2021年新高考数学模拟试卷（5）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年新高考数学模拟试卷年新高考数学模拟试卷 5 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|（x+3） （x2）0，Bx|22x8，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|3x8 Cx|3x2 Dx|3x4 2 （5 分）若复数 = 1+ + 1为纯虚数，则实数 a（ ） A2 B1 C1 D2 3 （5 分）设命题： 0， 4)，则p 为（ ） A0 0， 4)，0 0 B0 0， 4)，00 C 0， 4)， D 0， 4)， 4 （5 分）在ABC 中，AM 为 BC 边上的中

2、线，点 N 满足 = 1 2 ，则 =（ ） A1 6 5 6 B5 6 1 6 C1 6 + 5 6 D5 6 + 1 6 5 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的离心率 = 5 3，且其虚轴长为 8，则双 曲线 C 的方程为（ ） A 2 4 2 3 = 1 B 2 9 2 16 = 1 C 2 3 2 4 = 1 D 2 16 2 9 = 1 6 （5 分）三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4， 则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为（ ） A23 B23 4 C64 3 D64 7 （5 分） 定义函数 f （x） 如表

3、， 数列an满足 an+1f （an） ， nN*， 若 a12， 则 a1+a2+a3+ +a2018（ ） x 1 2 3 4 5 6 f（x） 3 5 4 6 1 2 A7042 B7058 C7063 D7262 第 2 页（共 18 页） 8 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x1，1时，f（x）x2，那么函数 g（x）f（x）|lgx|的零点共有（ ） A7 个 B8 个 C9 个 D10 个 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）将函数 ysin（2x+）的图象沿 x 轴向左平移 8

4、个单位后，得到一个偶函数的图 象，则 的一个可能取值为（ ） A 3 4 B 4 C0 D 4 10（5 分） 某健身房为了解运动健身减肥的效果， 调查了 20 名肥胖者健身前 （如直方图 （1） 所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单位：kg）变化情况，对比数据，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A他们健身后，体重在区间90，100）内的人数较健身前增加了 2 人 B他们健身后，体重原在区间100，110）内的人员一定无变化 C他们健身后，20 人的平均体重大约减少了 8kg D他们健身后，原来体重在区间110，120内的肥胖者体重都有减少 11 （5 分）函数 f（x）As

5、in（x+） （A0，0）的图象如图所示，则 f（1）+f（4） 的值等于（ ） 第 3 页（共 18 页） A 2 2 B2 C2 D1 12 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F， 且 EF= 1 2，则下列结论中正确的是（ ） AACAF BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 DAEF 的面积与BEF 的面积相等 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知圆 x2+y22ax2by0 （a0， b0） 关于直线 x+2y20 对称， 则1

6、+ 2 的最 小值为 14 （5 分）已知函数 y= 1 3 （x22ax+3）在（，1）上为增函数，则实数 a 的取值范 围是 15 （5 分）函数 f（x）x|exa|在（1，2）上单调递增，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）将正整数对作如下分组，第 1 组为（1，2） ， （2，1），第 2 组为（1，3） ， （3， 1），第 3 组为（1，4） ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1），第 4 组为（1，5） ， （2，4） ， （4， 2） ， （5，1）则第 30 组第 16 个数对为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10

7、 分）若ABC 的三个内角 A，B，C 满足 A+C2B，且最大边为最小边的 2 倍，求 该三角形三个内角之比 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S315，a22a7 （1）求 an； （2）若 bn= 1+2+1 +1 ，求数列bn的前 n 项和为 Tn 19 （12 分）小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬 第 4 页（共 18 页） 方案甲方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方案：底薪 140 元，每日前 54 单 没有奖励，超过 54 单的部分每单奖励 20 元 （1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y（

8、单位：元）与送货单数 n 的函数关系式； （2）根据该公司所有派送员 100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下 条件：在这 100 天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 （;1 5 ， 5（n1，2，3，4，5）时，日平均派送量为 50+2n 单，若将频率视为概率， 回答下列问题： 估计这 100 天中的派送量指标的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ： 根据以上数据，设每名派送员的日薪为 X（单位：元） ，试分别求出甲、乙两种方案的 日薪 X 的分布列及数学期望请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合 适？并说明你的理由 2

