2020年河南省高考数学（文科）模拟试卷（5）.docx

1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年河南省高考数学（文科）模拟试卷（年河南省高考数学（文科）模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3+2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 2 （5 分）已知集合 Ay|y12x，Bx|x22x30，则 ARB（ ） A B1，1） C （1，3 D3，1） 3 （5 分）已知向量 =（1，2） ， =（1，x） ，若 ，则| |（ ） A 5 2 B5 2 C5 D5 4 （5 分） 已知圆 C：

2、 x2+y210y+210 与双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的渐近线相切， 则该双曲线的离心率是（ ） A2 B5 3 C5 2 D5 5 （5 分）数列an满足 2an+1an+an+2，且 a2，a4038是函数 f（x）x28x+3 的两个零点， 则 a2020的值为（ ） A4 B4 C4038 D4038 6 （5 分）下列四个命题中，正确的个数是（ ） 设 r0，则圆（x1）2+（y+3）2r2与 x2+y216 内切 集合 Ax|1x4，Bx|xa，若 ABB，则 a 的取值范围是4，+） 过点 M（3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 xy+80 直线

3、x+2y+30 与直线 2x+4y+10 的距离是 5 2 A1 B2 C3 D4 7 （5 分）已知角 的终边经过点（3，4） ，则( 2 + ) =（ ） A 4 5 B 3 5 C3 5 D4 5 8 （5 分）班主任要从甲、乙、丙、丁、戊 5 个人中随机抽取 3 个人参加活动，则甲、乙同 时被抽到的概率为（ ） A 1 10 B1 5 C 3 10 D2 5 9 （5 分）函数() = (2+ 1 )在1，1的图象大致为（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C D 10 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1，点 E，F 分别是 BB1，D1B1的中点，则 EF 与 DA1

4、所成角的余弦值为（ ） A0 B1 5 C1 4 D1 3 11（5分） 已知函数f （x） 是定义在R上的奇函数， (3 2 + ) = ( 3 2)， 且 ( 3 2，0)时， f （x） log2（3x+1） ，则 f（2020）（ ） A4 Blog27 C2 D2 12 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点为 F（c，0） ，上顶点为 A（0，b） ， 直线 x= 2 上存在一点 P 满足( + ) =0，则椭圆的离心率取值范围为（ ） A1 2 ，1) B 2 2 ，1) C 51 2 ，1) D(0， 2 2 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题

5、，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知函数 f （x） alnxbx2图象上一点 （2， f （2） ） 处的切线方程为 y3x+2ln2+2， 第 3 页（共 16 页） 则 a+b 14 （5 分）实数 x，y 满足条件 + 4 0 2 + 2 0 0， 0 ，则4(1 2 + + 1)的最大值为 15 （5 分）已知首项为 3 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 2S2S3+S4，则 a2020的值 为 16 （5 分）半径为 2 的球面上有 A，B，C，D 四点，且 AB，AC，AD 两两垂直，则ABC， ACD 与ADB 面积之和的最大值为 三解

6、答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高某市随机 统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为 P 元）的情 况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图估算 P 的平均值； （2）若该市城区有 4 户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了 42 元， 50 元，52 元，60 元，从这 4 户中随机抽取 2 户，求这 2 户 P 值的和超过 100 元的概率 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对

7、边分别为 a，b，c，已知 ca（cosBsinB） （）求 A； （）已知 c= 10，BC 边上的高 AD1，求 b 的值 19 （12 分） 在三棱柱 ABCA1B1C1中， 已知 AB侧面 BB1C1C， BC= 2， = 1=2， BCC1= 4，E 为 BB1 中点 （）求证：ACBC1 （）求 C 到平面 AC1E 的距离 第 4 页（共 16 页） 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px 焦点坐标为（2，0） （1）求抛物线 C 的方程； （2）已知点 B（1，0） ，设不垂直于 x 轴的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 P，Q， 若 x 轴是PBQ 的角平分线，求

8、证：直线 l 过定点 21 （12 分）已知函数() = 2 + (1 2) + （1）讨论 f（x）的单调性； （2）如果方程 f（x）m 有两个不相等的解 x1，x2，且 x1x2，证明：(1+2 2 )0 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直

