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1、第第1 1章章 质点运动学质点运动学本章目录本章目录1-1 质点质点 参考系参考系1-2 位置矢量与位移位置矢量与位移1-3 速度速度1-4 加速度加速度1-5 加速度为恒矢量时质点的运动加速度为恒矢量时质点的运动1-6 圆周运动圆周运动1-7 相对运动相对运动计划学时：计划学时：4注意：注意：充分重视教案中各篇章前的框图充分重视教案中各篇章前的框图 导读导读质点质点描述运动的基本物理量描述运动的基本物理量参考系参考系 坐标系坐标系 典型的平面曲线运动典型的平面曲线运动 相对运动相对运动 第第1 1章章 质点运动学质点运动学1-1 质点质点 参考系参考系复习复习质点、质点系、刚体质点、质点系、

2、刚体质质 点：点：当物体的线度和形状在所研究的问题中的作用可当物体的线度和形状在所研究的问题中的作用可 以忽略不计时，将物体抽象为一个具有质量，占以忽略不计时，将物体抽象为一个具有质量，占 有位置，但无形状大小的有位置，但无形状大小的“点点”。质点系：质点系：质点的集合。质点的集合。刚刚 体：体：任意两质点间距离保持不变的质点系。任意两质点间距离保持不变的质点系。质点质点质点系质点系刚体刚体集合集合特例特例*思考思考:质点和几何学上的点有什么不同质点和几何学上的点有什么不同?运动是绝对的，运动的描述是相对的运动是绝对的，运动的描述是相对的!参考系参考系 为了描述一个物体的运动而选定的另一个为了

3、描述一个物体的运动而选定的另一个 作为参考的物体，叫参考系。任何实物物体均可被选作为参考的物体，叫参考系。任何实物物体均可被选作参考系。作参考系。坐标系坐标系 为了定量的描述物体的运动，在选定的参为了定量的描述物体的运动，在选定的参考系上建立的带有标尺的数学坐标考系上建立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系。坐标简称坐标系。坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。系是固结于参考系上的一个数学抽象。我们把牛顿第一定律在其中成立的参考系叫做我们把牛顿第一定律在其中成立的参考系叫做惯性系惯性系牛顿第一定律在其中不成立的参考系叫做牛顿第一定律在其中不成立的参考系叫做非惯性系非惯性系*惯性系和非惯性系惯性系和

4、非惯性系要解决任何具体力学问题要解决任何具体力学问题,首先应选取一个适当的参考系首先应选取一个适当的参考系,并建立适当的坐标系并建立适当的坐标系,否则就无从讨论物体的运动。否则就无从讨论物体的运动。常见的坐标系：常见的坐标系：直角坐标系，极坐标系，柱坐标系，直角坐标系，极坐标系，柱坐标系，球坐标系，自然坐标球坐标系，自然坐标.xyzop直角坐标直角坐标极坐标系极坐标系O极轴极轴径向径向角向角向r P自然坐标系自然坐标系On PrOPPr 1.1.描述质点在空间的位置描述质点在空间的位置 位置矢量位置矢量*定义：从参考点定义：从参考点 O 指向空间指向空间 P 点的有向线段点的有向线段 叫做叫做

5、 P 点的点的位置矢量位置矢量 ，简称位矢或矢径。简称位矢或矢径。PrOPPrxyz*直角坐标描述直角坐标描述xyzo 单位矢量：单位矢量：k,j,iijk1-2 位置矢量与位移位置矢量与位移直角坐标中位矢的表达式：直角坐标中位矢的表达式：o yxzr z,y,xPxzykzj yixr 222zyxrr 大小：大小：1coscoscoscoscoscos222 rz,ry,rx方向：方向：由由 式写出对应的参数方程式写出对应的参数方程：)()()(tzztyytxx消去参数消去参数 t质点运动的质点运动的轨迹方程轨迹方程在直角坐标系中，质点运动方程的具体形式为在直角坐标系中，质点运动方程的具