9、0 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PAPB2， = = 25， = 22，PC4 （1）求证：ABPC； （2）求二面角 PBCA 的余弦值 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右顶点分别为 A，B，长轴长为 4， 离心率为1 2过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 E 于 C，D 两点（均不与 A，B 重合） ，记直线 AC，BD 的斜率分别为 k1，k2 第 5 页（共 18 页） （）求椭圆 E 的方程； （）是否存在常数 ，当直线 l 变动时，总有 k1k2成立？若存在，求出 的值；若 不存在，说明理由 22 （12 分）已知函数() = 2+ 2

10、 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）0，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 18 页） 2021 年新高考数学模拟试卷年新高考数学模拟试卷 5 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|（x+3） （x2）0，Bx|22x8，则 AB（ ） Ax|1x2 Bx|3x8 Cx|3x2 Dx|3x4 【解答】解：Ax|3x2，Bx|1x4， ABx|3x4 故选：D 2 （5 分）若复数 = 1+ + 1为纯虚数，则实数 a（ ） A2 B1 C1 D2 【解答

11、】解：复数 = 1+ + 1 = (1) (1+)(1) +1= (1) 2 +1= 2 +1 2i， 由于复数 = 1+ + 1为纯虚数， 2 +10，且 2 0， a2， 故选：A 3 （5 分）设命题： 0， 4)，则p 为（ ） A0 0， 4)，0 0 B0 0， 4)，00 C 0， 4)， D 0， 4)， 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即p：x00， 4） ，sinx0cosx0， 故选：A 4 （5 分）在ABC 中，AM 为 BC 边上的中线，点 N 满足 = 1 2 ，则 =（ ） A1 6 5 6 B5 6 1 6 C1 6 + 5 6 D5 6

12、 + 1 6 第 7 页（共 18 页） 【解答】解：由图可知 = 1 2 = 1 2 ( ) = 1 2 1 2 ， = 2 3 = 2 3 1 2( + ) = 1 6 1 6 ， 因为 = + = 1 2 1 2 +（ 1 6 1 6 ）= 1 6 5 6 ， 故选：A 5 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的离心率 = 5 3，且其虚轴长为 8，则双 曲线 C 的方程为（ ） A 2 4 2 3 = 1 B 2 9 2 16 = 1 C 2 3 2 4 = 1 D 2 16 2 9 = 1 【解答】解：双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的离心率 = 5 3

13、，且其虚轴长为 8， 由 = = 5 3 2 = 8 2= 2+ 2 ，得 = 3 = 4 = 5 可得 2 9 2 16 = 1 故选：B 6 （5 分）三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4， 则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为（ ） A23 B23 4 C64 3 D64 【解答】解：根据题意，得到三棱锥 PABC 的外接球的球心在等边三角形 PAC 的中线 高线和过直角三角形 ABC 斜边 BC 的中点的高的交点位置， 如图所示： 三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4， 第 8 页（共 18 页）

14、 所以 PF= 22 12= 3， = 3 3 ， 在直角三角形 ABC 中，BC2AB2+AC2， 解得：BC25， 所以 CD= 5， 三棱锥的外接球半径 r=(5)2+ ( 3 3 )2=16 3 ， 则 S4 2= 64 3 ， 故选：C 7 （5 分） 定义函数 f （x） 如表， 数列an满足 an+1f （an） ， nN*， 若 a12， 则 a1+a2+a3+ +a2018（ ） x 1 2 3 4 5 6 f（x） 3 5 4 6 1 2 A7042 B7058 C7063 D7262 【解答】解：由题意，a12，且对任意自然数均有 an+1f（an） ， a2f（a1）f

15、（2）5，a25， a3f（a2）f（5）1，a31， a4f（a3）f（1）3，a43， a5f（a4）f（3）4，a54， a6f（a5）f（4）6，a66， a7f（a6）f（6）2，a72， 故数列an满足：2，5，1，3，4，6，2，5，1是一个周期性变化的数列，周期为：6 第 9 页（共 18 页） a1+a2+a3+a621 a1+a2+a3+a2018336（a1+a2+a3+a6）+a1+a27056+2+57063 故选：C 8 （5 分）已知函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，当 x1，1时，f（x）x2，那么函数 g（x）f（x）|lgx|的零点共有（ ） A7

