2020年普通高等学校招生全国统一考试第一次摸拟试数学(理科)试题.doc

1、理理科数学科数学 第第 1 页页(共共 4 页页) 绝密启用前绝密启用前 20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理理科数学试题卷科数学试题卷 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，

2、每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1集合集合 1,0,1A ，A的子集中，含有元素的子集中，含有元素0的子集共有的子集共有 A2 个个 B4 个个 C6 个个 D8 个个 2复数复数 2 3 1ii= A-2i B-2 C2i D2 3已知等比数列已知等比数列 n a的公比为正数，且的公比为正数，且 2 395 2aaa， 2 a1，则，则 1 a A 2 2 B2 C 1 2 D2 4已知已知mR，“函数函数21 x ym有零点有零点”是是“函数函数logmyx在在0,上为减

3、函数上为减函数”的的 A既不既不充分也不必要条件充分也不必要条件 B充要条件充要条件 C必要不充分条件必要不充分条件 D充分不必要条件充分不必要条件 5若函数若函数axxxfcos)(为增函数为增函数,则实数则实数a的取值范围为的取值范围为 A-1,+) B.1,+) C(-1,+) D(1,+) 6一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 A2 3 B2 5 C 4 3 3 D 5 3 3 7我国古代名著庄子我国古代名著庄子 天下篇中有一句名言天下篇中有一句名言“一尺之棰，一尺之棰， 日取其半，万世不竭日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的

4、木棍，每天截取一半，永远都截不完现将，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将 该木棍依此规律截取， 如图所示的程序框图的功能就是计算截取该木棍依此规律截取， 如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度天后所剩木棍的长度 （单位：尺） ，则（单位：尺） ，则处可分别填入的是处可分别填入的是 1 侧视图 1 正视图 1 3 1 俯视图 理理科数学科数学 第第 2 页页(共共 4 页页) 8若若 2 3 1 n x x 展开式的各项系数之和为展开式的各项系数之和为 32，则其展开式中的，则其展开式中的常数项为常数项为 A1 B5 C10 D20 9在在平面区域平面区域

5、 2 0, yx x xy yxM 内随机取一点内随机取一点 P， 则点， 则点 P 在圆在圆 22 2xy内部的概率为内部的概率为 A 8 B 4 C 2 D 4 3 10已知直线已知直线l，m,平面平面、，给出下列命题：，给出下列命题： mlmll/,/,/则； mm则,/,/； 则,； 则,mlml. 其中正确的命题有其中正确的命题有 A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个个 11设设 1 F, 2 F分别为双曲线分别为双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab的左、右焦点，若在双曲线右支上存的左、右焦点，若在双曲线右支上存 在一点在一点P,满足满足 212 PFFF,且且

6、 2 F到直线到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲则该双曲 线的离心率为线的离心率为 A 3 4 B 3 5 C 4 5 D 4 41 12已知以已知以4T 为周期的函数为周期的函数 2 1,( 1,1 ( ) 12 ,(1,3 mxx f x xx ，其中，其中0m，若方程，若方程 3 ( )f xx恰有恰有 5 个实数解，则个实数解，则m的取值范围为的取值范围为 A 15 (, 7) 3 B 4 ( ,7) 3 C 4 8 ( , ) 3 3 D 15 8 (, ) 33 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5

7、5 分，共分，共 2020 分分. . 13已知已知2tan，则，则cos2的值为的值为 . 14若若 D 点在三角形点在三角形 ABC 的边的边 BC 上，且上，且CD 4DB rAB sAC ，则，则 3rs 的值为的值为 . 理理科数学科数学 第第 3 页页(共共 4 页页) 15已知已知 ,A B两点均在焦点为两点均在焦点为F的抛物线的抛物线 2 2(0)ypx p上，若上，若| 4AFBF， 线段线段AB的中点到直线的中点到直线 2 p x 的距离为的距离为 1，则，则p的值为的值为 . 16观察下列算式：观察下列算式： 13 =1, 23 =3+5, 33 =7+9+11, 43

8、=13 +15 +17 +19 ， 若某数若某数 n3按上述规律展开后，发现等式右边含有按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则这个数，则 n= 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17172121 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 ( (一一) )必考题：共必考题：共 6060 分分) ) 17.（12 分）分） 在在ABC中， 内角中， 内角 A、 B、

