2021年新高考数学模拟试卷（28）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（28） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 2 （5 分）复数1: 1;的模为（ ） Ai B1 C2i D2 3 （5 分） “m2”是“直线 x+ym0 与圆 x2+y22 相切”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2

2、 2 = 1(0，0)的一条渐近线交于点 P，双 曲线 C 的左、 右顶点分别为 A1， A2， 若|2| = 5 2 |12|， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 5 （5 分）已知 alog30.3，blog0.30.2，c0.30.2，则（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 6 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 7 （5 分）已知角 a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P（x0，y0） ，若 2 3 4 ，则（ ） Ax0+y00 Bx02

3、y0 C0 0 y0 Dx0y00 8 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC= 2AA1，P、Q 分别是棱 CD、CC1上 第 2 页（共 20 页） 的动点，如图当 BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角 B1PQD1的余弦值的取值 范围为（ ） A0，1 5 B0， 10 10 C1 5， 10 10 D 10 10 ，1 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知函数 f（x）= 3( 2)，2， 3;1， 2 则（ ） Af（5）1 Bf（f（5） ）1 Cf（3）9 Df（f（3） ）log37

4、 10 （5 分）某机构在研究性别与是否爱好拳击运动的关系中，通过收集数据得到如下 22 列联表 男 女 合计 爱好拳击 35 22 57 不爱好拳击 15 28 43 合计 50 50 100 经计算得 K2= 100(35281522)2 50505743 6.895之后又对被研究者的身高进行了统计， 得到男、女身高分别近似服从正态分布 N（175，16）和 N（164，9） ，则下列选项中正 确的是（ ） P（K2k） 0.50 0.05 0.010 0.005 0.001 k 0.455 3.841 6.635 7.897 10.828 A在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“爱好

5、拳击运动与性别有关” B在 100 个男生中，至少有一个人爱好打拳击 C男生身高的平均数为 175，男生身高的标准差为 16 D女生身高的平均数为 164，女生身高的标准差为 3 11 （5 分）Keep 是一款具有社交属性的健身 APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交 第 3 页（共 20 页） 友及健身饮食指导、装备购买等站式运动解决方案Keep 可以让你随时随地进行锻 炼，记录你每天的训练进程不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身 计划小吴根据 Keep 记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位： 十公里）数据整理并绘制了下面的折线图

6、根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 10 月 C月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 12 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F、准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于两点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，点 P 在 l 上的射影为 P1，则（ ） A若 x1+x26则|PQ|8 B以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C设 M（0，1） ，则|PM|+|PP1| 2 D过点 M（0，1）与抛物线 C 有且只有一个公共点的直线至多有 2 条 三填空题

7、（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知平面向量 ，满足 =（3，2） ， =（1，） ，若（ +2 ），则实 数 的值为 14 （5 分）某煤气站对外输送煤气时，用 1 至 5 号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规 则： （）若开启 3 号，则必须同时开启 4 号并且关闭 2 号； （）若开启 2 号或 4 号，则关闭 1 号； （）禁止同时关闭 5 号和 1 号 现要开启 3 号，则同时开启的另两个阀门是 第 4 页（共 20 页） 15 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD，ABBC1，BD= 5，

8、则 三棱锥 ABCD 的体积为 ，其外接球的表面积为 16 （5 分）已知函数() = 2 + 2 + 1，( 0) |，(0) ，若 abcd，且 f（a）f（b）f （c）f（d） ，则 ab+cd 的范围为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn，且数列* +是首项为 1，公差为3 2的等差数列 （1）求an的通项公式； （2）设= 1 +

9、1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证： 1 3 19 （12 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且 F1（1，0） ， 椭圆经点(1， 3 2) （1）求椭圆的方程； （2） 直线 l 过椭圆右顶点 B， 交椭圆于另一点 A， 点 G 在直线 l 上， 且GOBGBO 若 GF1AF2，求直线 l 的斜率 20 （12 分）如图，ABC 为正三角形，半圆 O 以线段 BC 为直径，D 是圆弧 BC 上的动点 （不包括 B，C 点）平面 ABC平面 BCD （1） 是否存在点 D， 使得 BDAC？若存在， 求出点 D 的位置， 若不存在， 请说明

