21随机变量的概念及离散型随机变量详解课件.ppt

1、第第2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 随机变量随机变量一、随机变量概念的引入一、随机变量概念的引入 在上一章里，我们研究了随机事件及其概率，在上一章里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能注意到，在某些例子中，随机细心的同学可能注意到，在某些例子中，随机事件和实数之间存在着某种客观的联系。事件和实数之间存在着某种客观的联系。例例1：抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现的点数.“出现出现1点点”“出现出现2点点”“出现出现3点点”“出现出现4点点”“出现出现5点点”“出现出现6点点”X=1 X=2 X=3 X=4 X=5 X=6 S 记记X=出

2、现点数出现点数 “出现正面出现正面”“出现反面出现反面”例例2：抛掷一枚均匀的硬币，观察出现哪一面抛掷一枚均匀的硬币，观察出现哪一面.在另外一些例子中，随机事件与实数之间虽然没在另外一些例子中，随机事件与实数之间虽然没有上述那种有上述那种“自然的自然的”联系，但是，我们可以人联系，但是，我们可以人为地给它们建立起一个联系为地给它们建立起一个联系.Y=1 Y=0 SY在上述的例子中，变量在上述的例子中，变量X和和Y有个特点是，这两有个特点是，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不能确定的，个变量取什么值，在每次试验之前是不能确定的，因为它们的取值依赖于试验的结果因为它们的取值依赖于试验的结果.也

3、就是说，也就是说，它们的取值是随机的它们的取值是随机的.人们常常称这种变量为人们常常称这种变量为随随机变量机变量.由上面的例子可知，有了随机变量，至少使随机由上面的例子可知，有了随机变量，至少使随机事件的表示在形式上简洁得多了事件的表示在形式上简洁得多了.这只是一个方这只是一个方面，我们在以后的讨论中，会看到引入面，我们在以后的讨论中，会看到引入“随机变随机变量量”这一概念还有更为深远的意义这一概念还有更为深远的意义.二、随机变量的概念二、随机变量的概念在例在例1中，对每一个试验结果，中，对每一个试验结果，“自然地自然地”对应对应着一个实数，而在例着一个实数，而在例2中，这种对应关系是人为中，

4、这种对应关系是人为地建立起来的。由此可见，无论是哪一种情形，地建立起来的。由此可见，无论是哪一种情形，所谓随机变量，不过是试验结果（即样本点）和所谓随机变量，不过是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系，这与我们熟知的实数之间的一个对应关系，这与我们熟知的“函函数数”概念在本质上一回事概念在本质上一回事.定义：定义：设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为S，称定义在样，称定义在样本空间本空间S上的实值单值函数上的实值单值函数X=X(w)为为随机变量随机变量.S X R 12)(1X)(2X3一对一或多对一一对一或多对一,例例1：在抛掷一枚硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛在抛掷一枚

5、硬币进行打赌时，若规定出现正面时抛掷者赢掷者赢1分，出现反面时输分，出现反面时输1分分.则其样本空间为则其样本空间为S=正面，反面正面，反面正面，反面，则11-X记记X：赢钱数：赢钱数 正面正面 反面反面 X 1 -1或例例2：在将一枚硬币抛掷三次，观察正面（在将一枚硬币抛掷三次，观察正面（H）,反面（反面（T）出现情况的试验中，记出现情况的试验中，记X：正面出现的次数：正面出现的次数.则则:HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT X 3 2 2 2 1 1 1 0则则:X=3=X=2=X1=PX=3=1/8HHH PX=2=3/8HHT,HTH,THH PX1=4/8=1/2HTT

6、,THT,TTH,TTT例例3：在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用在测试灯泡寿命的试验中，每一个灯泡的实际使用寿命可能是寿命可能是 中任何一个实数，故样本空间为中任何一个实数，故样本空间为),0 S=t|t0若若X：灯泡寿命，则：灯泡寿命，则X=X(t)=t是随机变量是随机变量.S Xt 0 t三、随机变量的分类三、随机变量的分类根据随机变量取值方式的不同，可分为离散型和非离散型（1）若随机变量可能取的值是可数有限个或可列无穷多个，则称为离散型随机变量离散型随机变量.如例1，例2.例：例：某一城市每天发生火灾的次数为某一城市每天发生火灾的次数为X,则则 X:0,1,2,3，(可列无穷

7、多个可列无穷多个)（2）若随机变量的取值可以充满某个区间，则称为非离散型随机变量.非离散型随机变量的情况比较复杂，其中最重要也是最常遇到的是连续型连续型随机变量随机变量，如例3.本书只研究离散型和连续型随机变量两种.2.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 一、离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量及其概率分布分布律还可以简单地表示为：分布律具有以下性质分布律具有以下性质:，21,0.1ipi1.21iip)(kXP510，k，344034355CCCkk0,1，5，因此，X的分布律为:例例2:某篮球运动员投中篮圈的概率为0.9，求他两次独立投篮投中次数X的分布律.解