9、角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|xa2|+|x2a+3|，g（x）x2+ax+3 （1）当 a1 时，解关于 x 的不等式 f（x）6； （2）若对任意 x1R，都存在 x2R，使得不等式 f（x1）g（x2）成立，求实数 a 的取 值范围 第 5 页（共 16 页） 2020 年河南省高考数学（文科）模拟试卷（年河南省高考数学（文科）模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小

10、题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3+2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 【解答】 解： 因为 3+2 = 1 ， 所以 zi （1i） （3+2i） 5i， 所以 = 1 5， 1 + 5， 故选：D 2 （5 分）已知集合 Ay|y12x，Bx|x22x30，则 ARB（ ） A B1，1） C （1，3 D3，1） 【解答】解：Ay|y1，Bx|x1 或 x3， RBx|1x3， ARB1，1） 故选：B 3 （5 分）已知向量 =（1，2） ， =（1，x） ，若 ，则| |（ ） A 5 2 B5 2

11、C5 D5 【解答】解：向量 =（1，2） ， =（1，x） ， ， 1 1 = 2， 解得 x2， | |= (1)2+ (2)2= 5 故选：C 4 （5 分） 已知圆 C： x2+y210y+210 与双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的渐近线相切， 则该双曲线的离心率是（ ） A2 B5 3 C5 2 D5 【解答】解：双曲线 2 2 2 2 =1 的渐近线方程为 bxay0， 圆 C：x2+y210y+210 化为标准方程是：x2+（y5）24， 第 6 页（共 16 页） 则圆心 C（0，5）到直线 bxay0 的距离为 dr； 即 |05| 2+2 = 5 =2， 解得 =

12、 5 2， 即双曲线的离心率是 e= 5 2 故选：C 5 （5 分）数列an满足 2an+1an+an+2，且 a2，a4038是函数 f（x）x28x+3 的两个零点， 则 a2020的值为（ ） A4 B4 C4038 D4038 【解答】 解： a2， a4038是函数 f （x） x28x+3 的两个零点， a2+a40388 又 2an+1an+an+2， 数列an是等差数列，故 a2+a40382a20208，所以 a20204 故选：A 6 （5 分）下列四个命题中，正确的个数是（ ） 设 r0，则圆（x1）2+（y+3）2r2与 x2+y216 内切 集合 Ax|1x4，Bx

13、|xa，若 ABB，则 a 的取值范围是4，+） 过点 M（3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 xy+80 直线 x+2y+30 与直线 2x+4y+10 的距离是 5 2 A1 B2 C3 D4 【解答】解：圆心距 d= 1 + (3)2= 10，而半径 r 大小不确定，所以两圆可能相 交或相切或内含，所以是错的； 因为 ABB，所以 AB，所以 a4，所以是正确的； 直线过原点时方程为 = 5 3，斜率为 1 时方程为 xy+80，应该有 2 条，所以 是错的； 把直线 2x+4y+10 化为 x+2y+ 1 2 =0，所以两平行直线间的距离为 |31 2| 12+22 =

14、 5 2 ，所 以是对的； 故选：B 7 （5 分）已知角 的终边经过点（3，4） ，则( 2 + ) =（ ） A 4 5 B 3 5 C3 5 D4 5 第 7 页（共 16 页） 【解答】解：角 的终边经过点（3，4） ， 可得 sin= 4 32+(4)2 = 4 5 则( 2 + ) = sin= 4 5 故选：D 8 （5 分）班主任要从甲、乙、丙、丁、戊 5 个人中随机抽取 3 个人参加活动，则甲、乙同 时被抽到的概率为（ ） A 1 10 B1 5 C 3 10 D2 5 【解答】解：从 5 个人中随机抽取 3 人，所有的情况为： （甲、乙、丙） ， （甲、乙、丁） ， （甲、