10、理由； （2）CBD30，求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值 21 （12 分）某房地产开发商有一块如图（1）所示的四边形空地 ABCD，经测量，边界 CB 与 CD 的长都为 2km，所形成的角BCD60 第 5 页（共 20 页） （1）如果边界 AD 与 AB 所形成的角BAD120，现欲将该地块用固定高度的板材围 成一个封闭的施工场地，求至多购买多少千米长度的板材； （2）当边界 AD 与 CD 垂直，AB 与 BC 垂直时，为后期开发方便，拟在这块空地上先建 两条内部道路 AE，EF，如图（2）所示，点 E 在边界 CD 上，且道路 EF 与边界 BC 互相 垂直，垂足为

11、F为节约成本，欲将道路 AE，EF 分别建成水泥路、砂石路，每 1km 的 建设费用分别为3a、a 元（a 为常数） ；若设DAE，试用 表示道路 AE，EF 建设 的总费用 F（） （单位：元） ，并求出总费用 F（）的最小值 22 （12 分）函数 f（x）= 1 2x 2+（al）xxlnx， （1）若 f（x）在定义域内为单调递增函数，求 a 的取值范围； （2）当 a3 时，关于 x 的方程 f（x）+b0 在区间（1，e上有且只有一实数根，求 b 的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（28） 参考答案与试题解析参考答案与试题解

12、析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）复数1: 1;的模为（ ） Ai B1 C2i D2 【解答】解：| 1+ 1| = |1+| |1| = 2 2 = 1 故选：B 3 （5 分） “m2”是“直线 x+ym0 与圆 x2+y22 相切”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充

13、分也不必要条件 【解答】解：当直线 x+ym0 与圆 x2+y22 相切，则圆心到直线的距离等于半径， |0:0;| 2 =2，解之得 m2， 则 m2 是 m2 的充分不必要条件， 故选：B 4 （5 分）已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线交于点 P，双 曲线 C 的左、 右顶点分别为 A1， A2， 若|2| = 5 2 |12|， 则双曲线 C 的离心率为 （ ） A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 【解答】 解： 双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线： y= ， 则 P （ 2 ， a） ， 因为|2| =

14、 5 2 |12|，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ 1）24， 所以 =3，从而 e=1 + 2 2 = 10 3 ， 第 7 页（共 20 页） 双曲线的渐近线为：y= x， 则 p（ 2 ，a） ，|2| = 5 2 |12|，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ +1）24， 所以 =1，可得 e= 2 则双曲线 C 的离心率为：2或 10 3 故选：D 5 （5 分）已知 alog30.3，blog0.30.2，c0.30.2，则（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 【解答】解：依题意，0log31log30.3a， blog0.30.2log0.30.31， c0

15、.30.20.301，所以 0c1， 故 acb， 故选：B 6 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0:， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 7 （5 分）已知角 a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P（x0，y0） ，若 2 3 4 ，则（ ） Ax0+y00 Bx02y0 C0 0 y0 Dx0y00 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：由三角函数

16、的定义得 x0cos，y0sin， 则 tan= 0 0， Ax0+y0sin+cos= 2sin（+ 4） ， 2 3 4 ，3 4 + 4 ，此时x0+y00，故 A 错误， Bx02y0cos2sin1sin2sin（sin+ 1 2） 2+5 4， 2 3 4 ，sin（ 2 2 ，1） ，x02y00，故 B 错误， Ctan= 0 0 0，y0sin0，0 0 y0，正确，故 C 正确， Dx0cos0，y0sin0，则 x0y00，故 D 错误， 故选：C 8 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC= 2AA1，P、Q 分别是棱 CD、CC1上 的动点，如图当

