《中值定理应用》课件.ppt

1、1第二章4 4 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用(2)(2)2三三.微分中值定理应用举例微分中值定理应用举例21x 2211xxxx 例例1.1arctanarcsin2xxx 有有),1,1(x证证,1arctanarcsin)(2xxxxf 以以下下只只要要证证，)(xf),1,1(x211x 1 2211xx .0)(xf记记(证明恒等式证明恒等式)证明证明3,01)1(1)1(11222222 xxxxxx于是由于是由推论推论1得得,)(),1,1(Cxfx 即结论成立即结论成立.),1,1(,0)(xxf01arctanarcsin)0(02 xxxxf又因又因例例2 (不等

2、式的证明不等式的证明),0:ba当当证证明明.lnbbabaaba 4证证(这里证明不等式这里证明不等式,思路思路应是针对某应是针对某个合适的个合适的辅助函数辅助函数,应用中值定理应用中值定理,由等由等式过渡到不等式。式过渡到不等式。)因为要证的结果等价于证因为要证的结果等价于证).(1lnln)(1babbabaa 令令),(,ln)(abxxxf 则则 f(x)在在b,a上满足上满足Lagrange定理条件定理条件,)(xf Cb,a在在(b,a)内可导内可导,于是于是 )(xf5),(ab 使得使得)(1lnlnbaba )(1bab )(1baa),0(ba从而得从而得).(1lnln

3、)(1babbabaa 例例3(方程根的讨论方程根的讨论)01110 xaxaxannn有一个正根有一个正根 ,0 x若方程若方程证明方程证明方程必有一个小于必有一个小于 的正根的正根.0 x0)1(12110 nnnaxnaxna 6证证 由于函数由于函数在在0,上连续上连续,0 xxaxaxaxFnnn1110)(在在(0,)上可导上可导,且且0 x,0)()0(0 xFF则根据则根据 Rolle 定理定理),0(0 x 使使 xnnnxaxaxaF)()(1110 xnnnaxnaxna)1(121100 即即 是是 的一个小于的一个小于 的正根的正根.0 x7例例4(有关等式的证明有关

4、等式的证明)设设 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,)(xf,0 ba且在且在(a,b)内可导内可导,试证试证:在在(a,b)内至少内至少存在一点存在一点 ,使使 证法证法1(用用Rolle定理证定理证)“常数常数 k 法法”).()()()(1 ffbfafbaba 80)()()()(baabfbafff 要证的等式要证的等式 又可写为：又可写为：k,)()(baabfbaf 记记取辅助函数为：取辅助函数为：,)()(xkxfxG )0(bxa 无妨无妨则则 在在a,b上连续，上连续，)(xG在在(a,b)上可导上可导,且且)(aGbabfaf )()()(bG akaf )(bkbf

5、)(9因此因此),(ba 使使0)()(xxkxfG即即0)()(2 kff亦即亦即0)()(kff ,0)()()()(baabfbafff 这就是所要的结论。这就是所要的结论。10证法证法2(用用Cauchy定理证定理证)由由)()()()(1 ffbfafbaba 适当变形适当变形)()()()(ffbaabfbaf 进一步进一步 221)()(11)()(ffabaafbbf 11于是取辅助函数：于是取辅助函数：,1)(,)()(xxGxxfxF 则它们都在则它们都在 上连续，上连续，)0(,baba在在),(ba内可导，且内可导，且,01)(2 xxG满足满足Cauchy定理的三个条

6、件，所以定理的三个条件，所以),(,)()()()()()(baGFaGbGaFbF 立即可得，立即可得，.从而得到从而得到12*证法证法3 (用用Lagrange定理证定理证)思考提示思考提示：用辅助函数用辅助函数.)0(),()(可得可得 baxabfxxF四四.LHospital 法则法则l 此前，我们所遇到的极限绝大部分为此前，我们所遇到的极限绝大部分为 不定式极限，事实上两个重要极限也属不定式极限，事实上两个重要极限也属 不定式极限。不定式极限。不定式极限不定式极限有以下有以下七七 类类：13:00:xxxsinlim0)0(lnlim xxx:0 xxxlnlim0):(xxxln

