2020年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（6）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z|3 +i|，i 为虚数单位，则 z 等于（ ） A1i B1+i C1 2 1 2i D1 2 + 1 2i 2 （5 分）设 Ax|x1，Bx|x2x20，则（RA）B（ ） Ax|x1 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 3 （5 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河 ”诗中隐含着一个有趣的数

2、学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从 山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角 坐标系中，设军营所在区域为 x2+y21，若将军从点 A（2，0）处出发，河岸线所在直 线方程为 x+y3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最 短总路程为（ ） A10 1 B22 1 C22 D10 4 （5 分）在航天员进行一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第 一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A34 种 B48 种 C96 种 D144 种 5 （5 分）如图，

3、已知 O、A、B 是平面上三点，向量 = ， = 在平面 AOB 上，P 是线段 AB 垂直平分线上任意一点，向量 = ，且|3，| |2，则 （ ）的值 是（ ） A1 2 B3 2 C7 2 D5 2 6 （5 分）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积， “势”即是高，意思是： 若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等， 则这两几何体的体积相等 设 夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为 V1，V2，它们被平行于这两个平面的任意 平面截得的两个截面面积分别为 S1，S2，则“S1S2恒成立”是“V1V2”的（ ） 第 2 页（共 20 页） A充分不必要条件 B必要

4、不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间,1 4， 1 2-内，则输入的实数 x 的取值范围 是（ ） A （，2 B2，1 C1，2 D2，+） 8 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的图象如图所示，则 f（1）+f（4） 的值等于（ ） A 2 2 B2 C2 D1 9 （5 分）已知椭圆 E： 2 11 + 2 2 = 1与双曲线 C： 2 2 2 5 = 1（a0，b0）有相同的焦 点，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A = 35 5 B = 5 3 C = 25 5 D = 5 2 10 （5 分）意大

5、利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，即 F（1）F（2）1，F（n）F（n1）+F（n 2） （n3，nN*） ，此数列在现代物理“准晶体结构” 、化学等都有着广泛的应用若 此数列被 2 整除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前 2019 项的和为（ ） A672 B673 C1346 D2019 第 3 页（共 20 页） 11（5分） 已知定义在R上的奇函数f （x） ， 其导函数f （x） ， 当x0时， 恒有 3 () + ()0， 则不等式 x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为（ ） Ax

6、|3x1 B*| 1 1 3+ Cx|x3 或 x1 Dx|x1 或 1 3+ 12（5 分） 已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是等腰直角三角形， ABAC1，SA 为球 O 的直径，且 SA= 6，则此棱锥的体积为（ ） A 5 6 B 3 3 C2 3 D1 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知等差数列an的公差 d 不为 0， 且 a1， a2， a4成等比数列， 则1 的值为 14 （5 分）甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛， 比赛随即结束

7、，已知任一局甲胜的概率为 p，若甲赢得比赛的概率为 q，则 qp 取得最 大值时 p 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y28x 上一点 P 到焦点的距离为 5， 则点 P 的横坐标为 16 （5 分）设定义在 R 上的函数 f（x）是最小正周期为 2的偶函数，f（x）是 f（x）的导 函数，当 ,0， 2-时，0f（x）1，当 x（0， 2）且 x 4时， （x 4）f（x）0， 则方程 f（x）cos2x 在2，2上的根的个数为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，

8、C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a+b2ccosB， = 3 （1）求角 C； （2）延长线段 AC 到点 D，使 CDCB，求ABD 周长的取值范围 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD120， 侧面 PAB底面 ABCD，BAP90，ABACPA2 （1）求证：平面 PBD平面 PAC； （2）过 AC 的平面交 PD 于点 M，若平面 AMC 把四面体 PACD 分成体积相等的两部 分，求二面角 PMCA 的正弦值 第 4 页（共 20 页） 19 （12 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（

9、c，0） ，F2（c， 0） ，且 a，b，c 成等比数列P（x0，y0）是椭圆上一点，设该椭圆的离心率为 e （）求 e； （）求证：|PF1|a+ex0； （）若点 P 不与椭圆顶点重合，作 PMx 轴于 M，F1PF2的平分线交 x 轴于 N（n， 0） ，试求| |的值 20 （12 分）绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上 种植水果，并推出山村游等旅游项目为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随机抽 样统计了去年 7 月份 100 名游客的购买金额分组如下：0，20） ，20，40） ，100， 120，得到如图所示的频率分布直方图： （1）请用抽样的