16、 个 B8 个 C9 个 D10 个 【解答】解：根据题意，函数 yf（x）满足 f（x）f（x+2） ，则函数 yf（x）是周期 为 2 的周期函数， 设 h（x）|lgx|，则函数 g（x）f（x）|lgx|的零点个数即图象 yf（x）与 yh（x） 的交点个数， 由于 f（x）的最大值为 1，所以 x10 时，图象没有交点，在（0，1）上有一个交点， （1， 3） ， （3，5） ， （5，7） ， （7，9）上各有两个交点， 在（9，10）上有一个交点，故共有 10 个交点，即函数零点的个数为 10； 故选：D 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每

17、小题 5 分）分） 9 （5 分）将函数 ysin（2x+）的图象沿 x 轴向左平移 8个单位后，得到一个偶函数的图 象，则 的一个可能取值为（ ） A 3 4 B 4 C0 D 4 【解答】 解： 将函数ysin （2x+） 的图象沿x轴向左平移 8个单位后， 得到ysin （2x+ 4 +） 的图象， 由于所得函数为一个偶函数，则 4 +k+ 2，kZ， 第 10 页（共 18 页） 故当 k0 时，= 4；当 k1 时，= 3 4 ， 故选：AB 10（5 分） 某健身房为了解运动健身减肥的效果， 调查了 20 名肥胖者健身前 （如直方图 （1） 所示）后（如直方图（2）所示）的体重（单

18、位：kg）变化情况，对比数据，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A他们健身后，体重在区间90，100）内的人数较健身前增加了 2 人 B他们健身后，体重原在区间100，110）内的人员一定无变化 C他们健身后，20 人的平均体重大约减少了 8kg D他们健身后，原来体重在区间110，120内的肥胖者体重都有减少 【解答】解：体重在90，100）内的肥胖者由健身前的 6 人增加到健身后的 8 人，增加 了 2 人，所以 A 正确； 他们健身后， 体重在100， 110） 内的百分比没有变， 但人员组成可能改变， 所以 B 错误； 他们健身后，20 人的平均体重大约减少了 （0.39

19、5+0.5105+0.2115） （0.185+0.495+0.5105） 5 （kg） ， 所以 C 错误； 因为图（2）中没有体重在110，120）内的人员，所以原来体重在110，120）内的肥胖 者体重都有减少，所以 D 正确 故选：AD 11 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的图象如图所示，则 f（1）+f（4） 的值等于（ ） 第 11 页（共 18 页） A 2 2 B2 C2 D1 【解答】解：由函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的图象可得 A2， 可得1 4 2 =2，求得 = 4 再由图象过原点可得 0， 故有函数 f（x）2sin（ 4x）

20、， 可得 f（1）2sin 4 =2，f（4）2sin（ 4 4）0 可得 f（1）+f（4）= 2， 故选：B 12 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F， 且 EF= 1 2，则下列结论中正确的是（ ） AACAF BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 DAEF 的面积与BEF 的面积相等 【解答】解：对于 A，由题意知，当点 F 与 B1重合时，AC 与 AF 所成的角是 60，所 以 ACAF 错误； 对于B， 由正方体ABCDA1B1C1D1的两个底面平行， EF在其一面上， 故EF与平面ABCD 无公共点

21、，故有 EF平面 ABCD，B 正确； 对于 C，由几何体的性质及图形知，三角形 BEF 的面积是定值，A 点到面 DD1B1B，故 第 12 页（共 18 页） 可得三棱锥 ABEF 的体积为定值，C 正确； 对于 D，由图形可以看出，B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等，故AEF 的面 积与BEF 的面积相等不正确，D 错误 故选：BC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知圆 x2+y22ax2by0 （a0， b0） 关于直线 x+2y20 对称， 则1 + 2 的最 小值为 9 2 【解答】

