2021年新高考数学模拟试卷（14）.docx

1、 第 1 页（共 23 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（14） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|x2x，则UA（ ） A0，1 B （0，1） C （，1 D （，1） 2 （5 分） （1i） （3i）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3（5 分） 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分 某学生做引体向上运动， 处于如图所示的平衡状态时， 若两只胳膊的夹角为 60， 每只胳膊的拉力大小均为 400N， 则该学

2、生的体重（单位：kg）约为（ ） （参考数据：取重力加速度大小为 g10m/s2，3 1.732） A63 B69 C75 D81 4 （5 分）已知函数 yf（x）的部分图象如图，则 f（x）的解析式可能是（ ） Af（x）x+tanx Bf（x）x+sin2x Cf（x）x 1 2sin2x Df（x）x 1 2cosx 5 （5 分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又 名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮； 星等的数值越大它的光就越暗到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英 国天文学家普森（

3、MRPogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明 暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m1m22.5（lgE2lgE1） ， 其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k1，2）已知“心宿二”的星等是 1.00， “天津四”的 第 2 页（共 23 页） 星等是 1.25， “心宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍，则与 r 最接近的是（当|x|较小时， 10x1+2.3x+2.7x2） （ ） A1.24 B1.25 C1.26 D1.27 6 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作 抛物线准线的垂线，

4、垂足为 M，MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q若|AB|8，则|PQ|（ ） A2 B4 C6 D8 7 （5 分）我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的算筹实际上 是一根根相同长度的小木棍， 如图， 算筹表示数 19 的方法有 “纵式” 和 “横式” 两种， 规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式， 以此类推，交替使用纵横两式例如：627 可以表示为“” 如果用算筹表示一个 不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用 7 根小木棍的概率为（ ） A11 14 B17 21 C20 21 D79 84

5、 8 （5 分）对任意实数 k（0， 1 16） ，曲线 y1+与曲线 ykx+lnx 的交点共有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势如图是 2008 年至 2019 年 国际原油价格高低区间的对比图 第 3 页（共 23 页） 下列说法正确的是（ ） A2008 年原油价格波动幅度最大 B2008 年至 2019 年，原油价格平均值不断变小 C2013 年原油价格平均值一定大于 2018 年原油价格平均值 D2008 年至 20

6、19 年，原油价格波动幅度均不小于 20 美元/桶 10 （5 分）已知定义域为 R 的奇函数 f（x） ，满足() = 2 23 ，2 2 2 + 2，0 2 ，下列叙 述正确的是（ ） A存在实数 k，使关于 x 的方程 f（x）kx 有 7 个不相等的实数根 B当1x1x21 时，恒有 f（x1）f（x2） C若当 x（0，a时，f（x）的最小值为 1，则 ,1， 5 2- D若关于 x 的方程() = 3 2和 f（x）m 的所有实数根之和为零，则 = 3 2 11 （5 分）已知空间中不同直线 m、n 和不同平面 、，下列命题中是真命题的是（ ） A若 m、n 互为异面直线，m，n，

7、m，n，则 B若 mn，m，n，则 C若 n，m，则 nm D若 ，m，nm，则 n 12 （5 分）已知函数 f（x）（sinx+cosx）|sinxcosx|，下列说法正确的是（ ） Af（x）是周期函数 Bf（x）在区间 2， 2上是增函数 第 4 页（共 23 页） C若|f（x1）|+|f（x2）|2，则 x1+x2= 2 （kZ） D函数 g（x）f（x）+1 在区间0，2上有且仅有 1 个零点 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 为第三象限角，cossin= 5 3 ，则 cos2 14 （5 分）已

8、知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的两条渐近线均与圆（x2）2+y2 1 相切，则双曲线的离心率为 15 （5 分）已知| |2，| |3， ， 的夹角为 60，则|4 | 16 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的底面边长为 1cm，侧面积为 3cm2，则该四棱锥的体 积为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等差数列an满足 an+1+n2an+1 （1）求an的通项公式； （2）记 Sn为an的前 n 项和，求数列* 1 +的前 n 项和 Tn 18 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边

