高考数学75直线、平面垂直的判定及其性质配套课件理新人教A版.ppt

1、第五节 直线、平面垂直的判定及其性质1三年三年2020考考 高考指数高考指数:1.1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定；中线面垂直的有关性质与判定；2.2.理解直线与平面所成角和二面角的概念理解直线与平面所成角和二面角的概念;3.3.能证明一些空间图形垂直关系的简单命题能证明一些空间图形垂直关系的简单命题.21.1.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂直有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往垂直有关的概念、公理、定理

2、、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；2.2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等；且常与平行关系综合命题，难度中等；3.3.通过线面角、二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运通过线面角、二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现，难度中等算能力，常以解答题的形式出现，难度中等.31.1.直线与平面垂直直线与平面垂直(1)(1)直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义条件：直线条件：直线l与

3、平面与平面内的内的_一条直线都垂直一条直线都垂直.结论：直线结论：直线l与平面与平面垂直垂直.任意任意4(2)(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判判定定定定理理一条直线与一个一条直线与一个平面内的两条平面内的两条_直线都垂直，直线都垂直，则该直线与此平则该直线与此平面垂直面垂直._，_，_,_,_，_，性性质质定定理理垂直于同一个垂直于同一个平面的两条直平面的两条直线线_._._，_，abOlab平行平行laalbba ab bab=Oab=Oaabblabab相交相交5【即时应用即时应用】(1)(1)思考

4、：能否将直线与平面垂直的定义中的思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线任意一条直线”改为改为“无数条直线无数条直线”？提示：提示：不可以不可以.当这无数条直线平行时，直线当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面有可能在平面内，或者内，或者l与平面与平面相交但不垂直相交但不垂直.6(2)(2)直线直线aa平面平面，bb，则，则a a与与b b的位置关系是的位置关系是_._.【解析解析】由由bb可得可得b b平行于平行于内的一条直线，设为内的一条直线，设为b.b.因为因为aa，所以，所以abab，从而，从而abab，但，但a a与与b b可能相交，也可能异可能相交，也可能异面面.答案：

5、答案：垂直垂直72.2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的射影所成的_，叫做这条直线和这个平，叫做这条直线和这个平面所成的角面所成的角.如图，如图，_就是斜线就是斜线APAP与平与平面面所成的角所成的角.(2)(2)线面角线面角的范围：的范围：0 0，.锐角锐角PAOPAO28【即时应用即时应用】(1)(1)思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线一定平行吗？一定平行吗？提示：提示：不一定不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面这两直线的

6、位置关系可能平行、相交或异面.9(2)(2)如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，B B1 1C C与平面与平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1所成的角为所成的角为_，其大，其大小为小为_；D D1 1B B与平面与平面ABCDABCD所成的角的所成的角的正弦值为正弦值为_._.【解析解析】B B1 1C C与平面与平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1所成的角为所成的角为CBCB1 1C C1 1，其大小为，其大小为4545；连接；连接BDBD，则，则D D1 1B B与平面与平面ABCDABCD所成的

7、角为所成的角为D D1 1BDBD，其正弦值，其正弦值为为 .答案：答案：CBCB1 1C C1 1 45453333103.3.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)(1)二面角二面角定义：从一条直线出发的两个半平面定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱.两个半平面叫做二面角的两个半平面叫做二面角的_._.如图的二面角，可记作如图的二面角，可记作:二面角二面角_或二面角或二面角_._.面面-l-AB-AB-11二面角的平面角二面角的平面角如图，过二面角如图，过二面角-l-的棱的棱l上一点上一点O O在在两个半平面

8、内分别作两个半平面内分别作BOBOl，AOAOl,则则_就叫做二面角就叫做二面角-l-的平面角的平面角.平面角的范围平面角的范围设二面角的平面角为设二面角的平面角为，则，则0,0,.AOBAOB12(2)(2)平面与平面垂直平面与平面垂直定义定义条件：两相交平面所成的二面角为条件：两相交平面所成的二面角为_._.结论：这两平面垂直结论：这两平面垂直.直二面角直二面角13平面与平面垂直的判定定理：平面与平面垂直的判定定理：文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判判定定定定理理一个平面过一个平面过另一个平面另一个平面的的_，则，则这两个平面这两个平面垂直垂直._,_,_,_,垂线垂线ll

