2020年福建省高考数学（理科）模拟试卷（4）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年福建省高考数学（理科）模拟试卷（年福建省高考数学（理科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 2 （5 分）设复数 z 满足|z+1|zi|，z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） Ax0 By0 Cxy0 Dx+y0 3 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A2 3 B4 3 C2 D4 4 （5 分）2021 年

2、开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文数学、外语 3 门必选科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作 为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比 例均缩放成 5 分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正 确的是（ ） A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 第 2 页（共 19 页） C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理化学、历史 D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 5 （5 分） （x22x3） （2x1）6的展开式中，含

3、x3项的系数为（ ） A348 B88 C232 D612 6 （5 分）数列an满足 2an+1an+an+2，且 a2，a4038是函数 f（x）x28x+3 的两个零点， 则 a2020的值为（ ） A4 B4 C4038 D4038 7 （5 分）已知函数 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）x2ln（x） ，则曲线 yf（x） 在 x1 处的切线方程为（ ） Axy0 Bxy20 Cx+y20 D3xy20 8 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线与 x 轴交于点 K，过点 K 作圆 ( 2) 2 + 2= 2 4 的切线，切点分别为 A，B若| = 3

4、，则 p 的值为（ ） A1 B3 C2 D3 9 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+）某个周期的图象如图所示，A，B 分别是 f（x）图 象的最高点与最低点，C 是 f（x）图象与 x 轴的交点，则 tanBAC（ ） A1 2 B4 7 C2 5 5 D 7 65 65 10 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62 11 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间， 甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（ ） A24 B12 C8 D6 12

5、（5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB1，BC= 3，F 是线段 BC 上一点且满足 BF1，E 是线段 FC 上一动点，把ABE 沿 AE 折起得到AB1E，使得平面 B1AC平面 ADC，分 别记B1A， B1E与平面ADC所成角为， ， 平面B1AE与平面ADC所成锐角为， 则 （ ） 第 3 页（共 19 页） A B C D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足 4， + 2 + 6 0， 4， 则 = +4 4的最大值为 14 （5 分）已知等比数列an中，a1a105，则 a4a5a

6、6a7 15 （5 分）已知直线 l 过抛物线 y28x 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与其准线交于 点 C若点 F 是 AC 的中点，则线段 BC 的长为 16 （5 分）设函数 f（x）|ax2bx+3|，若对任意的负实数 a 和实数 b，总有 x01，2使 得 f（x0）mx0，则实数 m 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A、B、C，景区管委会 又开发了风景优美的景点 D， 经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30方向 8km

7、 处， 位于 景点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西 75方向上，已知 AB5km （1）景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出 这条公路的长； （结果精确到 0.1km） （2）求景点 C 与景点 D 之间的距离 （结果精确到 0.1km） 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面 ABC，E，F 分别是 BC，A1C1的中点 （）求证：平面 AEF平面 B1BCC1； （）求证：C1E平面 ABF； 第 4 页（共 19 页） （）求 AC1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 19 （12 分）已知

8、椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 20（12 分） 某公司为抓住经济发展的契机， 调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响， 在若干销售地区分别投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图 （如图所示） ，由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计 数的 （）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入 4 万元 广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值） ； （）该

9、公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表： 广告投入 x （单位： 万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y （单位： 万元） 2 3 2 7 由表中的数据显示，x 与 y 之间存在着线性相关关系，请将（）的结果填入空白栏，根 据表格中数据求出 y 关于 x 的回归真线方程 = x+ ，并估计该公司下一年投入广告费 多少万元时，可使得销售收益达到 8 万元？ 参考公式：最小二乘法估计分别为 = =1 =1 2 2 = =1 ()() =1 ()2 ， = 第 5 页（共 19 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax2+x+2 （1）试问函数 f（x）能否在 x=

10、3 3 处取得极值？请说明理由； （2）若函数 f（x）在 1 3，+）上为单调增函数，求实数 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度