9、，且 acosC（2bc）cosA （1）若 =3，求ABC 的面积； （2）若BC，求 2cos2B+cos2C 的取值范围 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，DABDCB，E 为线段 BD 上的点，且 EAEBEDAB，延长 CE 交 AD 于点 F （1）若 G 为 PD 的中点，求证平面 PAD平面 CGF； （2）若 ADAP6，求平面 BCP 与平面 DCP 所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）网络购物已经成为人们的一种生活方式某购物平台为了给顾客提供更好的购 物体验，为人驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品 第

10、5 页（共 23 页） 质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有 50 天的试营业 时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计 1 分，中评计 0 分，差评计 1 分， 某商家在试营业期间随机抽取 100 单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评 价情况，分别制成了图 1 和图 2 （1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给 信息完成下面 22 列联表， 并判断能否有 99%的把握认为 “获得好评” 与物流速度有关？ 好评 中评或差评 合计 物流迅速 物流迟缓 30 合计 （2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得

11、分为 X该商家将试营业 50 天期间的成交情况制成了频数分布表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成 交单数发生的概率 成交单数 36 30 27 天数 10 20 20 （）求 X 的分布列和数学期望； （）平台规定，当积分超过 10000 分时，商家会获得“诚信商家”称号，请估计该商 家从正式营业开始，1 年内（365 天）能否获得“诚信商家”称号 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 第 6 页（共 23 页） 21（12分） 设p：

12、 函数f （x） x3e3ax在区间 （0， 2上单调递增； q： 函数g （x） ax +2lnx在其定 义域上存在极值 （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）如果“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围 22 （12 分）已知函数 f（x）= (1) 2 ，且曲线 yf（x）在（2，f（2） ）处的切线斜率 为 1 （1）求实数 a 的值； （2）证明：当 x0 时，f（x）1； （3）若数列xn满足 e +1 =f（xn） ，且 x1= 1 3，证明：2 n|e 1|1 第 7 页（共 23 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考

13、数学模拟试卷（14） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，集合 Ax|x2x，则UA（ ） A0，1 B （0，1） C （，1 D （，1） 【解答】解：集合 Ax|x2xx|x0 或 x1， UAx|0x1， 故选：A 2 （5 分） （1i） （3i）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：（1i） （3i）24i， （1i） （3i）在复平面内对应的点的坐标为（2，4） ，位于第四象限 故选：D 3（5 分） 加

14、强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分 某学生做引体向上运动， 处于如图所示的平衡状态时， 若两只胳膊的夹角为 60， 每只胳膊的拉力大小均为 400N， 则该学生的体重（单位：kg）约为（ ） （参考数据：取重力加速度大小为 g10m/s2，3 1.732） A63 B69 C75 D81 【解答】解：由题意知，1 = 2 =400，夹角 60， 所以 + 1 + 2 = 0 ， 即 = （1 + 2 ） ； 所以 2 = (1 + 2 )2=4002+2400400cos60+400234002； | |4003（N） ， 第 8 页（共 23 页） 则该学生的体重（单位：kg）约

15、为 403 =401.73269（kg） ， 故选：B 4 （5 分）已知函数 yf（x）的部分图象如图，则 f（x）的解析式可能是（ ） Af（x）x+tanx Bf（x）x+sin2x Cf（x）x 1 2sin2x Df（x）x 1 2cosx 【解答】解：由图象可知，函数的定义域为 R，故排除 A； 又 f（0）0，故排除 D； 若选择 B，则( 4) = 4 + 2 = 4 + 11，与图象不符 故选：C 5 （5 分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又 名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮； 星等的数

16、值越大它的光就越暗到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英 国天文学家普森（MRPogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明 暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m1m22.5（lgE2lgE1） ， 其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k1，2）已知“心宿二”的星等是 1.00， “天津四”的 星等是 1.25， “心宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍，则与 r 最接近的是（当|x|较小时， 10x1+2.3x+2.7x2） （ ） A1.24 B1.25 C1.26 D1.27 【解答】解：设“心宿二”的星等是 m1， “天津四”的星等是 m