9、C 所对所对的边分别为的边分别为a、b、c， 且， 且sin2sin0bAaAC （1）求角）求角A； （2）若）若3a ，ABC的面积为的面积为 3 3 2 ，求，求 11 bc 的值的值 18 （12 分分） 如图所示如图所示， 某某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损, 其中，频率分布直方图的分组区间分别为其中，频率分布直方图的分组区间分别为50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100， 据此解答如下问题：据此解答如下问题： （1）求全班人数及分数在）求全班人数及分数在

10、80,100之间的频率；之间的频率； （2）现从分数在）现从分数在80,100之间的试卷中任取之间的试卷中任取 3 份分析学生情况，设抽取的试卷分数在份分析学生情况，设抽取的试卷分数在 90,100的份数为 的份数为X，求，求X的分布列和数学望期的分布列和数学望期 理理科数学科数学 第第 4 页页(共共 4 页页) 19 （12 分）分） 如图所示，在矩形如图所示，在矩形 ABCD 中，中，AB=4，AD=2，E 是是 CD 的中点，的中点，O 为为 AE 的中点，以的中点，以 AE 为折痕将为折痕将ADE 向上折起，使向上折起，使 D 点折到点折到 P 点，且点，且 PC=PB （1）求证：

11、）求证：PO面面 ABCE； （2）求）求 AC 与面与面 PAB 所成角所成角的正弦值的正弦值 20 （12 分）分） 已知椭圆已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 过点过点0,1,且离心率为且离心率为 3 6 .直线直线l与与x轴正半轴和轴正半轴和y 轴 分 别 交 于 点轴 分 别 交 于 点Q、P， 与 椭 圆 分 别 交 于 点， 与 椭 圆 分 别 交 于 点M、N, 各 点 均 不 重 合 且 满 足各 点 均 不 重 合 且 满 足 12 ,PMMQ PNNQ. （1）求椭圆的标准方程；）求椭圆的标准方程； （2）若）若 12 3 ，试证明：直线，试证明：直线l过定

12、点并求此定点过定点并求此定点. 21 （12 分）分） 已知函数已知函数 2 1 ln1 2 f xxaxbx的图象在的图象在1x 处的切线处的切线l过点过点 1 1 , 2 2 （1）若函数）若函数 10g xf xax a，求，求 g x的最大值（用的最大值（用a表示） ；表示） ； （2）若）若4a ， 12121 2 32f xf xxxx x，证明：，证明： 12 1 2 xx （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题记分第一题记分. 22选修选修 44：坐

13、标系与参数方程：坐标系与参数方程(10 分分) 在直角坐标系在直角坐标系xOy中，曲线中，曲线 1 C的参数方程为的参数方程为 1 1 cos :( sin x C y 为参数） ，曲线为参数） ，曲线 2 2 2: 1 2 x Cy （1）在以）在以O为极点，为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 12 ,C C的极坐标方程；的极坐标方程； （2）若射线）若射线(0) 6 与与 1 C的异于极点的交点为的异于极点的交点为A，与，与 2 C的交点为的交点为B，求，求AB 23选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知关于已知关于x的不等式的不等式231x

14、xm有解，记实数有解，记实数m的最大值为的最大值为M. （1）求）求M的值；的值； （2）正数）正数, ,a b c满足满足2abcM ，求证，求证 11 1 abbc . 理理科数学科数学 第第 5 页页(共共 4 页页) 银川一中银川一中 20202020 届高三年级第一次模拟考试（理科）参考答案届高三年级第一次模拟考试（理科）参考答案 一选择题一选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C B D B C B C B A 二、二、填空题：填空题： 13、 3 5 14、 5 8 15、1或3 16、45 三、解答题：三、解答题： 17、解析：（

15、1）由sin2sin0bAaAC得sin2sinsinbAaBbA，3 分 又0A，所以sin0A，得2cos1A，所以 3 A 6分 （2）由ABC的面积为 3 3 2 及 3 A 得 13 3 sin 232 bc，即6bc ，8 分 又3a ，从而由余弦定理得 22 2cos9bcbcA，所以3 3bc，10 分 所以 113 2 bc bcbc 12 分 18、 解析：（） 由茎叶图知分数在50,60)的人数为 4 人；60,70)的人数为 8 人；70,80) 的人数为 10 人.2 分 总人数为 4 32 0.0125 10 .3 分 分数在80,100)人数为32 4 8 10