11、 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|xa|+|x4|（a0） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）x 的解集； （2）若() + 1 4 恒成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年福建省高考数学（理科）模拟试卷（年福建省高考数学（理科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x

12、3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 2 （5 分）设复数 z 满足|z+1|zi|，z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） Ax0 By0 Cxy0 Dx+y0 【解答】解：复数 z 满足|z+1|xi|， ( + 1)2+ 2= 2+ ( 1)2，化为：x+y0， 故选：D 3 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A2 3 B4 3 C2 D4 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 第 7 页（共 19 页） 所以 = 1 3 1 2 2 2 1 = 2 3 故选：A 4 （5 分）2021 年开始，我省将试行“3+1+2“的普

13、通高考新模式，即除语文数学、外语 3 门必选科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作 为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比 例均缩放成 5 分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正 确的是（ ） A甲的物理成绩领先年级平均分最多 B甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分 C甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理化学、历史 D对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果 【解答】解：甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、生物（物理） ， C 选项错， 故选：C 5 （5 分） （

14、x22x3） （2x1）6的展开式中，含 x3项的系数为（ ） 第 8 页（共 19 页） A348 B88 C232 D612 【解答】解：解： （x22x3） （2x1） 6（x22x3） （ 6 0 （2x）661 （2x）5+62 （2x） 4+ 6 5 （2x）+66） ， 故展开式中，含 x3项的系数为（3） （6 323 ）+（2） 6422+1 （652）480+（ 120）12348， 故选：A 6 （5 分）数列an满足 2an+1an+an+2，且 a2，a4038是函数 f（x）x28x+3 的两个零点， 则 a2020的值为（ ） A4 B4 C4038 D4038

15、【解答】 解： a2， a4038是函数 f （x） x28x+3 的两个零点， a2+a40388 又 2an+1an+an+2， 数列an是等差数列，故 a2+a40382a20208，所以 a20204 故选：A 7 （5 分）已知函数 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）x2ln（x） ，则曲线 yf（x） 在 x1 处的切线方程为（ ） Axy0 Bxy20 Cx+y20 D3xy20 【解答】解：根据偶函数的图象关于 y 轴对称，所以在关于 y 轴对称的两点处，函数值 相等，且切线也关于 y 轴对称， 所以切点关于 y 轴对称，切线斜率互为相反数 f（1）f（1）1，故切点为（

16、1，1） ， x0 时，f（x）= 2 1 ，所以 f（1）f（1）1 故切线方程为 y1x1，即 xy0 故选：A 8 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线与 x 轴交于点 K，过点 K 作圆 ( 2) 2 + 2= 2 4 的切线，切点分别为 A，B若| = 3，则 p 的值为（ ） A1 B3 C2 D3 【解答】解：连接 FA，因为 F 就是圆( 2) 2 + 2= 2 4 的圆心， 所以 FAKA，且| = 2 又|KF|p，所以AKF30，那么AKB60， 第 9 页（共 19 页） 所以AKB 是等边三角形，所以| = | = 3 2 又| = 3，所以

17、 p2 故选：C 9 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+）某个周期的图象如图所示，A，B 分别是 f（x）图 象的最高点与最低点，C 是 f（x）图象与 x 轴的交点，则 tanBAC（ ） A1 2 B4 7 C2 5 5 D 7 65 65 【解答】解：由题可得周期为 2； 设 C（a，0）则 B（a+ 1 2，1） ，A（a+ 3 2，1） ； KAC= 1 3 2 = 2 3，KAB= 1(1) 3 2 1 2 =2； 又BAC 为两直线倾斜角的差， tanBAC= 22 3 1+22 3 = 4 7 故选：B 10 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | =

18、2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62 【解答】解： ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2， 则 ( ) ( ) = 第 10 页（共 19 页） + 2 =2cos ， 4cos ， 2cos ， +412， 当且仅当 ，同向， ，反向， ， 反向时，取得最大值 故选：B 11 （5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间， 甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（ ） A24 B12 C8 D6 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： ，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有 2 种，乙

