2020年北京市高考数学模拟试卷（5）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年北京高考数学模拟试卷（年北京高考数学模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 2 （4 分）若复数 z= 5 2，则|z|（ ） A1 B5 C5 D55 3 （4 分）数列an满足 an+2an+1an+1an（nN*） ，且 a810，则 S15（ ） A95 B190 C380 D150 4 （4 分）已知 ， 是不共线的向量， = + ， = 2 ， =

2、2 ，若 A、 B、C 三点共线，则 、 满足（ ） A3 B+3 C+2 D2 5 （4 分）不等式 x2+x20 成立的一个必要不充分条件是（ ） A2x1 B2x1 Cx1 Dx2 6 （4 分） 直线 y3k（x1） 被圆 （x2） 2+ （y2）25 所截得的最短弦长等于（ ） A3 B22 C23 D5 7（4分） 已知函数f （x） sin （x+）（0， 0 2） 在 （ 8， 5 8 ） 上单调， 且f （ 8） f （ 3 8 ） 0， 则 f（ 2）的值为（ ） A 2 2 B1 C1 D 2 2 8 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B

3、4 3 C2 3 D1 3 第 2 页（共 18 页） 9 （4 分）已知抛物线： = 1 4 2的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线 交于 A，B 两点，若 = 2 ，则|AB|为（ ） A40 9 B40 C16 D16 3 10 （4 分）下面四个命题： “直线 a直线 b”的充要条件是“a 平行于 b 所在的平面” ； “直线 l平面 内所有直线”的充要条件是“l平面 ” ； “直线 a、b 为异面直线”的必要不充分条件是“直线 a、b 不相交” ； “平面 平面 ”的充分不必要条件是“ 内存在不共线的三点到 的距离相等” ； 其中正确命题的序号是（ ）

4、A B C D 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）若二项式( 1 ) 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常数 项为 12 （5 分）已知双曲线 2 3 2 2 = 1的两条渐近线与直线 = 3围成正三角形，则双曲线的 离心率为 13 （5 分）已知等比数列an满足首项 a12018，公比 = 1 2，用 表示该数列的前 n 项之积，则 取到最大值时，n 的值为 14 （5 分）函数 ysin2（2x）1 的最小正周期是 15 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x）+1= 1 (+1)，当 0x1

5、时，f（x）x，若方程 f （x）mxm0（x（1，1）有两个不同实数根，则实数 m 的最大值是 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 16 （14 分）在ABC 中，设内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 = 3 （1）若 a，b，c 成等比数列，求证：B60； （2）若2 = 1 3（A 为锐角） ， = 1 3，求ABC 中 AB 边上的高 h 17 （14 分）研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指 数（缩写为 BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是 = 体重(单位：) 身高 2(单位：2)中国成 第 3 页（共 1

6、8 页） 人的 BM 数值标准为：BM18.5 为偏瘦；18.5BMI24 为正常；BMI24 为偏胖，为 了解某社区成年人的身体肥胖情况研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽样方法 抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的 45 名男性、45 名女性为样本，测量了他们的 身高和体重数据，计算得到他们的 BM 值后数据分布如表所示： BMI 标准 老年人 中年 青年 人 男 女 男 女 男 女 BMI18.5 3 3 1 2 4 5 18.5BMI24 5 7 5 7 8 10 BM24 5 4 10 5 4 2 （1）从样本中的老年人中年人青年人中各任取一人，求至少有 1 人偏胖的概率； （

7、2）从该社区所有的成年人中，随机选取 3 人，其中偏胖的人数为 X，根据样本数据， 以频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望； （3）经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯体育锻炼或其 他因素四类情况中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人导致偏胖的原因，整 理数据得到如表： 分类 遗传因素 饮食习惯欠佳 缺乏体育锻炼 其他因素 人次 8 12 16 4 请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，请至少说 明 2 条措施 18（15 分） 如图所示的几何体中， 四边形 ABCD 是菱形， ADNM 是矩形， ND平面 ABCD， DAB60

8、，AD2，AM1，E 为 AB 的中点 （）求证：NA平面 MEC； （）求直线 MB 与平面 MEC 所成角的正弦值； （）设 P 为线段 AM 上的动点，二面角 PECD 的平面角的大小为 30，求线段 AP 的长 第 4 页（共 18 页） 19 （14 分）已知函数() = 23 1 2 2 + 1 2（aR 且 a0） （）当 a= 23时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间； （）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna 20 （14 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab

9、0）的离心率为 5 5 ，右焦点为抛物线 y24x 的焦点 F （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）O 为坐标原点，过 O 作两条射线，分别交椭圆于 M、N 两点，若 OM、ON 斜率之 积为 4 5 求证：MON 的面积为定值 21 （14 分）对于无穷数列an， “若存在 amakt（m，kN*，mk） ，必有 am+1ak+1 t” ，则称数列an具有 P（t）性质 （1） 若数列an满足= 2 = 1，2 2 5 3， ， 判断数列a n是否具有 P （1） 性质？ 是否具有 P（4）性质？ （2）对于无穷数列an，设 Tx|xajai，ij，求证：若数列an具有 P（0）性质， 则

10、 T 必为有限集； （3）已知an是各项均为正整数的数列，且an既具有 P（2）性质，又具有 P（3）性 质，是否存在正整数 N、k，使得 aN、aN+1、aN+2、aN+k、成等差数列，若存在， 请加以证明，若不存在，说明理由 第 5 页（共 18 页） 2020 年北京高考数学模拟试卷（年北京高考数学模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 【解答】解：由题意得：

11、AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4， 所以 AB1，2，3， 故选：A 2 （4 分）若复数 z= 5 2，则|z|（ ） A1 B5 C5 D55 【解答】解：复数 z= 5 2 = 5(2+) (2)(2+) =2+i； |z|= 22+ 12= 5； 故选：B 3 （4 分）数列an满足 an+2an+1an+1an（nN*） ，且 a810，则 S15（ ） A95 B190 C380 D150 【解答】解：数列an满足 an+2an+1an+1an（nN*） ， 数列an是等差数列， a810， S15= 15 2 (1+ 15) =15a8150 故选：D 4 （

12、4 分）已知 ， 是不共线的向量， = + ， = 2 ， = 2 ，若 A、 B、C 三点共线，则 、 满足（ ） A3 B+3 C+2 D2 【解答】解：由 = + ， = 2 ， = 2 ， 所以 = =（2） （1+） ， = = ； 若 A、B、C 三点共线，则 ， 即（2）（1+） ， 第 6 页（共 18 页） 化简得 +3 故选：B 5 （4 分）不等式 x2+x20 成立的一个必要不充分条件是（ ） A2x1 B2x1 Cx1 Dx2 【解答】解：不等式 x2+x202x1 不等式 x2+x20 成立的一个必要不充分条件是 D 故选：D 6 （4 分） 直线 y3k（x1）

13、被圆 （x2） 2+ （y2）25 所截得的最短弦长等于（ ） A3 B22 C23 D5 【解答】解：圆的方程为圆（x2）2+（y2）25，圆心 C（2，2） ，半径为5 直线 y3k（x1） ， 此直线恒过定点（1，3） ， 当圆被直线截得的弦最短时，圆心 C（2，2）与定点 P（1，3）的连线垂直于弦， 弦心距为：(2 1)2+ (2 3)2= 2 所截得的最短弦长：2(5)2 (2)2= 23 故选：C 7（4分） 已知函数f （x） sin （x+）（0， 0 2） 在 （ 8， 5 8 ） 上单调， 且f （ 8） f （ 3 8 ） 0， 则 f（ 2）的值为（ ） A 2 2

14、B1 C1 D 2 2 【解答】解：由题意得，函数 f（x）的最小正周期为 T= 2 ， f（x）在（ 8， 5 8 ）上单调， 2 = 2，得 02 且 f（ 8）f（ 3 8 ）0， 所以 2 = 3 8 ( 8) = 2，解得 2 由于 f（ 8）0， 所以2 ( 8) +0，整理得 = 4 第 7 页（共 18 页） 所以 f（x）sin（2x+ 4） ， 则( 2) = ( + 4) = 2 2 故选：D 8 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B4 3 C2 3 D1 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为底边为直角三角形，高

