2021年新高考数学模拟试卷（24）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（24） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）1i，则复数 z 的共轭复数在复平面 上对应的点为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，0） D （0，1） 2 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 3 （5 分）随机变量 N（，2） ，若 P（1）0.3，P（15）0.4，则 （ ） A1 B2

2、C3 D4 4 （5 分）已知 = 21.2， = 30.6， = 8 3，则（ ） Abac Babc Cbca Dacb 5 （5 分）若 f（x）xexa 有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （1 ，+） B （0，1 ） C （ 1 ，+） D （ 1 ，0） 6 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的所有棱长均相等，点 E，F 分别在线段 PA，PC 上，且 EF底面 ABCD，则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 7 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0） ，过左焦点作圆 x2+y2a2的切线（切 点在第二

3、象限） ，若该切点为左焦点和切线与渐近线 = 交点的中点，则双曲线的离心 率是（ ） A2 B3 C2 D5 8 （5 分）2019 年 10 月 1 日在庆祝中华人民共和国成立 70 周年大阅兵的徒步方队中，被誉 为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所 院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为1 3， 1 4， 1 6， 这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（ ） A1 3 B 5 12 C 7 12 D2 3 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）如图

4、，已知点 O 为正六边形 ABCDEF 中心，下列结论中正确的是（ ） 第 2 页（共 17 页） A + + = 0 B( ) ( ) = 0 C( ) = ( ) D| + | = | + | 10 （5 分）已知函数() = 2 + 23 2，xR，则（ ） A2f（x）2 Bf（x） 在区间（0，）上只有 1 个零点 Cf（x） 的最小正周期为 Dx= 3为 f（x）图象的一条对称轴 11 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn+1Sn+2an+1，数列* 2 +1+的前 n 项和为， ，则下列选项正确的为（ ） A数列an+1是等差数列 B数列an+1是等比数列

5、C数列an的通项公式为= 2 1 DTn1 12 （5 分）已知函数 f（x）2sin（2x 3）+1，则下列说法正确的是（ ） Af（ 6 x）2f（x） Bf（x 6）的图象关于 x= 12对称 C若 0x1x2 2，则 f（x1）f（x2） D若 x1，x2，x3 3， 2，则 f（x1）+f（x2）f（x3） 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 P（a，b）在直线 x+y30 上运动，当点 P 位于第一象限时，则 +4的 最大值为 第 3 页（共 17 页） 14 （5 分） 已知函数 f （x） 的定义域

6、为 R， f （x+1） 为奇函数， f （0） 1， 则 f （2） 15（5 分） 若(3 + 1 2) 展开式中的各项系数之和为 1024， 则 n ， 常数项为 16 （5 分）已知圆 C： （xa） 2+（y2）24，直线 l：x+ay10 与圆 C 交于 A，B 两点， 且ABC 为等腰直角三角形，则实数 a 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知数列an为等差数列，Sn为an的前 n 项和，a3+a518，S3+S550数 列bn为等比数列，且 b1a1，3b2a1a4 （1）求an和bn的通项公式； （2）求数列* 1 21

7、+ +的前 n 项和 Tn 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2bcosC+c2a （1）求角 B 的大小； （2）若 a5，b7，求 c 的长 19 （12 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB4，AD2，ABC= 3，E 为 CD 中点将 ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，得到如图所示的四棱锥 PABCE （1）求证：平面 PAE平面 PBE； （2）求直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值 20 （12 分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投 入为了对新研发的产品进行合理定价，将该

8、产品按事先拟定的价格试销，得到一组检 测数据如表所示： 试销价格 （元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 （件） 89 83 82 79 74 67 已知变量 x，y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方 程分别为：甲 = 4 + 53；乙 = 4 + 105；丙 = 4.6 + 104，其中有且仅有一位 第 4 页（共 17 页） 同学的计算结果是正确的 （1）试判断谁的计算结果正确？ （2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1，则称该检测数据是 “理想数据” ，现从检测数据中随机抽取 3 个，求“理想数据”的个数 X 的分布列和数学 期望