6、体形式为：ktzjtyitxr)()()()(trr 随时间变化的函数随时间变化的函数 称为称为质点的质点的运动方程运动方程:r)(tr质点的运动方程质点的运动方程质点运动的轨迹方程质点运动的轨迹方程例例1:1:OA=BA=AC,OA 以角速度以角速度 绕绕 O 旋转旋转,B、C 分别分别沿沿 y、x 轴运动轴运动,现有一点现有一点 P,已已 知知BP=a ,PC=b,求求 P 点的轨迹方程。点的轨迹方程。思路：思路：（1 1）确定）确定P 的位置的位置jyixr （2）写出参数方程）写出参数方程（3）消去）消去 t,得到轨迹方程得到轨迹方程yOxBACrP(x,y)ab解：解：以以 OA 与

7、与 x 轴重合时为轴重合时为 计时起点计时起点 则：则：=tj tbi taj yixr sincos P 点的运动方程：点的运动方程：消去消去 t 得轨迹方程：得轨迹方程：1222 byax2 tbytax sincos参数方程参数方程:椭圆规原理椭圆规原理yOxBACxyrP(x,y)ab2.描述质点位置变动的大小和方向描述质点位置变动的大小和方向 位移矢量位移矢量rrrABAB 末位矢末位矢初位矢初位矢位矢位矢增量增量位移位移矢量矢量定义：定义：质点沿曲线运动质点沿曲线运动ArAt,时时刻刻：BrBtt,:时时刻刻 ABOArBrr 时间内位置变化的时间内位置变化的净效果净效果：t 直角

8、坐标表示（以二维情况为例）：直角坐标表示（以二维情况为例）：jyixjyyixxrABAB )()(xy arctg 22)()(yxr jyixrAAA jyixrBBB AB0ArBrr yxx y ABABrrrrrrrrAB位矢大小的增量：位矢增量的大小：?;rrrr 讨论讨论:rr BrOr r Ar位移：位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点运动轨迹无关，只与始末点有关。与质点运动轨迹无关，只与始末点有关。路程：路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点运动轨迹有关与质点运动轨迹有关sr 何时取等号何时

9、取等号?比较位移和路程比较位移和路程直线直进运动直线直进运动曲线运动曲线运动0 trABsABr ABs 描述质点位置变化的快慢和描述质点位置变化的快慢和trv 平均速度平均速度:rABOrArB粗略描述：粗略描述：ArAt,时时刻刻：BrBtt,:时时刻刻 位移位移:r 变速运动变速运动总效果相同的匀速直线运动总效果相同的匀速直线运动类比类比1-3 速度速度矢量矢量精确描述：精确描述：速度是位矢对时间的一阶导数，速度是位矢对时间的一阶导数，其方向沿轨道上质点所在处的其方向沿轨道上质点所在处的切线，指向前进的一侧。切线，指向前进的一侧。trtrvtddlim0 瞬时速度：瞬时速度：当当t 趋于

10、趋于0时，时，B点趋于点趋于 A 点，平均速度的极点，平均速度的极限表示质点在限表示质点在 t 时刻通过时刻通过 A 点的瞬时速度，简称点的瞬时速度，简称速度速度。表示为：表示为：注意速度的矢量性和瞬时性注意速度的矢量性和瞬时性ABB B vr 0t 在直角坐标系中：在直角坐标系中：kvjvivktzjtyitxtrvzyx ddddddddkzj yi xr 速度的大小：速度的大小：222zyxvvvv 平均速率平均速率tsv 瞬时速率瞬时速率tstsvtddlim0 讨论:?ddddtrtr?vv?vv （1）（2）（3）速度与速率的关系速度与速率的关系速率是标量速率是标量?vv （1）v

11、v,sr 一般情况下，平均速度的大小不等于平均速率一般情况下，平均速度的大小不等于平均速率?vv （2）vtstrvsrtt ddddlim lim00速度的大小等于速率速度的大小等于速率tstr?dddd:tstr 即即?ddddtrtr（3）trtstrvdddddd 位矢大小的时间变化率位矢大小的时间变化率位矢时间变化率（速度）的大小位矢时间变化率（速度）的大小?limlim00tttrtrrrrrddBrOr r Ar?limlim00trtrtt即：例例2 2：已知已知:)SI()2(22jtitr 求求:2秒末速度的大小秒末速度的大小 -124342222sm58.3558242d