22、解：因为圆 x2+y22ax2by0（a0，b0）关于直线 x+2y20 对称； 所以圆心（a，b）在直线 x+2y20 上，故有 a+2b20，即 a+2b2； 所以：1 + 2 =（1 + 2 ） （a+2b） 1 2 = 1 2（5+ 2 + 2 ） 1 2（5+2 2 2 ）= 9 2； （当 且仅当 ab= 1 3时等号成立） 1 + 2 的最小值为 9 2 故答案为：9 2 14 （5 分）已知函数 y= 1 3 （x22ax+3）在（，1）上为增函数，则实数 a 的取值范 围是 1，2 【解答】解：令 ux22ax+3，则 y= 1 3 u 在（0，+）上单调递减 由 y= 1

23、3 （x22ax+3）在（，1）上 为增函数， 可得 ux22ax+3 在（，1）上为减函数且函数值大于 0，可得 1 1 2 + 3 0， 解得 1a2， 故答案为：1，2 15 （5 分）函数 f（x）x|exa|在（1，2）上单调递增，则实数 a 的取值范围是 （， e3e2，+） 【解答】解：f（x）x|exa|= ( )， ( )， 当 exa 时，f（x）x（exa） ，f（x）exa+xex， 要使 f（x）在（1，2）上单调递增，则 + 在（1，2）上恒成立， 第 13 页（共 18 页） 即 ae； 当 exa 时，f（x）x（aex） ，f（x）aexxex， 要使 f（x

24、）在（1，2）上单调递增，则 + 在（1，2）上恒成立， 即 a3e2 综上，实数 a 的取值范围是（，e3e2，+） 故答案为： （，e3e2，+） 16 （5 分）将正整数对作如下分组，第 1 组为（1，2） ， （2，1），第 2 组为（1，3） ， （3， 1），第 3 组为（1，4） ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1），第 4 组为（1，5） ， （2，4） ， （4， 2） ， （5，1）则第 30 组第 16 个数对为 （17，15） 【解答】解：由题意可得第一组的各个数和为 3，第二组各个数和为 4， 第三组各个数和为 5，第四组各个数和为 6， ，第 n 组各个数

25、和为 n+2，且各个数对无重复数字， 可得第 30 组各个数和为 32， 则第 30 组第 16 个数对为（17，15） 故答案为： （17，15） 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）若ABC 的三个内角 A，B，C 满足 A+C2B，且最大边为最小边的 2 倍，求 该三角形三个内角之比 【解答】解：ABC 的三个内角 A，B，C 满足 2BA+C， 且 A+B+C180， B60，A+C120； 不妨设 a 为最大边，则 c 为最小边，即 a2c， 由正弦定理得： = ， 即 2 (120;) = ， sin120cosCcos120sin

26、C2sinC， 化简得 sinC= 3 3 cosC， 即 tanC= 3 3 ； C30，A90， 第 14 页（共 18 页） A：B：C90：60：303：2：1； 即三内角之比为 3：2：1 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S315，a22a7 （1）求 an； （2）若 bn= 1+2+1 +1 ，求数列bn的前 n 项和为 Tn 【解答】解： （1）等差数列an的公差设为 d，前 n 项和为 Sn，且满足 S315，a22a7， 可得 3a1+3d15， （a1+d）2a1+6d， 解得 a11，d4，则 an1+4（n1）4n3； （2）bn=

27、1+2+1 +1 = 1+(43)2(4+1) (43)(4+1) = 1 4（ 1 4;3 1 4:1）+4n3， 可得前 n 项和为 Tn= 1 4（1 1 5 + 1 5 1 9 + + 1 43 1 4+1）+（1+5+4n3） = 1 4（1 1 4+1）+ 1 2n（4n2）= 4+1 +2n2n 19 （12 分）小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬 方案甲方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方案：底薪 140 元，每日前 54 单 没有奖励，超过 54 单的部分每单奖励 20 元 （1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y（单位：

28、元）与送货单数 n 的函数关系式； （2）根据该公司所有派送员 100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下 条件：在这 100 天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 （;1 5 ， 5（n1，2，3，4，5）时，日平均派送量为 50+2n 单，若将频率视为概率， 回答下列问题： 估计这 100 天中的派送量指标的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ： 根据以上数据，设每名派送员的日薪为 X（单位：元） ，试分别求出甲、乙两种方案的 日薪 X 的分布列及数学期望请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合 适？并说明你的理由 第 15

