2020年全国100所名校高考模拟金典卷（四）JD-Y理科数学试题附详解.docx

1、 100 所名校高考模拟金典卷所名校高考模拟金典卷（四）（四） 理科理科数学数学 （120 分钟 150 分） 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1.已知集合|1Ax x， |21 x Bx，则（ ） A|1ABx x B|0ABx x C|01ABxx D|0ABx x 2.若复数 1 i z i （i为虚数单位） ，则z z（ ） A 1 2 i B 1 4 C 1 4 D 1 2 3.袋子中装有大小、形状完全相同的 2 个

2、白球和 2 个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的 是红球，则第一次摸到红球的概率为（ ） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 1 5 4.已知角的终边经过点 5 , 6 2 P ，则tan 4 （ ） A 7 6 B 17 7 C2 D 3 19 2 5.若函数 21,0 1,0 x x f x mxmx ，在其定义域上单调递增，则实数m的取值范围是（ ） A0,3 B0,3 C3, D0, 6.已知双曲线 22 :41C xy，经点2,0P的直线l与C有唯一公共点，则直线l的方程为（ ） A21yx B 1 1 2 yx C 1 1 2 yx或 1 1 2 yx D21yx

3、或 1 1 2 yx 7.在ABC中，角A，B的对边分别是a，b，且60A，2b，ax，若解此三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A3x B02x C32x D32x 8.二项式 4 3 1 2 3 n x x 的展开式中含有非常数项，则正整数n的最小值为（ ） A7 B12 C14 D5 9.榫卯 （snmo） 是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出的部分叫榫， 凹进去的部分叫卯， 榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件 中榫的三视图，则该榫的表面积和体积分别为（ ） A8 16，2 8 B9 16，2 8 C8 16，

4、4 8 D9 16，4 8 10.运行如图所示的程序框图，如果输入某个正整数n后，输出的20,50s，那么n的值为（ ） A3 B4 C5 D6 11.已知定义在非零实数集上的奇函数 yf x， 函数2yf x与 sin 2 x g x 的图象共有4个交点， 则该 4 个交点的横坐标之和为（ ） A2 B4 C6 D8 12.已知函数 x f xaxek， 若1,ke 时， 函数 f x至少有 2 个零点， 其中e为自然对数的底数， 则实数a的取值范围是（ ） A 2, e B1, C 2 1,e D0,1 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二二、填空题填空题：

5、本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上. 13.已知a、b为两个单位向量，且0a b ，则a与2ab夹角的余弦值为_. 14.椭圆 22 0 167 xy m m的离心率为_. 15.已知, x yR，满足 20, 250, 470, xy xy xy 则4zyx的最大值为_. 16.如图，在直角梯形ABCD中，90ABC，2CD，1ABBC，E是边CD的中点，ADE沿 AE翻折成四棱锥DABCE ，则点C到平面ABD距离的最大值为_. 三三、解答题：共、解答题：共 70 分分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步

6、骤解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题，毎个试题考生都毎个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.已知数列 n a的前n项和为 n S，数列 n S n 是首项为 1，公差为 2 的等差数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 12 12 1 545 2 n n n aaa n bbb ，求数列 n b的前n项和 n T. 18.在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好

7、是AC的 中点，又4PAAB，120CDA. （1）求证：BDPC. （2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF平面PAD，求AF的长； （3）求二面角A PCB的余弦值. 19.已知抛物线 2 :20C ypx p上一点 0,2 P x到焦点F的距离 0 2PFx. （1）求抛物线C的方程； （2）过点P引圆 2 22 :302Mxyrr的两条切线PA、PB，切线PA、PB与抛物线C的 另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为 0 x，求实数 0 x的取值范围. 20.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费） 统一为a元，