12、d42222 vttttrvtttrtytx解一解一:-122222sm47.452s2122222dd22 vttvvvtvvjtitrvjtitryxyx解二解二:判判断断正正误误并并说说明明理理由由解一错误，解一错误，解二正确！解二正确！描述质点速度大小、方向变化的快慢描述质点速度大小、方向变化的快慢ABBvAv质点在质点在A，B 两点的速度分别两点的速度分别是是 在在t 时间内时间内从从A 运动到运动到B，速度改变速度改变为：为：,v,vBAABvvv 用用 可粗略描述可粗略描述质点速度改变的快慢和方质点速度改变的快慢和方向向,称为称为平均加速度平均加速度。表示为：表示为：tva tv

13、 Avv 1-4 加速度矢量加速度矢量瞬时加速度瞬时加速度 当当t 趋于趋于 0 时，求得时，求得平均加速度的平均加速度的极限，表示质点极限，表示质点通过通过A 点的瞬时加速度，简称点的瞬时加速度，简称加速度加速度。表示为：表示为：220dd)dd(ddddlimtrtrttvtvat加速度等于速度对时间的一阶导数加速度等于速度对时间的一阶导数,或位矢对时间的二阶导数。或位矢对时间的二阶导数。用用平均加速度平均加速度只能粗略地描述质点速度改变的快慢和方向，只能粗略地描述质点速度改变的快慢和方向，tva 直角坐标系表示：直角坐标系表示：222222222dddddd ddddddddzyxzyx

14、zyxaaaakajaiaktzjtyitxktvjtvitvtva kvjvivktzjtyitxtrvzyx dddddddd例例3：已知已知:)SI()2(22jtitr 求求:2秒末加速度的大小秒末加速度的大小a=2 沿沿-y 方向，与时间无关。方向，与时间无关。-2sm jtvajtitrvjtitr2dd22dd222 解：解：oQrr P2-24xy思考思考:?vtvdtddd?tvtvt 00tlimlimdtdddvtvvv Bvv v Av描述质点运动的基本物理量描述质点运动的基本物理量小小 结结位置：)(,trr位矢位矢位移位移12rrr 位置变化：位置变化率：速度速度t

15、rvdd 速度变化率：加速度加速度22ddddtrtva 中心中心 第一类：第一类：已知质点的运动方程，求任一时刻的速度、已知质点的运动方程，求任一时刻的速度、加速度加速度（）avtr,)(第二类：第二类：已知加速度（或速度）及初始条件，求已知加速度（或速度）及初始条件，求质点任一时刻的速度和运动方程质点任一时刻的速度和运动方程(）)(,)(),0(,)(00trtvvrtta 时时)(ta)(tr微分微分微分微分积分积分积分积分()tv质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题直线运动直线运动抛体运动抛体运动圆周运动圆周运动1-5 几种常见运动及其描述几种常见运动及其描述一、直线运动一、直

16、线运动例题例题1:1:已知粒子运动方程已知粒子运动方程(SI)59323 tttx分析粒子的运动情况。分析粒子的运动情况。1.1.其轨迹是什么？其轨迹是什么？22ddddtxa,txv,x,xa,v,r,r 注意注意凡直线运动，可将坐标原点选在轨道直线上，凡直线运动，可将坐标原点选在轨道直线上，建立一维坐标，将各矢量按代数量处理。建立一维坐标，将各矢量按代数量处理。xoPv一条直线一条直线2.2.该粒子作一般变速直线运动该粒子作一般变速直线运动66963593223 tattvtttx-1-6213-12o st -1sm v-1-6213-12o st -2sm a向向+x运动运动?向向-x

17、运动运动?-1t;30 t:v310 t:v何时加速何时加速?何时减速何时减速?a，v同号同号a，v异号异号 t -1:粒子向粒子向+x 减速运动减速运动-1 t 3:粒子向粒子向-x 运动；运动；-1 t 1：加速，加速，1 t 3：粒子向粒子向+x 加速运动加速运动-1-6213-12o st -1sm v-1-6213-12o st -2sm a66963593223 ta,ttv,tttx转折性时刻：转折性时刻：120223012616950333111000 avx:tavx:tavx:t)m(xo0 t50v0a-61 tmv01 a3 t-220 va返返回回加加速速运运动动3

