2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（1）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年重庆市高考数学（理科）模拟试卷年重庆市高考数学（理科）模拟试卷 1 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）复数 z 满足（2i）z|3+4i|（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A2+i B2i C2i D2+i 2 （5 分）设集合 A（x，y）| 2 （x2）2+y2m2，B（x，y）|2mx+y2m+1， 若 AB，则实数 m 的取值范围是（ ） A1 2，2+2 B22，2+2 C1+ 2 2 ，+） D 3 （5 分）已知 ， 是非零向量，若3| |2| |，且（ + ）

2、 ，则 与 的夹角为（ ） A30 B60 C120 D150 4 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，若 P（4）0.9，则 P（2 1）（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 5 （5 分）已知 cos（+ 3）= 3 3 （ 为锐角） ，则 sin（ ） A22:3 6 B22;3 6 C6:3 6 D3;6 6 6 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，已知 m，n，则“m ，n”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）alog25，b0.51.2，c20.9，则（ ） Aab

3、c Bbca Cbac Dcab 8 （5 分）化简1 + 2( + 3)(3 2 + 3)等于（ ） Acos3sin3 Bsin3cos3 Csin3cos3 Dsin3+cos3 9 （5 分）已知直线 l：axy+20 与圆 M：x2+y24y+30 的交点为 A、B，点 C 是圆 M 上的一动点，设点 P（0，1） ，| + + |的最大值为（ ） A12 B10 C9 D8 10 （5 分）股票价格上涨 10%称为“涨停” ，下跌 10%称为“跌停” 某位股民购进某只股 票，在接下来的交易时间内，这只股票先经历了 2 次涨停，又经历了 2 次跌停，则该股 第 2 页（共 17 页）

4、 民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ） A略有盈利 B略有亏损 C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况 11 （5 分）已知双曲线 C：x2 2 3 =1，过点 P（0，4）的直线 l 交双曲线 C 于 M，N 两点， 交 x 轴于点 Q（点 Q 与双曲线 C 的顶点不重合） ，当 =1 =2 （1，20） ，且 1+2= 32 7 时，点 Q 的坐标为（ ） A （4 3，0） B （4 3，0） C （2 3，0） D （2 3，0） 12 （5 分） 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 动点 P 在 ABCD 内， 且到直线 AA1， BB1的距离之和等于2

5、3，则PAB 的面积最大值是（ ） A 2 2 B1 C 2 D2 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） （1+ax2） （x3）5的展开式中 x7系数为 2，则 a 的值为 14（5分） ABC的内角 A， B， C的对边分别为a， b， c， 若 acosB+bcosA2ac， 则a 15 （5 分）某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不 同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项 工作，则不同的选派方案共有 种 16 （5 分）已知函数 f（x）（3x

6、+1）ex+1+mx，若有且仅有两个整数使得 f（x）0，则实 数 m 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，a2= 1 3 ， +1 = 2+ 1( 且 n 2） （）证明：* 1 +为等差数列： （）求数列*3 +的前 n 项和 Tn 18 （12 分）2019 年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了 10 月 1 日 7：0023：00 这一时间段内顾客：00 这一时间段内顾客购买商品人次，统计 发现这一时间段内顾客购买商品共500

7、0人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图 所示，其中时间段 7：0011：00，11：0015：00，15：0019：00，19：0023：00， 第 3 页（共 17 页） 依次记作7，11） ，11，15） ，15，19） ，19，23 （1）求该天顾客购买商品时刻的中位数 t 与平均值（同一组中的数据用该组区间的中 点值代表） ； （2）现从 10 月 1 日在该商场购买商品的顾客中随机抽取 100 名顾客，经统计有男顾客 40 人，其中 10 人购物时刻在19，23（夜晚） ，女顾客 60 人，其中 50 人购物时刻在7， 19） （白天） ，根据提供的统计数据，完成下面的 22

8、列联表，并判断是否有 90%的把握 认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”？ 白天 夜晚 总计 男顾客 女顾客 总计 100 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+)， = + + + P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 19 （12 分）如图，三棱柱 A1B1C1ABC 中，BB1平面 ABC，ABBC，AB2，BC1， BB13，D 是 CC1的中点，E 是 AB 的中点 （）证明：DE平面 C1BA1； （）F 是线段 CC1上一点，且直线 AF 与平面 ABB1A1所成角的正弦值为1 3，求二面角 F BA1

