2020年四川省高考数学（文科）模拟试卷（1）.docx

1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年四川省高考数学（文科）模拟试卷年四川省高考数学（文科）模拟试卷 1 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若复数 z1与 z23i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1（ ） A3i B3+i C3+i D3i 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 3 （5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩 均为整数满分 100 分） ，乙同

2、学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且不 是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ） A2 5 B1 2 C3 5 D4 5 4 （5 分）若 为第二象限的角，且 tan= 5 12，则 cos（ ） A 5 13 B 5 13 C12 13 D 12 13 5 （5 分）已知双曲线的一个焦点与抛物线2= 47的焦点重合，且与直线 yx1 交于 M，N 两点，若 MN 中点的横坐标为 2 3，则此双曲线的标准方程是（ ） A 2 3 2 4 = 1 B 2 4 2 3 = 1 C 2 2 2 5 = 1 D 2 5 2 2 = 1 6 （5 分） 若1 ，2

3、是两个单位向量，且（21 + 2 ）（21 +32 ） ，则|1 +22 |（ ） A6 B6 C2 D2 7 （5 分）已知ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，且 a5， = 4 5，ABC 的 面积为 3，则 c（ ） A11 B23 C13 D14 8 （5 分） 已知( + 6) = 4 5 ，( 6) = 12 13 ， (0， 6)， 则 cos （+） （ ） 第 2 页（共 16 页） A63 65 B33 65 C16 65 D56 65 9 （5 分）如图，正四棱锥 PABCD 的侧面 PAB 为正三角形，E 为 PC 中点，则异面直线 BE 和 PA 所成角

4、的余弦值为（ ） A 3 3 B 3 2 C 2 2 D1 2 10（5 分） 已知函数 f （x） 是定义在 R 上的奇函数， (3 2 + ) = ( 3 2)， 且 ( 3 2 ，0)时， f （x） log2（3x+1） ，则 f（2020）（ ） A4 Blog27 C2 D2 11 （5 分）已知 F 为抛物线 y24x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，若点 A 在抛物线上，且|AF|5，则|PA|+|PO|的最小值为（ ） A5 B25 C13 D213 12 （5 分）已知函数() = 2 3 3+ 2在 x2 处取得极值，则实数 a（ ） A2 B1 C0

5、D1 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 + ， + 2 2， 0. 若 z2xy 的最小值为1，则 m ，z 的最大值是 14 （5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 若曲线 = 2+ （a， b 为常数） 过点 P （2， 5） ， 且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x7y+30 垂直，则 2a+3b 的值是 15 （5 分）一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75距塔 64 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度

6、为 海里/小 时 16 （5 分） 在底面半径为 3 高为 4+23的圆柱形有盖容器内， 放入一个半径为 3 的大球后， 再放入与球面，圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为 个 第 3 页（共 16 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an0，且 Sn= 1 4（an+1） 2 （1）求an的通项公式； （2）令 cnanan+1，求数列an+ 1 前 n 项和 Tn 18 （12 分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了

7、80 个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm） ，得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01） ； （2）已知尺寸在63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品将这 80 个零件尺寸 的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取 1 个零件，试估计所抽取的零件是二等品的 概率 19 （12 分）如图，已知 BD 为圆锥 AO 底面的直径，点 C 是圆锥底面的圆周上，ABBD AD2，BDC= 6，AEED，F 是 AC 上一点，且平面 BFE平面 ABD （）求证：ADBF； （）求多面体 BCDEF 的体积 第 4 页

8、（共 16 页） 20 （12 分）已知 O 为坐标原点，点 F1，F2为椭圆 M： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左右焦 点，点 E（a，b）在抛物线 N：x2= 43 3 y 上，直线 EF2与椭圆 M 的一个交点为 F，且 EF 的中点恰为 F2 （1）求椭圆 M 的标准方程； （2）过抛物线 N 上一点 P 与抛物线 N 相切的直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点，设 AB 中点为 C，直线 OP 与直线 OC 的斜率分别是 k1，k2，证明：k1k2为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）x2xlnx （1）求函数 f（x）的极值； （2） 若 x1， x2是方程 a