15、为 2 的三棱锥体 如图所示： 所以 V= 1 3 1 2 2 1 2 = 2 3 故选：C 9 （4 分）已知抛物线： = 1 4 2的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线 交于 A，B 两点，若 = 2 ，则|AB|为（ ） A40 9 B40 C16 D16 3 【解答】解：抛物线 C 的方程为：x24y，焦点 F（0，1） ，准线方程为：y1， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 第 8 页（共 18 页） 则由抛物线的定义可知：|AB|AF|+|BF|y1+y2+2， = 2 ， 直线 AB 的斜率为 3 3 ， 直线 AB 的方程为：y= 3

16、3 x+1， 联立方程 = 3 3 + 1 2= 4 ，消去 x 得：3y210y+30， 1+ 2= 10 3 ， |AB|AF|+|BF|y1+y2+2= 16 3 ， 故选：D 10 （4 分）下面四个命题： “直线 a直线 b”的充要条件是“a 平行于 b 所在的平面” ； “直线 l平面 内所有直线”的充要条件是“l平面 ” ； “直线 a、b 为异面直线”的必要不充分条件是“直线 a、b 不相交” ； “平面 平面 ”的充分不必要条件是“ 内存在不共线的三点到 的距离相等” ； 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【解答】解：“直线 a直线 b”推不到“a 平行于 b 所在

17、的平面” ，反之，也推不到， 故为不充分也不必要，故错误； “直线 l平面 内所有直线”的充要条件是“l平面 ” ，故正确； “直线 a、b 为异面直线”可得“直线 a、b 不相交” ，反之，a，b 可能平行，故正 确； “平面 平面 ”可得“ 内存在不共线的三点到 的距离相等” ，反之， 可 能相交，故错误 故选：B 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）若二项式( 1 ) 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中常数 项为 15 第 9 页（共 18 页） 【解答】解：由二项式( 1 ) 展开式中只有第 4

18、 项的二项式系数最大， 即展开式有 7 项，n6； 展开式中的通项公式为 Tr+1= 6 （1）rx63 2 r； 令 6 3 2r0，求得 r4， 故展开式中的常数项为（1）46 4 =15 故答案为：15 12 （5 分）已知双曲线 2 3 2 2 = 1的两条渐近线与直线 = 3围成正三角形，则双曲线的 离心率为 23 3 【解答】解：双曲线 2 3 2 2 = 1的两条渐近线与直线 = 3围成正三角形， 所以双曲线的渐近线的倾斜角为 30和 150， 所以 3 = 3 3 ，所以 b1， 所以双曲线的离心率为：e= = 2 3 = 23 3 故答案为：23 3 13 （5 分）已知等比

19、数列an满足首项 a12018，公比 = 1 2，用 表示该数列的前 n 项之积，则 取到最大值时，n 的值为 12 【解答】解：等比数列an满足首项 a12018，公比 = 1 2， = 1;1=2018（ 1 2） n1， |an|2018（1 2） n1，an中奇数项是正数，偶数项是负数， a102018（ 1 2） 9= 2018 512 ， a112018（ 1 2） 10=2018 1024， 12= 2018 ( 1 2) 11 = 2018 2028， 用 表示该数列的前 n 项之积， 则 取到最大值时，n 的值为 12 第 10 页（共 18 页） 故答案为：12 14 （5

20、 分）函数 ysin2（2x）1 的最小正周期是 2 【解答】解ysin2（2x）1= 14 2 1= 4 2 1 2 T= 2 4 = 2 故答案为： 2 15 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x）+1= 1 (+1)，当 0x1 时，f（x）x，若方程 f （x）mxm0（x（1，1）有两个不同实数根，则实数 m 的最大值是 【解答】解：当1x0 时，0x+11，当 0x1 时，f（x）x， 所以 f（x）= 1 +1 1（1x0） ， 即 f（x）= ，0 1 1 +1 1， 10， 方程 f（x）mxm0， 即 f（x）m（x+1） ， 令 g（x）m（x+1） ， 如图所示：

21、若方程 f（x）mxm0（x（1，1）有两个不同实数根时，m0 且当 g（x）过（ 1，0）和（1，1）时 m 的值最大，且这时 m= 1 1(1) = 1 2， 故答案为：1 2 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 16 （14 分）在ABC 中，设内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 = 3 （1）若 a，b，c 成等比数列，求证：B60； 第 11 页（共 18 页） （2）若2 = 1 3（A 为锐角） ， = 1 3，求ABC 中 AB 边上的高 h 【解答】解： （1）证明：因为 a，b，c 成等比数列，所以 b2ac； 而 = 2+22