9、A 的余弦值 第 4 页（共 17 页） 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1 的直线与 C 交于 M，N 两点MNF2的周长为 8，且|MN|的最小值为 3 （）求椭圆 C 的标准方程； （） 设椭圆 C 的右顶点为 A， 直线 AM， AN 分别交直线 x4 于 P， Q 两点， 当PQF1 的面积是AMN 面积的 5 倍时，求直线 MN 的方程 21 （12 分）已知函数() = 23 （1）求函数 f（x）的极值； （2）若关于 x 的方程f（x）2+tf（x） 12 2 =0（tR）有 m 个不同的实数解，试

10、求 m 的 所有可能的值 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 6 2 2 = 2 2 （t 是参数） ，在以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 22cos （ 4） （）写出直线 l 的普通方程、曲线 C 的参数方程； （）过曲线 C 上任意一点 A 作与直线 l 的夹角为 45的直线，设该直线与直线 l 交于 点 B，求|AB|的最值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知正数 x，y，z 满足 x2+y2

11、+z24 （1）证明： + 22； （2）若1 + 1 = 2，求 z 的最大值 第 5 页（共 17 页） 2020 年重庆市高考数学（理科）模拟试卷年重庆市高考数学（理科）模拟试卷 1 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）复数 z 满足（2i）z|3+4i|（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A2+i B2i C2i D2+i 【解答】解：由（2i）z|3+4i|5，得 z= 5 2 = 5(2+) (2)(2+) = 2 + ， = 2 故选：C 2 （5 分）设集合 A（x，

12、y）| 2 （x2）2+y2m2，B（x，y）|2mx+y2m+1， 若 AB，则实数 m 的取值范围是（ ） A1 2，2+2 B22，2+2 C1+ 2 2 ，+） D 【解答】解：由题意，A，则2 2，m0 或 m 1 2； 显然 B 要使 AB，只需圆（x2）2+y2m2（m0）与 x+y2m 或 x+y2m+1 有交点， 即|2;2| 2 |或|1;2| 2 |， 2 2 2 + 2或1 2 2 1 + 2 2 ， 又m0 或 m 1 2， 1 2 2 +2 当 m0 时， （2，0）不在 0x+y1 内 综上，实数 m 的取值范围是1 2，2+2 故选：A 3 （5 分）已知 ，

13、是非零向量，若3| |2| |，且（ + ） ，则 与 的夹角为（ ） A30 B60 C120 D150 【解答】解：3| |2| |，则| |=2 3| |， 又（ + ） ，则（ + ） = + 2 =0， = 2 ， 第 6 页（共 17 页） cos= | | |= | |2 | | |= 1 2 31 = 3 2 ， 又 0，180， 与 的夹角为 150 故选：D 4 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，若 P（4）0.9，则 P（2 1）（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 【解答】解：随机变量 服从正态分布 N（1，2） ， 正态分布曲线的对称轴方

14、程为 x1， 由 P（4）0.9，得 P（4）P（2）0.1， 则 P（21）= 1 2P（24）= 1 2 0.8 = 0.4 故选：C 5 （5 分）已知 cos（+ 3）= 3 3 （ 为锐角） ，则 sin（ ） A22:3 6 B22;3 6 C6:3 6 D3;6 6 【解答】解：cos（+ 3）= 3 3 （ 为锐角） ， ( + 1 3 ) = 6 3 ， 则 sinsin（ + 1 3 ） 1 3 = 1 2 ( + 1 3) 3 2 ( + 1 3)， = 1 2 6 3 3 2 ( 3 3 )， = 3+6 6 故选：C 6 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两

15、个不同的平面，已知 m，n，则“m ，n”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：m，n 是不同的直线， 是不同的平面，且 m，n，推不出“m 且 n” ，缺少条件 m，n 相交； 第 7 页（共 17 页） 若“” ，则 内任意一条直线都平行于平面 ，正确； 故“m 且 n”是“”的必要不充分条件， 故选：B 7 （5 分）alog25，b0.51.2，c20.9，则（ ） Aabc Bbca Cbac Dcab 【解答】解：a2，0b1，1c2 bca 故选：B 8 （5 分）化简1 + 2( + 3)(3 2 + 3)等于（ ）

16、 Acos3sin3 Bsin3cos3 Csin3cos3 Dsin3+cos3 【解答】解：由题意， 1 + 2( + 3)(3 2 + 3) = 1 + 233 = (3 + 3)2= |3 + 3|， 3 4 3， sin3+cos30， 原式为sin3cos3， 故选：C 9 （5 分）已知直线 l：axy+20 与圆 M：x2+y24y+30 的交点为 A、B，点 C 是圆 M 上的一动点，设点 P（0，1） ，| + + |的最大值为（ ） A12 B10 C9 D8 【解答】解：由题意，圆 M：x2+y24y+30 可化为 x2+（y2）21 | + + | =|2 + |2