9、x+f （x） x2x （a0） 的两个不同的实数根， 求证： lnx1+lnx2+2lna 0 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在极点为 O 的极坐标系中，直线 l：cos1 上有一动点 P，动点 M 在射线 OP 上，且满足|OP|OM|2，记 M 的轨迹为 C （1）求 C 的极坐标方程，并说明 C 是何种曲线； （2）若1(1， 6)，M2（2，0） ，3(3， 6)均在曲线 C 上，求M1M2M3 的面积 23已知不等式|2x1|2 的解集与关于 x 的不等式x2px+q0 的解集相同 （1）求实数 p，q 值； （2）若实数 a

10、，bR+，满足 a+bp+4q，求1 + 4 的最小值 第 5 页（共 16 页） 2020 年四川省高考数学（文科）模拟试卷年四川省高考数学（文科）模拟试卷 1 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若复数 z1与 z23i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1（ ） A3i B3+i C3+i D3i 【解答】 解： 复数 z1与 z23i （i 为虚数单位） 在复平面内对应的点关于实轴对称， 复数 z1与 z23i（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，

11、 则 z13+i 故选：B 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2， AB0，1，2 故选：B 3 （5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩 均为整数满分 100 分） ，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于 90 分且不 是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ） A2 5 B1 2 C3 5 D4 5 【解答】解：由题意可得甲= 1 6（88+87+85+92+93+95）90， 设被污

12、损的数字为 x， 则乙= 1 6（85+86+88+90+99+x）89+ 6， 满足题意时，甲乙 即：9089+ 6，解得 x6， 即 x 可能的取值为 0，1，2，3，4，5， 第 6 页（共 16 页） 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p= 6 10 = 3 5 故选：C 4 （5 分）若 为第二象限的角，且 tan= 5 12，则 cos（ ） A 5 13 B 5 13 C12 13 D 12 13 【解答】解： 是第二象限角，且 tan= = 5 12， sin= 5 12cos， cos0，sin0，sin2+cos21， （ 5 12cos） 2+cos21，可得：c

13、os= 12 13， 故选：D 5 （5 分）已知双曲线的一个焦点与抛物线2= 47的焦点重合，且与直线 yx1 交于 M，N 两点，若 MN 中点的横坐标为 2 3，则此双曲线的标准方程是（ ） A 2 3 2 4 = 1 B 2 4 2 3 = 1 C 2 2 2 5 = 1 D 2 5 2 2 = 1 【解答】解：设双曲线方程为： 2 2 2 2 = 1 将 yx1 代入 2 2 2 2 = 1，整理得（b2a2）x2+2a2xa2a2b20 由韦达定理得 x1+x2= 22 22，则 2 22 = 2 3 又 c2a2+b27，解得 a22，b25， 所以双曲线的方程是 2 2 2 5

14、 = 1 故选：C 6 （5 分） 若1 ，2 是两个单位向量，且（21 + 2 ）（21 +32 ） ，则|1 +22 |（ ） A6 B6 C2 D2 【解答】解：（21 + 2 ）（21 +32 ） ，（21 + 2 ） （21 +32 ） 41 2 +32 2 +41 2 = 1+41 2 =0 可得：1 2 = 1 4 第 7 页（共 16 页） 则|1 +22 |=1 2 + 42 2 + 41 2 =1 + 4 + 4 1 4 = 6 故选：A 7 （5 分）已知ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，且 a5， = 4 5，ABC 的 面积为 3，则 c（ ） A11

15、 B23 C13 D14 【解答】解： = 4 5，C（0，） ， sinC= 3 5 ABC 的面积为 3， 1 2 5b 3 5 =3，解得 b2 则 c252+22252 4 5 =13， 解得 c= 13 故选：C 8 （5 分） 已知( + 6) = 4 5 ，( 6) = 12 13 ， (0， 6)， 则 cos （+） （ ） A63 65 B33 65 C16 65 D56 65 【解答】解：已知：( + 6) = 4 5 ，( 6) = 12 13 ， (0， 6)， 所以： 6 + 6 3， 故：( + 6) = 3 5， 6 6 0， 所以：( 6) = 5 13， 则