19、的站法有 2 种， ，乙同学与老师相邻，则乙的站法有 2 种， ，将剩下的 2 人全排列，安排在剩下的 2 个位置，有 A222 种情况， 则不同站法有 2228 种； 故选：C 12 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB1，BC= 3，F 是线段 BC 上一点且满足 BF1，E 是线段 FC 上一动点，把ABE 沿 AE 折起得到AB1E，使得平面 B1AC平面 ADC，分 别记B1A， B1E与平面ADC所成角为， ， 平面B1AE与平面ADC所成锐角为， 则 （ ） A B C D 【解答】解：如图，过 B1作 B1OAC， 在 RtABC 中，AB1，BC= 3，AC2， 在 Rt

20、AB1C 中，AB11，B1C= 3，AC2， 1= 1 2 1 = 1 2 1 1， B1O= 11 = 3 2 ，AO=1 3 4 = 1 2， 平面 B1AC平面 ADC，B1OAC，B1O平面 ABCD， B1AO，tan= 1 = 3， 第 11 页（共 19 页） B1EO，tan = 1 tan， 过 O 作 OFAE，垂足为 F，连结 BF， 则BFO 为平面 BFO 与平面 ADC 所成锐角 ， O 到 AB 的距离 h 1 4 = 3 4 ， tan 1 = 3 2 3 4 =2，tantan， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题

21、分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足 4， + 2 + 6 0， 4， 则 = +4 4的最大值为 2 7 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示， = +4 4表示平面区 域内的点（x，y）与 D（4，4）连线的斜率，观察可知， +4 4 ，联立 = 4， + 2 + 6 = 0，解得 = 2 3， = 8 3 ，即( 2 3 ， 8 3)，故 = +4 4的最大值为 8 3+4 2 34 = 4 3 2 3 12 3 = 2 7 故答案为： 2 7 14 （5 分）已知等比数列an中，a1a105，则 a4a5a6a7 25 第 12 页（共

22、 19 页） 【解答】解：由等比数列的性质可知，a5a6a4a7= 1 10 =5 a4a5a6a7= (110)2=25 故答案为：25 15 （5 分）已知直线 l 过抛物线 y28x 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与其准线交于 点 C若点 F 是 AC 的中点，则线段 BC 的长为 16 3 【解答】解 由题意可得抛物线的焦点 F 坐标为（2，0） ，准线方程为 x2， 设直线 AB 的方程为 xmy+2，作 AM，BN，FD 垂直于准线分别于 M，N，D， 由 F 为 AC 的中点，所以 AM2DF4，即 A 的横坐标 xA+28，所以 xA6，代入抛物 线的方程为 y= 4

23、8 =43， 所以 kAB= 43 62 = 3，所以直线 AB 的方程 y= 3（x2） 联立直线与抛物线的方程： = 3( 2) 2= 8 ，整理可得 3x220x+120， 所以 6xB4，可得 xB= 2 3，则 BFBN= 2 3 +2= 8 3， CBCFBFAFBF8 8 3 = 16 3 ， 故答案为：16 3 16 （5 分）设函数 f（x）|ax2bx+3|，若对任意的负实数 a 和实数 b，总有 x01，2使 得 f（x0）mx0，则实数 m 的取值范围是 （，3 4 【解答】解：对任意的负实数 a 和实数 b，总有 x01，2使得 f（x0）mx0， 可得 m (0)