9、21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 22 （12 分）已知函数() = ( )( ) （1）若 f（x）在（1，f（1） ）处的切线为 x 轴，求证 f（x）0； （2）若 f（x）0，求 a 的取值范围， 第 5 页（共 17 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（24） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已

10、知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）1i，则复数 z 的共轭复数在复平面 上对应的点为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，0） D （0，1） 【解答】解：由 z（1+i）1i， 得 = 1 1+ = (1)2 (1+)(1) = ， = 复数 z 的共轭复数在复平面上对应的点为 （0， 1） ， 故选：D 2 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 【解答】解：集合 = *| 3 1+ =x|0x3， Bx|x0， ABx|0x3 故选：A 3 （5 分）随机变量 N（，2） ，若

11、P（1）0.3，P（15）0.4，则 （ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：随机变量 N（，2） ，由 P（1）0.3，P（15）0.4， 得 P（5）0.3，由正态分布的对称性得 = 1+5 2 = 3 故选：C 4 （5 分）已知 = 21.2， = 30.6， = 8 3，则（ ） Abac Babc Cbca Dacb 【解答】解：由题意得：a21.2（2，4） ，b30.6 (3，3)， = 8 3 lne1 30.6= 3 1.221，2， abc， 故选：B 5 （5 分）若 f（x）xexa 有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） 第 6 页（共 17 页） A （1

12、 ，+） B （0，1 ） C （ 1 ，+） D （ 1 ，0） 【解答】解：若 f（x）xexa 有两个零点，等价为 f（x）xexa0，即 axex有两 个根， 设 h（x）xex， 则函数 h（x）xex的导函数 h（x）（x+1）ex， 令 h（x）0，则 x1 当 x（，1）时，h（x）0，函数 f（x）单调递减； 当 x（1，+）时，h（x）0，函数 f（x）单调递增； 故当 x1 时，函数取最小值 h（1）e 1， 当 x0 时，h（x）0， 当 x0 时，h（x）0， 若 axex有两个根， 则 1 a0， 故选：D 6 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的所有棱长均相等，点

13、 E，F 分别在线段 PA，PC 上，且 EF底面 ABCD，则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 【解答】解：连接 AC，BD，设 ACBDO， 则 EF平面 PAC，平面 PAC平面 ABCDAC， 由 EF底面 ABCD，可得 EFAC， 由四边形 ABCD 为菱形，可得 ACBD， 由 O 为 AC 的中点，PAPC，可得 POAC， 又 BDOPO，可得 AC平面 PBD，则 ACPB， 第 7 页（共 17 页） 又 EFAC，可得 EFPB， 即异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为 90 故选：D 7 （5 分）已知双曲线： 2 2

14、 2 2 = 1（a0，b0） ，过左焦点作圆 x2+y2a2的切线（切 点在第二象限） ，若该切点为左焦点和切线与渐近线 = 交点的中点，则双曲线的离心 率是（ ） A2 B3 C2 D5 【解答】解：设双曲线的右焦点为 F，连接 FP 因为 O 是线段 FF的中点，M 为线段 FP 的中点，所以 FPOM 且|FP|2|OM| 2a 因为直线 FP 与圆 x2+y2a2相切于点 M，所以 OMFP，从而 FPFP， 所以点 P 是以 FF为直径的圆与直线 = 的交点 由 = 2+ 2= 2 得 = = ，所以 P（a，b） 又 F（c，0） ，|FP|2a， 所以（ca）2+b24a2 根

15、据 b2c2a2，可得 c2a 故双曲线的离心率 e= =2 故选：C 第 8 页（共 17 页） 8 （5 分）2019 年 10 月 1 日在庆祝中华人民共和国成立 70 周年大阅兵的徒步方队中，被誉 为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所 院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为1 3， 1 4， 1 6， 这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（ ） A1 3 B 5 12 C 7 12 D2 3 【解答】解：军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为1 3， 1 4， 1 6， 这三名同学中至少有一名同学被选