9、l14平面与平面垂直的性质定理：平面与平面垂直的性质定理：文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言性性质质定定理理两个平面垂两个平面垂直，则一个直，则一个平面内垂直平面内垂直于于_的直的直线与另一个线与另一个平面垂直平面垂直._,_,_,_,_,_,_,_,交线交线=a=allaalal15【即时应用即时应用】(1)(1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：提示：不一定不一定.两平面可能平行，也可能相交两平面可能平行，也可能相交.16(2)(2)已知已知,表示两个不同的平面，表示两个不同的平面，m m为平面为平面内的一条直线，内的一条直线，

10、则则“”是是“m”m”的的_条件条件.(.(填填“充分不必充分不必要要”、“必要不充分必要不充分”、“充要充要”)【解析解析】由条件知，当由条件知，当mm时，一定有时，一定有；但反之不一；但反之不一定成立定成立.故填必要不充分故填必要不充分.答案：答案：必要不充分必要不充分17(3)(3)将正方形将正方形ABCDABCD沿沿ACAC折成直二面角后，折成直二面角后，DAB=_.DAB=_.【解析解析】如图如图,取取ACAC的中点的中点O O，连接，连接DODO，BOBO，则，则DOACDOAC，BOACBOAC，故故DOBDOB为二面角的平面角，从为二面角的平面角，从而而DOB=90DOB=90

11、.设正方形边长为设正方形边长为1 1，则，则DO=BO=DO=BO=，所以，所以DB=1DB=1，故故ADBADB为等边三角形，为等边三角形，所以所以DAB=60DAB=60.答案：答案：60602218 直线与平面垂直的判定和性质直线与平面垂直的判定和性质【方法点睛方法点睛】1.1.判定线面垂直的常用方法判定线面垂直的常用方法方法一方法一利用线面垂直的判定定理利用线面垂直的判定定理方法二方法二利用利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直也与这个平面垂直”.192.2.线面垂直性质的应用线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时，则直线与平面内的

12、所有直线都垂直，给当直线和平面垂直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法.方法三方法三利用利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直与另一个也垂直”.方法四方法四利用面面垂直的性质利用面面垂直的性质20【提醒提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程.如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条平面中的两条相交直线相交直线”这一条件这一条件.21【例例1 1】(

13、1)(2012(1)(2012北京模拟北京模拟)已知如图，六棱锥已知如图，六棱锥P-ABCDEFP-ABCDEF的底的底面是正六边形，面是正六边形，PAPA平面平面ABC.ABC.则下列结论不正确的是则下列结论不正确的是()()(A)CD(A)CD平面平面PAFPAF(B)DF(B)DF平面平面PAFPAF(C)CF(C)CF平面平面PABPAB(D)CF(D)CF平面平面PADPAD22(2)(2012(2)(2012衢州模拟衢州模拟)如图，三棱锥如图，三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PAPA底面底面ABCABC，ABBCABBC，DEDE垂直平分线段垂直平分线段PCPC，且分别交，且分别

14、交ACAC、PCPC于于D D、E E两点两点,又又PB=BCPB=BC，PA=AB.PA=AB.求证：求证：PCPC平面平面BDEBDE；若点若点Q Q是线段是线段PAPA上任一点，判断上任一点，判断BDBD、DQDQ的位置关系，并证明的位置关系，并证明你的结论；你的结论；若若AB=2,AB=2,求三棱锥求三棱锥B-CEDB-CED的体积的体积.23【解题指南解题指南】(1)(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断根据线面平行、垂直的判定定理来判断.(2)(2)利用线面垂直的判定定理证明；证明利用线面垂直的判定定理证明；证明BDBD平面平面PACPAC即可；即可；根据根据V VB-CEDB-