18、t注意：注意：由运动叠加原理，质点的一般曲线运动，由运动叠加原理，质点的一般曲线运动，如如抛体运动抛体运动，可以归结为直线运动处理。，可以归结为直线运动处理。练习：练习：一艘快艇在速率为一艘快艇在速率为 时关闭发动机，其时关闭发动机，其加速度加速度 ，式中，式中 为常数，试证明关闭为常数，试证明关闭发动机后又行驶发动机后又行驶 x 距离时，快艇速率为：距离时，快艇速率为：0v2kvakkxevv0证明证明:xkvvkvxvvtxxvtvadddddddddd2证毕证毕kxvvxevvkxvvxkvv000lndd0二、圆周运动二、圆周运动AB nnv自然坐标系 坐标原点固接坐标原点固接于质点于

19、质点,坐标轴沿质点运动轨道的坐标轴沿质点运动轨道的切向和法向的坐标系，叫做自然切向和法向的坐标系，叫做自然坐标系。坐标系。切向以质点前进方向为切向以质点前进方向为正，记做正，记做 ，法向以曲线凹侧方，法向以曲线凹侧方向为正，记做向为正，记做 。n 圆周运动是一般平面曲线运动的一个重要特例，是一种常见的运动。如机圆周运动是一般平面曲线运动的一个重要特例，是一种常见的运动。如机器上的飞轮转动时，轮上各点（转轴中心除外）都做半径不同的圆周运动。器上的飞轮转动时，轮上各点（转轴中心除外）都做半径不同的圆周运动。常采用自然坐标和极坐标来描述圆周运动。常采用自然坐标和极坐标来描述圆周运动。1 1、质点圆周

20、运动的自然坐标描述、质点圆周运动的自然坐标描述（2）位置变化位置变化:s（3）速度：速度：沿切线方向。沿切线方向。tstrvdddd dd tsvv （1）位置：位置：在轨道上取一固定点在轨道上取一固定点O，用质点距离用质点距离 O 的路程的路程长度长度 s，可唯一确定质点的位置。，可唯一确定质点的位置。位置位置 s有正负之分。有正负之分。opnsp s 1 1、质点圆周运动的自然坐标描述、质点圆周运动的自然坐标描述naanvtva 2dd tvadd 切向加速度：切向加速度：描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。nvan2 法向加速度：法向加速度

21、：描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。na ana（4）加速度：加速度：方向：方向：aanarctg的的夹夹角角与与 aa总是指向总是指向曲线凹侧曲线凹侧大小：大小：22naaa 练习练习1：判断下列说法是否正确？判断下列说法是否正确？1）恒等于零的运动是匀速率直线运动。恒等于零的运动是匀速率直线运动。2）作曲线运动的质点作曲线运动的质点 不能为零。不能为零。3）恒等于零的运动是匀速率运动。恒等于零的运动是匀速率运动。4）作变速率运动的质点作变速率运动的质点 不能为零。不能为零。nana a a(1)a 0 匀速率运动匀速率运动;a 0 变速率运

22、动变速率运动(2)an 0 直线运动直线运动;an 0 曲线运动曲线运动小结：小结：练习练习2:2:一物体做抛体运动一物体做抛体运动,已知已知 讨论：讨论：,v0CAB0v ggg sing sing 0 cosg cosgg cos20gv cos20gvgv 220cosnnn gggCABa ana OO s sR参考参考方向方向)(tP )(ttP 线量线量 在自然坐标系下，基本参量以运动曲线为在自然坐标系下，基本参量以运动曲线为 基准，称为线量。基准，称为线量。角量角量 在极坐标系下，基本参量以旋转角度为在极坐标系下，基本参量以旋转角度为 基准，称为角量。基准，称为角量。1）角位置）

23、角位置 2）角位移）角位移 单位：单位：rad逆时针为正逆时针为正2 2、质点圆周运动的角量描述（极坐标系）、质点圆周运动的角量描述（极坐标系）教材教材P1273 3）角速度角速度平均角速度平均角速度:t 角速度角速度:tttddlim0 ORP Pv o rv 大小大小:Rrv sin方向方向:右手螺旋法则右手螺旋法则旋转方向旋转方向 r角速度矢量角速度矢量 方向沿轴方向沿轴 4 4）角加速度角加速度平均角加速度平均角加速度:t 角加速度角加速度:22ddddlim 0tttt 222)(dddddddd RRRvaRtRtvaRtRtsvRsn5 5）角量与线量的关系角量与线量的关系OO