16、上的概率为： P1（1 1 3） （1 1 4） （1 1 6）= 7 12 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）如图，已知点 O 为正六边形 ABCDEF 中心，下列结论中正确的是（ ） A + + = 0 B( ) ( ) = 0 C( ) = ( ) D| + | = | + | 【解答】解：对于 A， + + = + + = 2 ，故选项 A 错误； 对于 B，( ) ( ) = ( ) ( ) = = 0，故选项 B 正 第 9 页（共 17 页） 确； 对于 C，由平面向量公式可知，( ) = ( )

17、，故选项 C 正确； 对于 D，| + | = | + | = | |，| + | = | + | = | + | = | |，显然| | | |，故选项 D 错误 故选：BC 10 （5 分）已知函数() = 2 + 23 2，xR，则（ ） A2f（x）2 Bf（x） 在区间（0，）上只有 1 个零点 Cf（x） 的最小正周期为 Dx= 3为 f（x）图象的一条对称轴 【解答】解：已知函数() = 2 + 23 2 = 3sin2xcos2x2sin （2x 6） ，xR， 则 A、2f（x）2 正确， B、当 2x 6 =k，kZ，即 x= 2 + 12，kZ，f（x） 在区间（0，）上

18、只有 2 个零点， 则 f（x） 在区间（0，）上只有 1 个零点错误， C、f（x） 的最小正周期为 ，正确 D、 当 x= 3时， 函数() = 2 + 23 2 = 3sin2xcos2x2sin （2x 6） 2，xR，所以 x= 3为为 f（x）图象的一条对称轴，正确 故选：ACD 11 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn+1Sn+2an+1，数列* 2 +1+的前 n 项和为， ，则下列选项正确的为（ ） A数列an+1是等差数列 B数列an+1是等比数列 C数列an的通项公式为= 2 1 DTn1 【解答】解：由 Sn+1Sn+2an+1 即为 an+1S

19、n+1Sn2an+1， 可化为 an+1+12（an+1） ，由 S1a11，可得数列an+1是首项为 2，公比为 2 的等比 第 10 页（共 17 页） 数列， 则 an+12n，即 an2n1， 又 2 +1 = 2 (21)(2+11) = 1 21 1 2+11，可得 Tn1 1 221 + 1 221 1 231 + + 1 21 1 2+11 =1 1 2+11 1， 故 A 错误，B，C，D 正确 故选：BCD 12 （5 分）已知函数 f（x）2sin（2x 3）+1，则下列说法正确的是（ ） Af（ 6 x）2f（x） Bf（x 6）的图象关于 x= 12对称 C若 0x1

20、x2 2，则 f（x1）f（x2） D若 x1，x2，x3 3， 2，则 f（x1）+f（x2）f（x3） 【解答】解：A当 x0 时，f（ 6 x）f（ 6）2sin2 6 3+12sin0+11， 2f（0）22sin（ 3）11+3，此时 f（ 6 x）2f（x）不成立，故 A 错误， Bf（x 6）2sin2（x 6） 3+12sin（2x 2 3 ）+1， 由 2x 2 3 =k+ 2得 x= 7 12 + 2 ，kZ， 当 k1 时，x= 7 12 2 = 12，即函数关于 x= 12对称，故 B 正确， C当 0x 2时，02x， 3 2x 3 2 3 ，此时函数 f（x）不是增

21、函数，故 C 错 误， D. 3 x 2时， 2 3 2x， 3 2x 3 2 3 ， 则当 2x 3 = 3或 2 3 时，函数 f（x）取得最小值为 2sin 3 +1= 3 +1， 当当 2x 3 = 2时，函数 f（x）取得最大值为 2sin 2 +12+13， 则两个最小值之和为3 + 1 + 3 +123 +23，故 D 正确， 故选：BD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 11 页（共 17 页） 13 （5 分）已知 P（a，b）在直线 x+y30 上运动，当点 P 位于第一象限时，则 +4的 最大值为 1 3 【