24、0 在1，2有解， 设() =|ax+ 3 b|（1x2） ， 由|ax+ 3 b|m 可得 ax+ 3 bm，或 ax+ 3 bm， 即 ax+ 3 b+m，或 ax+ 3 bm， 第 13 页（共 19 页） 可令 g（x）ax+ 3 ，可得 g（x）在1，2递减， 即 g（x）的最小值为 g（2）2a+ 3 2，g（x）的最大值为 g（1）a+3， 由题意可得 b+m3+a，bm2a+ 3 2，即 mb2a 3 2， 由于对于任意的 a0，不等式成立，可得 2ma+ 3 2， 而a+ 3 2 3 2，可得 2m 3 2，即 m 3 4， 则 m 的取值范围是（，3 4， 故答案为： （，

25、3 4 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A、B、C，景区管委会 又开发了风景优美的景点 D， 经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30方向 8km 处， 位于 景点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西 75方向上，已知 AB5km （1）景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出 这条公路的长； （结果精确到 0.1km） （2）求景点 C 与景点 D 之间的距离 （结果精确到 0.1km） 【解答】解： （1）法

26、 1：在DAB 中，ADB30，AD8km，AB5km， 设 DBxkm，由余弦定理，得 5282+x228xcos30， 解得 x43 33.9，这条公路的长为 3.9 法 2：如图，过点 D 作 DEAC 于点 E，过点 A 作 AFDB，交 DB 的延长线于点 F 在 RtDAF 中，ADF30，AF= 1 2AD= 1 2 84， DF= 2 2= 82 42= 43； 在 RtABF 中，BF= 2 2= 52 42=3， BDDFBF43 33.9，这条公路的长为 3.9 第 14 页（共 19 页） （2）sinABF= = 4 5，在 RtDBE 中，sinDBE= ， ABF

27、DBE，sinDBE= 4 5，DEBDsinDBE= 4 5 （43 3）= 16312 5 3.1（km） 由题意可知CDB75，由（1）可知 sinDBE= 4 5 =0.8，所以DBE53， DCB180755352 在 RtDCE 中，sinDCE= ，DC= 52 3.1 0.79 4（km） 景点 C 与景点 D 之间的距离约为 4km 18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面 ABC，E，F 分别是 BC，A1C1的中点 （）求证：平面 AEF平面 B1BCC1； （）求证：C1E平面 ABF； （）求 AC1与平面 BB1C1C 所成

28、角的正弦值 【解答】解（）在三棱柱 ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面 ABC， BB1底面 ABC，BB1AE，因为底面 ABC 是等边三角形E 是 BC 的中点，AE BC，又 BB1BCB， AE平面 B1BCC1；AE平面 AEF； 平面 AEF平面 B1BCC1； （）取 AB 的中点 G，连接 EG，FG， 因为 E，G 是 BC，AB 的中点， 第 15 页（共 19 页） EFAC，且 EG= 1 2AC，又因为 F 是 A1C1 的中点， FC1= 1 2A1C1； ACA1C1，且 ACA1C1， EGFC1；且 EGFC1； 所以四边形 FGEC1 为平行四

29、边形；所以 CE1FG； 又因为 FG平面 ABF，CE1平面 ABF； C1E平面 ABF； （）由（）知 AE平面 B1BCC1；故AC1E 即为 AC1与平面 BB1C1C 所成角， 设各棱长为 2，则 AE= 3 2 2= 3，AC122； sinAC1E= 1 = 3 22 = 6 4 故 AC1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 6 4 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 【解答】解： （1）由题意， 1 2 + 1 2 =

30、1 = 2 2 2= 2+ 2 ，解得2= 3，2= 3 2 椭圆的方程为 2 3 + 22 3 = 1； （2）菱形 ABCD 内接于椭圆， 第 16 页（共 19 页） 由对称性可设直线 AC：yk1x，直线 BD：yk2x 联立 2 + 22= 3 = 1 ，得方程（212+ 1）x230， 2= 2= 3 212+1， |OA|OC|=1 + 12 3 212+1 同理，|OB|OD|=1 + 22 3 222+1 又ACBD，|OB|OD|=1 + 1 12 3 2 12+1 ，其中 k10 从而菱形 ABCD 的面积 S 为： S2|OA|OB|21 + 12 3 212+11 +

