2020高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（1）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x+1）0，集合 Bx|1x1，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|1x0 Cx|1x1 Dx|0x1 2 （5 分）若复数 z 的虚部小于 0，| = 5，且 + = 4，则 iz（ ） A1+3i B2+i C1+2i D12i 3 （5 分）如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为 6 分米，其内有一边长为 1 分米 的正六边形的小孔，现

2、向该圆形图案内随机地投入一飞镖（飞镖的大小忽略不计） ，则该 飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（ ） A 3 24 B 3 24 C1 6 D 3 6 4（5 分） 在ABC 中， H 为BC 上异于B， C的任一点， M 为 AH 的中点， 若 = + ， 则 + 等于（ ） A1 2 B2 3 C1 6 D1 3 5 （5 分）下列函数既是奇函数，又在（0，+）上是减函数的是（ ） A = 2 3 B = 1 3 Cyx2 Dyx3 6 （5 分）某几何体的三视图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ） 第 2 页（共 18 页） A1 B2 C3 D6 7

3、（5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点为 F（c，0） ，若存在过点 F 的直线 l 与双曲线的右支交于不同的两点， 与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点 A， 且|AF|c，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ） A （1，3 B （1，2） C2，2） D （2，+） 8 （5 分）下表是某工厂 10 个车间 2011 年 3 月份产量的统计表，1 到 10 车间的产量依次记 为 A1，A2，A10（如：A6表示 6 号车间的产量为 980 件） 图 2 是统计下表中产量在 一定范围内车间个数的一个算法流程图那么算法流程（图 2）输出的结果是（ ） 车间

4、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量 1080 900 930 850 1500 980 960 900 830 1250 A5 B6 C4 D7 9 （5 分）已知ABC 中， + + 3 = 3且， = 3 4 ，则ABC 是（ ） A正三角形 B直角三角形 第 3 页（共 18 页） C正三角形或直角三角形 D直角三角形或等腰三角形 10 （5 分）函数() = 2 + 3 + 1 2，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最大值为 1 B在( 6 ， 3上单调递增 Cyf（x）的图象关于直线 = 7 12对称 Dyf（x）的图象关于点(7 12 ，0)对称 11 （5 分）

5、已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的两条渐近线分别为直线 l1与 l2， 若点A， B为直线l1上关于原点对称的不同两点， 点M为直线l2上一点， 且kAMkBM= 3 ， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A1 B2 C2 D5 12 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBCAA11，E 为 AB1上任意一点，BC1 CE，则三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为（ ） A33 B3 C22 D2 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）命题：xR，x2+x0 的否定是 14 （5 分）将

6、正整数对作如下分组，第 1 组为（1，2） ， （2，1），第 2 组为（1，3） ， （3， 1），第 3 组为（1，4） ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1），第 4 组为（1，5） ， （2，4） ， （4， 2） ， （5，1）则第 30 组第 16 个数对为 15 （5 分）已知函数 f（x）ex，g（x）ax2+bx+1（a，bR） ，当 a0 时，若 f（x）g （x）对任意的 xR 恒成立，则 b 的取值范围是 16 （5 分）一批救灾物资随 51 辆汽车从某市以 vkm/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路 线长 400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 2

7、 800km，那么这批物资全部到达灾 区，最少需要 h 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）数列an满足：a1+a2+a3+ = 1 2 (3 1) （1）求an的通项公式； 第 4 页（共 18 页） （2）若数列bn满足= 3，求bn的前 n 项和 Tn 18（12 分） 如图， 在正六棱锥 PABCDEF 中， 已知底边长为 2， 侧棱与底面所成角为 60 （1）求该六棱锥的体积 V： （2）求证：PACE 19 （12 分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基 本相同，现从甲、

8、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数 记录结果中随机抽取 10 天的数据，整理如下： 甲公司员工 A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工 B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 0.65 元，乙公司规定每天 350 件以内（含 350 件）的部分每件 0.6 元超 出 350 件的部分每件 0.9 元 （1）根据题中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快件个数的平均数和众数； （2）为了解乙公

9、司员工 B 每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得 的劳务费记为 （单位：元） ，求 的分布列和数学期望； （3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费 20 （12 分）已知抛物线 C1：x2py 过点（2，1） ，椭圆 C2的两个焦点分别为 F1，F2，其 中F2与抛物线C1的焦点重合， 过F1与长轴垂直的直线交椭圆C2于A， B两点且|AB|3 （1）求 C1与 C2的方程； （2）若曲线 C3是以原点为圆心，以|OF1|为半径的圆，动直线 1 与圆 C3相切，且与椭圆 C2交于 M，N 两点，OMN 的面积为 S，求 S 的取值范围 21 （12 分