8、解：X的所有可能取值为:)(kXP该分布律也可以简单地用表格表示为：，kkkC221.09.0.210，k0，1，2.则5,4,3,2,1,)(kakkXP1)(51kkXP151a.从而1)54321(51aakk即),2521(XP),21(XP（2）计算.),2(XP).62(XP(2)2521(XP)2()1(XPXP51152151)21(XP51152151)2()1(XPXP)2(XP151)1(XP)62(XP)5()4()3()2()1(XPXPXPXPXP1155154153152151（1）两点分布）两点分布Xx1x2Pip1-p二、常用的离散分布二、常用的离散分布X01

9、PiqpX01Pi0.550.45X01Pi0.10.6+0.3当取到正品时当取到次品时,1,0X例例3:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量X为PX=0=0.05,PX=1=0.95则X服从(0-1)分布，其分布律为：X01Pi0.050.95例例4:某保险公司开展5年自行车保险业务，被保险的自行车需交保险费10元，在2年内自行车被盗，可从保险公司获得赔付300元，已知自行车被盗的概率的概率为p(0p1),用X表示保险公司在每辆被保险的自行车上的收益，写出X的概率分布.解：解：2年内自行车若被盗，则X=否则，X=因此，X服

10、从两点分布，其概率分布为：X10-290Pi1-pp10-300=-29010（2）二项分布二项分布(伯努利试验伯努利试验).,.,2,1,0,)1()(nkppCkXPknkkn的概率分布为：定义：若一个随机变量X.,.,2,1,0,)1()(nkppCkXPknkkn).,(.,pnbXpnX记为的二项分布服从参数为则称（1）二项分布的背景是伯努利概型；X01Pi1-pp用表格表示如下用表格表示如下:X012345P24310244051024270102490102415102411024例例1:在初三的一个班中,有1/4的学生成绩优秀.如果从班中随机地找出5名学生.设X：这5名学生中成

11、绩优秀的人数”，求X的分布律.X的所有可能取值为0,1，5，且Xb(5,1/4).解解：.5,.,2,1,0,)25.01(25.0)(55kCkXPkkk则Xb(8,0.6)，于是：)3()1(XP)2()2(XP622871880084.06.04.06.04.06.0CCC0498.0)2()3(XP71880084.06.04.06.01CC9915.053384.06.0 C1239.0)2()1()0(888PPP)1()0(188PPX012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27870.20900.08960.0168二项分布和二项分布

12、和0-1分布的关系分布的关系，否则发生次试验中，第01AiXini,2,1X01Pi1-ppni,2,1nXXXX21（3）几何分布几何分布,2,1,)1()(1kppkXPk则称X服从几何分布.例例1 1：社会上定期发行某种奖券，中奖率为p.（1）求一次购买的分布律；（2）求到中奖为止所需购买次数的分布律.（1）设“X=1”表示中奖，“X=0”表示未中奖，则X01Pi1-pp则X(0,1).解解：（2）设到中奖为止所需购买的次数为Y,则Y服从几何分布.则Y的可能取值为1,2,P(Y=k)=pqk-1,k=1,2,则Y取各个值的概率为用表格表示如下：（4）泊松分布泊松分布,2,1,0,!)(k

13、ekkXPk解解:)3(XP(1)5!35ek(2)10(XP140374.05100!5ekkk986305.0)2(XP9826.0!16!061660ee)1()0(1XPXP注意：二项分布的泊松逼近注意：二项分布的泊松逼近 例例:设某人每次射击的命中率为0.02.独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解解:将每次射击看成一次试验.设击中的次数为X,则Xb(400,0.02).X的分布律为PX=k=C400k0.02k0.98400-k，k=0,1,2,400于是所求概率为 PX2=1-PX=0-PX=1 =1-0.98400-4000.020.98399 直接计算上式很麻烦.,2,

14、1,!lim)(limkekqpCkXPkknkknnnnp泊松定理泊松定理:其中注意注意:实际计算中，n100，np10时近似效果就很好.例例1:设某人每次射击的命中率为0.02.独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解解:将每次射击看成一次试验.设击中的次数为X,则Xb(400,0.02).则有PX=k=C400k0.02k0.98400-k,k=0,1,2,400 PX2=1-PX=0-PX=1于是所求概率为：802.0400,!88npekk8180!18!081ee=1-0.000335-0.002684=0.996981X%)2.0,2500(b.若一年内投保人中有X死亡，则保险公司获利为：250020050000X=50000050000X则所求概率为：)8()10000050000500000(XPXP5002.02500,!5580ekkkkkkkC2500802500)998.0()002.0(931906.0