29、 页（共 18 页） 【解答】解： （1）甲方案中派送员日薪 y（单位：元）与送单数 n 的函数关系式为：y 100+n，nN， 乙 方 案 中 派 送 员 日 薪y （ 单 位 ： 元 ） 与 送 单 数n 的 函 数 关 系 式 为 ： y= = 140， 54 = 20 940， 55，nN （2）（0.11+0.31.5+0.51+0.71+0.90.5）0.20.44 所以 X甲的分布列为： X甲 152 154 156 158 160 P 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 所以 E（X甲）1520.2+1540.3+1560.2+1580.2+1600.1155.4， 所以

30、X乙的分布列为： X乙 140 180 220 260 P 0.5 0.3 0.2 0.1 所以 E（X乙）1400.5+1800.3+2200.2+2600.1176， 由以上的计算结果可以看出，E（X甲）E（X乙） ， 即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案 20 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，PAPB2， = = 25， = 22，PC4 （1）求证：ABPC； （2）求二面角 PBCA 的余弦值 第 16 页（共 18 页） 【解答】解： （1）取 AB 的中点 D，连结 PD，CD 因为 PAPB，CACB， 所以 ABPD，ABCD 所以 AB平面

31、PCD， 因为 PC平面 PCD， 所以 ABPC （2）作 POCD 交 CD 于 O，作 PEBC，连结 OE AB平面 PCD，PO平面 PCD，POAB， ABCDD，PO平面 ABC， 由三垂线定理得 OEBC， PEO 是所求二面角 PBCA 的平面角 PAPB2， = = 25， = 22，PC4 = 4 5， = 4 3， sinPEO= = 4 3 4 5 = 5 3 ， = 2 3 二面角 PBCA 的余弦值为2 3 第 17 页（共 18 页） 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右顶点分别为 A，B，长轴长为 4， 离心率为1 2过右焦点

32、 F 的直线 l 交椭圆 E 于 C，D 两点（均不与 A，B 重合） ，记直线 AC，BD 的斜率分别为 k1，k2 （）求椭圆 E 的方程； （）是否存在常数 ，当直线 l 变动时，总有 k1k2成立？若存在，求出 的值；若 不存在，说明理由 【解答】解： （）由题知 2 = 4 = 1 2 2= 2+ 2 解得 = 2， = 3 所以求椭圆 E 的方程为 2 4 + 2 3 = 1 （）由（）知 A（2，0） ，B（2，0） ， 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1 由 = 1 2 4 + 2 3 = 1解得 = 1， = 3 2 或 = 1， = 3 2 得1= 1 2

33、 ，2= 3 2或1 = 1 2 ，2= 3 2；均有1 = 1 3 2 猜测存在 = 1 3 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk（x1） ，C（x1，y1） ，D（x2，y2） 由 = ( 1)， 2 4 + 2 3 = 1 得（4k2+3）x28k2x+4k2120 则 1 + 2= 82 42+3 ， 12= 4212 42+3 故1 1 32 = 1 1+2 2 3(22) = 3(22)1(1+2)2 3(1+2)(22) = 2125(1+2)+8 3(1+2)(22) = 8( 23) 42+3 402 42+3+8 3(1+2)(22) =0 所以存在常数 =

34、 1 3使得1 = 1 32恒成立 22 （12 分）已知函数() = 2+ 2 （1）讨论 f（x）的单调性； 第 18 页（共 18 页） （2）若 f（x）0，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）的导函数为() = 1 ( )(2+ )， 当 a0 时，函数 f（x）在（，+）单调递增； 当 a0 时，函数 f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增； 当 a0 时，函数 f（x）在(，( 2)上单调递减，在( 2)， + )上单调递增 （2）当 a0 时，函数 f（x）2ex，显然 f（x）0，满足题意， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）的最小值 f（lna）2a+aalnaa（3lna） 0，解得：0ae3， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）的最小值( 2) = 2 ( 2) = (3 + ( 2) 0，解得： 2 3 综上所述，a 的取值范围为(， 2 3 0， 3