17、BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角 B1PQD1的余弦值的取值 范围为（ ） A0，1 5 B0， 10 10 C1 5， 10 10 D 10 10 ，1 【解答】解：设 AA11，则 ABBC= 2， 设 CQx，则 C1Q1x， 则 BQ= 2+ 2= 2 + 2，QD1= 12+ 12= (1 )2+ 2， 则 BQ+QD1= 2 + 2+ (1 )2+ 2 =( 0)2+ (0 + 2)2+( 1)2+ (0 2)2， 设 M（x，0） ，N（0，2） ，K（1，2） ， 则 BQ+QD1= 2 + 2+ (1 )2+ 2 =( 0)2+ (0 + 2)2+( 1)2+ (0 2

18、)2 的几何意义是|MN|+|MK|的距离， 第 9 页（共 20 页） 则当三点 M，N，K 共线时，BQ+QD1的长度取得最小值， 此时 2 1; = 22 1 = 22得 x= 1 2，即 Q 是 CC1 的中点， 建立以 D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D 分别为 x，y，z 轴的空间直角坐标系如图 则 Q（0，2，1 2） ，B1（2，2，0） ，设 P（0，t，1） ，0t 2 则1 =（2，0，1 2） ，1 =（2，t2，1） ， 则平面 PQD1的法向量为 =（1，0，0） ， 设平面 B1PQ 的法向量为 =（x，y，z） ， 当 t= 2时， 二面角 B1PQD1

19、的为直二面角， 此时二面角 B1PQD1的余弦值为 0， 当 0t2时， 由 1 = 0 1 = 0 ，则2 + 1 2 = 0 2 + ( 2) + = 0 ， 即 = 22 = 2 2 ，令 x= 2，则 y= 2 2，z4， 即 =（2， 2 2;，4） ， 设面角 B1PQD1的余弦值 cos， 则 cos= | |= 2 2+16+ 4 (2)2 = 2 18+ 4 (2)2 ， 0t2， cos= 2 18+ 4 (2)2 为减函数， 则当 t0 时，函数取得最大值 cos= 2 18+2 = 2 20 = 10 10 ， 故二面角 B1PQD1的余弦值的取值范围为0， 10 10

20、 ， 故选：B 第 10 页（共 20 页） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知函数 f（x）= 3( 2)，2， 3;1， 2 则（ ） Af（5）1 Bf（f（5） ）1 Cf（3）9 Df（f（3） ）log37 【解答】解：根据题意，函数 f（x）= 3( 2)，2， 3;1， 2 ，依次分析选项： 对于 A，f（5）log3（52）log331，A 正确； 对于 B，f（f（5） ）f（1）301，B 正确； 对于 C，f（3）log3（32）log310，C 错误； 对于 D，f（f（3） ）f（0）3

21、1=1 3，D 错误； 故选：AB 10 （5 分）某机构在研究性别与是否爱好拳击运动的关系中，通过收集数据得到如下 22 列联表 男 女 合计 爱好拳击 35 22 57 不爱好拳击 15 28 43 合计 50 50 100 经计算得 K2= 100(35281522)2 50505743 6.895之后又对被研究者的身高进行了统计， 得到男、女身高分别近似服从正态分布 N（175，16）和 N（164，9） ，则下列选项中正 确的是（ ） P（K2k） 0.50 0.05 0.010 0.005 0.001 k 0.455 3.841 6.635 7.897 10.828 第 11 页（

22、共 20 页） A在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“爱好拳击运动与性别有关” B在 100 个男生中，至少有一个人爱好打拳击 C男生身高的平均数为 175，男生身高的标准差为 16 D女生身高的平均数为 164，女生身高的标准差为 3 【解答】解：K26.8956.635，A 对， 显然 B 错， 男生标准差为 4，C 错， 显然 D 对， 故选：AD 11 （5 分）Keep 是一款具有社交属性的健身 APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交 友及健身饮食指导、装备购买等站式运动解决方案Keep 可以让你随时随地进行锻 炼，记录你每天的训练进程不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制

23、定不同的健身 计划小吴根据 Keep 记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位： 十公里）数据整理并绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 10 月 C月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 【解答】解：由所给折线图可知，月跑步里程并不是逐递增，故 A 错误； 月跑步里程最大值出现在 10 月，故 B 正确； 月跑步里程中位数为 5 月份对应的里程数，故 C 正确； 1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月，

