2021年新高考数学模拟试卷（15）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（15） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 A1，+） ，B0，3a1，若 AB，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，+） B1 2 ，1 C2 3 ，+ ） D （1，+） 2 （5 分）复数 z 满足（2i）z|3+4i|（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A2+i B2i C2i D2+i 3（5 分） 0 函数() = 2 + 2 在 4 ， 3上单调递增， 则 的范围是 （ ） A(0， 2 3 B(0， 3 2 C （0

2、，2 D2，+） 4 （5 分）在等差数列an中，a2+a100，a6+a84，则其公差为（ ） A2 B1 C1 D2 5 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，点 M 为线段 AB 的中点，点 N 在线段 BD 上， 若 = + ，则 + 的取值范围为（ ） A2，5 B （2，5） C （1 2 ，5） D1 2 ，5 6 （5 分）已知函数 f（x）sin 2x1（x0） ，g（x）logax（a0 且 a1 ） 若它们的 图象上存在关于 y 轴对称的点至少有 3 对，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0， 5 5 ） B （ 5 5 ，1） C （ 3 3 ，1） D

3、（0， 3 3 ） 7 （5 分）棱长为 a 的正四面体 ABCD 与正三棱锥 EBCD 的底面重合，若由它们构成的多 面体 ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥 EBCD 的内切球半径为（ ） A32:6 12 a B33;6 12 a C33:6 12 a D32;6 12 a 8 （5 分）设双曲线 C： 2 2 2 9 =1（a0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1且斜率 为1 3的直线与双曲线的两条渐近线相交于 A，B 两点，若|F2A|F2B|，则该双曲线的离心 率为（ ） A6 B5 C 6 2 D 5 2 二选择题（共二选择题（共 4 小题，满分小题，满分 2

4、0 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） 已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表， 第一行为 1， 第二行为 3， 5， 第三行为 7，9，11，第四行为 13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 i 行， 第 2 页（共 19 页） 第 j 列的数记为 ai，j， 比如 a3，29， a4，215， a5，423， 若 ai，j2017， 则 i+j （ ） A64 B65 C71 D72 10 （5 分）对于函数 f（x）sin（cosx） ，下列结论正确的是（ ） Af（x）为偶函数 Bf（x）的一个周期为 2 Cf（x）的值域为sin1，sin1

5、Df（x）在0，单调递增 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下面结论正确的是（ ） ABD平面 CB1D1 BAC1BD C平面 ACC1A1CB1D1 D异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60 12 （5 分）定义“正对数” ：: = 0 01 1 ，若 a0，b0，则下列结论中正确的 是（ ） Aln+abbln+a Bln+（ab）ln+a+ln+b C:( ) : : Dln+（a+b）ln+a+ln+b 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）= 2，0 5 ( 5)，

6、 5，那么 f（18）的值 第 3 页（共 19 页） 14 （5 分）在如图所示的矩形 ABCD 中，点 E、P 分别在边 AB、BC 上，以 PE 为折痕将 PEB 翻折为PEB，点 B恰好落在边 AD 上，若 = 1 3 ， = 2，则折痕 PE 15 （5 分）已知椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、右焦点分别为 F1、F2，若椭圆上的点 P 满足|PF1| 2|PF2|，则|PF1| 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an1，若集合 Mn|n（n+1）an， nN*中有 3 个元素，则 的取值范围是 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 7

7、0 分）分） 17（10 分） 如图， 在ABC 中， 已知点 D 在边 BC 上， 且DAC90， sinBAC= 22 3 ， AB 32，AD3 （1）求 BD 长； （2）求 cosC 18 （12 分） 设an是等比数列， 公比大于 0， 其前 n 项和为 Sn（nN*） ， bn是等差数列 已 知 a11，a3a2+2，a4b3+b5，a5b4+2b6 （1）求an和bn的通项公式； （2）求 1 bkSk 19 （12 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 4，DAB60，矩形 BDFE 的面积为 8，且平 面 BDFE平面 ABCD （1）证明：ACBE； （2）求二面角 EAF