16、10 人 频率为 105 3216 .5 分 （）80,90)的人数为 6 人；分数在90,100)的人数为 4 人6 分 X的取值可能为 0,1,2,3 3 6 3 10 201 (0) 1206 C P X C ， 21 64 3 10 601 (1) 1202 C C P X C .8 分 12 64 3 10 363 (2) 12010 C C P X C ， 3 4 3 10 41 (3) 12030 C P X C .10 分 分布列为： X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 理理科数学科数学 第第 6 页页(共共 4 页页) 5 6 xE.12 分 19、解

17、析： （1）,(1)PAPE OAOEPOAE1 分 取BC的中点F，连,OF PFOF,ABOFBC 因为,PBPCBCPF 且 FOFPF ,所以BC 面POF3 分 从而(2)BCPO5 分 由（1） （2）且 BC 与 AE 相交，可得PO 面ABCE6 分 （2）作OGBC交AB于G，可知 OG、OF、OP 两两垂直，建立直角坐标系 ,OG OF OP 7 分 (1, 1,0), (1,3,0), ( 1,3,0), (0,0 2)ABCP( 2,4,0),( 1,1, 2),(0,4,0)ACAPAB 8 分 设平面PAB的法向量为 ( , , )nx y z 20 2,0,1 4

18、0 n APxyz n n ABy 10 分 AC与面PAB所成角的正弦值sin|cos, n AC|= 30 15 12 分 20、解析：()设椭圆方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，由题意知 b=1, -1 分 且离心率 2 2 1 a b a c e= 3 6 ，得 3 2 a. -3 分 所以椭圆的方程为1 3 2 2 y x -4 分 () 由题意设),(),(),0 ,(), 0( 22110 yxNyxMxQmP，设 l 方程为)(mytx， 由MQPM 1 知),(),( 110111 yxxmyx 111 ymy，由题意0 1 ，1 1 1 y m -6

19、 分 同理由 2 PNNQ知 2 2 1 m y 3 21 ，0)( 2121 yymyy （*） -8 分 联立 )( 33 22 mytx yx 得032)3( 22222 mtymtyt 需0)3)(3(44 22242 mtttm （*） 理理科数学科数学 第第 7 页页(共共 4 页页) 且有 3 3 , 3 2 2 22 21 2 2 21 t mt yy t mt yy （*） -10 分 （*）代入（*）得023 222 mtmmt，1)( 2 mt， 由题意0mt， 1mt(满足（*）)得 l 方程为1 tyx,过定点(1,0),即 P 为定点. -12 分 21、解析：由

20、1 fxaxb x ，得 11fab ， 1 分 l的方程为 1 111 2 yababx ，又l过点 1 1 , 2 2 ， 111 111 222 abab ，解得0b 3 分 2 1 1ln11 2 g xf xaxxaxa x， 2 1 1 111 10 a xx axa x a gxaxaa xxx ，4 分 当 1 0,x a 时， 0g x， g x单调递增；当 1 ,x a 时， 0gx， g x 单调递减； 故 2 max 111111 ln11ln 22 g xgaaa aaaaa 6 分 （2）证明：4a ， 22 12121 21122121 2 3ln21 ln213

21、f xf xxxx xxxxxxxx x 2 12121212 ln222x xxxxxx x， 2 12121212 2lnxxxxx xx x 8 分 令 1 2 0x xm m， lnmmm， 1m m m ， 令 0m得01m；令 0m得1m m在0,1上递减，在1,上递增， 11m， 10 分 2 1212 21xxxx， 12 0xx，解得 12 1 2 xx 12 分 理理科数学科数学 第第 8 页页(共共 4 页页) 22、解析： （）曲线 1 1 cos :( sin x C y 为参数）可化为普通方程: 22 (1)1xy，2 分 由 cos sin x y 可得曲线 1

22、C的极坐标方程为2cos，3 分 曲线 2 C的极坐标方程为 22 (1 sin)25 分 （）射线(0) 6 与曲线 1 C的交点A的极径为 1 2cos3 6 ，6 分 射 线(0 ) 6 与 曲 线 2 C的 交 点B的 极 径 满 足 22 2 (1 sin)2 6 ， 解 得 2 2 10 5 ，8 分 所以 12 2 10 3 5 AB10 分 23、解析：23(2)(3)5xxxx， 2 分 若不等式231xxm有解，则满足15m，3 分 解得64m .4M . 5 分 （2）由（1）知正数, ,a b c满足24abc ， 11111 ()() 4 abbc abbcabbc 7 分 1)22( 4 1 )2( 4 1 cb ba ba cb cb ba ba cb 9 分 （当且仅当,2ac ab时，取等号.）10 分