16、：cos（+）cos（ + 6）+（ 6）， = ( + 6)( 6) ( + 6)( 6)， = 3 5 12 13 ( 5 13) 4 5， = 56 65 故选：D 第 8 页（共 16 页） 9 （5 分）如图，正四棱锥 PABCD 的侧面 PAB 为正三角形，E 为 PC 中点，则异面直线 BE 和 PA 所成角的余弦值为（ ） A 3 3 B 3 2 C 2 2 D1 2 【解答】解：连结 AC，BD，交于点 O，连结 PO， 以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AB= 2，则 OAOBOP1， A（1，0，0） ，B（0

17、，1，0） ，C（1，0，0） ，P（0，0，1） ，E（ 1 2 ，0， 1 2） ， =（ 1 2，1， 1 2） ， =（1，0，1） ， 设异面直线 BE 和 PA 所成角为 ， 则 cos= | | | | | = 1 3 22 = 3 3 异面直线 BE 和 PA 所成角的余弦值为 3 3 故选：A 10（5 分） 已知函数 f （x） 是定义在 R 上的奇函数， (3 2 + ) = ( 3 2)， 且 ( 3 2 ，0)时， f （x） log2（3x+1） ，则 f（2020）（ ） A4 Blog27 C2 D2 第 9 页（共 16 页） 【解答】解：根据题意，f（x）满

18、足(3 2 + ) = ( 3 2)，即 f（x+3）f（x） ，函数 f（x） 是周期为 3 的周期函数， 则 f（2020）f（1+2019）f（1） ， 又由 f（x）为奇函数，则 f（1）f（1）log2（3+1）2， 故选：D 11 （5 分）已知 F 为抛物线 y24x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，若点 A 在抛物线上，且|AF|5，则|PA|+|PO|的最小值为（ ） A5 B25 C13 D213 【解答】解：|AF|5，由抛物线的定义得点 A 到准线的距离为 5，即 A 点的横坐标为 4，又点 A 在抛物线上， 从而点 A 的坐标为（4，4） ；坐标原点

19、关于准线的对称点的坐标为 B（2，0） ， 则|PA|+|PO|的最小值为|AB|= (4 + 2)2+ 42=213， 故选：D 12 （5 分）已知函数() = 2 3 3+ 2在 x2 处取得极值，则实数 a（ ） A2 B1 C0 D1 【解答】解：f（x）2x2+2ax， f（x）在 x2 处取得极值， 8+4a0，a2 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 10 页（共 16 页） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 + ， + 2 2， 0. 若 z2xy 的最小值为1，则 m 1 ，z 的最大值是

20、 4 【解答】解：先作出实数 x，y 满足约束条件 + ， + 2 2， 0. 的可行域如图， 目标函数 z2xy 的最小值为：1， 由图象知 z2xy 经过平面区域的 A 时目标函数取得最小值1 由2 = 1 + 2 = 2 ，解得 A（0，1） ， 同时 A（0，1）也在直线 x+ym0 上， 1m0， 则 m1， z2xy 过点 C（2，0）时取最大值； 所以其最大值为 z2204 故答案为：1.4 14 （5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 若曲线 = 2+ （a， b 为常数） 过点 P （2， 5） ， 且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x7y+30 垂直，则 2a+3b

21、的值是 8 【解答】解：直线 2x7y+30 垂直的直线的斜率 k= 7 2， 曲线 = 2+ （a，b 为常数）过点 P（2，5） ， 且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x7y+30 垂直， y2ax 2， 第 11 页（共 16 页） 即有 4 4 = 7 2 4 + 2 = 5 ， 解得：a1，b2， 故 2a+3b8， 故答案为：8 15 （5 分）一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75距塔 64 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 86 海里/小 时 【解答】解：如图所示，MPN75+45120，PNM45

22、在PMN 中， 45 = 120， MN= 643 2 =326， v= 4 =86（海里/小时） 故答案为：86 16 （5 分） 在底面半径为 3 高为 4+23的圆柱形有盖容器内， 放入一个半径为 3 的大球后， 再放入与球面，圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为 6 个 【 解 答 】 解 ： 画 出 圆 柱 与 大 球 以 及 小 球 相 切 的 轴 截 面 图 形 （ 如 图 左 图 ） 设小球的半径为 r 则依题意（r+3）2（r3）2+（4+2 3 3r）2解得 r1， 则小球的球心在半径为 2 的圆上，并且小球的直径为 2，小球球心所在截面（如图右图） 两个小