10、）已知函数 f（x）ax2+lnx（aR） （1）当 a3 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 E 经过点 P(1， 3 2)， 其参数方程 = = 3 （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 E 的极坐标方程； （2）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OAOB，求证： 1 |2 +

11、1 |2为定值，并求出这个 定值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|x+2| （1）若不等式 f（x）|m1|有解，求实数 m 的最小值 M； （2）在（1）的条件下，若正数 a，b 满足 3a+bM，证明：3 + 1 3 第 6 页（共 18 页） 2020 高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国一卷高考模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x+1）0，集合 Bx|1x1，则 AB（ ）

12、Ax|1x1 Bx|1x0 Cx|1x1 Dx|0x1 【解答】解：集合 Ax|x（x+1）0x|1x0， 集合 Bx|1x1， ABx|1x1 故选：C 2 （5 分）若复数 z 的虚部小于 0，| = 5，且 + = 4，则 iz（ ） A1+3i B2+i C1+2i D12i 【解答】解：设 za+bi（a，bR，b0） ， 由已知可得 2 + 2= 5 2 = 4 ，解得 = 2 = 1(0)， izi（2i）1+2i 故选：C 3 （5 分）如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为 6 分米，其内有一边长为 1 分米 的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖（飞镖的大小

13、忽略不计） ，则该 飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（ ） A 3 24 B 3 24 C1 6 D 3 6 【解答】解：因为 S正六边形6 1 2 11sin60= 33 2 ，S圆（6）236， 所以该飞镖该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为 P 33 2 36 = 3 24， 第 7 页（共 18 页） 故选：B 4（5 分） 在ABC 中， H 为BC 上异于B， C的任一点， M 为 AH 的中点， 若 = + ， 则 + 等于（ ） A1 2 B2 3 C1 6 D1 3 【解答】解：M 为 AH 的中点，且 = + ， = 1 2 = + = 2 + 2 ，且 B，H，C

14、 三点共线， 2+21， + = 1 2 故选：A 5 （5 分）下列函数既是奇函数，又在（0，+）上是减函数的是（ ） A = 2 3 B = 1 3 Cyx2 Dyx3 【解答】解：Ay= 2 3 ，则函数为偶函数，不满足条件 By= 3 为减函数，当 x0 时，函数为增函数，不满足条件 C函数为偶函数，不满足条件， D函数既是奇函数，又在（0，+）上是减函数，满足条件， 故选：D 6 （5 分）某几何体的三视图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ） A1 B2 C3 D6 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：根据几何体的三视图，该几何体为两个四棱柱的组合体，

15、所以 = 2 1 2 (1 + 2) 2 = 6， 故选：D 7 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点为 F（c，0） ，若存在过点 F 的直线 l 与双曲线的右支交于不同的两点， 与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点 A， 且|AF|c，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ） A （1，3 B （1，2） C2，2） D （2，+） 【解答】 解： 设AOF， 根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点 A， 且|AF|c， AFO2，BOM， 若存在过点 F 的直线 l 与双曲线的右支交于不同的两点，需保证BOMAFO BOMAFO，则 2， 3 根据双

16、曲线的渐近线为 y x，则 tan = ， 3 根据双曲线 C 的离心率 e= =1 + ( ) 21 + 3 = 2， 根据双曲线 C 的离心率 e1， 1e2 故选：B 8 （5 分）下表是某工厂 10 个车间 2011 年 3 月份产量的统计表，1 到 10 车间的产量依次记 为 A1，A2，A10（如：A6表示 6 号车间的产量为 980 件） 图 2 是统计下表中产量在 一定范围内车间个数的一个算法流程图那么算法流程（图 2）输出的结果是（ ） 第 9 页（共 18 页） 车间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量 1080 900 930 850 1500 980 960

17、 900 830 1250 A5 B6 C4 D7 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加十个车间中产量超过 900 件的车间个数、 由产量的统计表可知：参与统计的十个车间中，第 1、3、5、6、7、10 六个车间产量超 过 900 件 故最终输出的值为：6 故选：B 9 （5 分）已知ABC 中， + + 3 = 3且， = 3 4 ，则ABC 是（ ） A正三角形 B直角三角形 C正三角形或直角三角形 D直角三角形或等腰三角形 【解答】解：由 + + 3 = 3，得： : 1; = 3， 即 tan（A+B）= 3， A+B120，