22、2 = 2+2 2 = 1 2 ( + 1) 1 2（当且仅当 ac 时取等号） 又因为 B 为三角形的内角，所以 B60； （2）在ABC 中，因为2 = 1 22 = 1 3，所以 = 6 3 又因为 = 3， = 1 3， 所以由正弦定理 = ，解得 = 32； 由 = 6 3 ，0 2得 = 3 3 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，得 b22b150 解得 b5 或 b3（舍） 所以 AB 边上的高= = 5 6 3 = 56 3 17 （14 分）研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指 数（缩写为 BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是 = 体

23、重(单位：) 身高 2(单位：2)中国成 人的 BM 数值标准为：BM18.5 为偏瘦；18.5BMI24 为正常；BMI24 为偏胖，为 了解某社区成年人的身体肥胖情况研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽样方法 抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的 45 名男性、45 名女性为样本，测量了他们的 身高和体重数据，计算得到他们的 BM 值后数据分布如表所示： BMI 标准 老年人 中年 青年 人 男 女 男 女 男 女 BMI18.5 3 3 1 2 4 5 18.5BMI24 5 7 5 7 8 10 BM24 5 4 10 5 4 2 （1）从样本中的老年人中年人青年人中各任取一人，

24、求至少有 1 人偏胖的概率； （2）从该社区所有的成年人中，随机选取 3 人，其中偏胖的人数为 X，根据样本数据， 以频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望； 第 12 页（共 18 页） （3）经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯体育锻炼或其 他因素四类情况中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人导致偏胖的原因，整 理数据得到如表： 分类 遗传因素 饮食习惯欠佳 缺乏体育锻炼 其他因素 人次 8 12 16 4 请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，请至少说 明 2 条措施 【解答】解： （1）设 A，B，C 分别表示从样本中的老年

25、人，中年人，青年人中任取一人， 这个人恰好偏胖的事件， 根据题意，则 P（A）= 9 27 = 1 3，P（B）= 15 30 = 1 2，P（C）= 6 33 = 2 11， 则至少有 1 人偏胖的概率为 1P（）1()()() = 1 2 3 1 2 9 11 = 8 11； （2）根据题意，X 所有可能的取值为 0，1，2，3， 由在该社区成年人中，随机选取 1 人，偏胖的概率为 9:15:6 27:30:33 = 30 90 = 1 3， P（X0）= 3 0(1 1 3) 3 = 8 27， P（X1）= 3 1(1 3)(1 1 3) 2 = 4 9， P（X2）= 3 2(1 3

26、) 2(11 3) = 2 9， P（X3）= 3 3(1 3) 3 = 1 27， 随机变量的分布列如下： X 0 1 2 3 P 8 27 4 9 2 9 1 27 EX= 0 8 27 + 1 4 9 + 2 2 9 + 3 1 27 = 1； （3）由表可知，因饮食习惯欠佳导致人偏胖的人次占比约为 30%，因缺乏体育锻炼导致 人偏胖的人次占比约为 40%， 所以为减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，可采取如下 2 种措施： 加强体育锻炼；改善饮食习惯 18（15 分） 如图所示的几何体中， 四边形 ABCD 是菱形， ADNM 是矩形， ND平面 ABCD， 第 13 页（共 18 页

27、） DAB60，AD2，AM1，E 为 AB 的中点 （）求证：NA平面 MEC； （）求直线 MB 与平面 MEC 所成角的正弦值； （）设 P 为线段 AM 上的动点，二面角 PECD 的平面角的大小为 30，求线段 AP 的长 【解答】解：由题意可知四边形 ABCD 为菱形，E 为 AB 的中点，DAB60，DE AB 又 ND平面 ABCD，以 D 为原点建立空间直角坐标系， （如图） ，则 A（3，1，0） ， B（3，1，0） ，C（0，2，0） ，D（0，0，0） E（3，0，0） ，M（3，1，1） ，N（0，0，1） （）证明：由题意 = (0，1， 1)， = (3，3，