24、R参考参考方向方向 )(tP)(ttP s 例题例题：皮球皮球“超常超常”弹跳（演示）弹跳（演示）hmM甲：甲：实验室观察者实验室观察者乙：乙：上观察者上观察者Mh已知：已知：从离地面高从离地面高 处自由落下，完全弹性碰撞，处自由落下，完全弹性碰撞，跳起的高度跳起的高度求：求：MmMm,地面参考系，以向上为正，由动量、能量守恒地面参考系，以向上为正，由动量、能量守恒:21mvMvmvMv 222122121)(21mvMvvmM 解解1:Mmv vMm2v1v甲甲甲甲+vvmMmMv 31vvmMmMv332 解得：解得：弹跳高度：弹跳高度：为为 ；为为 9 9mhMh碰撞前：碰撞前：碰撞后碰

25、撞后:Mmvv甲甲Mmv3v甲甲mMv2乙乙mMv2乙乙解解2：弹跳高度：弹跳高度：为为 ；为为 9 9mhMh一、运动的绝对性和描述运动的相对性一、运动的绝对性和描述运动的相对性只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，选择只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动，选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。一个参考系一个参考系中的描述中的描述另一个参考另一个参考系中的描述系中的描述变换变换二、低速二、低速 下的变换下的变换伽利略变换伽利略变换)(cv 分别从分别从 系和系和 系描述系描述质点质点 的运动：的运动：)(xyzoA)(zyxoB

26、p1-7 相对运动相对运动DOCDBCABAOrrrrr 推广推广:DOCDBCABAOvvvvv OOOPPOvvv :速速度度矢矢量量POO xyy x uABOOOPPOaaaoo ),(间间只只有有相相对对平平动动时时当当加加速速度度矢矢量量OOOPPOrrr 位位置置矢矢量量OPr POr伽利略变换伽利略变换uvv ：1.暗含两个参考系中时间与空间测量的暗含两个参考系中时间与空间测量的绝对性观念。绝对性观念。2.可推广到多个坐标系间的变换可推广到多个坐标系间的变换练习练习1:河水自西向东流动，速度为河水自西向东流动，速度为 。一轮船。一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西在水中

27、航行，船相对于河水的航向为北偏西 ，相对，相对于河水的航速为于河水的航速为 。此时风向为由东向西，风。此时风向为由东向西，风速为速为 。求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的。求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向（设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度）飘向（设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度）1hkm20 1hkm10 301hkm10 解析法：解析法：建立如图所示坐标系，建立如图所示坐标系，由题意可知由题意可知风风地地v船船水水v水地水地v30北北 y x东东o)hkm(30cos2030sin20)hkm(10)hkm(10111jiviviv船船水水风风地地水水地地根据相对速度公式，根据

28、相对速度公式，水水船船地地水水风风地地风风船船烟烟船船vvvvv风风地地v船船水水v水水地地v30北北 y x东东o)hkm(3.1710)30cos2030sin20(10)10(1jijiiivvv船船水水水水地地风风地地飘飘去去向向南南偏偏西西的的速速率率烟烟以以即即在在船船上上观观察察，30hkm201 北北 yx东东风风船船v-10-17.3o)h(km3.17101jiv烟烟船船30103.17arctg)h(km20)3.17()10122（烟烟船船v图解法：图解法：根据相对速度公式，根据相对速度公式，)()(船船水水水水地地风风地地水水船船地地水水风风地地风风船船烟烟船船vvv

29、vvvvv30)hkm(201 烟烟船船v.30hkm201飘飘去去的的速速率率向向南南偏偏西西即即在在船船上上观观察察，烟烟以以风风地地v船船水水v水水地地v30北北 y x东东o风风地地v水水地地v 船船水水v 风风船船v 30练习练习2一船以速度一船以速度 在静水湖中在静水湖中 匀速直线航行，一匀速直线航行，一乘客以初速乘客以初速 在船中竖直向上抛出一石子，在船中竖直向上抛出一石子，则站在岸上的观察者看石子的运动轨迹是则站在岸上的观察者看石子的运动轨迹是 ，其轨迹方程是，其轨迹方程是 。0v1v21021gttvytvx 202012vgxxvvy 抛物线抛物线202012vgxxvvy