15、CED=V=VC-BDEC-BDE，转化为求，转化为求S SBDEBDE及及CECE的长度的长度.【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.由正六边形的性质得由正六边形的性质得CDAFCDAF，CFABCFAB，故故A A、C C正确；因为正确；因为PAPA平面平面ABCABC，所以，所以PADFPADF，又，又DFAFDFAF，PAAF=APAAF=A，故，故DFDF平面平面PAFPAF，即，即B B正确正确.故选故选D.D.24(2)(2)由等腰三角形由等腰三角形PBCPBC，得，得BEPCBEPC，DEDE垂直平分垂直平分PCPC，DEPCDEPC，又又BEDE=EBEDE=E，PCP

16、C平面平面BDEBDE由得，由得，PCBDPCBD，PAPA底面底面ABCABC，PABD.PABD.又又PCPA=PPCPA=P，BDBD平面平面PACPAC当点当点Q Q是线段是线段PAPA上任一点时都有上任一点时都有BDDQ.BDDQ.25PA=AB=2,PA=AB=2,PB=BC=2 .PB=BC=2 .ABBC,AC=2 .ABBC,AC=2 .PC=4PC=4，CE=2CE=2，且且CDECDECPACPA，23AB BC2 2 22 6BDAC32 3，CEDE,CAPA26由知：由知：BDDE.BDDE.VVB-CEDB-CED=V=VC-BDEC-BDE=S=SBDEBDEC

17、ECECE PA2 22 3DE.CA32 313112 62 34 2()2.3233927【互动探究互动探究】本例（本例（2 2）若改为）若改为“设设Q Q是线段是线段PAPA上任意一点，上任意一点，求证：平面求证：平面BDQBDQ平面平面PAC”PAC”，如何证明？，如何证明？【证明证明】由（由（2 2）的解法可知）的解法可知BDBD平面平面PAC.PAC.又又BDBD平面平面BDQ,BDQ,平面平面BDQBDQ平面平面PAC.PAC.28【反思反思感悟感悟】1.1.在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这

18、种转化垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化.2.2.解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理化为线线垂直来处理.29【变式备选变式备选】如图所示，在长方体如图所示，在长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABABBCBC1 1，AAAA1 12 2，E E是侧棱是侧棱BBBB1 1的中点的中点.(1)(1)求证：求证：A A1 1EE平面平面ADEAD

19、E；(2)(2)求三棱锥求三棱锥A A1 1ADEADE的体积的体积.30【解析解析】(1)(1)由勾股定理得：由勾股定理得：A A1 1A A2 2A A1 1E E2 2AEAE2 2，AEAAEA1 1=90=90，A A1 1EAE.EAE.ADAD平面平面AAAA1 1B B1 1B B，A A1 1E E平面平面AAAA1 1B B1 1B B，A A1 1EADEAD，又又ADAEADAEA A，A A1 1EE平面平面ADE.ADE.(2)(2)由题意得由题意得1A E1 12AE1 12，1AA E1S221,2111AADED A AEAA E111VVSAD1 1.333

20、 31 平面与平面垂直的判定和性质平面与平面垂直的判定和性质【方法点睛方法点睛】1.1.判定面面垂直的方法判定面面垂直的方法面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线线垂直线垂直”、“线面垂直线面垂直”、“面面垂直面面垂直”间的关系如图，间的关系如图，线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直判定判定性质性质判定判定性质性质判定判定性质性质32其中线线垂直是基础，线面垂直是核心其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面

21、垂直的条件.2.2.面面垂直性质的应用面面垂直性质的应用(1)(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意据，运用时要注意“平面内的直线平面内的直线”.”.(2)(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面于第三个平面.33【例例2 2】(2012(2012杭州模拟）如图所示，杭州模拟）如图所示，ADAD平面平面ABCABC，CECE平平面面ABCABC，AC=AD=AB=1AC=AD=AB=1，凸多面体凸多面体ABCEDABCED的体积为的体

