsEIMdsdEIMPP

4、,（续）2。直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式：直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式：3。荷载作用下位移计算的步骤：荷载作用下位移计算的步骤：沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；由静力平衡条件，求出结构虚内力 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM 代入如上公式，计算。dsGAQQkdsEANNdsEIMMPPPNQ M 梁和刚架梁和刚架 （仅取一项）桁架桁架 组合结构组合结构 拱拱 微弯曲杆微弯曲杆（同梁）4。各类结构的位移计算公式各类结构的位移计算公式dsEIMMPlEANNdsEANNPP（链杆）（梁式杆）lEANNdsEIMMPPdsEANNdsEIMMPP5。荷载作用下

5、位移计算荷载作用下位移计算举例举例（积分法）例例1.求刚架（折杆）自由端A点的竖向位移（挠度）AY（E、I、A=常数）。llCABAqxxCABxxP=1虚拟状态（力）虚拟状态（力）实际状态（位移、变形）实际状态（位移、变形）1.逐杆建立坐标系，并分别写出实际状态 的各杆内力方程。AB段：BC段：qxQNqxMPPP,0,220,22PPPQqlNqlM解：（续）2.在A点加一竖向单位荷载作为虚拟状态，并 写出该状态内力方程。AB段：BC段：3.代入位移计算公式：1,0,QNxM0,1,QNlMdsGAQQkdsEANNdsEIMMPPPAV22422422400002225215218554

6、58185285)(1()(1(2)(2)(lhGElhEIqlGAlkEIAlIEIqlGAkqlEAqlEIqlGAdxqxkEIdxqlEIdxqllEIdxqxxllll（续）500175011854EIql其中，设 h/l=1/10，取G=0.4E，k=1.2结论结论：对于浅梁，轴力和剪力影响所占比重不大。轴力项和剪力项通常可略去，仅取弯矩项。（续）例例2.计算图示桁架下弦中点C的挠度。已知各杆弹性模量 ，截面面积 。kPaE8101.2 212cmA 求桁架如下位移：D点水平位移 DB间距改变 CD高差改变 CE杆转角 CD杆与CE杆相对转角（夹角夹角DCE改变量改变量）思考：思考

7、：虚拟状态（单位荷载）的选取例例3.图示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧AB的圆心角为，半径为R。设沿水平线作用均布荷载q，求B点的竖向位移。并比较剪切变形和轴向变形对位移的影响。实际实际状态状态虚拟虚拟状态状态忽略小曲率杆的曲率影响，仍用直杆位移公式。实际荷载 虚拟荷载 坐标变换坐标变换：cossin212qxQqxNqxMPPPcossinQNxMRddsRyRx,)cos1(,sin（续）*例例4.试求图示简支梁在中点C的竖向位移，并比较 弯曲变形与剪切变形对位移的影响（梁的截面为矩形：bh）。ql/2ABl/2CxP=1l/2ABl/2Cx实际位移状态实际位移状态虚拟力状态虚

8、拟力状态EIqlCV38454答案答案：9.5 图乘法图乘法 （维利沙金,1925）一、图乘法的应用条件一、图乘法的应用条件：直杆 EI不变 至少有一个直线弯矩图 （竖标 应取自直线图）二、图乘法的计算公式二、图乘法的计算公式01)(yAEIsdEIMMP0y公式推导示意图公式推导示意图0001)tan(1)(tan1tan1)tan(11)()(yAEIxAEIAxEIdxxMEIdxMxEIdxMMEIdsEIxMxMdsEIMMBAkBAkBAkiBAkiBAP 三、图乘法公式的推导三、图乘法公式的推导0yA与（同侧为正、异侧为负）同侧为正、异侧为负）四、图乘的分段和分块叠加四、图乘的分

9、段和分块叠加1.常见图形的面积和形心常见图形的面积和形心 凸抛物线：凹抛物线：短）()2(21,1lnnxhlnnSc短）(21,11lnxhlnSc2.折线分段图乘与变截面分段图乘折线分段图乘与变截面分段图乘3.复杂图形分块图乘复杂图形分块图乘（面积和形心位置难确定）五、图乘法计算位移五、图乘法计算位移举例举例求承受均布荷载的简支梁的跨中挠度。求承受均布荷载的简支梁的跨中挠度。（思考思考：能否整块图乘？）求悬臂梁自由端挠度求悬臂梁自由端挠度（多种荷载分块）)(4433111420 EIqllqllEIyAEIsdEIMMPB（错在哪错在哪?!）求伸臂梁悬臂端转角求伸臂梁悬臂端转角（跨内外分段