22、解答】解：由题意可得，a+b3， （a0，b0） ， 则 +4 = 1 1 + 4 = 3 (1 + 4 )(+) = 3 5+ + 4 3 5+4 = 1 3 当且仅当 = 4 且 a+b3 即 b1，a2 时取等号，此时取得最大值1 3 故答案为：1 3 14 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x+1）为奇函数，f（0）1，则 f（2） 1 【解答】解：根据题意，函数 f（x+1）为奇函数，则函数 f（x）的图象关于点（1，0） 对称， 则有 f（x）f（2x） ， 又由 f（0）1，则 f（2）f（0）1； 故答案为：1 15（5 分） 若(3 + 1 2) 展开式中的各项

23、系数之和为 1024， 则 n 5 ， 常数项为 405 【解答】解：(3 + 1 2) 中，令 x1 得到展开式的各项系数和为 4n1024 解得 n5， 其通项公式为：Tr+1= 5 （3）5r （ 1 2） r35r 5 x 55 2 ； 令55 2 =0r1； 其常数项为：34 5 1=405 故答案为：5，405 16 （5 分）已知圆 C： （xa） 2+（y2）24，直线 l：x+ay10 与圆 C 交于 A，B 两点， 且ABC 为等腰直角三角形，则实数 a 1 或 1 7 【解答】解：由题意得 C（a，2） ，圆 C 的半径为 2， 因为ABC 为等腰直角三角形， 所以圆心

24、C 到直线 l 的距离 = |+21| 1+2 = 2， 解得 a1 或 = 1 7 第 12 页（共 17 页） 故答案为：1 或 1 7 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知数列an为等差数列，Sn为an的前 n 项和，a3+a518，S3+S550数 列bn为等比数列，且 b1a1，3b2a1a4 （1）求an和bn的通项公式； （2）求数列* 1 21 + +的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d，则由 a3+a518，S3+S550， 得21 + 6 = 18 81+ 13 = 50，解得 1= 3

25、= 2 an2n+1 设等比数列bn的公比 q， 又a13，a49，b13，b29，则 q3 故= 3 （2）由（1）可知21= 42 1， 则 1 21 + = 1 (21)(2+1) + 3= 1 2 ( 1 21 1 2+1) + 3 数列* 1 21+的前 n 项和为 1 2 (1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2+1) = 1 2 (1 1 2+1)， 数列bn的前 n 项和为3(13 ) 13 = 3+13 2 ， 故= 3+1 2 1 4+2 1 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2bcosC+c2a （1）求角

26、B 的大小； （2）若 a5，b7，求 c 的长 【解答】解： （1）ABC 中，2bcosC+c2a， 由正弦定理得，2sinBcosC+sinC2sinA， 即 2sinBcosC+sinC2sin（B+C）2sinBcosC+2cosBsinC； 所以 sinC2cosBsinC； 又 C（0，） ，所以 sinC0， 所以 cosB= 1 2； 又 B（0，） ，所以 B= 3； 第 13 页（共 17 页） （2）若 a5，b7， 由余弦定理得，b2c2+a22cacosB， 即 49c2+252c5cos 3， 化简得 c25c240， 解得 c8 或 c3（不合题意，舍去） ，

27、所以 c 的长为 8 19 （12 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB4，AD2，ABC= 3，E 为 CD 中点将 ADE 沿 AE 折起，使平面 ADE平面 ABCE，得到如图所示的四棱锥 PABCE （1）求证：平面 PAE平面 PBE； （2）求直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：在BCE 中，BE222+22222cos12012，可得 BE23 在ADE 中，ADDE，ADE60，ADE 为等边三角形 在ABE 中，cosAEB= 22+(23)242 2223 =0，AEB90 BEAE，又平面 ADE平面 ABCE， BE平面 PAE又 BE

28、平面 PBE 平面 PAE平面 PBE （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系E（0，0，0） ，P（1，0，3） ， B（0，23，0） ，C（1，3，0） ， =（2，3，3） ， =（0，23，0） ， =（1，0，3） ， 设平面 PBE 的法向量为 =（x，y，z） ，则 = =0， 则 23y0x+3z， 取 =（3，0，1） ， 第 14 页（共 17 页） 直线 PB 与平面 PCE 所成角的正弦值= | | | | | = 3 102 = 30 20 20 （12 分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投 入为了对新研发的产品进行合理定价，将该