22、积为 F F为为BCBC的中点的中点.（1 1）求证：）求证：AFAF平面平面BDEBDE；（2 2）求证：平面）求证：平面BDEBDE平面平面BCE.BCE.BC2，12，34【解题指南解题指南】（1 1）根据线面平行的判定定理证明，即由线线）根据线面平行的判定定理证明，即由线线平行推出线面平行平行推出线面平行.（2 2）利用面面垂直的判定定理证明）利用面面垂直的判定定理证明.【规范解答规范解答】（1 1）ADAD平面平面ABCABC，CECE平面平面ABCABC，四边形四边形ACEDACED为梯形，且平面为梯形，且平面ABCABC平面平面ACEDACED，BCBC2 2=AC=AC2 2+

23、AB+AB2 2，ABACABAC，平面平面ABCABC平面平面ACED=ACACED=AC，ABAB平面平面ACEDACED，即即ABAB为四棱锥为四棱锥B-ACEDB-ACED的高，的高，35CE=2CE=2，取取BEBE的中点的中点G G，连接，连接GFGF，GDGD，GFGF为三角形为三角形BCEBCE的中位线，的中位线，GFECDAGFECDA，四边形四边形GFADGFAD为平行四边形，为平行四边形，AFGDAFGD，又又GDGD平面平面BDEBDE，AFAF平面平面BDE,BDE,AFAF平面平面BDE.BDE.B ACEDACED1111VSAB1CE1 13322 gg梯形（）

24、，1GFCEDA2，E ED DC CB BF FA AG G36（2 2）AB=ACAB=AC，F F为为BCBC的中点，的中点，AFBCAFBC，又又GFAFGFAF，BCGF=FBCGF=FAFAF平面平面BCEBCE，AFGDAFGD，GDGD平面平面BCEBCE，又又GDGD平面平面BDEBDE，平面平面BDEBDE平面平面BCE.BCE.37【误区警示误区警示】解题时往往忽视解题时往往忽视“凸多面体凸多面体ABCEDABCED的体积为的体积为 ”这一条件的应用这一条件的应用.【反思反思感悟感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可

25、从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造线，则应通过添加辅助线来构造.1238【变式训练变式训练】如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是是DAB=60DAB=60的菱形，侧面的菱形，侧面PADPAD为正三角形，其所为正三角形，其所在平面垂直于底面在平面垂直于底面ABCD.ABCD.(1)(1)求证：求证：ADPB;ADPB;(2)(2)若若E E为为BCBC边的中点，能否在棱边的中点，能否在棱PCPC上上找到一点找到一点F F，使平面，使平面DEFDEF平面平面A

26、BCDABCD，并证明你的结论并证明你的结论.39【解析解析】(1)(1)如图，取如图，取ADAD的中点的中点G G，连接，连接PGPG，BGBG，BD.BD.PADPAD为等边三角形，为等边三角形，PGAD,PGAD,又又平面平面PADPAD平面平面ABCDABCD，PGPG平面平面ABCD.ABCD.在在ABDABD中，中，DAB=60DAB=60,AD=AB,AD=AB,ABDABD为等边三角形，为等边三角形，BGAD,BGAD,且且BGPG=G,BGPG=G,ADAD平面平面PBG,ADPB.PBG,ADPB.40(2)(2)连接连接CG,DE,CG,DE,且且CGCG与与DEDE相交

27、于相交于H H点，点，在在PGCPGC中作中作HFPGHFPG，交交PCPC于于F F点，连接点，连接DFDF，FHFH平面平面ABCD,ABCD,平面平面DEFDEF平面平面ABCD.ABCD.菱形菱形ABCDABCD中，中，G G、E E分别为分别为ADAD、BCBC的中点，即得知的中点，即得知H H是是CGCG的中的中点，点，F F是是PCPC的中点，的中点，在在PCPC上存在一点上存在一点F F，即为，即为PCPC的中点，使得平面的中点，使得平面DEFDEF平面平面ABCD.ABCD.41 线面角、二面角的求法线面角、二面角的求法【方法点睛方法点睛】1.1.求空间角的步骤求空间角的步骤

28、(1)(1)一找，即找出相关的角；一找，即找出相关的角；(2)(2)二证，即证明找出的角即为所求的角；二证，即证明找出的角即为所求的角；(3)(3)三计算，即通过解三角形的方法求出所求角三计算，即通过解三角形的方法求出所求角.422.2.空间角的找法空间角的找法(1)(1)线面角线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足.(2)(2)二面角二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：定义法；垂面法定义法；垂面法.其中定义法是最常用的方法其中定义法是最常用的方法.43【提