17、2， “心宿二”的亮度是 E1， “天津四”的亮度是 E2， 则 m11.00，m21.25，E1rE2， 两颗星的星等与亮度满足 m1m22.5（lgE2lgE1） ， 11.252.5（lgE2lgrE2） ， 即：lgr0.1， 第 9 页（共 23 页） r100.11+2.30.1+2.7（0.1）21+0.23+0.0271.257， 与 r 最接近的是 1.26， 故选：C 6 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作 抛物线准线的垂线，垂足为 M，MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q

18、若|AB|8，则|PQ|（ ） A2 B4 C6 D8 【解答】解：由题意，抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0） ， 画出图形，可知 PFAB，AMAF，设 AB：yk（x1）与抛物线方程联立，可得可得 k2x2（2k2+4）x+k20，所以 x1+x2= 22+4 2 ，x1x21， 线段 AB 的中点为 Q若|AB|8，x1+x2+p8，即2 2:4 2 +28，解得 k1，所以中点 Q 的横坐标： 2:2 2 =3，Q（3，2） ， PF：yx+1，与 x1 的解得 P（1，2） ， 所以 PQ4 故选：B 7 （5 分）我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的算筹

19、实际上 是一根根相同长度的小木棍， 如图， 算筹表示数 19 的方法有 “纵式” 和 “横式” 两种， 规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式， 以此类推，交替使用纵横两式例如：627 可以表示为“” 如果用算筹表示一个 不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用 7 根小木棍的概率为（ ） 第 10 页（共 23 页） A11 14 B17 21 C20 21 D79 84 【解答】 解： 至少要用 7 根小木棍的对立事件为用 5 根小木棍和 6 根小木棍这两种情况， 用 5 根小木棍为 126 这一种情况的全排列， 用 6 根小木棍为 123，127

20、，163，167 这四种情况的全排列， 故至少要用 7 根小木棍的概率为 1 53 3 9 3 = 79 84 故选：D 8 （5 分）对任意实数 k（0， 1 16） ，曲线 y1+与曲线 ykx+lnx 的交点共有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【解答】解：y1+与曲线 ykx+lnx 的交点即为： 1 + = + 根，即为 = + + 1的根，令 m= ，则 xm2， 问题即转化为研究 f（m）2lnm 与 g（m）km2+m+1， （m0）的交点个数问题 g（m）的对称轴为 = 1 2 8，开口向下，在（0， 1 2）递增，在（ 1 2 ，+ ）上递减， 且图象向右向下

21、无限延伸 ()= ( 1 2) = 1 + 1 4，( 1 2) = 2 1 2， 令 t= 1 2 8， 所以( 1 2) ( 1 2) = 1 + 1 2 2，(8) 令 h（t）= 1 + 1 2 2，t8 () = 1 2 2 = 4 2 0， h（t）在（8，+）是增函数， h（t）h（8）52ln80 ( 1 2)( 1 2)， 因此同一坐标系做出函数 f（m） ，g（m）图象如下： 所以两函数图象只有一个交点，即曲线 y1+与曲线 ykx+lnx 的交点共有 1 个 第 11 页（共 23 页） 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每

22、小题 5 分）分） 9 （5 分）原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势如图是 2008 年至 2019 年 国际原油价格高低区间的对比图 下列说法正确的是（ ） A2008 年原油价格波动幅度最大 B2008 年至 2019 年，原油价格平均值不断变小 C2013 年原油价格平均值一定大于 2018 年原油价格平均值 D2008 年至 2019 年，原油价格波动幅度均不小于 20 美元/桶 【解答】解：由图可知，2008 年原油价格波动幅度最大，A 对； 通过最高价，最低价，并不反应出平均值的大小，得不出结论，B 错； 因为 2013 年原油价格最低价都比 2018 年原油价格最高值