10、数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组 区间中点作代表） （2） 若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客， 称为 “水果达人” 填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？ 水果达人 非水果达人 合计 男 10 女 30 合计 （3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案 方案一：每满 80 元可立减 10 元； 方案二：金额超过 80 元可抽奖三次，每次中奖的概率为1 2，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折若每斤水果 10 元，你打算购买 12 斤水 果，请从实际

11、付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案 附：参考公式和数据：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 第 5 页（共 20 页） 临界值表： k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 21 （12 分）已知函数 f（x）a（xe）ex 1（aR） ，g（x）x1 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a1 且 x1 时，求证：f（x）g（x） 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l

12、 的参数方程为 = 3 2 2 = 1 + 2 2 （t 为参数） ，在以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 4cos+6sin （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 与直线 l 交于点 M，N，点 A 的坐标为（3，1） ，求|AM|+|AN| 23已知函数 f（x）|x2| （）解不等式 f（x）+f（2x+1）6； （）对 a+b1（a，b0）及xR，不等式 f（xm）f（x） 4 + 1 恒成立，求 实数 m 的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（6） 参考

13、答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z|3 +i|，i 为虚数单位，则 z 等于（ ） A1i B1+i C1 2 1 2i D1 2 + 1 2i 【解答】解： （1+i）z|3 +i|= 3 + 1 =2， z= 2 1+ = 2(1) (1+)(1) =1i， 故选：A 2 （5 分）设 Ax|x1，Bx|x2x20，则（RA）B（ ） Ax|x1 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 【解答】解：RAx|x1，Bx|1x2； （RA）Bx|1x1

14、故选：B 3 （5 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从 山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角 坐标系中，设军营所在区域为 x2+y21，若将军从点 A（2，0）处出发，河岸线所在直 线方程为 x+y3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最 短总路程为（ ） A10 1 B22 1 C22 D10 【解答】解：设点 A 关于直线 x+y3 的对称点 A（a，b） ， AA的中点为（2+ 2 ， 2） ， = 2 故 2

15、(1) = 1 +2 2 + 2 = 3 解得 = 3 = 1， 要使从点 A 到军营总路程最短， 即为点 A到军营最短的距离， “将军饮马”的最短总路程为32+ 12 1 = 10 1， 故选：A 第 7 页（共 20 页） 4 （5 分）在航天员进行一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第 一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A34 种 B48 种 C96 种 D144 种 【解答】解：根据题意，程序 A 只能出现在第一步或最后一步， 则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列，有 A212 种结果， 又由程序

16、 B 和 C 实施时必须相邻，把 B 和 C 看做一个元素， 同除 A 外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列， 共有 A44A2248 种结果， 根据分步计数原理知共有 24896 种结果， 故选：C 5 （5 分）如图，已知 O、A、B 是平面上三点，向量 = ， = 在平面 AOB 上，P 是线段 AB 垂直平分线上任意一点，向量 = ，且|3，| |2，则 （ ）的值 是（ ） A1 2 B3 2 C7 2 D5 2 【解答】解：连接 OM，根据题意得 = 1 2 ( + ) = 1 2 ( + ) = + = （ ）（ + ） （ ）= 1 2( + )（ ）+ （

17、 ） = ， ，得 （ ）= =0 （ ）= 1 2( + )（ ）= 1 2（ 2 2 ）= 1 2（3 222）=5 2 故选：D 第 8 页（共 20 页） 6 （5 分）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积， “势”即是高，意思是： 若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等， 则这两几何体的体积相等 设 夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为 V1，V2，它们被平行于这两个平面的任意 平面截得的两个截面面积分别为 S1，S2，则“S1S2恒成立”是“V1V2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：根据祖暅原

18、理，由“S1S2恒成立”可得到“V1V2” ，反之不一定 “S1S2恒成立”是“V1V2”的充分不必要条件 故选：A 7 （5 分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间,1 4， 1 2-内，则输入的实数 x 的取值范围 是（ ） A （，2 B2，1 C1，2 D2，+） 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算分段函数 f（x）= 2 ， ,2，2- 2， (， 2) (2，+ )的函数值 第 9 页（共 20 页） 又输出的函数值在区间,1 4 ， 1 2-内， x2，1 故选：B 8 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0