29、醒提醒】在作二面角的平面角时，若题目中有面面垂直的条件，在作二面角的平面角时，若题目中有面面垂直的条件，则可由面面垂直得到线面垂直，进而根据定义作出二面角的平则可由面面垂直得到线面垂直，进而根据定义作出二面角的平面角面角.44【例【例3 3】(2011(2011广东高考广东高考)如图，在锥体如图，在锥体P-ABCDP-ABCD中，中，ABCDABCD是边是边长为长为1 1的菱形，且的菱形，且DAB=60DAB=60，PA=PD=,PB=2PA=PD=,PB=2，E E，F F分别是分别是BCBC，PCPC的中点的中点.(1)(1)证明：证明：ADAD平面平面DEFDEF；(2)(2)求二面角求

30、二面角P-AD-BP-AD-B的余弦值的余弦值.245【解题指南解题指南】(1)(1)取取ADAD中点中点G G，证明，证明ADAD平面平面PGBPGB，再证明平面，再证明平面PGBPGB平面平面DEF.DEF.(2)(2)连接连接PGPG、BGBG，证，证PGBPGB是所求二面角的平面角，在是所求二面角的平面角，在PGBPGB中中由余弦定理可求得二面角的余弦值由余弦定理可求得二面角的余弦值.46【规范解答规范解答】(1)(1)取取ADAD的中点的中点G G，连接，连接PGPG，BGBG，BDBD，又，又PA=PDPA=PD，PGADPGAD，由题意知由题意知ABDABD是等边三角形，是等边三

31、角形，BGADBGAD，又又PG,BGPG,BG是平面是平面PGBPGB的两条相交直线，的两条相交直线，ADAD平面平面PGBPGB，EFPBEFPB，DEGBDEGB，EFDE=E,PBBG=B,EFDE=E,PBBG=B,平面平面DEFDEF平面平面PGBPGB，ADAD平面平面DEF.DEF.47(2)(2)由由(1)(1)知知PGBPGB为二面角为二面角P-AD-BP-AD-B的平面角，的平面角，在在RtRtPGAPGA中，中，在在RtRtBGABGA中，中，在在PGBPGB中，由余弦定理得中，由余弦定理得即所求二面角的余弦值为即所求二面角的余弦值为22217PG2()24；22213

32、BG1()24；222PGBGPB21cos PGB.2PG BG7 21.748【反思反思感悟感悟】1.1.通过三角形中位线的性质证明平行是立体几通过三角形中位线的性质证明平行是立体几何中的常用方法何中的常用方法.解题中要重视各种解题中要重视各种“平行平行”、“垂直垂直”间的间的转化转化.2.2.空间角求解的关键是转化为平面角来处理，即转化为三角形空间角求解的关键是转化为平面角来处理，即转化为三角形的内角，利用解三角形的知识来解的内角，利用解三角形的知识来解.49【变式训练变式训练】(2012(2012台州模拟台州模拟)如图，菱形如图，菱形ABCDABCD与矩形与矩形BDEFBDEF所所在平

33、面互相垂直，在平面互相垂直，BAD=.BAD=.(1)(1)求证：求证：FCFC平面平面AEDAED；(2)(2)若若BF=kBDBF=kBD，当二面角，当二面角A-EF-CA-EF-C为直二面角时，求为直二面角时，求k k的值的值.350【解析解析】(1)FBED,BCAD(1)FBED,BCAD，FBBC=B,FBBC=B,EDAD=DEDAD=D，平面平面FBCFBC平面平面EDA.EDA.又又FCFC平面平面FBC.FCFBC.FC平面平面AED.AED.(2)(2)取取EF,BDEF,BD的中点的中点M,N,M,N,连接连接AMAM，CM.CM.由于由于AE=AFAE=AF，CE=C