8、D 的正弦值 第 4 页（共 19 页） 20 （12 分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机 统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为 P 元）的情 况，并根据统计数据制成如下频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图估算 P 的平均值； （2）视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取 3 次，每次抽取 1 户，每次 抽取相互独立， 设 为抽出 3 户中 P 值不低于 65 元的户数， 求 的分布列和期望 E （） 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左、右焦点分别为点 F1，F2，其离心 率为

9、1 2，短轴长为23 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 F1的直线 l1与椭圆 C 交于 M，N 两点，过点 F2的直线 l2与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 l1l2，证明：四边形 MNPQ 不可能是菱形 22 （12 分）设函数 f（x）ax2+（a2）xlnx 的极小值点为 x0 （）若 x01，求 a 的值 f（x）的单调区间； （）若 0x01，在曲线 yf（x）上是否存在点 P，使得点 P 位于 X 轴的下方？若存 在，求出一个点 P 坐标，若不存在，说明理由 第 5 页（共 19 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（15） 参考答案与试题解析参

10、考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 A1，+） ，B0，3a1，若 AB，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，+） B1 2 ，1 C2 3 ，+ ） D （1，+） 【解答】解：A1，+） ，B0，3a1，若 AB， 则：3a11；解得：a2 3 ，+ ） 则实数 a 的取值范围是：2 3 ，+ ） ； 故选：C 2 （5 分）复数 z 满足（2i）z|3+4i|（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A2+i B2i C2i D2+i 【解答】解：由（2i）z|3+4i|5，得 z= 5 2 =

11、5(2+) (2)(2+) = 2 + ， = 2 故选：C 3（5 分） 0 函数() = 2 + 2 在 4 ， 3上单调递增， 则 的范围是 （ ） A(0， 2 3 B(0， 3 2 C （0，2 D2，+） 【解答】解：() = 2 + 2 =sin 2 cos 2 = 1 2sin（x） ， 由 4 ， 3上单调递增， 3 2，得 0 3 2， 故选：B 4 （5 分）在等差数列an中，a2+a100，a6+a84，则其公差为（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：等差数列an中，a2+a1002a6，a6+a842a7， 解得：a60，a72， 则其公差202 故选：D 第

12、6 页（共 19 页） 5 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，点 M 为线段 AB 的中点，点 N 在线段 BD 上， 若 = + ，则 + 的取值范围为（ ） A2，5 B （2，5） C （1 2 ，5） D1 2 ，5 【解答】 解： 依题意， 以 AB 所在的直线为 x 轴， AD 所在的直线为 y 轴建立如图坐标系， 则 A（0，0） ，D（0，2） ，C（3，2） 因为 N 点在线段 BD 上，BD 所在直线的方程为 3 + 2 = 1，即 2x+3y6， 设 N 点坐标为（x，6;2 3 ） ， 则 =（x，6;2 3 ） ， =（3 2，2） ， =（3，2） ，

13、 所以（3，2）= (， 62 3 ) + (3 2， 2)， 即 + 3 2 = 3 62 3 = 2 ，解得 = 18 6+2 = 128 6+2 ， 所以 += 18 6+2 + 128 6+2 = 8+30 2+6 = 4(2+6)+54 2+6 = 54 2+6 4， （x0，3） ， 令 f（x）= 54 2+6 4， （x0，3） ， 则 f（x）= 108 (2+6)2， 当 x0，3，时，f（x）0， 所以 f（x）在0，3上单调递减，所以 f（3）f（x）f（0） ， 所以 f（x）1 2，5， 故选：D 6 （5 分）已知函数 f（x）sin 2x1（x0） ，g（x）l

14、ogax（a0 且 a1 ） 若它们的 第 7 页（共 19 页） 图象上存在关于 y 轴对称的点至少有 3 对，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0， 5 5 ） B （ 5 5 ，1） C （ 3 3 ，1） D （0， 3 3 ） 【解答】解：若 x0，则x0，x0 时，f（x）sin（ 2x）1， f（x）sin（ 2x）1sin（ 2x）1， 则若 f（x）sin（ 2x）1（x0）的图象关于 y 轴对称， 则 f（x）sin（ 2x）1f（x） ，即 ysin（ 2x）1，x0 设 g（x）sin（ 2x）1，x0，作出函数 g（x）的图象， 要使 ysin（ 2x）1，x0