19、，0）的图象如图所示，则 f（1）+f（4） 的值等于（ ） A 2 2 B2 C2 D1 【解答】解：由函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的图象可得 A2， 可得1 4 2 =2，求得 = 4 再由图象过原点可得 0， 故有函数 f（x）2sin（ 4x） ， 可得 f（1）2sin 4 =2，f（4）2sin（ 4 4）0 可得 f（1）+f（4）= 2， 故选：B 9 （5 分）已知椭圆 E： 2 11 + 2 2 = 1与双曲线 C： 2 2 2 5 = 1（a0，b0）有相同的焦 点，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A = 35 5 B = 5 3 C = 25 5 D

20、 = 5 2 【解答】解：椭圆 E 的焦点为（3，0） 故 a23254 双曲线 C： 2 4 2 5 = 1， 双曲线 C 的渐近线方程为 = 5 2 故选：D 10 （5 分）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，即 F（1）F（2）1，F（n）F（n1）+F（n 2） （n3，nN*） ，此数列在现代物理“准晶体结构” 、化学等都有着广泛的应用若 第 10 页（共 20 页） 此数列被 2 整除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前 2019 项的和为（ ） A672 B673 C1346 D2019 【解答

21、】解：an是兔子数列被 2 整除后的余数构成的数列， 由兔子数列得 a11 a21 a30 a41 a51 a60 a71 a81 a90 由不完全归纳可得 an是以 3 为周期的数列 S2019673（a1+a2+a3）67321346 故选：C 11（5分） 已知定义在R上的奇函数f （x） ， 其导函数f （x） ， 当x0时， 恒有 3 () + ()0， 则不等式 x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为（ ） Ax|3x1 B*| 1 1 3+ Cx|x3 或 x1 Dx|x1 或 1 3+ 【解答】解：根据题意，不妨设 g（x）x3f（x） ， 则当 x0 时，()

22、= 32,() + 3 ()- 0， 则 g（x）在（0，+）上单调递增， 又 g（x）x3f（x）为偶函数， 则 g（x）g（|x|） ， x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0x3f（x）（1+2x）3f（1+2x） ，即 g（x）g（1+2x） ， 可知 g（|x|）g（|1+2x|） ， 第 11 页（共 20 页） 则|x|1+2x|，解得：x1 或 x 1 3， 所以不等式 x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为：*| 1或 1 3+， 故选：D 12（5 分） 已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是等腰直角三角形， ABAC1，SA

23、为球 O 的直径，且 SA= 6，则此棱锥的体积为（ ） A 5 6 B 3 3 C2 3 D1 3 【解答】解：如下图所示，取 BC 的中点 M，连接 AM、SM， 由于 SA 为球 O 的直径，则SBASCA90，由勾股定理可得 = = 2 2= 5， = 2+ 2= 2， M 为 BC 的中点，则 = 2 2=5 ( 2 2 )2= 32 2 ， = 1 2 = 2 2 ， 在SAM 中， = 2+22 2 = 1 3， = 1 2 = 22 3 ， 所以，SAM 的面积为1 2 = 1 2 32 2 2 2 22 3 = 2 2 ， 易知，AMBC，SMBC，SMAMM，BC平面 SA

24、M， 因此，三棱锥 SABC 的体积为 VSABCVBSAM+VCSAM = 1 3 2 2 + 1 3 2 2 1 3 2 2 ( + ) = 2 6 2 = 1 3 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知等差数列an的公差 d 不为 0， 且 a1， a2， a4成等比数列， 则1 的值为 1 【解答】解：由题意，可知 2 2 =a1a4， （a1+d）2a1（a1+3d） ， 即1 2 +2a1d+d2= 1 2 +3a1d 第 12 页（共 20 页） 化简，得 a1d 1 =1 故答案为：1 14

25、（5 分）甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛， 比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为 p，若甲赢得比赛的概率为 q，则 qp 取得最 大值时 p 3+3 6 【解答】解：解：如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲前二局全胜；前二局甲一胜一负，第三局甲胜， q= 2+ 2 1 (1 ) =p2+2p2（1p）2p3+3p2， （0p1） ， 令 f（p）qp2p3+3p2p（0p1） ， f（p）6p2+6p1， 令6p2+6p10 可得，p= 33 6 ， 0p1， 当 p（0，33 6 ）时，f（p）单调递减， 当 p（33 6 ，3+3 6 ）时

26、， f（p）单调递增， 当 p（3+3 6 ，1）时，f（p）单调递减， 当 p= 3+3 6 ，f（p）有最大值 f（3+3 6 ）= 3 18 故答案为：3+3 6 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y28x 上一点 P 到焦点的距离为 5， 则点 P 的横坐标为 3 【解答】解：抛物线 y28x2px， p4， 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， |PF|x+25， x3， 故答案为：3 第 13 页（共 20 页） 16 （5 分）设定义在 R 上的函数 f（x）是最小正周期为 2的偶函数，f（x）是 f（x）的导 函数，当 ,