23、大， 则 2013 年原油价格平均值 第 12 页（共 23 页） 一定大于 2018 年原油价格平均值，C 对， 由图可知，2016 年原油价格波动幅度均小于 20 美元/桶，D 错， 故选：AC 10 （5 分）已知定义域为 R 的奇函数 f（x） ，满足() = 2 23 ，2 2 2 + 2，0 2 ，下列叙 述正确的是（ ） A存在实数 k，使关于 x 的方程 f（x）kx 有 7 个不相等的实数根 B当1x1x21 时，恒有 f（x1）f（x2） C若当 x（0，a时，f（x）的最小值为 1，则 ,1， 5 2- D若关于 x 的方程() = 3 2和 f（x）m 的所有实数根之和

24、为零，则 = 3 2 【解答】解：函数 f（x）是奇函数， 若 x2，则x2，则 f（x）= 2 23 = f（x） ， 则 f（x）= 2 2+3，x2 若2x0，则 0x2，则 f（x）x2+2x+2f（x） ， 即 f（x）x22x2，2x0， 当 x0，则 f（0）0 作出函数 f（x）的图象如图： 对于 A，联立 = = 2 2 + 2，得 x 2（k+2）x+20， （k+2）28k2+4k4，存在 k1，使得0， 存在实数 k，使关于 x 的方程 f（x）kx 有 7 个不相等的实数根，故 A 正确； 对于 B，当1x1x21 时，函数 f（x）不是单调函数，则 f（x1）f（x

25、2）不成立， 故 B 不正确； 对于 C，当 x= 5 2时，f（ 5 2）= 2 25 23 = 1， 则当 x（0，a时，f（x）的最小值为 1，则 a1，5 2，故 C 正确； 对于 D，函数 f（x）是奇函数，若关于 x 的两个方程 f（x）= 3 2与 f（x）m 所有根的 和为 0， 函数 f（x）= 3 2的根与 f（x）m 根关于原点对称， 第 13 页（共 23 页） 则 m= 3 2， 但 x0 时，方程 f（x）= 3 2有 3 个根， 设分别为 x1，x2，x3，且 0x1x22x3， 则有 2 2;3 = 3 2，得 x= 13 6 ，即 x3= 13 6 ， x1+

26、x22，则三个根之和为 2+ 13 6 = 25 6 ， 若关于 x 的两个方程 f（x）= 3 2与 f（x）m 所有根的和为 0， 则 f（x）m 的根为 25 6 ，此时 mf（ 25 6 ）= 2 2(25 6)+3 = 6 16 = 3 8，故 D 错误， 故选：AC 11 （5 分）已知空间中不同直线 m、n 和不同平面 、，下列命题中是真命题的是（ ） A若 m、n 互为异面直线，m，n，m，n，则 B若 mn，m，n，则 C若 n，m，则 nm D若 ，m，nm，则 n 【解答】解：由 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，知： 在中，若 m、n 互为异面直线，m，n，m，n，

27、则 ，是真命题； ，m，n，则 m 与 n 平行或异面，故错误； 在中，mn，m，n，则 ，或 与 相交或平行，故错误； 在中 n，m，则 nm，故是真命题； 在中，m，nm，则 n，也可能 n，故错误 故选：AC 第 14 页（共 23 页） 12 （5 分）已知函数 f（x）（sinx+cosx）|sinxcosx|，下列说法正确的是（ ） Af（x）是周期函数 Bf（x）在区间 2， 2上是增函数 C若|f（x1）|+|f（x2）|2，则 x1+x2= 2 （kZ） D函数 g（x）f（x）+1 在区间0，2上有且仅有 1 个零点 【解答】解：f（x）（sinx+cosx）|sinxco

28、sx|= 2 2， 2 2， = 2， 2， 其图象如图： 由图可知，f（x）是周期为 2 的周期函数，故 A 正确； f（x）在区间 2， 2上不是单调函数，故 B 错误； 若|f（x1）|+|f（x2）|2，则 x1+x2= 2 （kZ） ，故 C 正确； 函数 g（x）f（x）+1 在区间0，2上有且仅有 2 个零点，故 D 错误 说法正确的是 AC 故选：AC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 为第三象限角，cossin= 5 3 ，则 cos2 65 9 【解答】解： 为第三象限角， = 5 3 ， 1