24、波动性更小，故 D 正确 故选：BCD 12 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F、准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于两点 第 12 页（共 20 页） P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，点 P 在 l 上的射影为 P1，则（ ） A若 x1+x26则|PQ|8 B以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C设 M（0，1） ，则|PM|+|PP1| 2 D过点 M（0，1）与抛物线 C 有且只有一个公共点的直线至多有 2 条 【解答】解：若直线的斜率存在，设 yk（x1） ， 由 = ( 1) 2= 4 ，联立解方程组 k2x2（2k2+4）x+k20， 1+ 2= 22

25、+4 2 ，x1x21， A， 若x1+x26， 则k21， 故k1或1， |PQ|= 1 + 1(1+ 2)2 412= 2 42 = 8， 故 A 正确； 取 PQ 点中点 M，M 在 l 上的投影为 N，Q 在 l 上的投影为 Q，根据抛物线的定义，|PP1| |PM|，|QQ|QM|， M，N 为梯形的中点，故|MN|= 1 2（|PP1|+|QQ|）= 1 2|PQ|，故 B 成立； 对于 C，M（0，1） ，|PM|+|PP1|MP|+|PF|MF|= 2， 过 M（0，1）相切的直线有 2 条，与 x 轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一 条，所以最多有三条 故选：ABC

26、三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知平面向量 ，满足 =（3，2） ， =（1，） ，若（ +2 ），则实 数 的值为 19 4 【解答】解：平面向量 ，满足 =（3，2） ， =（1，） ， 若（ +2 ），则（ +2 ） =（5，2+2） （3，2）15+（2） （22） 0， 实数 = 19 4 ， 故答案为：19 4 14 （5 分）某煤气站对外输送煤气时，用 1 至 5 号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规 则： 第 13 页（共 20 页） （）若开启 3 号，则必须同时开启 4 号并且关闭 2 号； （

27、）若开启 2 号或 4 号，则关闭 1 号； （）禁止同时关闭 5 号和 1 号 现要开启 3 号，则同时开启的另两个阀门是 4 号 5 号 【解答】解：因为开启三号， 有（）可知开启 4 号，关闭 2 号， 有（）知，4 号开启，则关闭 1 号； 有（）1 号关闭，则 5 号开启， 综上：开启 4，号，5 号， 故答案为 4，号，5 号 15 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD，ABBC1，BD= 5，则 三棱锥 ABCD 的体积为 1 3 ，其外接球的表面积为 6 【解答】解：由题易得 CD2； 三棱锥 ABCD 的体积为 V= 1 3AB 1 2BCCD= 1

28、3； 取 AD 的中点 O，连结 OB、OC AB平面 BCD，CD平面 BCD，ABCD， 又BCCD，ABBCB，CD平面 ABC， AC平面 ABC，CDAC， OC 是 RtADC 的斜边上的中线，OC= 1 2AD 同理可得：RtABD 中，OB= 1 2AD， OAOBOCOD= 1 2AD，可得 A、B、C、D 四点在以 O 为球心的球面上 RtABD 中，AB1 且 BD= 5，可得 AD= 6， 由此可得球 O 的半径 R= 6 2 ， 三棱锥 ABCD 的外接球表面积为 4R26 故答案为：1 3，6 第 14 页（共 20 页） 16 （5 分）已知函数() = 2 +

29、2 + 1，( 0) |，(0) ，若 abcd，且 f（a）f（b）f （c）f（d） ，则 ab+cd 的范围为 1，2） 【解答】解：作出 f（x）的图象可得2a1b0，a+b2，1 1 所以 f（c）|lnc|lnc，f（d）|lnd|lnd， 所以lnclnd，即 lnc+lndlncd0，所以 cd1， 所以 ab+cd（b2） b+1b22b+1（b+1）2+2， 因为1b0，所以 ab+cd 范围为1，2） ： 故答案为：1，2） 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b

30、，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 【解答】解： （1）由; ; = :， 则; ; = :，可得：a 2+b2c2ab， 所以： = 2+22 2 = 2 = 1 2， 而 C（0，） ， 故 = 3 第 15 页（共 20 页） （2）由 a2+b2c2ab，且 c3， 可得： （a+b）22ab9ab， 可得：( + )2 9 = 3 3(+ 2 )2， 可得： （a+b）236， 所以 a+b6， 又 a+bc3， 所以 a+b 的取值范围是（3，6 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn，且数列* +是首项为 1，公