27、0， 2-时，0f（x）1，当 x（0， 2）且 x 4时， （x 4）f（x）0， 则方程 f（x）cos2x 在2，2上的根的个数为 8 【解答】解：当 x0， 2时，0f（x）1，f（x）为偶函数， 当 x（0， 2）且 x 4时， （x 4）f（x）0， x0， 4时，f（x）为单调增函数；x 4， 2时，f（x）为单调减函数， 在同一坐标系中作出 ycos2x 和 yf（x）草图象如下， 由图知 f（x）cos2x 在2，2上的零点个数为 8 个 故答案为 8 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的

28、内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2a+b2ccosB， = 3 （1）求角 C； （2）延长线段 AC 到点 D，使 CDCB，求ABD 周长的取值范围 【解答】解： （1）根据余弦定理得2 + = 2 2+22 2 ， 整理得：a2+b2c2ab， 由余弦定理可得 cosC= 2+22 2 = 2 = 1 2， 由于 C（0，） ， 可得 C= 2 3 第 14 页（共 20 页） （2）由于 C= 2 3 ，即BCD= 3，又 CDCB， 可得BCD 为等边三角形，可得 BDCDa， 所以ABD 的周长 L2a+b+3， 由正弦定理 = = = 3 3 2 = 2， 所以

29、：a2sinA，b2sinB， 因为：A= 3 B， 又 B（0， 3） ，可得 cosB（ 1 2，1） ， 所以 2a+b4sinA+2sinB4sin（ 3 B）+2sinB4（ 3 2 cosB 1 2sinB）+2sinB23cosB， 所以2 + (3，23)， 所以周长 L2a+b+3的取值范围是（23，33） 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD120， 侧面 PAB底面 ABCD，BAP90，ABACPA2 （1）求证：平面 PBD平面 PAC； （2）过 AC 的平面交 PD 于点 M，若平面 AMC 把四面体 PACD 分

30、成体积相等的两部 分，求二面角 PMCA 的正弦值 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）证明：因为BAP90，则 PAAB， 又侧面 PAB底面 ABCD， 面 PAB面 ABCDAB，PA面 PAB，则 PA面 ABCD， BD面 ABCD，则 PABD，又因为BCD120，ABCD 为平行四边形， 则ABC60，又 ABAC，则ABC 为等边三角形， 则 ABCD 为菱形，则 BDAC， 又 PAACA，则 BD面 PAC，BD面 PBD， 则面 PAC面 PBD （2）由平面 AMC 把四面体 PACD 分成体积相等的两部分， 则 M 为 PD 中点，取 BC 中点 N，连

31、接 AN，由 ABAC，知 ANBC， 由（1）知 PA平面 ABCD，以 AN，AD，AP 为 x，y，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则(3， 1，0)，(3，1，0)，D（0，2，0） ，P（0，0，2） ， 则中点 M 为（0，1，1） ， 设面 MPC 的法向量为1 = (1，1，1)，则 1 = 0 1 = 0 ， 可取1 = ( 3 3 ，1，1) 设面 MAC 的法向量为2 = (2，2，2)，则 2 = 0 2 = 0 ， 可取2 = (1， 3，3) 设二面角 PMCA 的大小为 ，则| = | 1 2 |1 |2 | | = 1 7， 则二面角 PMCA 的正弦

32、值为43 7 19 （12 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c， 0） ，且 a，b，c 成等比数列P（x0，y0）是椭圆上一点，设该椭圆的离心率为 e 第 16 页（共 20 页） （）求 e； （）求证：|PF1|a+ex0； （）若点 P 不与椭圆顶点重合，作 PMx 轴于 M，F1PF2的平分线交 x 轴于 N（n， 0） ，试求| |的值 【解答】解： （）a，b，c 成等比数列， b2aca2c2ac1e2e 解得 = 15 2 又e（0，1） ， = 51 2 （）P（x0，y0）在椭圆上， 0 2 2 + 0 2 2