34、FCE=CF，所以所以AMEFAMEF，CMEFCMEF，AMCAMC即为二面角即为二面角A-EF-CA-EF-C的平面角的平面角.51由题意知，由题意知，AM=CMAM=CM，当二面角当二面角A-EF-CA-EF-C为直二面角时，可得为直二面角时，可得AMCAMC为等腰直角三角为等腰直角三角形形.故故MN=AN=AC.MN=AN=AC.又又AB=AD,BAD=AB=AD,BAD=ABDABD为等边三角形为等边三角形.AN=BD.AN=BD.BF=MN=BD,BF=MN=BD,故故k=.k=.12332323252【满分指导满分指导】垂直关系综合问题的规范解答垂直关系综合问题的规范解答【典例典

35、例】(14(14分分)(2011)(2011辽宁高考辽宁高考)如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，QAQA平面平面ABCDABCD，PDQA,QA=AB=PD.PDQA,QA=AB=PD.(1)(1)证明：证明：PQPQ平面平面DCQDCQ；(2)(2)求棱锥求棱锥Q-ABCDQ-ABCD的体积与棱锥的体积与棱锥P-DCQP-DCQ的体积的比值的体积的比值.1253【解题指南解题指南】(1)(1)证明证明PQDCPQDC，PQQDPQQD，进而可得，进而可得PQPQ平面平面DCQDCQ；(2)(2)设出正方形的边长为设出正方形的边长为a a，分别计算两个棱锥的体积，再求

36、体，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值积的比值.【规范解答规范解答】(1)(1)由条件知由条件知PDAQPDAQ为直角梯形为直角梯形.因为因为QAQA平面平面ABCDABCD，QAQA平面平面PDAQPDAQ，所以平面所以平面PDAQPDAQ平面平面ABCDABCD，交线为，交线为AD.AD.又四边形又四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，DCADDCAD，所以所以DCDC平面平面PDAQPDAQ，4 4分分54又又PQPQ平面平面PDAQPDAQ，所以所以PQDC.PQDC.在直角梯形在直角梯形PDAQPDAQ中可得中可得DQ=PQ=PDDQ=PQ=PD，则则PQQD.PQQD.6

37、6分分又又DCQD=D,DCQD=D,所以所以PQPQ平面平面DCQ.DCQ.8 8分分2255(2)(2)设设AB=a.AB=a.由题设知由题设知AQAQ为棱锥为棱锥Q-ABCDQ-ABCD的高，的高，所以棱锥所以棱锥Q-ABCDQ-ABCD的体积的体积V V1 1=a=a3 3.1010分分由由(1)(1)知知PQPQ为棱锥为棱锥P-DCQP-DCQ的高，的高，而而PQ=aPQ=a，DCQDCQ的面积为的面积为 a a2 2，所以棱锥所以棱锥P-DCQP-DCQ的体积的体积V V2 2=a=a3 3.1212分分故棱锥故棱锥Q-ABCDQ-ABCD的体积与棱锥的体积与棱锥P-DCQP-DC

38、Q的体积的比值为的体积的比值为1.1.1414分分132221356【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：（1 1）解题时忽视各种垂直间的转化，从而造成思路）解题时忽视各种垂直间的转化，从而造成思路受阻；受阻；（2 2）答题过程书写不规范，如在证明线面垂直时忽）答题过程书写不规范，如在证明线面垂直时忽视了对视了对“平面内两条相交直线平面内两条相交直线”的叙述的叙述.57备备考考建建议议解决垂直问

39、题时，还有以下几点容易造成失分，在备考解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：时要高度关注：（1 1）缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面；）缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面；（2 2）对几何体体积、面积及线面角的计算不准确；）对几何体体积、面积及线面角的计算不准确；（3 3）不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅）不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅助线解题的能力助线解题的能力.另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达要善于使用数学符号进行表达.581.(20111.