18、C60， 第 10 页（共 18 页） 又 sinBcosB= 3 4 ， sin2B= 3 2 ， 则 2B60或 2B120，即 B30或 B60， 若 B30，则 A90，tanA 不存在，不合题意； 若 B60，则 AC60，ABC 为正三角形 故选：A 10 （5 分）函数() = 2 + 3 + 1 2，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最大值为 1 B在( 6 ， 3上单调递增 Cyf（x）的图象关于直线 = 7 12对称 Dyf（x）的图象关于点(7 12 ，0)对称 【解答】解：f（x）= 1 2(1 2) + 3 2 2 + 1 2 =sin（2x 6）+1， 最大值为

19、 2，A 错， x( 6 ， 3时，2x 6（ 2， 2） ，显然单调递增，故 B 成立， = 7 12时，2x 6 =，sin0，C 不成立， 图象的对称中心为（7 12，1）故 D 不成立， 故选：B 11 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的两条渐近线分别为直线 l1与 l2， 若点A， B为直线l1上关于原点对称的不同两点， 点M为直线l2上一点， 且kAMkBM= 3 ， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A1 B2 C2 D5 【解答】解：双曲线的渐近线方程为 = ，不妨设1： = ，2： = ， 由题意可设(1， 1)，(1， 1)，(2， 2)， 因此

20、 kAMkBM= (1+2) 12 (;1:2) ;1;2 = 2 2 = 3 ， 第 11 页（共 18 页） 可得 b= 3a，则 e= =1 + 2 2 =2 故选：C 12 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBCAA11，E 为 AB1上任意一点，BC1 CE，则三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为（ ） A33 B3 C22 D2 【解答】解：如图， 三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，CC1AC， E 为 AB1上任意一点，BC1CE，ACBC1，则 AC平面 BB1C1C， 可得直三棱柱的底面为等腰直角三角形，把直三棱柱补形为正方体， 则三棱柱 ABCA1

21、B1C1外接球的半径 R= 1 21 2+ 12+ 12 = 3 2 三棱柱 ABCA1B1C1外接球的表面积为4 ( 3 2 )2= 3 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）命题：xR，x2+x0 的否定是 xR，x2+x0 【解答】解：全称命题的否定是特称命题， 则命题的否定是：xR，x2+x0， 故答案为：xR，x2+x0 14 （5 分）将正整数对作如下分组，第 1 组为（1，2） ， （2，1），第 2 组为（1，3） ， （3， 1），第 3 组为（1，4） ， （2，3） ， （3，2） ， （4

22、，1），第 4 组为（1，5） ， （2，4） ， （4， 2） ， （5，1）则第 30 组第 16 个数对为 （17，15） 【解答】解：由题意可得第一组的各个数和为 3，第二组各个数和为 4， 第 12 页（共 18 页） 第三组各个数和为 5，第四组各个数和为 6， ，第 n 组各个数和为 n+2，且各个数对无重复数字， 可得第 30 组各个数和为 32， 则第 30 组第 16 个数对为（17，15） 故答案为： （17，15） 15 （5 分）已知函数 f（x）ex，g（x）ax2+bx+1（a，bR） ，当 a0 时，若 f（x）g （x）对任意的 xR 恒成立，则 b 的取值范

23、围是 1 【解答】解：由 a0，则 （x）f（x）g（x）exbx1，所以 （x）exb， （i）当 b0 时，（x）0，函数 （x）在 R 上单调递增， 又 （0）0，所以当 x（，0）时，（x）0，与函数 f（x）g（x）矛盾， （ii）当 b0 时，由 （x）0，得 xlnb；由 （x）0，得 xlnb， 所以函数 （x）在（，lnb）上单调递减，在（lnb，+）上单调递增， 当 0b1 时，lnb0，又 （0）0，（lnb）0，与函数 f（x）g（x）矛盾； 当 b1 时，同理 （lnb）0，与函数 f（x）g（x）矛盾； 当 b1 时，lnb0，所以函数 （x）在（，0）上单调递减，

24、在（0，+）上单 调递增，（x）（0）0，故 b1 满足题意 综上所述，b 的取值的范围为1 故答案为：1 16 （5 分）一批救灾物资随 51 辆汽车从某市以 vkm/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路 线长 400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 2 800km，那么这批物资全部到达灾 区，最少需要 10 h 【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为 t 小时， 由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了 50 个 2 800km+400km 所用的时间， 因此，t= 50 2 800+400 = 16 + 400 2 16 400 =10 当且仅当 16 = 400 ，即 v80

