近世代数课程课件.ppt

1、 4.1-4.3目的与要求目的与要求:掌握整除,单位,相伴元,平凡因子,真因子,素元,唯一分解的概念及性质.掌握唯一分解环的概念及等价定义,了解公因子最大公因子的概念与最大公因子的存在性.掌握主理想环的概念和性质，以及主理想环与唯一分解环的关系.第四章第四章 整环里的因子分解整环里的因子分解 4.1 4.1 素元素元 唯一分解唯一分解 单位整除定义定义4.1.1 整环整环I中的可逆元中的可逆元称称I的一个单位的一个单位.定义定义4.1.2 称整环称整环I的一个元的一个元a可以被可以被I的元的元b整除，假如整除，假如 在在I里找得出元里找得出元c，使得，使得a=bc.假如假如a能被能被 b整除，

2、我们整除，我们 说说b是是a的因子，并且用符号的因子，并且用符号b|a 来表示，否则用来表示，否则用 b a 来表示来表示.单位和单位元是两个不同的概念，单位元一定单位和单位元是两个不同的概念，单位元一定是一个单位，而单位未必是单位元是一个单位，而单位未必是单位元.注注:平凡因子；真因子素元定义定义4.1.4 单位以及元单位以及元a的相伴元叫做的相伴元叫做a的平凡因子，其的平凡因子，其余的余的a的因子，叫做真因子的因子，叫做真因子.定义定义4.1.5 整环整环I的一个元的一个元p叫做一个素元，假如叫做一个素元，假如p既不既不 是零元，也不是单位，并且是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子只有平

3、凡因子.相伴元定义定义4.1.3 元元b叫做元叫做元a相伴元，假如相伴元，假如b=a,其中其中是是I的一的一个单位个单位.定定 理理4.1.1 两个单位两个单位 和和 的乘积的乘积 是一个单位，是一个单位，单位单位 的逆的逆 也是一个单位也是一个单位.1定定 理理4.1.2 单位 同素元p的乘积也是一个素元.0,00;pp pp 是单位.此与 是素元矛盾.证明证明 (1)p不是单位,ppI)()(1使得若不然，(2)p只有平凡因子.(3)定定 理理4.1.3 整环中一个不等于零的元整环中一个不等于零的元a有真因子的充有真因子的充分而且必要条件是：分而且必要条件是：a=bc，b和和c都不是单位元

4、都不是单位元.推论推论 假定假定a0，并且，并且a有真因子有真因子b，a=bc，那么，那么c也是也是a 的真因子的真因子.()().ab U Ib a ba 有真因子使得且 不是 的相伴元.cIabc 使得(),().c U Iabc U I若则 与 是相伴关系，故(),()abcb cU Iba假定，不是 的相伴元，否则证明证明,矛盾.故a有真因子.1()babccc U I 唯一分解i定义定义4.1.6 我们说，一个整环我们说，一个整环I的一个元的一个元a在在I里有唯一分里有唯一分解，假如以下条件能被满足：解，假如以下条件能被满足：（i）(是是I的素元的素元);（ii）若同时）若同时 (是

5、是I的素元的素元);那么那么 ,且可把且可把 的次序掉换的次序掉换 （是是I的单位）的单位）.iiipqrpppa21ipsqqqa21iq.r siq例例 是整环，是整环，是是4在此环中两种在此环中两种不同的分解不同的分解.)1,0,3(Z)31)(31(224证明证明 (i).1),(3是单位Zbaba.42的元是素元适合条件(ii).231的相伴元都不是(iii)4.2 4.2 唯一分解环唯一分解环 唯一分解环定义定义4.2.1 一个整环一个整环I叫做一个唯一分解环叫做一个唯一分解环(UFD)，如果，如果I 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯

6、一分解解例例 是一个是一个UFD,不是一个不是一个UFD Z3 Z定理定理4.2.1假定假定I是一个是一个UFD，是是I中的素元，则对任中的素元，则对任意意 有：有：bpapabp或Iba,p推论推论在一个在一个UFD中中,若素元若素元 ，则，则 必整除某一个必整除某一个 ianaaap21pba,a b现设,0,.pababpc cc也非单位().cpcpc否则若 是单位，则 是素元与 可写成两个非单位的元之积矛盾皆素元诸inppppc,211 212,rsjkaqqq bq qqq q诸皆素元.pqqqqqqsr212112.np ppijpqq是某个 或的相伴元，appq则,11.qpp

7、 b则证明证明当中有一个是零或是单位时，定理显真.皆非零元，也非单位.于是.又令于是由分解唯一性知 如；如定理定理4.2.2若整环若整环I满足：满足：(1)(2)若若 那么那么I一定是唯一分解环一定是唯一分解环.()IU I中每一个元均有一个分解式；,.pIp abp ap ba bI是 的素元 则必有或定义定义4.2.211,1,nind aaIda ind aa假 定如 果则 称为的 一 个 公 因 子；11,nndaaaad假定 为的一个公因子 若的每一个公因子都能整除，则称1,ndaa为的一个最大公因子.，则称中的最大公因子是单位在如果假定IaaIaann,11定义定义4.2.31,n

8、aa 互素.定理定理4.2.3假定I是唯一分解环,a bI那么有(1)在I中,有最大公因子；和ba(2),d dabd d若均为 和 的最大公因子，则是相伴关系.定义定义4.3.1如果整环如果整环I中的每一个理想都是主理想，中的每一个理想都是主理想，则称则称I是一个主理想环，记为是一个主理想环，记为PID.0,().AZAaaA（）是 的理想，记 中的最小正整数为 则aamAm则),(,0,areasmm设().().rmasAaAaAa此与 的最小性矛盾，故从而证明证明设则另一方面，若4.3 主理想环主理想环(,0,1)Z 整数环是主理想环.例例 1(,0,1)FF x 是域，则是主理想环.

9、例例 2 的理想，是）（0 xFA(),().Af xf xA记 中次数最低的多项式为则)(),()(,)(xfxfxgAxg则),(xg()()()(),()()()()g xf x u xv xv xf xv xAf x 设而此与次数最小矛盾.(),().AfxAfx从 而证明：证明：设另一方面，若故 设 是一个PID,则I中的每一个真因子序列一定是有限序列.即若序列 中每一个元素都是前面一个元的真因子，则该列一定是有限序列.)(,21Iaaai)1,0,(I引理引理4.3.1pI是 中的素元，则(p)为I的极大理想.)1,0,(I引理引理4.3.24.3.2设是一个PID,)1,0,(I

10、定理定理4.3.1设是一个PID,则I是UFD.注：注：定理的逆不成立.例如.xUFDPID是但不是Z Z 4.4-4.6 目的与要求目的与要求:掌握欧氏环的定义以及欧氏环和主理想环的关系 掌握本原多项式的定义与性质,以及多项式的可约性判断.掌握多项式的根,重根,导数；重根的判别定理.:0.InnZ ZZ Z,0,a bI aq rI使得对存在满足,bqar0()().().rraIED或则称 是一个欧氏环 定义定义4.4.1 设I是整环，若 存在映射其中4.4 4.4 欧氏环欧氏环(,0,1)是一个欧氏环.Z Z:;,.aaa Z ZZ ZZ Z,a bq r是一个映射且一定存在使得Z ZZ

11、 Z,0()().baqr rrraa或(,0,1)是一个欧氏环.Z Z例例1 整环证明证明 令则故 定理定理4.4.1 任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一任何一个欧氏环一定是一个主理想环，因而一 定是一个唯一分解环定是一个唯一分解环.注：注：定理定理4.4.1的逆不真，的逆不真，P.I.D未必是欧氏环未必是欧氏环.如复数域的子环如复数域的子环19 1,2Ra babZ Z是一个是一个P.I.D但不是欧氏环但不是欧氏环.定理定理4.4.2 (,0,1)是欧氏环,从而是唯一分解环.Z Z I xII x是整环 上的一元多项式，的元1110()nnnng xa xa xax a(),(),(