23、球的球心距离是 2，边长为 2 的正六边形恰好在半径为 2 上 故能放 6 个 故答案为：6 第 12 页（共 16 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an0，且 Sn= 1 4（an+1） 2 （1）求an的通项公式； （2）令 cnanan+1，求数列an+ 1 前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）a11，且 Sn= 1 4（an+1） 2， n2 时，anSnSn1= 1 4（an+1） 21 4（an1+1） 2， 化简可得（an+an1） （anan1

24、2）0， 由 an0，可得 anan12，即an为首项为 1，公差为 2 的等差数列， 则 an1+2（n1）2n1； （2）cnanan+1（2n1） （2n+1） ， an+ 1 =（2n1）+ 1 (21)(2+1) =（2n1）+ 1 2（ 1 21 1 2+1） ， 可得前 n 项和 Tn（1+3+2n1）+ 1 2（1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2+1） = 1 2n（1+2n1）+ 1 2（1 1 2+1）n 2+ 2+1 18 （12 分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了 80 个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：

25、mm） ，得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01） ； （2）已知尺寸在63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品将这 80 个零件尺寸 的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取 1 个零件，试估计所抽取的零件是二等品的 概率 第 13 页（共 16 页） 【解答】解： （1）由频率分布直方图的性质得： （0.075+0.225）0.50.15，0.15+0.750.50.525， 所以中位数在63.0，63.5）内，设为 a， 则 0.15+（a63.0）0.750.5， 解得 a63.47， 所以估计中位数为 63.

26、47； （2）尺寸在63.0，64.5）上的频率为（0.750+0.650+0.200）0.50.8， 且 10.80.2， 所以从生产线上随机抽取 1 个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为 0.2 19 （12 分）如图，已知 BD 为圆锥 AO 底面的直径，点 C 是圆锥底面的圆周上，ABBD AD2，BDC= 6，AEED，F 是 AC 上一点，且平面 BFE平面 ABD （）求证：ADBF； （）求多面体 BCDEF 的体积 【解答】解： （）证明：ABD 是等边三角形，AEED，ADBE， 平面 BFE平面 ABD，且交线为 BE，AD平面 BEF， BF平面 BEF，ADBF

27、（）解：BDC30，BCD90，BD2， CD= 3，cosCAD= 4+43 222 = 5 8， 在 RtAEF 中，cosCAD= = 5 8， AE1，AF= 8 5，CF= 2 5， 点 F 到平面 ABE 的距离为点 C 到平面 ABE 的距离的4 5， VFABE= 1 2 4 5 = 2 5 ， 第 14 页（共 16 页） 多面体 BCDEF 的体积为： VBCDEF= 3 5 = 3 5 1 3 = 1 5 3 2 3 = 3 10 20 （12 分）已知 O 为坐标原点，点 F1，F2为椭圆 M： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左右焦 点，点 E（a，b）在抛物线

28、N：x2= 43 3 y 上，直线 EF2与椭圆 M 的一个交点为 F，且 EF 的中点恰为 F2 （1）求椭圆 M 的标准方程； （2）过抛物线 N 上一点 P 与抛物线 N 相切的直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点，设 AB 中点为 C，直线 OP 与直线 OC 的斜率分别是 k1，k2，证明：k1k2为定值 【解答】解： （1）由题意 F 恰为（0，b） ， 所以中点 F2（c，0）满足 = 2， 因为 a2b2+c2，所以 a2= 4 3b 2， 由解得 a2，b= 3，c1， 所以椭圆 M 的标准方程为 2 4 + 2 3 = 1； （2）证明：设 P（t， 3 2 4 ）