7、lim00 :xxxcossin1lim2 )tan(seclim2xxx)00(14:1 21coslnlim xxxe:0):(21coslimxxx xxx1lim xxxelnlim )00:(:00 xxxeln)arctan2ln(lim xxxln1)arctan2(lim )(15l 通过以上分析可知，所有不定式极限通过以上分析可知，所有不定式极限 最终归为两类：最终归为两类：00.所以所以,相应有两个定理相应有两个定理,分别针对这两分别针对这两 种情况种情况,统称为统称为LHospital 法则法则。16定理定理4 (LHospital 法则法则)设设,0)(lim)(lim

8、)1(00 xgxfxxxx,0)(,),(,)2(00 xgxxgf且且可导可导在在 )()(lim0 xgxfxx)(,)()(lim)3(0为为有有限限实实数数或或无无穷穷大大aaxgxfxx ：则则)00(.)()(lim0axgxfxx 17证证 由条件由条件(1)，只要只要点不连续点不连续在在若若,)(0 xxf,0)()(:00 xgxf补补充充定定义义上上连连续续，,00 xx,0)(xg又又均均在在则则gf,内内可可导导，且且在在),(00 xx满满足足因因而而gf,Cauchy中值定理中值定理)()()()()()(00 gfxgxgxfxf )()(xgxf)(00 xx

9、x即有即有18)()(lim0 xgxfxx，axgxfxx )()(lim0,)()(lim0agfx )()(lim0 gfxx .)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx l对于对于 情况情况,可以通过变量代换可以通过变量代换)(xtx1 化为化为0t的情况而得出类似结论。的情况而得出类似结论。于是于是同理可证同理可证若条件再强些若条件再强些,还可有还可有19定理定理 5 设设,)(lim)(lim),(,)1(000 xgxfxUCgfxxxx且且,0)(,),(,)2(0 xgxUgf且且可导可导在在)(,)()(lim)3(0为为有有限限实实数数或或无无穷穷大大a

10、axgxfxx .)()(lim)()(lim00axgxfxgxfxxxx ：则则)(不证不证20l书上书上 P.131.-P.133 例例4.6例例4.9.使用使用LHospital 法则法则,必须注意：必须注意：与与00使用此法则，例如使用此法则，例如习题习题 2.4P.136.N.13.(1)并非所有的并非所有的 型不定式都可以型不定式都可以21是否还是这两种不定式？是否还是这两种不定式？能否还可以用能否还可以用“洛比达洛比达”法则？法则？的复杂性后的复杂性后,再用法则再用法则.(2)若多次使用此法则若多次使用此法则,则需要每一步则需要每一步 都得重新考察都得重新考察:(3)每次用法则

11、前每次用法则前,应尽量先减少计算应尽量先减少计算22例例5次次多多项项式式求求一一个个nnnnxaxaxaaxP 2210)().()(nnxxoxPe 使使解解 由条件要使由条件要使，)()(nnxxoxPe ,2,1,0nk ,0 k当当,100 xxea则定有则定有.0)(lim0 knxxxxPe,0)(lim0 xPenxx则则23，取取1 k)()(lim22100 nnxxxaxaxaae)2(lim)(lim12100 nnxxxxnaxaae10)(limaexx ，取取2 k.1)(01 xxea)()(lim0 xPenxx 洛洛xxPenxx)(lim0 0 20)(l

12、imxxPenxx xxPenxx2)()(lim0 洛洛242)()(lim0 xPenxx 洛洛)1(23!2(lim!21)(lim!2123200 nnxxxxannxaae20)(lim!21aexx !21)(!2102 xxea!1)(!10)(kekaxkxk 归纳地可得：归纳地可得：),4,3(nk 0 25xexf)(而而)(!1!2112nnxoxnxx nnnxaxaxaaxP 2210)(nxnxx!1!2112 )(!)0(!2)0()0()0()(2nnnxoxnfxfxff 于是所求的于是所求的 n 次多项式为：次多项式为：26 最后这个例子的作法及结论具有一般性，最后这个例子的作法及结论具有一般性，其意义在用其意义在用高次多项式去逼近一个函数高次多项式去逼近一个函数 的数学思想的数学思想这将是我们在下一节要这将是我们在下一节要 介绍的主要内容。介绍的主要内容。作 业作 业 P.135-习题习题 2.4(A)思考思考:N.13,15-17;书面书面:(A)N.10(单单),11,12,14；(B)N.110.接习题讨论课接习题讨论课