31、差为3 2的等差数列 （1）求an的通项公式； （2）设= 1 +1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证： 1 3 【解答】解： （1）由题意 = 1 + ( 1) 3 2 = 3 2 1 2，所以 = 3 2 2 1 2 ， 当 n1 时，1= 1= 3 2 1 2 = 1； 当 n2 时，= ;1= (3 2 2 1 2 ) ,3 2 ( 1)2 1 2( 1)- = 3 2； 又因为 a11 适合上式， 所以数列an的通项公式为 an3n2（nN*） ； （2） 证明： 由 （1） 得 an3n2， 可得= 1 +1 = 1 (32)(3+1) = 1 3 ( 1 32 1 3+1)，

32、 所以= 1+ 2+ + = 1 3 ,(1 1 4) + ( 1 4 1 7) + + ( 1 32 1 3+1)- = 1 3 (1 1 3+1)， 因为 1 3:1 0，所以 1 3 19 （12 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且 F1（1，0） ， 椭圆经点(1， 3 2) （1）求椭圆的方程； （2） 直线 l 过椭圆右顶点 B， 交椭圆于另一点 A， 点 G 在直线 l 上， 且GOBGBO 若 GF1AF2，求直线 l 的斜率 【解答】解： （1）由题意可得 c1，F1（1，0） ，F2（1，0） ，又椭圆经点(1， 3 2)， 第

33、 16 页（共 20 页） 由椭圆的定义可得 2a=(1 + 1)2+ 9 4 + 3 2 = 5 2 + 3 2 =4，即 a2， 又 b= 2 2= 4 1 = 3，则椭圆的方程为 2 4 + 2 3 =1； （2）B（2，0） ，由题意可得直线 l 的斜率存在，设为 k，方程设为 yk（x2） ， 联立椭圆方程 2 4 + 2 3 =1 可得（3+4k2）x216k2x+16k2120， 判别式256k44（3+4k2） （16k212）1440， 则 2xA= 16212 3+42 ，即 xA= 826 3+42，yAk（xA2）= 12 3+42， 由点 G 在直线 l 上，且GOB

34、GBO，可得|OG|BG|， 即 G 在 OB 的垂直平分线上，可得 G（1，k） ， 又 F1（1，0） ，F2（1，0） ，A（8 2;6 3:42， 12 3+42） ， GF1AF2， 可得 k 1k2= 1，即 ;2 ; 12 3+42 9+42 3+42 = 1， 化为 10k29，即 k310 10 20 （12 分）如图，ABC 为正三角形，半圆 O 以线段 BC 为直径，D 是圆弧 BC 上的动点 （不包括 B，C 点）平面 ABC平面 BCD （1） 是否存在点 D， 使得 BDAC？若存在， 求出点 D 的位置， 若不存在， 请说明理由； （2）CBD30，求直线 AC

35、与平面 ABD 所成角的正弦值 【解答】解： （1）D 是圆弧 BC 上的动点（不包括 B，C 点） ，假设存在点 D，使得 BD AC 过点 D 作 DEBC，平面 ABC平面 BCD，平面 ABC平面 BCDBC DE平面 ACB，AC平面 ABC， DEAC，又 DEBDD， AC平面 BCD，而ACB60，得出矛盾 第 17 页（共 20 页） 假设不正确因此不存在点 D，使得 BDAC （2）设圆心为点 O，连接 OA，分别以 OC，OA，为 y 轴作空间直角坐标系 设 OC1，O（0，0，0） ，A（0，0，3） ，B（0，1，0） ，D（ 3 2 ，1 2，0） ，C（0，1，