33、 = 1 0 2 = 2 20 2 2 |1| = (0+ )2+ 0 2 =0 2 + 20+ 2+ (2 2 2 0 2) = (1 2 2)0 2 + 20+ 2+ 2= 2 2 0 2 + 20+ 2= ( + 0) 2 = | + 0| x0a，a，a+ex0ac0，|PF1|a+ex0 （）由题意可得点 M（x0，0） ，|OM|x0| PN 为F1PF2的平分线， 有| 2| |1| = |2| |1| |2|+|1| |1| = |2|+|1| |1| ，即 2 |1| = 2 |1| |1| = |1| = ( + 0) = + 20， | = |1| |1| = 2|0|

34、故| | = 2= (51 2 )2= 35 2 20 （12 分）绿水青山就是金山银山某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上 种植水果，并推出山村游等旅游项目为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随机抽 样统计了去年 7 月份 100 名游客的购买金额分组如下：0，20） ，20，40） ，100， 120，得到如图所示的频率分布直方图： （1）请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组 第 17 页（共 20 页） 区间中点作代表） （2） 若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客， 称为 “水果达人” 填写下面列联表， 并根据列联表判断

35、是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？ 水果达人 非水果达人 合计 男 10 女 30 合计 （3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案 方案一：每满 80 元可立减 10 元； 方案二：金额超过 80 元可抽奖三次，每次中奖的概率为1 2，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折若每斤水果 10 元，你打算购买 12 斤水 果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案 附：参考公式和数据：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 临界值表： k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.8

36、79 P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 【解答】解： （1）利用频率分布直方图，计算平均数为 = (10 0.005 + 30 0.0075+ 50 0.010 + 70 0.0125 + 90 0.010 + 110 0.005) 20 =62； 估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额为 62 元；（3 分） （2）根据题意填写列联表如下； 第 18 页（共 20 页） 水果达人 非水果达人 合计 男 10 40 50 女 20 30 50 合计 30 70 100 （5 分） 由表中数据，计算2= 100(10302040)2 50503070

37、= 4.7613.841， 因此有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系；（7 分） （3）若选方案一：则需付款 101210110 元；（8 分） 若选方案二：设付款 X 元，则 X 可能取值为 84，96，108，120； （9 分） 计算( = 84) = 3 3(1 2) 3 = 1 8， ( = 96) = 3 2(1 2) 2 1 2 = 3 8， ( = 108) = 3 1 1 2 (1 2) 2 = 3 8， ( = 120) = 3 0(1 2) 3 = 1 8， 所以() = 84 1 8 + 96 3 8 + 108 3 8 + 120 1 8 = 102（元） ；

38、 （11 分） 因为 102110，所以选择方案二更划算（12 分） 21 （12 分）已知函数 f（x）a（xe）ex 1（aR） ，g（x）x1 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a1 且 x1 时，求证：f（x）g（x） 【解答】解： （1）由题意，得 f（x）aex 1+（xe）ex1aex1（1+xe）1 分 若 a0，令 f（x）0，得 xe1，令 f（x）0，得 xe1 故函数 f（x）在（，e1）上单调递减，在（e1，+）上单调递增；2 分 若 a0，令 f（x）0，得 xe1，令 f（x）0，得 xe1 故函数 f（x）在（，e1）上单调递增，在（e1，+）上单调

39、递减；3 分 若 a0，令 f（x）0，为常量函数，不存在单调性4 分 （2）证明：当 a1 时，f（x）（xe）ex 1，则证 f（x）g（x） ，即证（xe）ex1 第 19 页（共 20 页） x1， 不等式两端同时除以 ex，即证 1 ，得+1 + 1，5 分 记函数 p（x）= +1 + ，则 p（x）= + 1 = 1 设 q（x）= 1 e xx，6 当 x1 时，q（x）ex 110，所以函数 q（x）在（1，+）上单调递增 所以当 x1 时，q（x）q（1）= 1 e 1108 分 所以 p（x）0， 所以函数 p（x）在（1，+）上单调递增 所以 p（x）p（1）= 1+1

40、 + 1 = 3 1， 即+1 + 1 成立， 故 f（x）g（x）得证12 分 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = 3 2 2 = 1 + 2 2 （t 为参数） ，在以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 4cos+6sin （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 与直线 l 交于点 M，N，点 A 的坐标为（3，1） ，求|AM|+|AN| 【解答】解： （1）曲线 C 的方程 4cos+6sin， 24cos+6sin，x2+y24x+6y， 即曲线 C 的直角坐标方程为： （x2）2+（y3）213 （2）把直线： = 3 2 2 = 1 + 2 2 代入曲线 C 得(1 2 2 )2+ (2 + 2 2 )2= 13， 整理得，2 32 8 =