8、在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相 联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 1 A 上一年度未发生有责任道路交通事故 下浮 10% 2 A 上两年度未发生有责任道路交通事故 下浮 20% 3 A 上三年度未发生有责任道路交通事故 下浮 30% 4 A 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% 5 A 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 上浮 10% 6 A 上一个年度发生有责任交通死亡事故 上浮 30% 某机构为了解某一品牌普通 6

9、座以下私家车的投保情况，随机抽取了 60 辆车龄已满三年的该品牌同型号私 家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 数量 10 5 5 20 15 5 以这 60 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定，950a，记X为某同学家 的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望； （数学期望值保留到个位数字） （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故 车，假设购进一辆事故车亏损

10、 5000 元，一辆非事故车盈利 10000 元； 若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； 若该销售商一次购进 100 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值. 21.已知函数 1 ln a f xx x ， sin12ax g x x ，aR. （1）求函数 f x的极小值； （2）求证：当0,1a时， f xg x. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数

11、方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt （t为参数） ，在以坐标原点为极点，x轴的 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为sina（aR且0a）. （1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程； （2）已知 1, A 是直线l上的一点， 2, 6 B 是曲线C上的一点， 1 R， 2 R，若 OB OA 的 最大值为 2，求实数a的值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 设函数 13f xxx . （1）求不等式 1f x 的解集； （2）若函数 f x的最大值为m，正实数p，q满足2pqm，求 21 2pq 的最小值. 100 所名校高

12、考模拟金典卷所名校高考模拟金典卷（四）（四）数学数学答案答案 （120 分钟 150 分） 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1.答案：C 命题意图：本题考查集合的运算；考查数学运算能力和判断能力. 解题分析：由21 x 得0x，所以|0Bx x. 所以|01ABxx，AB R. 2.答案：D 命题意图：本题考查复数的运算；考查数学运算能力. 解题分析：由题意可得 2 2 211 122 i z zz i . 3.答案：B 命题

13、意图：本题考查古典概型；考查抽象思维能力. 解题分析： 设两个红球为 1 R， 2 R， 两个白球为 1 w， 2 w， 则第二次摸到的红球的所有可能结果为 11 w R， 21 w R， 21 R R， 12 wR， 22 w R， 12 R R.共 6 种，其中第一次摸到红球的事件包括： 21 R R， 12 R R共 2 种，结合排列组 合公式可知第一次摸到的红球的概率为 21 63 P . 4.答案：B 命题意图：本题考查三角恒等变换；考查数学运算能力与转换的思想. 解题分析： 612 tan 5 5 2 ，所以 tantan 17 4 tan 47 1 tantan 4 5.答案：A

14、 命题意图：本题考查分段函数的单调性；考查数学运算能力与抽象思维能力. 解题分析：函数 21,0 1,0 x x f x mxmx 在, 上单调递增， 函数1ymxm在区间,0上为增函数， 0 0 1212 m m ，解得03m， 实数m的取值范围是0,3. 6.答案：C 命题意图：本题考查双曲线的性质；考查数学运算能力与抽象思维能力. 解题分析：由双曲线的几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线l与C有唯一公共点，由于双曲线的渐 近线为 1 2 yx ，故直线l的方程为 1 2 2 yx或 1 2 2 yx ，即 1 1 2 yx或 1 1 2 yx . 7.答案：C 命题意图：本题考查解三

15、角形，考查数学运算能力和逻辑思维能力. 解题分析：由正弦定理得 sin3 sin bA B ax ，60A，0120B ，要使此三角形有两解，则 60120B，且90B，即 3 sin1 2 B， 33 1 2x ，解得32x. 8.答案：A 命题意图：本题考查二项式定理；考查数学运算能力. 解题分析：展开式的通项为 47 1 1 2 3 r n rrnr rn TC x ，令470nr，则 7 4 r n ，当4r 时，n取最 小值，最小值为 7，故选 A 项. 9.答案：A 命题意图：本题考查数学文化背景下的三视图问题；考查空间想象能力. 解题分析：由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方