15、乙、戊） ， （甲、丙、丁） ， （甲、丙、戊） ， （甲、 丁、戊） ， （乙、丙、丁） ， （乙、丙、戊） ， （乙、丁、戊） ， （丙、丁、戊） ，共 10 种， 其中满足条件的为（甲、乙、丙） ， （甲、乙、丁） ， （甲、乙、戊） ，共 3 种， 故甲、乙同时被抽到的概率为 P= 3 10 故选：C 9 （5 分）函数() = (2+ 1 )在1，1的图象大致为（ ） A B C 第 8 页（共 16 页） D 【解答】解：() = () (2+ 1 + ) = (2+ 1 ) = ()， 故函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除 CD； 又(1) = 1 (2 1)0，

16、故排除 A 故选：B 10 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1，点 E，F 分别是 BB1，D1B1的中点，则 EF 与 DA1 所成角的余弦值为（ ） A0 B1 5 C1 4 D1 3 【解答】解：如图，分别以直线 AB，AD，AA1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设 正方体的棱长为 2，则： F（1，1，2） ，E（2，0，1） ，D（0，2，0） ，A1（0，0，2） ， = (1，1，1)，1 = (0， 2，2)， ，1 = 1 | |1 | =0 故选：A 11（5分） 已知函数f （x） 是定义在R上的奇函数， (3 2 + ) = ( 3 2)， 且 ( 3

17、2，0)时， f （x） log2（3x+1） ，则 f（2020）（ ） A4 Blog27 C2 D2 【解答】解：根据题意，f（x）满足(3 2 + ) = ( 3 2)，即 f（x+3）f（x） ，函数 f（x） 第 9 页（共 16 页） 是周期为 3 的周期函数， 则 f（2020）f（1+2019）f（1） ， 又由 f（x）为奇函数，则 f（1）f（1）log2（3+1）2， 故选：D 12 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的右焦点为 F（c，0） ，上顶点为 A（0，b） ， 直线 x= 2 上存在一点 P 满足( + ) =0，则椭圆的离心率取值范围为

18、（ ） A1 2 ，1) B 2 2 ，1) C 51 2 ，1) D(0， 2 2 【解答】解：设 P（ 2 ，y） ，由( + ) =0，则 + =（ 2 c，y）+（c， b）（ 2 2c，y+b） ， =（ 2 ，yb） ， 所以由( + ) =0，可得： （ 2 2c） 2 +（y+b） （yb）0， 可得： 4 2 2a2b2y20，整理可得：a42a2c2（a2c2）c20，即 e43e2+1 0， 解得：35 2 e2 3+5 2 ， 即51 2 e 5+1 2 ， 由于椭圆的离心率小于 1，所以51 2 e1， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 2

19、0 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知函数 f （x） alnxbx2图象上一点 （2， f （2） ） 处的切线方程为 y3x+2ln2+2， 则 a+b 3 【解答】解：将 x2 代入切线得 f（2）2ln24 所以 2ln24aln24b， 又() = 2， (2) = 2 4 = 3， 联立解得 a2，b1 所以 a+b3 故答案为：3 第 10 页（共 16 页） 14 （5 分）实数 x，y 满足条件 + 4 0 2 + 2 0 0， 0 ，则4(1 2 + + 1)的最大值为 1 【解答】解：作出实数 x，y 满足条件 + 4 0 2 + 2 0 0， 0

20、对应的平面区域（阴影部分） ， 令 z= 1 2x+y+1，得 y= 1 2x+z1， 平移直线 y= 1 2x+z1， 由图象可知当直线 y= 1 2x+z1 经过点 B 时， 直线 y= 1 2x+z1 的截距最大，此时 z 最大 由 + 4 = 0 2 + 2 = 0，解得 B（2，2） 此时 z 的最大值为 z= 1 2 2+2+14； 4(1 2 + + 1)的最大值为 log441； 故答案为：1 15 （5 分）已知首项为 3 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 2S2S3+S4，则 a2020的值为 322019 【解答】解：a13，2S2S3+S4， 当 q1 时显然不

21、成立，故 q1， 6(1 2) 1 = 3(13) 1 + 3(14) 1 ，整理可得，q2+q20， 解可得，q2 或 q1（舍） ， 则 a20203（2）2019322019 第 11 页（共 16 页） 故答案为：322019 16 （5 分）半径为 2 的球面上有 A，B，C，D 四点，且 AB，AC，AD 两两垂直，则ABC， ACD 与ADB 面积之和的最大值为 8 【解答】解：半径为 2 的球面上有 A，B，C，D 四点，且 AB，AC，AD 两两垂直， 如图所示 则设四面体 ABCD 置于长方体模型中，外接球的半径为 2， 故 x2+y2+z216， SSABC+SACD+S