25、 时取“” 故这些汽车以 80km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少要 10 小时 故答案为：10 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 13 页（共 18 页） 17 （12 分）数列an满足：a1+a2+a3+ = 1 2 (3 1) （1）求an的通项公式； （2）若数列bn满足= 3，求bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）Sna1+a2+a3+an，a1+a2+a3+ = 1 2 (3 1)， n1 时，a11， n2 时，= ;1= 3;1，对 n1 也成立， = 3;1，nN*； （2）由= 3，= ( 1)

26、(1 3) ;1， Tnb1+b2+bn= 1 3 + 2 (1 3) 2 + ( 1)(1 3) ;1 1 3 = (1 3) 2 + 2 (1 3) 3 + ( 2)(1 3) 1 + ( 1)(1 3) 得2 3 = 1 3 + (1 3) 2 + (1 3) 1 ( 1)(1 3) ， 2 3 = 1 31;( 1 3) 1 1;(1 3) ( 1)(1 3) ， = 3 4 (2+1 4 )(1 3) ;1 18（12 分） 如图， 在正六棱锥 PABCDEF 中， 已知底边长为 2， 侧棱与底面所成角为 60 （1）求该六棱锥的体积 V： （2）求证：PACE 【解答】解： （1）

27、解：在正六棱锥 PABCDEF 中，底边长为 2，侧棱与底面所成角为 60 连结 AD，过 P 作 PO底面 ABCD，交 AD 于点 O， 则 AODO2，PAO60，PA2AO4， PO= 42 22=23， 第 14 页（共 18 页） SABCDEF6（1 2 2 2 60）63， 该六棱锥的体积 V= 1 3 = 1 3 63 23 =12 （2）证明：连结 CE，交 AD 于点 O，连结 PG， DECD，AEAD，ADCE，O 是 CE 中点， PAPC，PGCE， PGADG，CE平面 PAD， PA平面 PAD，PACE 19 （12 分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，

28、假设同一个公司快递员的工作状况基 本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数 记录结果中随机抽取 10 天的数据，整理如下： 甲公司员工 A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工 B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 0.65 元，乙公司规定每天 350 件以内（含 350 件）的部分每件 0.6 元超 出 350 件的部分每件 0.9 元 （1）根据题中数据写出甲公司员工 A 在这 10

29、天投递的快件个数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工 B 每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得 的劳务费记为 （单位：元） ，求 的分布列和数学期望； （3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费 【解答】解： （1）由题意知： 甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数为： 1 10 (410 + 390 + 330 + 360 + 320 + 400 + 330 + 340 + 370 + 350) = 360， 众数为 330 第 15 页（共 18 页） （2） 设乙公司员工 B1 天的投递件数为 X， 则 X 的可能取值为 340，

30、 360， 370， 420， 440， 当 X340 时， = 340 0.6 = 204，( = 204) = 1 10， 当 X360 时， = 350 0.6 + (360 350) 0.9 = 219，( = 219) = 3 10， 当 X370 时， = 350 0.6 + (370 350) 0.9 = 228，( = 228) = 1 5， 当 X420 时， = 350 0.6 + (420 350) 0.9 = 273，( = 273) = 3 10， 当 X440 时， = 350 0.6 + (440 350) 0.9 = 291，( = 291) = 1 10， 的

31、分布列为 204 219 228 273 291 P 1 10 3 10 1 5 3 10 1 10 () = 204 1 10 + 219 3 10 + 228 1 5 + 273 3 10 + 291 1 10 = 242.7 （3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为 360300.657020（元） 由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为： 242.70.6304368.6（元） 20 （12 分）已知抛物线 C1：x2py 过点（2，1） ，椭圆 C2的两个焦点分别为 F1，F2，其 中F2与抛物线C1的焦点重合， 过F1与长轴垂直的直线交椭圆C2于A， B两点

32、且|AB|3 （1）求 C1与 C2的方程； （2）若曲线 C3是以原点为圆心，以|OF1|为半径的圆，动直线 1 与圆 C3相切，且与椭圆 C2交于 M，N 两点，OMN 的面积为 S，求 S 的取值范围 【解答】解： （1）由已知设抛物线 C1的方程为 x2py，p0， 则 p4， 则 C1的方程为 x24y， 则 F2（0，1） ，不妨设椭圆 C2的方程为 2 2 + 2 2 =1，ab0， 由 2 2 + 2 2=1 = 1 ，可得 x 2 ， |AB|= 22 =3，由 a2b2+1， 第 16 页（共 18 页） 解得 a2，b= 3， 故椭圆 C2的方程为 2 4 + 2 3 =