12、),()naU If xI xq x r xI x那么对存在使得()()()(),f xq x g xr x()0()r xr xx 或的次数小于g()的次数.n引理引理4.4.1 假定的最高系数其中例例2 数域F上的多项式环(,0,1)F x 是一个欧氏环.(,0,1)i 是欧氏环.Z Z(,0,1)i Z Z22:0;iabiabZ ZZ Z.是一个映射0,a biic dii Z ZZ Z,kli k l ，Z Z,k l Z Z11,22kkll,k lii ，Z Z.例例3 Gauss整数环 证明证明 易证是整环.令则设则存在使得令，则20,则（）（）（）221()()().2k k

13、l l (,0,1)i 是欧氏环.Z Z若 因此.F x 是一个欧氏环 F x 是一个整环，令;()deg(),().F xf xf xf xF x：Z Z是一个映射.(),(),g xF xf xF x()0()0,.nnng xg xaaFa的最高项系数而则 可逆(),()q x r xF x使得()()()(),f xq x g xr x()0()r xr xx 或的次数小于g()的次数.n()0()().r xr xg xF x或故是唯一分解环定理定理4.4.3 域域F上的一元多项式环上的一元多项式环证明证明 显然则由引理4.4.1可知，其中即附注附注 几种常见的整环之间的关系图：几种

14、常见的整环之间的关系图：例可取例可取3；Z Z例可取有理数域、实例可取有理数域、实数域、复数域等数域、复数域等例可取例可取 x；Z Z例可取例可取1192；Z Z例可取例可取 或数域或数域F上的一元多项式环上的一元多项式环 ；Z Z F x整环整环UFDPIDED域域4.5 4.5 多项式环的因子分解多项式环的因子分解.IU F D为 I xF为()(),U I xU II x且为整环;()()I xf xf x中多项式称为本原多项式，如果系数的最大公因子是单位.(),f x 可约 则()()(),(),()deg()deg()0.f xg x h x g x h xI xf xg x且()(

15、)()()();f xg x h xg xh x是本原的和均是本原的(),deg()0,()()()f xI xf xf xf xU I x若则是本原的.设，上的一元多项式环，则有如下简单事实：简单事实：(2)(3)若本原多项式(4)(5)(1),0(),If xx设是 的商域则Z ZZ Z00()(),();bf xf x a bI f xI xa是中的本原多项式0000()()(),(),()bdf xf xg x a b c dI f x g xac若 I x均为中的本原00()()()().U IU I xfxgx使得引理引理4.5.1 (1)(2)多项式，则00(),()f xI x

16、f xI x是中的一个本原多项式在中可约的充分0().f xxI在Q中可约，其中Q为 的商域引理引理4.5.2 假设必要条件是引理引理4.5.3 ()I xf xI x的任一个次数大于零的本原多项式在里有 唯一分解.定理定理4.5.1 若.,.IU F DI xU F D是则也是1212.,.,nnIUFDI x xxUFDx xx是则也是其中是I上的无关未定元.定理定理4.5.2 若4.6 因子分解与多项式的根因子分解与多项式的根(),()0,().f xI xaIf aaf x如果存在使得则称 是的根定义定义4.6.1 设,(),()If xI x aIaf x是整环那么 是的根()().

17、x a f x定理定理4.6.1 假定的充分必要条件是12(),kf xI xa aaIk是 中 个不同的元素 则12,()ka aaf x均是的根1()()().kx ax af x定理定理4.6.2 (),()f xI xnf xIn若是中的 次多项式 则在 中至多有 个根.推论推论()(),f xI x aI设那么()()().af xxafx为的重根定理定理4.6.3,(),1,aI f xI xk如果使得()(),()kx af xa f x则称 为的一个重根.定义定义4.6.2.,(),IU F D f xI x aI若 为那么()()()()af xxaf xf x为的重根能整除与的最大公因子.推论推论