36、0） =（0，1，3） ， =（ 3 2 ，3 2，0） ， =（0，1，3） ， 设平面 ABD 的法向量为： =（x，y，z） ，则 = =0， y+3z0， 3 2 x+ 3 2y0， 取 =（3，3，1） ， 直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值|cos ， |= | | | | | = 23 132 = 39 13 21 （12 分）某房地产开发商有一块如图（1）所示的四边形空地 ABCD，经测量，边界 CB 与 CD 的长都为 2km，所形成的角BCD60 （1）如果边界 AD 与 AB 所形成的角BAD120，现欲将该地块用固定高度的板材围 成一个封闭的施工场地，求至多购买

37、多少千米长度的板材； （2）当边界 AD 与 CD 垂直，AB 与 BC 垂直时，为后期开发方便，拟在这块空地上先建 两条内部道路 AE，EF，如图（2）所示，点 E 在边界 CD 上，且道路 EF 与边界 BC 互相 垂直，垂足为 F为节约成本，欲将道路 AE，EF 分别建成水泥路、砂石路，每 1km 的 建设费用分别为3a、a 元（a 为常数） ；若设DAE，试用 表示道路 AE，EF 建设 的总费用 F（） （单位：元） ，并求出总费用 F（）的最小值 第 18 页（共 20 页） 【解答】解： （1）连接 BD，如图所示：， 易知BDC 为等边三角形，则 BD2， 在ABD 中， =

38、2 3 ，BD2， 由余弦定理得： BD2AB2+AD22ABADcos120， 即4AB2+AD2+ABAD （AB+AD） 2ABAD 由基本不等式得：4 ( + )2 (+)2 4 = 3 4 (2+ 2)， AB+AD 43 3 ，当且仅当 ABAD 时等号成立， 钢板长度 LAB+BC+CD+DA 4 + 43 3 ， 答：所用钢板长度的最大值为 4+ 43 3 km； 第 19 页（共 20 页） （2）如图所示：， 因为 AD 与 CD 垂直，AB 与 BC 垂直，则 A，B，C，D 四点共圆，且 AC 为直径，记直 径为 2R， 在BCD 中，CDCB2，BCD60，则 BD2

39、， = 2 3 ， 由正弦定理得： = 2，2RAC= 4 3， 在 RtADC 和 RtABC 中，则 ADAB= 2 2= 23 3 ， 在 RtADE 中，DAE，AD= 23 3 ，则 DE= 23 3 ，AE= 23 3， 又 CD2，则 CECDDE2 23 3 ， 在 RtCEF 中， = 3，则 EF= 3 2 = 3 ， 则 y= 3 + = ( 2 ) + 3 = (2 + 3)， ,0， 3)， 所用总费用 F（）= (2 + 3)， ,0， 3)， 即 f（）= 2 ， ,0， 3)， 则 f（）= 2(2)() 2 = 1+2 2 ， 令 f（）0，得 = 6， 所以

40、当 ,0， 6)时，f（）0，f（）单调递减；当 , 6 ， 3)时，f（）0，f（） 单调递增， 所以当 = 6时，f（）取最小值，此时 f（）min23， 第 20 页（共 20 页） 答：铺设的总费用的最小值为 23元 22 （12 分）函数 f（x）= 1 2x 2+（al）xxlnx， （1）若 f（x）在定义域内为单调递增函数，求 a 的取值范围； （2）当 a3 时，关于 x 的方程 f（x）+b0 在区间（1，e上有且只有一实数根，求 b 的取值范围 【解答】解： （1）定义域（0，+） ， 由题意可得，f（x）x+a2lnx0 在（0，+）上恒成立， 故 a2+lnxx 在（0，+）上恒成立， 令 g（x）2+lnxx，x0， 则 g（x）= 1 ， 易得 0x1 时，g（x）0，g（x）单调递增，当 x（1，+）时，函数单调递减， 故 g（x）maxg（1）1， 所以 a1； （2）a3 时，f（x）= 1 2x 2+2xxlnx， f（x）x+1lnx， 令 h（x）x+1lnx，则 h（x）1 1 = 1 ， 易得，x（1，e时，h（x）0，函数 h（x）单调递增， 故 h（x）h（1）2，即 f（x）0 恒成立， 故 f（x）在（1，e上单调递增， 所以5 2 =f（1）f（x）f（e）= 1 2 2 + 2