15、与 f（x）logax，x0 的图象至少有 3 个交点， 则 0a1 且满足 g（5）f（5） ，即2loga5，即 loga5logaa 2， 则 5 1 2，0a 5 5 ， 故选：A 7 （5 分）棱长为 a 的正四面体 ABCD 与正三棱锥 EBCD 的底面重合，若由它们构成的多 面体 ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥 EBCD 的内切球半径为（ ） A32:6 12 a B33;6 12 a C33:6 12 a D32;6 12 a 【解答】解：由题意多面体 ABCDE 的外接球既是四面体 ABCD，由题意可知 AE面 BCD 交于 F，连接 CF，则 CF= 2 3

16、 3 2 = 3 3 ，且 AE 为外 第 8 页（共 19 页） 接球的直径，可得 AF= 2 2=2 ( 3 3 )2= 6 3 a， 设三角形 BCD 的外接圆的半径为 r，则 2r= 60 = 3 2 ，解得 r= 3，设外接球的半径 为 R， 则 R2r2+ （AFR） 2 可得 2AFRr2+AF2， 即 2 6 3 R= 2 3 + 62 9 ， 解得 R= 6 4 a， 设正三棱锥 EBCD 的高为 h，因为 AE2R= 6 2 ，所以 hEF2RAF（ 6 2 6 3 ） a= 6 6 a， 所以 BECEDE= 2+ 2=1 6 + 1 3a= 2 2 a，而 BDBCCD

17、a， 所以可得正三棱锥 EBCD 的三条侧棱两两相互垂直， 所以（SEBCD）表面积SBCD+3SBDE 3 4 +3 1 2 ( 2 2 )2a2= 3+3 4 a2， 设内切圆的半径为 R， VEBDC= 1 3SBCDEF= 1 3 （SEBCD）表面积R，即 1 3 3 4 2 6 6 = 1 3 3:3 4 a2R解得： R= 326 12 a 故选：D 8 （5 分）设双曲线 C： 2 2 2 9 =1（a0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1且斜率 为1 3的直线与双曲线的两条渐近线相交于 A，B 两点，若|F2A|F2B|，则该双曲线的离心 率为（ ） A6 B5 C

18、6 2 D 5 2 【解答】解：双曲线 C：双曲线 C： 2 2 2 9 =1（a0）的左、右焦点分别为 F1（c， 0） ，F2（c，0） ， 过点 F1且斜率为1 3的直线为： y= 1 3（x+c） ， 双曲线的渐近线 bxay0， 可得 A（ 3+， 3:） ，B（ 3， 3;） ， 1 2（ 3+ 3）= 3 922， 1 2（ 3: + 3;）= 32 922， 第 9 页（共 19 页） 可得 AB 的中点坐标 Q（ 3 922， 32 92;2） ， |F2A|F2B|，k 2= 3 可得： 3 922 32 922 = 3，解得 2ba，所以 4c24a2a2， 可得 e=

19、5 2 故选：D 二选择题（共二选择题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） 已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表， 第一行为 1， 第二行为 3， 5， 第三行为 7，9，11，第四行为 13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 i 行， 第 j 列的数记为 ai，j， 比如 a3，29， a4，215， a5，423， 若 ai，j2017， 则 i+j （ ） A64 B65 C71 D72 【解答】解：ai，j2017，奇数数列 an2n12017，解得 n1009， 按照蛇形排列，第 1 行到第 i 行共有

20、1+2+i= (1+) 2 个奇数， 则第 1 行列第 44 行末共有 990 个奇数， 第 1 行到第 45 行末共有 1035 个奇数， 则 2017 位于第 45 行， 而第 45 行是从右到左依次递增，且共有 45 个奇数， 2017 位于第 45 行，从右到左第 19 列， 则 i45，j27，i+j45+2772 第 10 页（共 19 页） 故选：D 10 （5 分）对于函数 f（x）sin（cosx） ，下列结论正确的是（ ） Af（x）为偶函数 Bf（x）的一个周期为 2 Cf（x）的值域为sin1，sin1 Df（x）在0，单调递增 【解答】解：函数 f（x）sin（cos