29、产品按事先拟定的价格试销，得到一组检 测数据如表所示： 试销价格 （元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 （件） 89 83 82 79 74 67 已知变量 x，y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方 程分别为：甲 = 4 + 53；乙 = 4 + 105；丙 = 4.6 + 104，其中有且仅有一位 同学的计算结果是正确的 （1）试判断谁的计算结果正确？ （2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1，则称该检测数据是 “理想数据” ，现从检测数据中随机抽取 3 个，求“理想数据”的个数 X 的分布列和数学 期望 【解答】解析： （1）已知变

30、量 x，y 具有线性负相关关系，故甲不正确， = 6.5， = 79，代入两个回归方程，验证乙同学正确，丙不正确， 故回归方程为： = 4 + 105； （2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表： x 4 5 6 7 8 9 y 89 83 82 79 74 67 89 85 81 77 73 69 故“理想数据”的个数 X 的取值为：X0，1，2，3， 第 15 页（共 17 页） ( = 0) = 3 0 3 3 6 3 = 1 20， ( = 1) = 3 1 3 2 6 3 = 9 20， ( = 2) = 3 2 3 1 6 3 = 9 20， ( = 1) = 3 3 3

31、0 6 3 = 1 20， 于是“理想数据”的个数 X 的分布列 X 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 () = 0 1 20 + 1 9 20 + 2 9 20 + 3 1 20 = 3 2 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 【解答】解： （1）由题意， 1 2 + 1 2 = 1 = 2 2 2= 2+ 2 ，解得2= 3，2= 3 2 椭圆的方程为 2 3 + 22 3 = 1； （2）菱形 ABCD 内接于

32、椭圆， 由对称性可设直线 AC：yk1x，直线 BD：yk2x 联立 2 + 22= 3 = 1 ，得方程（212+ 1）x230， 2= 2= 3 212+1， |OA|OC|=1 + 12 3 212+1 第 16 页（共 17 页） 同理，|OB|OD|=1 + 22 3 222+1 又ACBD，|OB|OD|=1 + 1 12 3 2 12+1 ，其中 k10 从而菱形 ABCD 的面积 S 为： S2|OA|OB|21 + 12 3 212+11 + 1 12 3 2 12+1 ， 整理得 S6 1 2+ 1 (1+ 1 1) 2 4，其中 k10 当且仅当 1 1 = 1时取“”

33、， 当 k11 或 k11 时，菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为 4 22 （12 分）已知函数() = ( )( ) （1）若 f（x）在（1，f（1） ）处的切线为 x 轴，求证 f（x）0； （2）若 f（x）0，求 a 的取值范围， 【解答】 解：（1） 函数 f （x） 的定义域为(0，+ )，(1) = ，() = (1)() 2 ， 所以 f（1）0 所以 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程为 yea，x 轴方程为 y0所以 ae， 此时() = (1)() 2 ，令 g（x）exex则 g（x）exe， 因为 g（x）在（0，+）上单调递增且 g（1）0所以当 x1

34、 时g（x）0；当 x1 时g（x）0； 所以 g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增所以 g（x）g（1） 0， 即 exex0仅当 x1 时取等号所以当 0x1 时f（x）0；当 x1 时，f（x） 0； 所以 f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增 f（x）f（1）0 （2）解法一：由（1）知 exex，所以当 x0 时，lnexln（ex） ，得 xlnx10 当 ae 时.() = ( ) ( ) 第 17 页（共 17 页） 令() = ( )由（1）知：h（x）h（1）0所以 f（x）0满足题意 当 ae 时，f（1）ea0，不满足题意，所以 a 的取值范围是（，e 解法二：由（1）知 exex所以当 x0 时lnexln（ex） 得 xlnx10 由() = ( ) 0，得 () 问题转化为 ( () 令() = ()，则() = (1)(1) 2()2 因为 ex0，x1lnx0（仅当 x1 时取等号） ，x2（xlnx）20 所以当 0x1 时，h（x）0；当 x1 时，h（x）0； 所以 h（x）的单调递减区间是（0，1） 单调递增区间是（1，+） ， 所以 h（x）minh（1）e所以 a 的取值范围是（，e