2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（1）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z= 2 (1)3，则在复平面内对应点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知集合 = *| = (2 3 4)+， = *| 2 1 0+全集 UR，则（RA） B（ ） A1，2 B1，2）（3，4 C1，3） D1，1）2，4 3 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 3 2 + 3 ，则 zxy

2、 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm（ ） A0 B3 2 C3 D3 4 （5 分）已知两个不同平面 ， 和三条不重合的直线 a，b，c，则下列命题中正确的是 （ ） A若 a，b，则 ab B若 a，b 在平面 内，且 ca，cb，则 c C若 a，b，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与 a，b，c 都相交 D若 ， 分别经过两异面直线 a，b，且 c，则 c 必与 a 或 b 相交 5 （5 分）中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表 示一个多位数时，像阿拉伯记数样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的 筹式需要纵横相间，其中个位、

3、百位、万用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表 示，例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 可用算筹表示为（ ） A B 第 2 页（共 20 页） C D 6 （5 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， Sn2an2， 若存在两项 am， an， 使得 aman64， 则 1 + 9 的最小值为（ ） A14 5 B11 4 C8 3 D10 3 7 （5 分）设直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，点 P、Q 分别在侧棱 AA1、CC1上，且 PA QC1，则三棱锥 B1BPQ 的体积为（ ） A1 6 B1 4 C1 3 D1 2 8 （5 分）已知函数 f（x）cosx

4、|sinx|，给出下列四个说法： (2015 6 ) = 3 4 ， 函数 f（x）的一个周期为 2； f（x）在区间, 4 ， 3 4 -上单调递减； f（x）的图象关于点（，0）中心对称 其中正确说法的序号是（ ） A B C D 9 （5 分）已知 (0， 3 4 )， (0， 2)，( 4 + ) = 3 3 ，( + 2) = 53 9 ，则 ( 4 2) =（ ） A42 9 B 42 9 C22 3 D 22 3 10 （5 分）已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足 = + （| + | ） ，R则 P 点的轨迹一定通过三角形 ABC 的（ ） A内心 B

5、外心 C重心 D垂心 11 （5 分）如图，FI，F2是双曲线： 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上 第 3 页（共 20 页） 位于第一象限内的一点， 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A， APF1的内切圆与边 PF1 切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 12 （5 分）已知方程 xexa（e2x1）0 只有一个实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa0 或 a 1 2 Ba0 或 a 1 3 Ca0 Da0 或 a 1 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小

6、题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 如图是调查某学校高一年级男、 女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图， 阴影部分表示喜欢徒步的频率已知该年级男生 500 人、女生 400 名（假设所有学生都 参加了调查） ，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取 23 人，则抽取的男生 人数为 14 （5 分）有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩 笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 15 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（3cosA）sinBsinA （1+cosB）

7、，a+c6，则ABC 的面积的最大值为 16 （5 分）抛物线 x2= 1 2y 上的一点 M 到焦点的距离为 2，则点 M 的纵坐标是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an为公差不为 0 的等差数列，且 an是方程 x2（n+2）x+n+10 的 一个实数根 第 4 页（共 20 页） （1）求数列an的通项公式； （2） 若数列bn满足 bn= 10 10+1+1， 记数列bn的前 n 项和为 Sn， 求证： 10 61 Sn 1 2 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD

8、为正方形，PA底面 ABCD，PA AB，E 为线段 PB 的中点，若 F 为线段 BC 上的动点（不含 B） （1）平面 AEF 与平面 PBC 是否互相垂直？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； （2）求二面角 BAFE 的余弦值的取值范围 19 （12 分）已知函数 f（x）xasinx，g（x）x+mlnx （）求证：当|a|1 时，对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立； （）求函数 g（x）的极值； （）当 a= 1 2时，若存在 x1，x2（0，+）且 x1x2，满足 f（x1）+g（x1）f（x2） +g（x2） ，求证： 12 2 4 9 20 （12 分）如今我们的互

9、联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成 为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务A 市教育 主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了 100 人， 并将这 100 人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表 （已知每人每月 网络外卖消费金额不超过 3000 元） ： 消费金额（单位：百元） 0，5 （5，10 （10，15 （15，20 （20， 25 （25，30 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额 Z（单位：元）近似地服从 正态分布 N （， 2）