21、x） ，由 f（x）sin（cos（x） ）sin（cosx） ，可 得 f（x）为偶函数，故 A 正确； 由 f（x+2）sin（cos（x+2） ）sin（cosx）f（x） ，故 f（x）的一个周期为 2，故 B 正确； 由1cos1， 且1，1 2， 2，可得 f（x）的值域为sin（1） ，sin1， 即sin1， sin1，故 C 正确； 由 ycosx 在0，递减，且 cosx1，0，而1，0是 ysinx 的增区间，可得 ysin （cosx）在0，递减，故 D 错误 故选：ABC 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下面结论正确的是（ ） ABD平面

22、CB1D1 BAC1BD C平面 ACC1A1CB1D1 D异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60 【解答】解：对于 A，ABCDA1B1C1D1为正方体，BDB1D1，由线面平行的判定 可得 BD面 CB1D1，A 正确； 对于 B，连接 AC，ABCDA1B1C1D1为正方体，BDAC，且 CC1BD，由线面垂 直的判定可得 BD面 ACC1，BDAC1，B 正确； 第 11 页（共 19 页） 对于 C，由上可知 BD面 ACC1，又 BDB1D1，B1D1面 ACC1，则平面 ACC1A1 CB1D1，C 正确； 对于 D， 异面直线 AD 与 CB1所成的角即为直线 BC 与 C

23、B1所成的角， 为 45， D 错误 故选：ABC 12 （5 分）定义“正对数” ：: = 0 01 1 ，若 a0，b0，则下列结论中正确的 是（ ） Aln+abbln+a Bln+（ab）ln+a+ln+b C:( ) : : Dln+（a+b）ln+a+ln+b 【解答】解：对于 A，由定义，当 a1 时，ab1，故 ln+（ab）ln（ab）blna，又 bln+ablna， 故有 ln+（ab）bln+a； 当 0a1 时，ab1，故 ln+（ab）0，又 a1 时 bln+a0，所以此时亦有 ln+（ab） bln+a 由上判断知 A 正确； 对于 B，此命题不成立，可令 a2

24、，b= 1 3，则 ab= 2 3，由定义 ln +（ab）0，ln+a+ln+b ln2， 所以 ln+（ab）ln+a+ln+b；由此知 B 错误； 对于 C，当 ab0 时， 1，此时 ln+（ ）ln （ ）0， 当 ab1 时，ln+aln+blnalnbln（ ） ，此时命题成立； 当 a1b 时，ln+aln+blna，此时 a，故命题成立； 同理可验证当 1ab0 时，ln+（ ）ln +aln+b 成立； 当 1 时，同理可验证是正确的，故 C 正确； 第 12 页（共 19 页） 对于 D，若 0a+b1，b0 时，左0，右端0，显然成立； 若 a+b1，则 ln+（a+b

25、）ln+a+ln+b+ln2ln+: 2 ln+a+ln+b，成立，故 D 错误， 故选：AC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）= 2，0 5 ( 5)， 5，那么 f（18）的值 9 【解答】解：函数 f（x）= 2，0 5 ( 5)， 5， f（18）f（35+3）f（3）329 故答案为：9 14 （5 分）在如图所示的矩形 ABCD 中，点 E、P 分别在边 AB、BC 上，以 PE 为折痕将 PEB 翻折为PEB，点 B恰好落在边 AD 上，若 = 1 3 ， = 2，则折痕 PE 27 8

26、 【解答】解：设 BEx，则 BEx，AE2x， sinEPB= = 1 3，PE3x， 且 cosBEPsinEPB= 1 3， 由PBEPBE 可得PEBPEB， cosBEBcos2BEP2cos2BEP1= 7 9， cosAEB= 7 9，即 = 2; = 7 9， 解得 x= 9 8 PE3x= 27 8 第 13 页（共 19 页） 故答案为：27 8 15 （5 分）已知椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、右焦点分别为 F1、F2，若椭圆上的点 P 满足|PF1| 2|PF2|，则|PF1| 4 【解答】解：椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、右焦点分别为 F1、F2， 椭