33、1， 易知|OF1|1， C3的标准方程为 x2+y21 （2）直线 l 与 C3相切，可得圆心到直线 l 的距离为 1， S= 1 2 |MN|1= | 2 ， 当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x1，易知两种情况所得的三角形的面积相等， 由 2 4 + 2 3 = 1 = 1 ，可得 y26 3 ， 不妨设 M（1，26 3 ） ，N（1， 26 3 ） ，则|MN|= 46 3 此时 S= 26 3 ； 当直线 l 的斜率存在时，不妨设直线方程为 ykx+m， 则 | 1+2 =1 即 m2k2+1， 由 2 4 + 2 3 = 1 = + ，可得（3k2+4）x2+6kmx+3m2

34、120， 由36k2m24（3k2+4） （3m212）48（4+3k2m2）48（2k2+3）0 恒成立， 设 M（x3，y3） ，N（x4，y4） ， x3+x4= 6 32+4，x3x4= 3212 32+4 ， S= | 2 = 1 21 + 2 (3+ 4)2 434= 1 21 + 2 ( 6 32+4) 2 4 3212 32+4 = 1 21 + 248(2 2:3) 32:4 = 22:3 32:4 ， 令 3k2+4t（t4） ，则 k2= 4 3 ， S= 23 3 2 21 2 = 23 3 (1 ) 21 + 2， 令1 =n，则 n（0，1 4， 易知 yn2n+2

35、 在区间（0，1 4上单调递减，故 3 2 S 26 3 ， 第 17 页（共 18 页） 综上OMN 的面积 S 的取值范围为3 2， 26 3 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2+lnx（aR） （1）当 a3 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）ax2+lnx 的导数为 f（x）2ax+ 1 ， a3 时，可得 f（x）3x2+lnx，导数 f（x）6x+ 1 ， 即有切线的斜率为 k7，切点为（1，3） ， 切线方程为 y37（x1） ，即 y7x4； （2）f（

36、x）的导数为 f（x）2ax+ 1 = 22+1 ，x0， 若 a0，则 f（x）0，f（x）在 x0 递增，即有 f（x）没有两个零点； 若 a0，f（x）0 解得 x= 1 2， 可得 x（0， 1 2） ，f（x）0，f（x）递增；在 x（ 1 2，+） ，f（x）0， f（x）递减， f（x）在 x= 1 2处取得极大值，且为最大值 1 2 +ln 1 2 = 1 2（ln（ 1 2）1） ， 由 x0，x0，f（x）0，当 x1 时， （xlnx）1 1 0， 即有 xlnx1，即 xlnx，当 x+时，f（x）ax2+lnxax2+x0， 要使函数 f（x）有两个零点，只需满足条件

37、：f（ 1 2）0， 即有 ln（ 1 2）10，可得 1 2e，由 a0， 可得 1 2a0， 则 a 的范围是（ 1 2，0） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 E 经过点 P(1， 3 2)， 其参数方程 = = 3 （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 E 的极坐标方程； （2）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OAOB，求证： 1 |2 + 1 |2为定值，并求出这个 第 18 页（共 18 页） 定值 【解答】解

38、： （ I）将点(1， 3 2)代入曲线 E 的方程， 得 1 = ， 3 2 = 3，解得 a 24， 所以曲线 E 的普通方程为 2 4 + 2 3 = 1， 极坐标方程为2(1 4 2 +1 3 2) = 1 （）不妨设点 A，B 的极坐标分别为(1，)，(2， + 2)，10，20， 则 (1 41 22 +1 31 22) = 1， (1 42 22( + 2) + 1 3 2 22( + 2) = 1， 即 1 1 2 = 1 4 2 + 1 3 2， 1 2 2 = 1 4 2 + 1 3 2， 1 1 2 + 1 2 2 = 1 4 + 1 3 = 7 12，即 1 |2 +

39、1 |2 = 7 12 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|x+2| （1）若不等式 f（x）|m1|有解，求实数 m 的最小值 M； （2）在（1）的条件下，若正数 a，b 满足 3a+bM，证明：3 + 1 3 【解答】解：函数 f（x）|x3|x+2|表述数轴上的 x 的对应点到 3 对应点的距离减去 它到2 对应点的距离， 它的最小值为5，最大值为 5， （1）若不等式 f（x）|m1|有解，则 5|m1|，即5m15，求得4m6， 故实数 m 的最小值 M4 （2）在（1）的条件下，若正数 a，b 满足 3a+bM4，即 3: 4 =1， 3 + 1 = 3(3+) 4 + 3+ 4 = 3 2 + 9 4 + 4 3 2 +29 4 4 +3= 3 2 +23 4 =3， 即 3 + 1 3