10、， 其中 近似为样本平均数 x （每组数据取区间的中点值， 660） 现 从该市任取20名大学生， 记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X， 求 X 的数学期望； （2）A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每 人发放价值 100 元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动规则是：在某张方 格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格、第 60 格共 61 个方格棋子开始在第 0 格， 第 5 页（共 20 页） 然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是1 2，其中 P01） ，若掷出正 面，将棋子向前移动一格（从 k 到

11、k+1） ，若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从 k 到 k+2） 重复多次，若这枚棋子最终停在第 59 格，则认为“闯关成功” ，并赠送 500 元充 值饭卡；若这枚棋子最终停在第 60 格，则认为“闯关失败” ，不再获得其他奖励，活动 结束 设棋子移到第 n 格的概率为 Pn，求证：当 1n59 时，PnPn1是等比数列； 若某大学生参与这档“闯关游戏” ，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小， 并说明理由 参考数据：若随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（+）0.6827， P（2+2）0.9545，P（3+3）0.9973 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2

12、 2 =1（a0，b0）的长轴长为 4，离心率 e= 3 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A，B 分别为椭圆与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴的交点，P 是椭圆 C 上在第一象限 的一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，问PMN 与PAB 面积之 差是否为定值？说明理由 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩 变换： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D

13、 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，且 a+b1 （1）求1 + 2 的最小值； （2）证明： :2 2:2:1 5 2 第 6 页（共 20 页） 2020 高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知

14、复数 z= 2 (1)3，则在复平面内对应点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：z= 2 (1)3 = 2 (1)2(1) = 2 (1)2 = 1 1 = 1+ (1)(1+) = 1 2 1 2i； = 1 2 + 1 2i； 在复平面内对应点所在象限为第二象限； 故选：B 2 （5 分）已知集合 = *| = (2 3 4)+， = *| 2 1 0+全集 UR，则（RA） B（ ） A1，2 B1，2）（3，4 C1，3） D1，1）2，4 【解答】解：Ax|x4，或 x1， RAx|1x4， Bx|x2，或 x1， （RA）B1，1）2，4

15、故选：D 3 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 3 2 + 3 ，则 zxy 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm（ ） A0 B3 2 C3 D3 第 7 页（共 20 页） 【解答】解：由题意作平面区域如下， zxy 可化为 yxz， 结合图象可知， + 2 = 3 2 + = 3 = 1 = 1 过点 B（1，1）时，截距最小，z 有最大值 M110， 过点 C（0，3）时，截距最大，z 有最小值 m033， 故 Mm3， 故选：D 4 （5 分）已知两个不同平面 ， 和三条不重合的直线 a，b，c，则下列命题中正确的是 （ ） A若 a，b，则 ab B若 a，b 在平

16、面 内，且 ca，cb，则 c C若 a，b，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与 a，b，c 都相交 D若 ， 分别经过两异面直线 a，b，且 c，则 c 必与 a 或 b 相交 【解答】解：对于选项 A：若 a，b，则直线 a 也可能与直线 b 异面，故错误 对于选项 B，只有直线 a 和 b 为相交直线时，若 ca，cb，则 c故错误 对于选项 C： 若 a， b， c 是两两互相异面的直线， 则要么存在一条直线或不存在直线与 a， b，c 都相交故错误 对于选项 D：若 ， 分别经过两异面直线 a，b，且 c，则 c 必与 a 或 b 相交，正 确 故选：D 5 （5 分）中

17、国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表 示一个多位数时，像阿拉伯记数样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的 第 8 页（共 20 页） 筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表 示，例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 可用算筹表示为（ ） A B C D 【解答】解：个位、百位、万用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示， 8335 用算筹表示的话，千位上的 8 是横式，百位上的 3 是纵式，十位上的 3 是横式， 个位上的 5 时纵式， 故选：B 6 （5 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， Sn2a

18、n2， 若存在两项 am， an， 使得 aman64， 则 1 + 9 的最小值为（ ） A14 5 B11 4 C8 3 D10 3 【解答】解：Sn2an2，可得 a1S12a12，即 a12， n2 时，Sn12an12，又 Sn2an2， 相减可得 anSnSn12an2an1，即 an2an1， an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 所以 an2n aman64，即 2m2n64， 得 m+n6， 所以 1 + 9 = 1 6（m+n） （ 1 + 9 ）= 1 6（10+ + 9 ） 1 6（10+29）= 8 3， 当且仅当 = 9 时取等号，即为 m= 3 2，n= 9