17、|+| |23+410， 故选：B 10 （5 分）股票价格上涨 10%称为“涨停” ，下跌 10%称为“跌停” 某位股民购进某只股 票，在接下来的交易时间内，这只股票先经历了 2 次涨停，又经历了 2 次跌停，则该股 民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ） A略有盈利 B略有亏损 C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况 【解答】解：由题意可得： （1+10%）2（110%）20.9920.981 第 8 页（共 17 页） 因此该股民这只股票的盈亏情况为：略有亏损 故选：B 11 （5 分）已知双曲线 C：x2 2 3 =1，过点 P（0，4）的直线 l 交双曲线 C 于 M，N

18、两点， 交 x 轴于点 Q（点 Q 与双曲线 C 的顶点不重合） ，当 =1 =2 （1，20） ，且 1+2= 32 7 时，点 Q 的坐标为（ ） A （4 3，0） B （4 3，0） C （2 3，0） D （2 3，0） 【解答】解：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零， 由题意设 l 的方程为 ykx+4，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 Q（ 4 ，0） 又 =1 ，（ 4 ，4）1（x1+ 4 ，y1） ， 故 4 = 1(1+ 4 ) 4 = 11 ，得 1= 4 1 4 1= 4 1 ， M（x1，y1） 在双曲线 C 上，16 2 (1:1 1 )2 1

19、6 312 10， 整理得 16+321+（16k2）12 16 3 2=0， 同理得 16+322+（16k2）22 16 3 2=0 若 16k20，则直线 l 过双曲线 C 的顶点，不合题意，16k20， 1，2 是方程 16+32x+（16k2）x2 16 3 2=0 的两根， 1+2= 32 216 = 32 7 ，k29，此时0，k3，点 Q 的坐标为（ 4 3，0） 故选：A 12 （5 分） 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 动点 P 在 ABCD 内， 且到直线 AA1， BB1的距离之和等于23，则PAB 的面积最大值是（ ） A 2 2 B1 C 2

20、D2 【解答】解：AA1和 BB1都面 ABCD， P 到直线 AA1，BB1的距离就是 PA 和 PB， PA+PB23， PAB 的 AB 边上的高，当 PAPB 时最大，这时 PAPB= 3， 第 9 页（共 17 页） 最大的高=2 1 4 2= 2， 最大面积= 1 2 2 2 = 2 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） （1+ax2） （x3）5的展开式中 x7系数为 2，则 a 的值为 2 【解答】解：（1+ax2） （x3）5（1+ax2） （x515x4+90x3270x2+405x243）

21、的展 开式中 x7系数为 a2， 则 a 的值为 2， 故答案为：2 14 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 acosB+bcosA2ac，则 a 1 2 【解答】 解： 由题设及正弦定理得 sinAcosB+sinBcosA2asinC， 所以 sin （A+B） 2asinC 又 A+B+C，所以 sinC2asinC，所以 = 1 2 故答案为：1 2 15 （5 分）某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不 同工作，若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项 工作，则不同的选派方案共有 78 种 【

22、解答】解：根据题意，分 3 种情况讨论： ，从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙，甲有 3 种安排方法，剩下三人全排 列即可得，此时有 3A3318 种选派方法； ，从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲，乙有 3 种安排方法，剩下三人全排 列即可得，此时有 3A3318 种选派方法； ，从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙， 需要在剩下 3 人中选出 2 人，有 C32种选法，选出 4 人的安排方法有 A33+22A22种， 则此时有 C32（A33+22A22）42 种选派方法； 故一共有 18+18+4278 种选派方法； 故答案为：78 16 （5 分）已知函数 f（x）（3x

23、+1）ex+1+mx，若有且仅有两个整数使得 f（x）0，则实 第 10 页（共 17 页） 数 m 的取值范围是 5 2， 8 32） 【解答】解：解：由 f（x）0 得（3x+1）ex+1+mx0， 即 mx（3x+1）ex+1， 设 g（x）mx，h（x）（3x+1）ex+1， h（x）（3ex+1+（3x+1）ex+1）（3x+4）ex+1， 由 h（x）0 得（3x+4）0，即 x 4 3， 由 h（x）0 得（3x+4）0，即 x 4 3， 即当 x= 4 3时，函数 h（x）取得极大值， 当 m0 时，满足 g（x）h（x）的整数解超过 2 个，不满足条件 当 m0 时，要使 g