22、ABD= 1 2 + 1 2 + 1 2 ， 由于 2（x2+y2+z2）4S（xy）2+（yz）2+（xz）20， 所以 4S21632，故 S8， 故答案为：8 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高某市随机 统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为 P 元）的情 况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图估算 P 的平均值； （2）若该市城区有 4 户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了 42

23、元， 50 元，52 元，60 元，从这 4 户中随机抽取 2 户，求这 2 户 P 值的和超过 100 元的概率 【解答】解： （1）根据频率分布直方图估算 P 的平均值： 第 12 页（共 16 页） =300.01410+400.02610+500.03610+600.01410+700.011048 （2）该市城区有 4 户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了 42 元，50 元，52 元，60 元， 从这 4 户中随机抽取 2 户， 基本事件总数 n= 4 2 =6， 这 2 户 P 值的和超过 100 元包含的基本事件有（42，60） ， （50，52） ， （50，6

24、0） ， （52， 60） ，共 4 个， 这 2 户 P 值的和超过 100 元的概率 p= = 4 6 = 2 3 18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ca（cosBsinB） （）求 A； （）已知 c= 10，BC 边上的高 AD1，求 b 的值 【解答】解： （）ca（cosBsinB） ， 由正弦定理可得 sinCsinA（cosBsinB） ，可得 sinAcosB+sinBcosAsinAcosB sinAsinB，可得 cosAsinB+sinAsinB0， B 为三角形内角，sinB0， tanA1， A（0，） ， A= 3

25、4 （）S= 1 2bcsinA= 1 2ADa， 代入 c= 10，AD1，sinA= 2 2 ，可得 a= 5b， 由余弦定理可得 a2b2+c22bccosAb2+10+25b， 代入 a= 5b，可得 4b225b100， 解得 b= 5，或 b= 5 2 （舍去） ， b= 5 19 （12 分） 在三棱柱 ABCA1B1C1中， 已知 AB侧面 BB1C1C， BC= 2， = 1=2， BCC1= 4，E 为 BB1 中点 （）求证：ACBC1 （）求 C 到平面 AC1E 的距离 第 13 页（共 16 页） 【解答】 （）证明：BC= 2，CC1BB12，BCC1= 4， 在

26、BCC1中，由余弦定理，可求得 C1B= 2， 由 C1B2+BC2C1C2，得 C1BBC 又 AB侧面 BCC1B1，故 ABBC1， 又 CBABB，C1B平面 ABC； （）解：在 RtABE 中，AB2，BE= 1 2BB11，得 AE= 5， 在平行四边形 BB1C1C 中，由11= = 2，BB12，BCC1= 4， 得1=2 + 4 2 2 2 2 2 = 2，可得1= 6 又 E 为 BB1中点，C1E1 由12+ 2= 12，得 AEC1E，则1= 5 2 设点 C 到平面 AC1E 的距离为 h，在四面体 CAC1E 中， 由1= 1， 得1 3 5 2 = 1 3 1

27、2 2 1 2，解得 h= 45 5 故 C 到平面 AC1E 的距离为45 5 第 14 页（共 16 页） 20 （12 分）已知抛物线 C：y22px 焦点坐标为（2，0） （1）求抛物线 C 的方程； （2）已知点 B（1，0） ，设不垂直于 x 轴的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 P，Q， 若 x 轴是PBQ 的角平分线，求证：直线 l 过定点 【解答】解： （1）焦点坐标为（2，0） ， 2 = 2，p4， 抛物线 C 的方程为：y28x； （2）设直线 l 的方程为：ykx+t，代入 y28x 得：k2x2+（2kt8）x+t20， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2