19、2 因为 m、n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则 1 + 9 8 3， 验证可得，当 m2，n4 时， 1 + 9 取得最小值为 11 4 第 9 页（共 20 页） 故选：B 7 （5 分）设直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，点 P、Q 分别在侧棱 AA1、CC1上，且 PA QC1，则三棱锥 B1BPQ 的体积为（ ） A1 6 B1 4 C1 3 D1 2 【解答】解：设 A 到 BC 的距离为 h， 直三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，点 P、Q 分别在侧棱 AA1、CC1上，且 PAQC1， V= 1 2 1， 三棱锥 B1BPQ 的体积为： V 1;= ;1

20、= 1 3 1 2 1= 1 3 故选：C 8 （5 分）已知函数 f（x）cosx|sinx|，给出下列四个说法： (2015 6 ) = 3 4 ， 函数 f（x）的一个周期为 2； f（x）在区间, 4 ， 3 4 -上单调递减； f（x）的图象关于点（，0）中心对称 其中正确说法的序号是（ ） A B C D 【解答】解：f（336 6）f（ 6）cos（ 6） |sin（ 6）|= 3 4 ，错，A 错， f（）cos|sin|0，所以 f（x）的图象关于点（，0）中心对称，对，D 错， f（2+x）cos（2+x） |sin（2+x）|cosx|sinx|f（x） ，所以函数 f（

21、x）的一个周期 为 2，对， 故选：C 9 （5 分）已知 (0， 3 4 )， (0， 2)，( 4 + ) = 3 3 ，( + 2) = 53 9 ，则 第 10 页（共 20 页） ( 4 2) =（ ） A42 9 B 42 9 C22 3 D 22 3 【解答】解： (0， 3 4 )， (0， 2)， 4 + ( 4 ，)， + 2（0，） ( 4 + ) = 3 3 2 2 ， 4 + (3 4 ，)，则 cos（ 4 + ）= 6 3 ， ( + 2) = 53 9 ，sin（ + 2）= 6 9 则( 4 2) =cos（ 4 + ）（ + 2） cos（ 4 + ）cos

22、（ + 2）+sin（ 4 + ）sin（ + 2） = 6 3 53 9 + 6 9 3 3 = 42 9 故选：B 10 （5 分）已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足 = + （| + | ） ，R则 P 点的轨迹一定通过三角形 ABC 的（ ） A内心 B外心 C重心 D垂心 【解答】解：由正弦定理可知：| | = | | = 2，R 为三角形的外接圆的半径， 所以动点 P 满足 = + （| + | ） = +R （ + ） 因为 + 是 以 AB，AC 为邻边的平行四边形的对角线 A 为起点的向量，经过 BC 的中点， 所以 P 点的轨迹一定通过三角形 AB

23、C 的重心 故选：C 11 （5 分）如图，FI，F2是双曲线： 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上 位于第一象限内的一点， 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A， APF1的内切圆与边 PF1 切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（ ） 第 11 页（共 20 页） A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 【解答】解：PQPF1F1QPF1F1MPF1NF2PF1（PF2+PQ） = 1 2 (1 2) = ，a4，b= 3，c= 19， 所以双曲线的离心率为： = 19 4 故选：D 12 （5 分）已知方程 xexa（e2x1）0 只有

24、一个实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa0 或 a 1 2 Ba0 或 a 1 3 Ca0 Da0 或 a 1 3 【解答】 解： 令 tex， t0， xlnt， 则原方程转化成 tlnta （t21） 0， 即 ( 1 ) = 0， 令() = ( 1 )，显然 f（1）0， 问题转化成函数 f（t） 在（0，+） 上只有一个零点 1， () = 2+ 2 ， 若 a0，则 f（t）lnt 在（0，+） 单调递增，f（1）0，此时符合题意； 若 a0，则 f（t）0，f（t） 在（0，+） 单调递增，f（1）0，此时符合题意； 若 a0，记 h（t）at2+ta， 则函数 h（t） 开

25、口向下，对称轴 = 1 20，过（0，a） ，14a 2， 当0 即 14a20，即 1 2 时，f（t）0，f（t）在（0，+） 单调递减，f（1） 0，此时符合题意； 当0 即 14a20， 即 0 1 2时， 设 h （t） 0 有两个不等实根 t1， t2， 0t1t2， 又 h（1）0，对称轴 = 1 21，所以 0t11t2， 则 f（t） 在 （0，t1）单调递减， （t1，t2） 单调递增， （t2，+） 单调递增， 由于 f（1）0，所以 f（t2）0， 第 12 页（共 20 页） 取0= 1 ，(0) = 12 1 +21 ， 记() = 1 2 1 + 2; 1 令 =