24、（x）h（x）的整数解只有 2 个， 则满足(2) (2) (3)(3) ，即5 ;1 2 8;2 3， 即 5 2 8 32 ， 即实数 m 的取值范围是 5 2， 8 32） 故答案为： 5 2， 8 32） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，a2= 1 3 ， +1 = 2+ 1( 且 n 2） （）证明：* 1 +为等差数列： 第 11 页（共 17 页） （）求数列*3 +的前 n 项和 Tn 【解答】 （）证明：依题意，由 +1 =2an+1，可得 an2an

25、an+1+an+1， 即 anan+12anan+1 两边同时除以 anan+1，可得 1 +1 1 =2（n2） 1 2 1 1 =312，也满足上式 数列* 1 +是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 （）解：由（）得， 1 =1+2（n1）2n1， 则3 =（2n1） 3n Tn13+332+（2n1） 3n， 3Tn132+333+（2n3） 3n+（2n1） 3n+1， 两式相减，可得 2Tn3+232+233+23n（2n1） 3n+1， 3+18（1+3+32+3n 2）（2n1） 3n+1 3+18 131 13 （2n1） 3n+1 2（1n） 3n+16 Tn（n1） 3

26、n+1+3 18 （12 分）2019 年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了 10 月 1 日 7：0023：00 这一时间段内顾客：00 这一时间段内顾客购买商品人次，统计 发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图 所示，其中时间段 7：0011：00，11：0015：00，15：0019：00，19：0023：00， 依次记作7，11） ，11，15） ，15，19） ，19，23 （1）求该天顾客购买商品时刻的中位数 t 与平均值（同一组中的数据用该组区间的中 点值代表） ； （2）现从 10 月 1 日在该商场购买商品的

27、顾客中随机抽取 100 名顾客，经统计有男顾客 40 人，其中 10 人购物时刻在19，23（夜晚） ，女顾客 60 人，其中 50 人购物时刻在7， 19） （白天） ，根据提供的统计数据，完成下面的 22 列联表，并判断是否有 90%的把握 第 12 页（共 17 页） 认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”？ 白天 夜晚 总计 男顾客 女顾客 总计 100 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+)， = + + + P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （1）设中位数为 m，则 0.0254+0.0

28、754+0.100（m15）0.5，解得 m16 平均值 =0.02549+0.075413+0.100417+0.05042115.8； （2）22 列联表如图： 白天 夜晚 总计 男顾客 30 10 40 女顾客 50 10 60 总计 80 20 100 （2）K2的观测值 k= 100(300800)2 40608020 1.3022.706 没有 90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物” 19 （12 分）如图，三棱柱 A1B1C1ABC 中，BB1平面 ABC，ABBC，AB2，BC1， BB13，D 是 CC1的中点，E 是 AB 的中点 （）证明：DE平面 C1BA1； （）

29、F 是线段 CC1上一点，且直线 AF 与平面 ABB1A1所成角的正弦值为1 3，求二面角 F 第 13 页（共 17 页） BA1A 的余弦值 【解答】解： （）取 AA的中点 G，连接 DG，EG， 则 DGAC， E，G 为中点，所以 EGBA， DG平面 BAC，AC平面 BAC， 故 DG平面 BAC，同理 EG平面 BAC， 又 DGEGG， 故平面 DEG平面 BAC，DE平面 EDG， 所以 DEBAC； （II）以 B 为原点，BA，BB，BC 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， B（0，3，0） ，A（2，3，0） ，C（0，0，1） ，C（0，3，1） ， 设

30、F（0，a，1） ，A（2，0，0） ， = (2，1)， 平面 ABB1A1所的法向量为 = (0，0，1)， 由 cos ， = 1 5+2 = 1 3，a2， 故 F（0，2，1） ， =（0，2，1） ，1 =（2，3，0） ， 设平面 FBA的法向量为 = (，)， 由 = 2 + = 0 1 = 2 + 3 = 0 ，得 = (3， 2，4)， 由 cos ， = 4 29 = 429 29 ， 由于二面角为钝角，故所求二面角余弦值为 429 29 第 14 页（共 17 页） 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过

31、点 F1 的直线与 C 交于 M，N 两点MNF2的周长为 8，且|MN|的最小值为 3 （）求椭圆 C 的标准方程； （） 设椭圆 C 的右顶点为 A， 直线 AM， AN 分别交直线 x4 于 P， Q 两点， 当PQF1 的面积是AMN 面积的 5 倍时，求直线 MN 的方程 【解答】解： （1）根据椭圆的定义可得：MF1+MF22a，NF1+NF22a， 则MNF2的周长MN+MF2+NF2MF1+NF1+MF2+MF24a8，解得 a2， 又因为|MN|的最小值为 3，所以2 2 = 3，解得 b23， 所以椭圆的标准方程为 2 4 + 2 3 = 1， （2）设 M（x1，y1）