28、） ， 1+ 2= 28 2 ，12= 2 2， x 轴是PBQ 的角平分线， kBPkBQ， 1 1+1 = 2 2+1， 1+ 1+1 = 2+ 2+1 ， 2kx1x2+（k+t） （x1+x2）+2t0， 2 2 2 + ( + ) ( 28 2 ) + 2 = 0， 整理得：k+t0，tk， 直线 l 的方程为：ykxkk（x1） ，过定点（1，0） 21 （12 分）已知函数() = 2 + (1 2) + （1）讨论 f（x）的单调性； （2）如果方程 f（x）m 有两个不相等的解 x1，x2，且 x1x2，证明：(1+2 2 )0 【解答】解： （1）f（x）2+ 12 2 =

29、 22+(12) 2 = ()(2+1) 2 （x0） ， 当 a0 时，x（0，+） ，f（x）0，f（x）单调递增； 当 a0 时，x（0，a） ，f（x）0，f（x）单调递减； x（a，+） ，f（x）0，f（x）单调递增， 综上，当 a0 时，f（x）在（0，+）单调递增； 当 a0 时，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增 （2）由（1）知，当 a0 时，f（x）在（0，+）单调递增，f（x）m 至多一个根， 第 15 页（共 16 页） 不符合题意； 当 a0 时，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增，则 f（a）0 不妨设 0x1ax2， 要证 f（1

30、+2 2 ）0，即证1+2 2 a，即证 x2+x12，即证 x22ax1 因为 f（x）在（a，+）单调递增，即证 f（x2）f（2ax1） ， 因为 f（x2）f（x1） ，所以即证 f（x1）f（2ax1） ，即证 f（a+x）f（ax） ， 令 g（x）f（a+x）f（ax）2（a+x）+（12a）ln（a+x）+ +2（ax）+ （12a）ln（ax）+ 4x+（12a）ln（a+x）（12a）ln（ax）+ + g（x）4+ 12 + + 12 (+)2 ()2 4+ 2(12) 22 2(2+2) (+)2() 2 = 42(2 2 ) (+)2() 2 当 x（0，a） ，时，

31、g（x）0，g（x）单调递减，又 g（0）f（a+0）f（a0） 0， 所以 x（0，a） ，时，g（x）g（0）0，即 f（a+x）f（ax） ， 即 f（x）f（2ax） ， 又 x1（0，a） ，所以 f（x1）f（2ax1） ，所以 f（1+2 2 ）0 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲

32、线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 【解答】解： （1）因为 = 1 + = ，又 sin2+cos21，所以（x1）2+y21， 即曲线 C1的的普通方程为（x1）2+y21； 第 16 页（共 16 页） 由 2x2+y2得曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y21，又直线 l 的直角坐标方程为 xy 0， 所以 2 + 2= 1 = 0 1= 2 2 1= 2 2 或 2= 2 2 2= 2 2 ， 所以曲线 C2与直线 l 的交点的直角坐标为( 2 2 ， 2 2 )和

33、( 2 2 ， 2 2 ) （2） 设 N （， ） ， 又由曲线 C1的普通方程为 （x1） 2+y21 得其极坐标方程 2cos MON的 面 积 = 1 2| | = 1 2 |6( 3 )| = |6( 3 )| = |3( 3 2) + 33 2 | = |3(2 + 6) + 33 2 | 所以当 = 23 12 或 = 11 12 时，()= 3 + 33 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|xa2|+|x2a+3|，g（x）x2+ax+3 （1）当 a1 时，解关于 x 的不等式 f（x）6； （2）若对任意 x1R，都存在 x2R，使得不等

34、式 f（x1）g（x2）成立，求实数 a 的取 值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，不等式 f（x）6 即为|x1|+|x+1|6， 等价为 1 2 6或 11 2 6 或 1 2 6， 解得 1x3 或1x1 或3x1， 则原不等式的解集为3，3； （2）若对任意 x1R，都存在 x2R，使得不等式 f（x1）g（x2）成立， 可得 f（x1）ming（x2）min， 由 f （x） |xa2|+|x2a+3|xa2x+2a3|a22a+3， 当且仅当 （xa2） （x2a+3） 0 取得等号， 可得 f（x）的最小值为 a22a+3， g（x）x2+ax+3 的最小值为12 2 4 ， 则 a22a+3 122 4 ，即 5a28a0， 解得 a 8 5或 a0