28、1)， 设 =（x，y，z）为平面 MEC 的法向量 = = 0 3 + 3 = 0 . = (2， 3 ，3) 又 = (3， 1， 1) = 23 3 3 = 0 NA平面 MEC，NA平面 MEC （）可得 = (0，2， 1)，平面 MEC 的法向量为 = (2， 3 ，3)， ， = | | | = 6 10 直线 MB 与平面 MEC 所成角的正弦值为 6 10； （）设 P（3，1，h） ，h0，1， = (3，2，0)， = (0， 1，)， 第 14 页（共 18 页） 设 = (，)为平面 PEC，则 = + = 0 = 3 + 2 = 0 ， = (2，3，3)， 又 =

29、 (0，0，1)是平面 DEC 的法向量 ， = | | | = 3 2 解得 h= 7 7 ， 线段 AP 的长为 7 7 19 （14 分）已知函数() = 23 1 2 2 + 1 2（aR 且 a0） （）当 a= 23时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间； （）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna 【解答】解： （）因为 a= 23时，() = 23 23 1 2 2+ 1 2，所以 f（x） 23 23 x，那么 f（1）1，f（1）23， 所以曲线 yf （x） 在点 （1，

30、f （1） ） 处的切线方程为： y23 = （x1） ， 即 x+y23 10， （）由题意可知 f（x）的定义域为（0，+） ， 因为 f（x）23 x= 2+23 ，由x2+23xa0 可得：124a0， 即 a3 时，有 x1= 3 + 3 ，x2= 3 3 ，x1x2，又当 x（0，3）时，满足 x1x20， 所以有 x（0，x2）和（x1，+）时，f（x）0， 即 f（x）在区间（0，x2）和（x1，+）上为减函数 第 15 页（共 18 页） 又 x（x2，x1）时，f（x）0，即 f（x）在区间（x2，x1）上为增函数 当 a0 时，有 x10，x20，则 x（0，x1）时，f

31、（x）0，f（x）为增函数；x（x1， +）时，f（x）0，f（x）为减函数； 当 a3 时，0，f（x）0 恒成立，所以 f（x）在（0，+）为减函数， 综上所述，当 a0 时，在（0，3+3 ） ，f（x）为增函数；在（3+3 ，+） ，f （x）为减函数； 当 0a3 时， f （x） 在区间 （0， 33 ） 和 （3+3 ， +） 上为减函数， 在 （33 ， 3+3 ） ，f（x）为增函数； 当 a3 时，在（0，+）上，f（x）为减函数 （）因为 yf（x）有两个极值点 x1，x2，则 f（x）= 2+23 =0 有两个正根 x1， x2，则124a0，x1+x223，x1x2a

32、0， 即 a（0，3） ，所以 f（x1）+f（x2）23（x1+x2）aln（x1x2） 1 2（1 2 + 22）+1 alna+a+7， 若要 f（x1）+f（x2）9lna，即要 alnalnaa+20， 构造函数 g（x）xlnxlnxx+2，则 g（x）1+lnx 1 1lnx 1 ，且在（0，3）上 为增函数， 又 g（1）10，g（2）ln2 1 2 0， 所以存在 x0（1，2） ，使得 g（x0）0，即 lnx0= 1 0，且 x（1，x0）时，g（x）0， g（x）单调递减，x（x0，2）时，g（x）0，g（x）单调递增， 所以 g（x）在（1，2）上有最小值 g（x0）

33、x0lnx0x0lnx0+23（x0+ 1 0） ， 又因为 x0（1，2） ，则 x0+ 1 0（2， 5 2） ，所以 g（x0）0 在 x0（1，2）上恒成立，即 f（x1）+f（x2）9lna 成立 20 （14 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 5 5 ，右焦点为抛物线 y24x 的焦点 F （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）O 为坐标原点，过 O 作两条射线，分别交椭圆于 M、N 两点，若 OM、ON 斜率之 积为 4 5 第 16 页（共 18 页） 求证：MON 的面积为定值 【解答】解： （1）由题意可知，F（1，0） ， c1，又e= =