32、，N（x2，y2） ，P（4，y3） ，Q（4，y4） 设直线 MN 的方程为 xmy1，联立 = 1 2 4 + 2 3 = 1，整理得（3m 2+4）y26my90， 则 y1+y2= 6 32+4，y1y2= 9 32+4， 因为 A，M，P 三点共线， =（x12，y1） ， =（6，y3） ， 所以 ，即有 y3（x12）6y1，解得 y3= 61 12， 同理，根据 A，N，Q 三点共线可得 y4= 62 22， 1= 1 2 （41）|PQ|= 3 2|y3y4|，SAMN= 1 2 （2+1）|y1y2|= 3 2|y1y2|， 则由PQF1的面积是AMN 面积的 5 倍，可得

33、|y3y4|5|y1y2|， 即 6| 1 1;2 2 2;2|6| 1 1;3 2 2;3|6| ;31:32 212;3(1:2):9|5|y1y2|， 第 15 页（共 17 页） 代入 y1+y2= 6 32+4，y1y2= 9 32+4， 得 18 |2 9 32+4;3 6 32+4:9| =5，化简得 3m26，解得 m2， 所以直线 MN 的方程为 x2y1，即 y 2 2 （x+1） 21 （12 分）已知函数() = 23 （1）求函数 f（x）的极值； （2）若关于 x 的方程f（x）2+tf（x） 12 2 =0（tR）有 m 个不同的实数解，试求 m 的 所有可能的值

34、 【解答】解： （1）函数() = 23 ， f（x）= 2(23) ()2 = 2+2+3 = (+1)(3) ， 令 f（x）0 得，x1 或 3， 列表： x （， 1） 1 （1，3） 3 （3，+） f（x） 0 + 0 f（x） 递减 极小值 递增 极大值 递减 函数 f（x）的极大值为 f（3）= 6 3，极小值为 f（1）2e； （2）由（1）问中函数 f（x）的单调性和极值，画出函数 f（x）的大致图象，如图所示： ， 第 16 页（共 17 页） 令 f（x）n，n2e，+） ，则方程f（x）2+tf（x） 12 2 =0 可化为2+ 12 2 = 0， = 2+ 48 2

35、 0， 若方程有两根且在 n2e， +） 的两根分别为 n1， n2（n1n2） ， 12= 12 2 0， 当 n12e 时，恰有 n 2= 6 3，此时 f（x）n1 有 1 个根，f（x）n2有 2 个根； 当2en10 时，必有2 6 3，此时 f（x）n1 有 2 个根，f（x）n2有 1 个根； 若方程只有一根在定义域内，即 n12e，而必有02 6 3，此时 f（x）n1 无根， f（x）n2有 3 个根， 综上所述，对任意的 tR，方程均有 3 个根， m 的值只能为 3 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （1

36、0 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 6 2 2 = 2 2 （t 是参数） ，在以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 22cos （ 4） （）写出直线 l 的普通方程、曲线 C 的参数方程； （）过曲线 C 上任意一点 A 作与直线 l 的夹角为 45的直线，设该直线与直线 l 交于 点 B，求|AB|的最值 【解答】解： （）直线 l 的参数方程为 = 6 2 2 = 2 2 （t 是参数） ，转换为直线 l 的普通 方程 x+y60 曲线 C 的极坐标方程为 22cos（ 4） 转换为直角坐标方程为（x1） 2+（y1）

37、 22，转换为参数方程为 曲线 C 的参数方程 = 1 + 2 = 1 + 2 （ 为参数） ； （）过点 A 作 AH 垂直 l 于 H，如图所示： 第 17 页（共 17 页） 则|AB|= 2|， 所以圆心（1，1）到直线 x+y60 的距离 d= |1+16| 2 = 22， 所以点 A 到直线 l 的最小距离|AH|d= 22 2 = 2，最大距离为|AH|= 22 + 2 = 32， 所以由|AB|= 2|，解得AB|的最大值为 6，最小值为 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知正数 x，y，z 满足 x2+y2+z24 （1）证明： + 22； （2）若1 + 1 = 2，求 z 的最大值 【解答】解： （1）x2+y2+z24，x2+y24z24 x2+y22xy，（x+y）22（x2+y2）8， + 22 （2）1 + 1 = 2，(1 + 1 ) 2 = 4， 2+ 2= 1 4( 2 + 2)(1 + 1 ) 2 1 4 2 (2 1 ) 2 =2 又4z2x2+y2，4z22， z22，z 2， 当 xy1 时，z 取得最大值2