26、 1 ，2， 则() = () = 2+ 2 0，所以 f（t0）0， 结合零点存在性定理可知，函数 f（t） 在（t1，t2） 存在一个零点，不符合题意； 综上，符合题意的 a 的取值范围是 a0 或 1 2， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 如图是调查某学校高一年级男、 女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图， 阴影部分表示喜欢徒步的频率已知该年级男生 500 人、女生 400 名（假设所有学生都 参加了调查） ，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取 23 人，则抽取的男生 人数为 15 【

27、解答】解：设抽取的男生人数为 x，由题意可得喜欢徒步运动的男生约占男生总数的 1 0.40.6，约有 5000.6300 人， 喜欢徒步运动的女生约占男生总数的 10.60.4，约有 400（10.6）160 人， 则抽取的男生人数为 23 300 300+160 =15 人， 故答案为：15 14 （5 分）有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩 笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 2 5 【解答】解：有 5 支彩笔（除颜色外无差别） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，

28、 基本事件总数 n= 5 2 =10， 取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m= 1 141 =4， 第 13 页（共 20 页） 则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 p= = 4 10 = 2 5 故答案为：2 5 15 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（3cosA）sinBsinA （1+cosB） ，a+c6，则ABC 的面积的最大值为 22 【解答】解：在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（3cosA）sinB sinA（1+cosB） ， 整理得 3sinBsinA+sinBcosA+cosBsin

29、AsinA+sinC， 利用正弦定理：3ba+c， 由于 a+c6， 整理得：3ba+c6， 解得：b2 a+c6， 6a+c 2， 整理可得：ac9， （当且仅当 ac3 时等号成立） cosB= 2+22 2 = (+)224 2 = 16 所以 = 1 2 = 4 2 16， 所以= 1 2 4 2 16 =22 16 22 9 16 = 22， 当且仅当 ac3 时，等号成立 则ABC 的面积的最大值为 22， 故答案为：22 16 （5 分）抛物线 x2= 1 2y 上的一点 M 到焦点的距离为 2，则点 M 的纵坐标是 15 8 【解答】解：由抛物线方程2= 1 2 ，p= 1 4

30、，设 M（x，y） ，准线方程为 = 1 8，焦点 F(0， 1 8)， 可得 MFy+ 1 8 =2，y= 2 1 8 = 15 8 故点 M 的纵坐标为15 8 故答案为：15 8 第 14 页（共 20 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an为公差不为 0 的等差数列，且 an是方程 x2（n+2）x+n+10 的 一个实数根 （1）求数列an的通项公式； （2） 若数列bn满足 bn= 10 10+1+1， 记数列bn的前 n 项和为 Sn， 求证： 10 61 Sn 1 2 【解答】解： （

31、1）方程 x2（n+2）x+n+10 的实数根分别为 x1 或 xn+1， d0， 故 ann+1， （2）证明：bn= 10 10+1+1 = 10 10(+1)(+2)+1 10 10(+1)(+2) = 1 +1 1 +2， Sn 1 2 1 3 + 1 3 1 4 + + 1 +1 1 +2 = 1 2 1 +2 1 2， bn0， Snb1= 10 61， 综上可得，10 61 Sn 1 2 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA底面 ABCD，PA AB，E 为线段 PB 的中点，若 F 为线段 BC 上的动点（不含 B） （1）平面 AE

32、F 与平面 PBC 是否互相垂直？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； （2）求二面角 BAFE 的余弦值的取值范围 【解答】解： （1）因为 PAAB，E 为线段 PB 的中点， 所以 AEPB， 因为 PA底面 ABCD，BC平面 ABCD， 所以 PABC， 又因为底面 ABCD 为正方形， 所以 BCAB， 又 PAABA， 所以 BC平面 PAB， 第 15 页（共 20 页） AE平面 PAB， BCAE， 因为 PBBCB， 所以 AE平面 PBC， 因为 AE平面 AEF， 所以平面 AEF平面 PBC； （2）由题意，以 AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立

33、空间直角坐标系，令 PA 2， 则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，E（1，0，1） ，F（2，t，0） （其中 0t2） ， 易知平面 BAF 的一个法向量为 = (0，0，1)， 设平面 AEF 的一个法向量为 = (，)，则 = 2 + = 0 = + = 0 ， 令 z1，则 = (1， 2 ，1)， ， = | |= 1 2+ 4 2 ， 0t2，2 + 4 2 ,3，+ )， 1 2+ 4 2 (0， 3 3 -， 故若F为线段BC上的动点 （不含B） ， 二面角BAFE的余弦值的取值范围是(0， 3 3 - 19 （12 分）已知函数 f（x）xasinx，g（x）x+m