40、(2011辽宁高考辽宁高考)如图，四棱锥如图，四棱锥S-ABCDS-ABCD的底面为正方形，的底面为正方形，SDSD底面底面ABCDABCD，则下列结论中不正确的是，则下列结论中不正确的是()()(A)ACSB(A)ACSB(B)AB(B)AB平面平面SCDSCD(C)SA(C)SA与平面与平面SBDSBD所成的角等于所成的角等于SCSC与平面与平面SBDSBD所成的角所成的角(D)AB(D)AB与与SCSC所成的角等于所成的角等于DCDC与与SASA所成的角所成的角59【解析解析】选选D.D.四棱锥四棱锥S-ABCDS-ABCD的底面为正方形，所以的底面为正方形，所以ACBDACBD，又，又

41、SDSD底面底面ABCDABCD，所以，所以SDACSDAC，从而，从而ACAC面面SBDSBD，故，故ACSBACSB，即，即A A正确；正确；B B中由中由ABCDABCD，可得，可得ABAB平面平面SCDSCD，即，即B B正确正确.选项选项A A中已中已证得证得ACAC面面SBDSBD，又，又SA=SCSA=SC，所以，所以SASA与平面与平面SBDSBD所成的角等于所成的角等于SCSC与平面与平面SBDSBD所成的角所成的角,即即C C正确；正确；ABAB与与SCSC所成的角为所成的角为SCDSCD，此为，此为锐角，而锐角，而DCDC与与SASA所成的角即所成的角即ABAB与与SAS

42、A所成的角，此为直角，二者所成的角，此为直角，二者不相等，故不相等，故D D不正确不正确.602.(20112.(2011浙江高考浙江高考)下列命题中错误的是下列命题中错误的是()()(A)(A)如果平面如果平面平面平面，那么平面，那么平面内一定存在直线平行于内一定存在直线平行于平面平面(B)(B)如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面，那么平面，那么平面内一定不存在直内一定不存在直线垂直于平面线垂直于平面(C)(C)如果平面如果平面平面平面，平面，平面平面平面，=l，那么，那么l平面平面(D)(D)如果平面如果平面平面平面，那么平面，那么平面内所有直线都垂直于平内所有直线都垂直于平面面61

43、【解析解析】选选D.D.如果平面如果平面平面平面，那么平面，那么平面内垂直于交线内垂直于交线的直线都垂直于平面的直线都垂直于平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故垂直，故D D项叙述是错误的项叙述是错误的.623.(20123.(2012台州模拟台州模拟)已知已知m,nm,n，l是不重合的直线，是不重合的直线，,，是是不重合的平面，有下列命题：不重合的平面，有下列命题：若若m m，n,n,则则mnmn；若若mnmn，mm，则，则nn；若若mm，m m，则，则其中真命题有其中真命题有_（写出所有真命题的序号）（写出所有真命题的序号）63【解析解析】若若m

44、 m,n,n，则，则m,nm,n不一定平行；若不一定平行；若mnmn，mm，则，则nn是真命题；若是真命题；若mm，m m，则，则是真是真命题命题答案：答案：644.(20114.(2011福建高考）如图，四棱锥福建高考）如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA底面底面ABCDABCD，ABADABAD，点点E E在线段在线段ADAD上，且上，且CEAB.CEAB.（1 1）求证：）求证：CECE平面平面PADPAD；（2 2）若）若PA=AB=1PA=AB=1，AD=3AD=3，CDA=45CDA=45，求四棱锥，求四棱锥P-ABCDP-ABCD的体积的体积.CD2，65【解析解

45、析】（1 1）因为）因为PAPA平面平面ABCDABCD，CECE平面平面ABCDABCD，所以所以PACE.PACE.因为因为ABADABAD，CEAB,CEAB,所以所以CEAD.CEAD.又又PAAD=APAAD=A，所以，所以CECE平面平面PAD.PAD.（2 2）由（）由（1 1）可知）可知CEAD.CEAD.在在RtRtECDECD中，中，DE=CDDE=CDcos45cos45=1.=1.CE=CDCE=CDsin45sin45=1.=1.又因为又因为AB=CE=1AB=CE=1，ABCEABCE，所以四边形所以四边形ABCEABCE为矩形为矩形.66所以所以S S四边形四边形ABCDABCD=S=S矩形矩形ABCEABCE+S+SECDECD=AB=ABAE+CEAE+CEDEDE=又又PAPA平面平面ABCDABCD，PA=1PA=1，所以所以V V四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD=12151 21 1.22 ABCD1155SPA1.3326 g四边形67