29、，因为抛物线 N：y= 3 4 2，求导 y= 3 2 x， 则直线 AB 方程：y= 3 2 （xt）+ 3 4 2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 将直线 AB 代入椭圆 2 4 + 2 3 = 1得：12（1+t2）x212t3x+3t4480， 因此 x1+x2= 3 1+2，y1+y2= 3 2 （x1+x2） 3 2 2= 32 2(1+2)， 所以 C（ 3 2(1+2)， 32 4(1+2)） ，则 k1= 3 4 ，k2= 3 2， 所以 k1k2= 3 8（点差法等其他方法正常给分） 21 （12 分）已知函数 f（x）x2xlnx 第 15 页（共 16 页）

30、（1）求函数 f（x）的极值； （2） 若 x1， x2是方程 ax+f （x） x2x （a0） 的两个不同的实数根， 求证： lnx1+lnx2+2lna 0 【解答】解： （1）依题意，f（x）2x1 1 = 221 = (2+1)(1) 故当 x（0，1）时，f（x）0，当 x（1，+）时，f（x）0 故当 x1 时，函数 f（x）有极小值 f（1）0，无极大值； 证明： （2）x1，x2是方程 ax+f（x）x2x（a0）的两个不同的实数根 1 1= 0 2 2= 0，两式相减得(1 2) + 2 1 = 0，解得 a= 2 1 21 要证：lnx1+lnx2+2lna0，即证：x1

31、x2 1 2，即证：x1x2 (21)2 (2 1) ， 即证( 2 1) 2(21) 2 12 = 2 1 2 + 1 2， 不妨设 x1x2，令2 1 = 1只需证 ln2t 2 + 1 设() = 2 1 + 2，则() = 2 1 + 1 2 = 1 (2 + 1 )； 令 h（t）2lntt+ 1 ，则 h（t）= 2 1 1 2 = (1 1)20， h（t）在（1，+）上单调递减， h（t）h（1）0，即 g（t）0， g（t）在（1，+）上为减函数，则 g（t）g（1）0 即 ln2t 2 + 1 在（1，+）上恒成立， 原不等式成立，即 lnx1+lnx2+2lna0 四解答

32、题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在极点为 O 的极坐标系中，直线 l：cos1 上有一动点 P，动点 M 在射线 OP 上，且满足|OP|OM|2，记 M 的轨迹为 C （1）求 C 的极坐标方程，并说明 C 是何种曲线； （2）若1(1， 6)，M2（2，0） ，3(3， 6)均在曲线 C 上，求M1M2M3 的面积 【解答】解： （1）极点为 O 的极坐标系中，直线 l：cos1 上有一动点 P，动点 M 在 射线 OP 上，记 M 的轨迹为 C 设点 P（1，y0） ，M（x，y） 第 16 页（共 16 页） 由于点 O，P，M 三点共线

33、，所以 = 0， 由于且满足|OP|OM|2，整理得1 + 02 2+ 2= 2，化简得 x2+y22x， （除去原 点（0，0） ） ， 转换为极坐标方程为 22cos， 整理得 2cos 故该曲线为以（1，0）为圆心，1 为半径的圆 （2）由于点1(1， 6)，M2（2，0） ，3(3， 6)均在曲线 C 上， 所以1= 2 6 = 3，22cos02，3= 2( 6) = 3， 所以转换为直角坐标1(3 2， 3 2 )，M2（2，0） ，3(3 2， 3 2 )， 所以|12| =(1 2) 2+ (3 2 )2= 1，|13| = 3，|23| =( 1 2) 2+ (3 2 )2=

34、 1， 所以123= 1 2 3 1 2 = 3 4 23已知不等式|2x1|2 的解集与关于 x 的不等式x2px+q0 的解集相同 （1）求实数 p，q 值； （2）若实数 a，bR+，满足 a+bp+4q，求1 + 4 的最小值 【解答】解： （1）由不等式得22x12，解得 1 2 3 2， 依题意，不等式x2px+q0 的解集为( 1 2 ， 3 2)， 故 1 4 + 1 2 + = 0 9 4 3 2 + = 0 ，解得 = 1 = 3 4 ； （2）由（1）得， + = 1 + 4 3 4 = 2， 1 + 4 = 1 2 ( + )(1 + 4 ) = 1 2 (4 + + 5) 1 2 (24 + 5) = 9 2 ， 当 且 仅 当 “4 = ”时取等号， 1 + 4 的最小值为 9 2