31、 1 12 3 2 12+1 ， 整理得 S6 1 2+ 1 (1+ 1 1) 2 4，其中 k10 当且仅当 1 1 = 1时取“” ， 当 k11 或 k11 时，菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为 4 20（12 分） 某公司为抓住经济发展的契机， 调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响， 在若干销售地区分别投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图 （如图所示） ，由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计 数的 （）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入 4 万元 广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以

32、各组的区间中点值代表该组的取值） ； （）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表： 广告投入 x （单位： 万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y （单位： 万元） 2 3 2 7 由表中的数据显示，x 与 y 之间存在着线性相关关系，请将（）的结果填入空白栏，根 据表格中数据求出 y 关于 x 的回归真线方程 = x+ ，并估计该公司下一年投入广告费 第 17 页（共 19 页） 多少万元时，可使得销售收益达到 8 万元？ 参考公式：最小二乘法估计分别为 = =1 =1 2 2 = =1 ()() =1 ()2 ， = 【解答】解： （）设长方形的宽度为 m，由频率分布

33、直方图各小长方形面积总和为 1， 可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m1，所以 m2 小组依次是0，2） ，2，4） ，4，6） ，6，8） ，8，10） ，10，12） ， 其中点分别为 1，3，5，7，9.11 对应的频率分别为 0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04 故可估计平均值为 10.16+30.20+5028+70.24+90.08+110.045 （）空白栏中填 5 由题意可知， =3， =3.8 5 =1 =69， 5 =1 2=55， 所以 b= 69533.8 55532 =1.2， = =3.81.230.2 所以关于

34、x 的回归方程为 y1.2x+0.2 21 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax2+x+2 （1）试问函数 f（x）能否在 x= 3 3 处取得极值？请说明理由； （2）若函数 f（x）在 1 3，+）上为单调增函数，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）3x2+2ax+1， 假设函数 f（x）在 x= 3 3 处取得极值，则( 3 3 ) =2 23 3 =0，解可得 a= 3， 此时() = (3 + 1)20 恒成立，即 f（x）在 R 上单调递增，没有极值， 所以，f（x）不能在 x= 3 3 处取得极值， （2）若函数 f（x）在 1 3，+）上为单调增函数， 第

35、18 页（共 19 页） 则 f（x）3x2+2ax+10 在 1 3，+）上恒成立， 1 3 1 3即 a1 时，4a 2120，解可得，3 3， 3 1， 1 3 1 3即 a1，( 1 3) = 1 3 2 3 + 1 0， 解可得 a2， 1a2， 综上可得，a 的范围3，2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程

36、是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【解答】 解：（） 椭圆C以极坐标系中的点 （0， 0） 为中心、 点 （1， 0） 为焦点、（2， 0） 为一个顶 点 所以 c1，a= 2，b1， 所以椭圆的方程为 2 2 + 2= 1，转换为极坐标方程为2= 2 1+2 （） 直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 所以 2 + 2 = 0 2 2 + 2=

37、1 ，整理得 9x216x+60， 所以1+ 2= 16 9 ，12= 6 9， 所以| = 1 + (2)2|x1x2|= 5(1+ 2)2 412= 10 9 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|xa|+|x4|（a0） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）x 的解集； （2）若() + 1 4 恒成立，求 a 的取值范围 第 19 页（共 19 页） 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）|x1|+|x4|= 5 2， 1 3，14 2 5， 4 ， 当 x1 时，f（x）x，无解； 当 1x4 时，由 f（x）x，可得 3x4； 当 x4 时，由 f（x）x，可得 4x5； 故不等式 f（x）x 的解集为（3，5） （2）f（x）|xa|+|x4|（xa）（x4）|a4|， |a4| 4 1 = 4 当 a0 或 a4 时，不等式显然成立； 当 0a4 时，1 1，则 1a4 故 a 的取值范围为（，0）1，+）