34、lnx （）求证：当|a|1 时，对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立； （）求函数 g（x）的极值； （）当 a= 1 2时，若存在 x1，x2（0，+）且 x1x2，满足 f（x1）+g（x1）f（x2） +g（x2） ，求证： 12 2 4 9 【解答】解： （1）f（x）xasinx，f（x）1acosx 第 16 页（共 20 页） 1cosx1，|a|1，f（x）1acosx0， f（x）xasinx 在（0，+）上为增函数， 当 x（0，+）时，恒有 f（x）f（0）0 成立 （2）由 g（x）x+mlnx，() = 1 + = + (0) 当 m0 时，g（x）0，g（x

35、）在（0，+）上为增函数，无极值； 当 m0，0xm，g（x）0；xm，g（x）0， g（x）在（0，m）上为减函数，在（m，+）上为增函数， xm，g（x）有极小值m+mln（m） ，无极大值， 综上，当 m0 时，g（x）无极值； 当 m0 时，g（x）有极小值m+mln（m） ，无极大值 （3）当 = 1 2，() = 1 2 在（0，+）上为增函数， 由（2）知，当 m0 时，g（x）在（0，+）上为增函数， 此时 f（x）+g（x）在（0，+）上为增函数， 不可能存在 x1，x2（0，+） ，满足 f（x1）+g（x1）f（x2）+g（x2）且 x1x2 有 m0，不防设 0x1x2

36、，则由 f（x1）+g（x1）f（x2）+g（x2） ， 得21 1 2 1+ 1= 22 1 2 2+ 2， (2 1) = 2(2 1) 1 2( 2 1) 由 x1sinx1x2sinx2，得 1 2 (2 1) 1 2(2 1) 由式，得(2 1)2(2 1) 1 2 (2 1)， 即(2 1) 3 2 (2 1)0， 又 lnx1lnx2，lnx2lnx10， 3 2 21 21 0 要证12 2 4 9，即证 29 412， m0，0x1x2，即证 3 211 由式，知只需证明 2;1 2;1 12，即证 2 1;1 2 1 2 1， 设 = 2 1 1，只需证;1 ，即证：;1

37、0(1)， 第 17 页（共 20 页） 令() = 1 (1)，则() = (1)2 2 0(1)， h（t）在（1，+）上为增函数，h（t）h（1）0 2;1 2;1 12成立， 由知， 3 2120， 12 2 4 9成立 20 （12 分）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成 为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务A 市教育 主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了 100 人， 并将这 100 人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表 （已知每人每月 网络外卖消费金额不超过 3000

38、 元） ： 消费金额（单位：百元） 0，5 （5，10 （10，15 （15，20 （20， 25 （25，30 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额 Z（单位：元）近似地服从 正态分布 N （， 2） ， 其中 近似为样本平均数 x （每组数据取区间的中点值， 660） 现 从该市任取20名大学生， 记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X， 求 X 的数学期望； （2）A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每 人发放价值 100 元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动规则是：

39、在某张方 格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格、第 60 格共 61 个方格棋子开始在第 0 格， 然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是1 2，其中 P01） ，若掷出正 面，将棋子向前移动一格（从 k 到 k+1） ，若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从 k 到 k+2） 重复多次，若这枚棋子最终停在第 59 格，则认为“闯关成功” ，并赠送 500 元充 值饭卡；若这枚棋子最终停在第 60 格，则认为“闯关失败” ，不再获得其他奖励，活动 结束 设棋子移到第 n 格的概率为 Pn，求证：当 1n59 时，PnPn1是等比数列； 若某大学生参与这档“闯关游戏” ，试比

40、较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小， 并说明理由 参考数据：若随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（+）0.6827， P（2+2）0.9545，P（3+3）0.9973 第 18 页（共 20 页） 【解答】 解：（1） = 250 0.2 + 750 0.35 + 1250 0.25 + 1750 0.1 + 2250 0.05 + 2750 0.05 = 1050， 因为 Z 服从正态分布 N（1050，6602） ， 所以(390 2370) = ( + 2) = 0.9545 0.95450.6827 2 = 0.8186 所以 XB（20，0.8186） ， 所以 X 的数学期望为 E（X）200.818616.372 （2）棋子开始在第 0 格为必然事件，P01 第一次掷硬币出现正面，棋子移