10、、分块）求三类刚架的位移与广义位移求三类刚架的位移与广义位移（相对位移）求在水压作用下刚架求在水压作用下刚架C、D两点相对水平位移，两点相对水平位移，EI=常数。常数。求三铰刚架铰求三铰刚架铰C左、右两截面的相对转角，左、右两截面的相对转角，EI=常数。常数。求组合结构位移求组合结构位移（区分梁式杆与链杆公式）9.6 温度变化时的位移计算温度变化时的位移计算 静定结构温度变化温度变化时不引起内力，但结构产生 变形和位移；应用单位荷载法单位荷载法的位移公式；内力虚功表达式（不产生剪切变形不产生剪切变形）：关键关键：求出由于温度变化引起的应变求出由于温度变化引起的应变dsMNMddN)()(曲率、

11、温度变化时变形微元分析温度变化时变形微元分析上下缘温差上下缘温差：平均温变平均温变：或或（后式仅用于截面不对称于形心轴，即 时）)(21210ttt)(1212ttttt21hh hhthtt12210（续）当材料线膨胀系数为，微段ds变形为：hthttdshttdsdtdstdsd)(,)(,121200 计算温度变化引起的位移公式：计算温度变化引起的位移公式：dstNdshtMt0 若 沿各杆全长为常数，则公式为：tt、0NMtAtAhtdsNtdsMht00 正负号规定正负号规定：轴力轴力 以拉力为正，以拉力为正，以温度升高为正；以温度升高为正；弯矩弯矩 和温差和温差 引起同向弯曲为正，

12、异向为负。引起同向弯曲为正，异向为负。N0tMt（续）算算 例例 试求图示刚架C点的竖向位移。a=4m,=0.00001,各杆截面为矩形，截面高度 h=40cm.MN解解：（续）9.7 支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算 静定结构静定结构当支座有移动时，将发生刚体位移，不引起应变，也不引起内力不引起内力。刚体位移刚体位移可用几何方法计算，也可用虚功原理 求解。单位荷载法单位荷载法的计算公式为：式中，c为实际的支座移动，是与 P=1平衡 的支座反力。cRcR 计算支座移动引起位移的步骤计算支座移动引起位移的步骤:沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载；据平衡条件求相应于支座移动c方向的虚反力 ；

13、由公式 计算位移；RcRc（续）算例算例：求刚架由于支座下沉引起的位移求刚架由于支座下沉引起的位移刚架A支座下沉求求B点水平位移点水平位移求截面求截面B转角转角9.8 线性变形体系的互等定理线性变形体系的互等定理 功的互等定理功的互等定理 在任一线性变形体在任一线性变形体系中，第一状态的外力系中，第一状态的外力在第二状态位移上所作在第二状态位移上所作的虚功的虚功W12；等于第二状等于第二状态的外力在第一状态位态的外力在第一状态位移上所作的虚功移上所作的虚功W21。外力虚功互等外力虚功互等：1872年E.Betti(意大利）2112WW证明：证明：1221PP2112WW 位移互等定理位移互等定

14、理由功的互等定理：故因有（续）在任一线性变形体系中，由单位荷载在任一线性变形体系中，由单位荷载P1=1引起的与荷载引起的与荷载P2相相应的位移在数值上等于由单位荷载应的位移在数值上等于由单位荷载P2=1引起的与荷载引起的与荷载P1 相应的相应的位移。位移。（1864年年J.C.Maxwell 英国英国 最早最早 研究桁架位移时发现）研究桁架位移时发现）2112WW212121PP1,121PP2112 反力互等定理反力互等定理（续）由功的互等定理：有因故 在任一线性变形体系中，由单位支座位移在任一线性变形体系中，由单位支座位移c1=1所引起的与支所引起的与支座位移座位移c2相应的支座反力，在数

15、值上等于由单位支座位移相应的支座反力，在数值上等于由单位支座位移c2 =l所引起的与支座位移所引起的与支座位移c1相应的支座反力。相应的支座反力。（1874年瑞利年瑞利 英国）英国）2112WW221112ckck1,121cc2112kk 反力位移互等定理反力位移互等定理：（量纲不同）2112k 四个互等定理的应用范围：四个互等定理的应用范围：线弹性结构（静定、超静定，满足虎克定律）；结构变形（位移）微小（叠加原理成立）。结论：结论：功的互等定理最基本，可据之推导其它三个定理。功的互等定理最基本，可据之推导其它三个定理。变形体的虚功原理和线弹性体的互等定理是力学变形体的虚功原理和线弹性体的互等定理是力学 中的基本原理，是结构分析的重要工具。中的基本原理，是结构分析的重要工具。（续）实用例题：实用例题：求未知位移或未知力求未知位移或未知力 已知图(a)所示结构的弯矩图，试用功的互等定理求图(b)所示结构由于左端A转动 而使梁跨中产生的挠度 。ACV解：解：由功的互等定理：0CVCAACPM0163CVAPPl)(163lACVACMPABC5Pl/323Pl/16l/2l/2状态一：力状态(a)l/2l/2ACVBCA状态二：位移状态(b)即，得