27、圆上的点 P 满足|PF1|2|PF2|， 因为|PF1|+|PF2|2a6，所以|PF1|4 故答案为：4 16 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an1，若集合 Mn|n（n+1）an， nN*中有 3 个元素，则 的取值范围是 （2，5 2 【解答】解：因为 Sn2an1， 当 n2 时，Sn12an11， 两式相减可得，an2an2an1， 即 an2an1（n2） ， 故 S12a11，即 a11， 故数列an是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 所以 an2n 1， 由 n（n+1）an，可得 (+1) 21 ， 令 f（n）= (+1) 21 ，则可

28、得 f（n+1）f（n）= (+1)(+2) 2 (+1) 21 = (+1)(2) 2 ， 当 n3 时，f（n+1）f（n） ，且 f（1）2，f（2）3，f（3）3，f（4）= 5 2，f（5） = 15 8 ， 由题意知 (+1) 21 解的个数为 3 个， 故 2 5 2 故答案为： （2，5 2 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17（10 分） 如图， 在ABC 中， 已知点 D 在边 BC 上， 且DAC90， sinBAC= 22 3 ， AB 32，AD3 第 14 页（共 19 页） （1）求 BD 长； （2）求 cosC 【解答】 （

29、本小题满分 12 分） 解： （1）DAC90， sinBACsin（ 2 +BAD）cosBAD， cosBAD= 22 3 ，（2 分） 在ABD 中，由余弦定理得，BD2AB2+AD22ABADcosBAD，（4 分） 即 BD218+92 32 3 22 3 =3，得 BD= 3（6 分） （2）由 cosBAD= 22 3 ，得 sinBAD= 1 3，（8 分） 在ABD 中，由正弦定理，得： = sinADB= = 321 3 3 = 6 3 ，（10 分） ADBDAC+C= 2 +C， cosC= 6 3 （12 分） 18 （12 分） 设an是等比数列， 公比大于 0，

30、其前 n 项和为 Sn（nN*） ， bn是等差数列 已 知 a11，a3a2+2，a4b3+b5，a5b4+2b6 （1）求an和bn的通项公式； （2）求 1 bkSk 【解答】解： （1）an是等比数列，公比 q 大于 0， a11，a3a2+2，可得 q2q20，解得 q2（1 舍去） ， an2n 1； 第 15 页（共 19 页） bn是公差为 d 的等差数列，a4b3+b5，a5b4+2b6 可得 b3+b58，b4+2b616， 则 b44，b66，可得 d1， 则 bnb4+n4n； （2）Sn= 12 12 =2n1， 1 bkSk（12+24+38+n2n）（1+2+3+

31、n） ， 设 Tn12+24+38+n2n， 2Tn14+28+316+n2n+1， 相减可得Tn2+4+8+2nn2n+1 = 2(12) 12 n2n+1， 化为 Tn2+（n1） 2n+1， 则 1 bkSk2+（n1） 2n+1 1 2n（n+1） 19 （12 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 4，DAB60，矩形 BDFE 的面积为 8，且平 面 BDFE平面 ABCD （1）证明：ACBE； （2）求二面角 EAFD 的正弦值 【解答】证明： （1）四边形 BDEF 是矩形，BEBD， 平面 BDEF平面 ABCD，且平面 BDEF平面 ABCDBD， BE平面 BDFE， B

32、E平面 ABCD， AC平面 ABCD，ACBE 解： （2）设 AC，BD 的交点为 O，建立空间直角坐标系， 菱形 ABCD 的边长为 4，且DAB60，BD4， 第 16 页（共 19 页） 矩形 BDEF 的面积为 8，BE2， 则 A（23，0，0） ，D（0，2，0） ，E（0，2，2） ，F（0，2，2） ， =（0，4，0） ， =（23，2，2） ， =（23，2，0） ， 设平面 AEF 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 4 = 0 = 23 + 2 + 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，0，3） ， 设平面 ADF 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 23 +

33、 2 + 2 = 0 = 23 + 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，3，0） ， 设二面角 EAFD 的平面角为 ， 则 cos= | | | |= 1 44 = 1 4， sin=1 1 16 = 15 4 二面角 EAFD 的正弦值为 15 4 20 （12 分）我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机 统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为 P 元）的情 况，并根据统计数据制成如下频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图估算 P 的平均值； （2）视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取 3 次，每次抽取 1 户，每次