29、 2 = 5 9， 第 15 页（共 23 页） = 2 9， sin0，cos0，且 cossin， cos+sin0， ( + )2= 1 + 2 = 13 9 ， + = 13 3 ， 则2 = ( )( + ) = 5 3 ( 13 3 ) = 65 9 故答案为： 65 9 14 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的两条渐近线均与圆（x2）2+y2 1 相切，则双曲线的离心率为 23 3 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的两条渐近线为 y x，即为 bxay0， 由渐近线与圆（x2）2+y21 相切，可得 |2| 2:2 =1，

30、 化为 a23b2， 由 c2a2+b2= 4 3a 2， 可得 e= = 23 3 故答案为：23 3 15 （5 分）已知| |2，| |3， ， 的夹角为 60，则|4 | 7 【解答】解：| |2，| |3， ， 的夹角为 60； = | | |cos6023 1 2 =3； （4 ）2（4 ）28 + 2 16424+949； |4 |7 故答案为：7 16 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的底面边长为 1cm，侧面积为 3cm2，则该四棱锥的体 第 16 页（共 23 页） 积为 2 3 cm3 【解答】解：设正四棱锥 PABCD 的侧面的高为 h1， 则 S侧4 1 2 1

31、13，解得 h1= 3 2， 该四棱锥的高 h=12 (1 2) 2 =9 4 1 4 = 2， 该四棱锥的体积为： V= 1 3 = 1 3 12 2 = 2 3 （cm3） 故答案为： 2 3 cm3 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等差数列an满足 an+1+n2an+1 （1）求an的通项公式； （2）记 Sn为an的前 n 项和，求数列* 1 +的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由已知an为等差数列，记其公差为 d 当 n2 时，:1 + = 2+ 1 + 1 = 2;1+ 1，两式相减可得 d+12d， 所以 d1，

32、 当 n1 时，a2+12a1+1，所以 a11 所以 an1+n1n； （2）= (+1) 2 ， 1 = 2 (:1) = 2(1 1 :1)， 所以= 2,(1 1 2) + ( 1 2 1 3) + ( 1 3 1 4) + + ( 1 1 +1)- = 2(1 1 +1) = 2 +1 18 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 acosC（2bc）cosA （1）若 =3，求ABC 的面积； （2）若BC，求 2cos2B+cos2C 的取值范围 【解答】解： （1）acosC（2bc）cosA， 由正弦定理可得 sinAcosC （2sinBsi

33、nC） cosA， 可得 sinAcosC+sinCcosAsin （A+C） sinB2sinBcosA， B 为三角形内角，sinB0， cosA= 1 2， 第 17 页（共 23 页） 又A（0，） ， A= 3， =bccosA= 1 2bc3，可得 bc6， SABC= 1 2bcsinA= 1 2 6 3 2 = 33 2 （2）BC，C= 2 3 B，可得 B（0， 3） ， 2B+ 6（ 6， 5 6 ） ， cos（2B+ 6）（ 3 2 ， 3 2 ） ， 2cos2B+cos2C1+cos2B + 1+2 2 = 3 2 + cos2B + 1 2 cos2（ 2 3

34、B） = 3 2 +cos2B 1 4cos2B 3 4 sin2B= 3 2 + 3 2 cos（2B+ 6）（ 3 4， 9 4） 2cos2B+cos2C 的取值范围（3 4， 9 4） 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，DABDCB，E 为线段 BD 上的点，且 EAEBEDAB，延长 CE 交 AD 于点 F （1）若 G 为 PD 的中点，求证平面 PAD平面 CGF； （2）若 ADAP6，求平面 BCP 与平面 DCP 所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）证明：在BCD 中，EBEDECBC，BCD= 2， DABDCB，EABECB，

35、 FEDFEAAEB= 3，ECEA， FEDFEA，EDEA，EFAD，AFDF， PGDG，FGPA， PA平面 ABCD，GF平面 ABCD，GFAD， GFEFF，AD平面 CFG， 第 18 页（共 23 页） AD平面 PAD，平面 PAD平面 CGF （2）解：由（1）知BCD= 2， DABDCB，ABAD， ADAP6， = 2 ， = 3，AB23， 以 A 为原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， P（0，0，6） ，B（0，23，0） ，C（3，33，0） ，D（6，0，0） ， =（0，23，6） ， =（3，33，6） ，