34、 5 5 ，a= 5，b2a2c24， 椭圆 C 的标准方程为： 2 5 + 2 4 = 1； （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， kOMkON= 1 1 2 2 = 4 5， 4x1x2+5y1y20， 当直线 MN 的斜率不存在时，x1x2，y1y2， 412 512= 0，又412+ 512= 20， |1| = 10 2 ，|1| = 2， SMON= 1 2 |1| 2|1| = 5； 当直线 MN 的斜率存在时，设 ykx+b， 联立方程 = + 2 5 + 2 4 = 1，消去 y 得： （4+5k 2）x2+10kbx+5b2200， 1+ 2= 10 4+52

35、，12 = 5220 4+52 ， y1y2（kx1+b） （kx2+b）= 212+ (1+ 2) + 2= 202+42 4+52 ， 4x1x2+5y1y2= 20280 4+52 + 1002+202 4+52 = 402100280 4+52 =0， 4+5k22b2， |MN|= 1 + 2 (1+ 2) 412=451 + 2 4+522 4+52 =451 + 2 | 22， 又原点（0，0）到直线 MN 的距离 d= | 1+2， SMON= 1 2 | = 1 2 451+ 2 | 22 | 1:2 =5， 综上所求，MON 的面积为定值5 21 （14 分）对于无穷数列a

36、n， “若存在 amakt（m，kN*，mk） ，必有 am+1ak+1 t” ，则称数列an具有 P（t）性质 第 17 页（共 18 页） （1） 若数列an满足= 2 = 1，2 2 5 3， ， 判断数列a n是否具有 P （1） 性质？ 是否具有 P（4）性质？ （2）对于无穷数列an，设 Tx|xajai，ij，求证：若数列an具有 P（0）性质， 则 T 必为有限集； （3）已知an是各项均为正整数的数列，且an既具有 P（2）性质，又具有 P（3）性 质，是否存在正整数 N、k，使得 aN、aN+1、aN+2、aN+k、成等差数列，若存在， 请加以证明，若不存在，说明理由 【解

37、答】解： （1）= 2 = 1，2 2 5 3， ，a 12，a24，a31，a43，a5 5，a67，往后都是公差为 2 的等差数列， a5a21，但是 a6a361，数列an不具有 P（1）性质， a5a34，且 a6a44，数列an具有 P（4）性质； （2）数列an具有 P（0）性质， 一定存在一组最小的且 mk，满足 amak0，即 amak， 由性质 P （0） de 含义可得 am+1ak+1， am+2ak+2， ， a2mk1am1， a2mkam， 数列an中，从第 k 项开始的各项出现周期性规律：ak，ak+1，am1为一个周期中 的各项， 数列an中最多有 m1 个不同

38、的项， T 最多有;1 2 个元素，即 T 是有限集； （3）证明：an既具有 P（2）性质，又具有 P（3）性质， 存在 M，N，使得 aM+paM2，aN+qaN3，其中 p，q 分别是满足上述关系式的 最小的正整数， 由 P（2） ，P（3）的含义可得：aM+p+kaM+k2，aN+q+kaN+k3， 若 MN，则取 kNM，可得 aN+paN2； 若 MN，则取 kMN，可得 aM+qaM3， 记 MmaxM，N，则对于 aM，有 aM+paM2，aM+qaM3，显然 pq， 由 P（2） ，P（3）的含义可得：aM+p+kaM+k2，aN+q+kaN+k3， aM+qpaM（aM+q

39、paM+（q1）p）+（aM+（q1）paM+（q2）p）+（aM+paM） 2q 第 18 页（共 18 页） aM+pqaM（aM+pqaM+（p1）q）+（aM+（p1）qaM+（p2）q）+（aM+qaM） 3p， aM+pqaM+2qaM+3p， 2q3p， 又 p，q 是满足 aM+paM2，aM+qaM3 的最小的正整数， q3，p2，aM+2aM2，aM+3aM3， aM+2+kaM+k2，aM+3+kaM+k3， aM+2kaM+2（k1）+2aM+2k，aM+3kaM+3（k1）+3aM+3k， 取 NM+3， 若 k 是偶数，则 aN+kaN+k； 若 k 是奇数，则 aN+kaN+3+（k3）aN+3+（k3）aN+3+（k3）aN+k， aN+kaN+k， aN、aN+1、aN+2、aN+k、是公差为 1 的等差数列