34、抽取相互独立， 设 为抽出 3 户中 P 值不低于 65 元的户数， 求 的分布列和期望 E （） 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1） =（300.014+400.026+500.036+600.014+700.01）1048 （2）由已知，三次随机抽取为 3 次独立重复试验，且每次抽取到十月人均生活支出增加 不低于 65 元的的概率为 0.1， 则 B（3，0.1） ，( = ) = 3 0.1 0.93;( = 0，1，2，3)P（0）0.729， P（1）0.243，P（2）0.027，P（3）0.001 的分布列为 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027

35、 0.001 E（）30.10.3 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的左、右焦点分别为点 F1，F2，其离心 率为1 2，短轴长为23 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 F1的直线 l1与椭圆 C 交于 M，N 两点，过点 F2的直线 l2与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 l1l2，证明：四边形 MNPQ 不可能是菱形 【解答】 （1）解：由已知，得 = 1 2， = 3， 又 c2a2b2， 故解得 a24，b23， 所以椭圆 C 的标准方程为 2 4 + 2 3 = 1 （2）证明：由（1） ，知 F1（1，0） ，如图， 易知直线 MN 不能

36、平行于 x 轴， 所以令直线 MN 的方程为 xmy1，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立方程3 2 + 42 12 = 0 = 1 第 18 页（共 19 页） 得（3m2+4）y26my90， 所以1+ 2= 6 32+4，12 = 9 32+4 此时| = (1 + 2)(1+ 2)2 412 同理，令直线 PQ 的方程为 xmy+1，P（x3，y3） ，Q（x4，y4） ， 此时3+ 4= 6 32+4，34 = 9 32+4， 此时| = (1 + 2)(3+ 4)2 434， 故|MN|PQ|所以四边形 MNPQ 是平行四边形 若平行四边形 MNPQ 是菱形，则 OMO

37、N，即 = 0， 于是有 x1x2+y1y20 又 x1x2（my11） （my21）m2y1y2m（y1+y2）+1， 所以有（m2+1）y1y2m（y1+y2）+10， 整理得到;12 2;5 32:4 = 0， 即 12m2+50， 上述关于 m 的方程显然没有实数解， 故四边形 MNPQ 不可能是菱形 22 （12 分）设函数 f（x）ax2+（a2）xlnx 的极小值点为 x0 （）若 x01，求 a 的值 f（x）的单调区间； （）若 0x01，在曲线 yf（x）上是否存在点 P，使得点 P 位于 X 轴的下方？若存 在，求出一个点 P 坐标，若不存在，说明理由 【解答】 解：（）

38、 f （x） 定义域为 （0， +） .() = 2 + ( 2) 1 = 22+(2)1 = (2+1)(1) 由已知，得 f（1）0，解得 a1 当 a1 时，() = (2+1)(1) ， 第 19 页（共 19 页） 当 0x1 时，f（x）0；当 x1 时，f（x）0 所以 f（x）的递减区间为（0，1） ，单调递增区间为（1，+） 所以 a1 时函数 f（x）在 x1 处取得极小值 即 f（x）的极小值点为 1 时 a 的值为 1（6 分） （ II） 当 0x01 时，曲线 yf（x）上不存在点 P 位于 x 轴的下方，理由如下： 由（ I）知() = (2+1)(1) ， 当

39、a0 时，f（x）0，所以 f（x）在（0，+）单调递减，f（x）不存在极小值点； 当 a0 时，令() = (2+1)(1) = 0，得 = 1 当 (0， 1 )时，f（x）0，f（x）在区间(0， 1 )上单调递减； 当 (1 ， + )时，f（x）0，f（x）在区间(1 ， + )上单调递增 所以(1 ) = + 1 1 是 f（x）在（0，+）上的最小值 由已知，若 0x01，则有0 1 1，即 a1 当 a1 时，lna0，且0 1 1，1 1 0 所以(1 )0 当 0x01 时，曲线 yf（x）上所有的点均位于 x 轴的上方 故当 0x01 时，曲线 yf（x）上不存在点 P 位于 x 轴的下方（13 分）