36、=（6，0，6） ， 设平面 BCP 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 23 6 = 0 = 3 + 33 6 = 0 ，取 x1，得 =（1，3，1） ， 设平面 DCP 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 3 + 33 6 = 0 = 6 6 = 0 ，取 x1，得 =（1， 3 3 ，1） ， 设平面 BCP 与平面 DCP 所成锐二面角的平面角为 ， 则 cos= | | | |= 1 57 3 = 105 35 平面 BCP 与平面 DCP 所成锐二面角的余弦值为105 35 20 （12 分）网络购物已经成为人们的一种生活方式某购物平台为了给顾客提供更好的购 第 19 页

37、（共 23 页） 物体验，为人驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品 质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有 50 天的试营业 时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计 1 分，中评计 0 分，差评计 1 分， 某商家在试营业期间随机抽取 100 单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评 价情况，分别制成了图 1 和图 2 （1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给 信息完成下面 22 列联表， 并判断能否有 99%的把握认为 “获得好评” 与物流速度有关？ 好评 中评或差评 合计 物流迅速 物

38、流迟缓 30 合计 （2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为 X该商家将试营业 50 天期间的成交情况制成了频数分布表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成 交单数发生的概率 成交单数 36 30 27 天数 10 20 20 （）求 X 的分布列和数学期望； （）平台规定，当积分超过 10000 分时，商家会获得“诚信商家”称号，请估计该商 家从正式营业开始，1 年内（365 天）能否获得“诚信商家”称号 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5

39、.024 6.635 第 20 页（共 23 页） 【解答】解： （1）由题意可得 好评 中评或 差评 合计 物流迅 速 50 5 55 物流迟 缓 30 15 45 合计 80 20 100 2= 100(5015305)2 80205545 = 100 11 6.635， 有 99%的把握认为”获得好评“与物流速度有关 （2） （）由题意可知，X 的可能取值是 1，0，1， 每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为 0.8，0.1，0.1， X 的分布列为 X 1 0 1 P 0.8 0.1 0.1 E（X）10.8+00.1+（1）0.10.7 （）设商家每天的成交量为 Y，则 Y

40、 的取值可能为 27，30，36， Y 的分布列为 Y 27 30 36 P 0.4 0.4 0.2 E（Y）270.4+300.4+360.230， 第 21 页（共 23 页） 商家每天能获得的平均积分为 300.721，商家一年能获得的积分为 213657665 10000， 该商家在 1 年内不能获得”诚信商家“称号 21（12分） 设p： 函数f （x） x3e3ax在区间 （0， 2上单调递增； q： 函数g （x） ax +2lnx在其定 义域上存在极值 （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）如果“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，求实数 a 的取

41、值范围 【解答】解： （1）因为 f（x）3x2e3ax+3ax3e3ax3x2e3ax（1+ax） ， 所以 f（x）3x2e3ax（1+ax）0 对 x（0，2恒成立，（1 分） 因为 3x2e3ax0，所以 1+ax0 对 x（0，2恒成立，（3 分） 所以 ( 1 ) = 1 2，即 a 的取值范围为, 1 2 ，+ )（4 分） （2）对于，() = + 2，() = + 2 + 2 = 2+2+ 2 ，（5 分） 若 a0，g（x）0，g（x）在定义域内单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合 题意；（6 分） 若 a0，则 1 0，由44a 20，解得1a0 所以，若 q 为真命题，则1a0，（8 分） 因为“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，所以命题 p 与 q 一真一假， p 真 q 假时， 1 2 0或 1 ，解得 a0， p 假 q 真时， 1 2 10 ，解得1 1 2 综上所述，a 的取值范围为(1， 1 2) ,0， + )（12 分） 22 （12 分）已知函数 f（x）= (1) 2 ，且