16、为长方体（底面为边长是 1 的正方形，高为 2） ， 下方为圆柱（底面圆半径为 2，高为 2）.其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积，所以 2 222224 12816S. 其 体 积 为 圆 柱 与 长 方 体 体 积 之 和 ， 所 以 2 2211282V . 10.答案：B 命题意图：本题考查程序框图；考查逻辑推理能力与数学运算能力. 解题分析：依次运行框图中的程序，可得： 第一次，1 3 01s ，2k ； 第二次，1 3 14s ，3k ； 第三次，1 3 413s ，4k ； 第四次，1 3 1340s ，5k ； 第五次，1 3 40121s ，6k ； 因为输出的20,5

17、0s， 所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中n的值为 4. 满分导考 错学 此类试题的常考题型、分值、难度、考频 失分陷阱 程序框图是高考客观题常考知识点，分值 5 分，难度中等，考查形式有： （1） 判断程序运行的结果； （2）判断程序框图的算法； （3）补全程序框图 该类试题的失分点主要表现 为对循环终止条件的判断错 误 得分要点满分秘诀：程序框图的补全及逆向求解问题思路：先假设参数的判断条件满足或不满足；运 行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；根据此时各个变量的值，补全程序框图 11.答案：D 命题意图：本题考查函数性质的综合应用；考查抽象思维能力和数形结合

18、的思想. 解题分析：因为函数 yf x是奇函数， yf x关于点0,0中心对称，所以函数2yf x关于 点2,0中心对称， 又由 2 x k ，kZ得到2xk，kZ， 即函数 sin 2 x g x 的对称中心为2 ,0k， kZ， 因此， 点2,0也是函数 sin 2 x g x 的一个对称中心， 因为函数2yf x与 sin 2 x g x 的图象共有 4 个交点，交点横坐标依次设为 1 x， 2 x， 3 x， 4 x，且 1234 xxxx，所以由函数对称性可 知 14 2 2 xx ， 23 2 2 xx ，因此 1234 8xxxx. 12.答案：A 命题意图：本题考查零点问题；考

19、査数学运算能力、抽象思维能力与化归转化的思想. 解题分析：由题意可知方程 x axek， 2 1,ke 上至少有两个实数根， 即 x eaxk， 2 1,ke 上至少有两个实数根， 考查临界情况，当 2 ke时，直线 2 yaxe与指数函数 x ye相切， 由 x ye可得 x ye ，则切点坐标为 0 0, x x e，切线斜率 0 0 | x x x kye ， 切线方程为 00 0 xx yeexx，切线过点 2 0, e， 故 00 2 0 0 xx eeex，很明显方程的根为 0 2x ，此时切线的斜率 2 ke. 故实数a的取值范围是 2, e . 二二、填空题填空题：本题共本题共

20、 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上. 13.答案： 5 5 命题意图：本题考查向量的夹角；考查数学运算能力. 解题分析：因为a、b为两个单位向量，且0a b ，所以 2 221 45abab， 设a与2ab的夹角为，则 2 22 15 cos 555 2 abaab a a ab . 14.答案： 3 4 命题意图：本题考查椭圆的离心率，考查数学运算能力. 解题分析：4am，3cm， 33 44 cm e am . 15.答案：2 命题意图：本题考查线性规划；考查数学运算能力与数形结合的思想. 解题分析：由约束条件 20

21、250 470 xy xy xy 作出可行域如图所示， 由 250 470 xy xy ，得1,2A，所以 max 242z. 16.答案： 2 2 命题意图：本题考查利用基本不等式解决空间几何体中点到面的距离最大问题；考查逻辑推理能力和空间 想象能力. 解题分析：由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥DABCE 中，底面ABCE为边长是 1 的正方形，侧面 D EA中，D EAE，且1D EAE. AED E，AECE，DECEE，AE平面DCE，作DMCE于M，作MNAB于 N，连接DN，则由AE 平面DCE，可得D MAE，D M平面ABCE. 又AB 平面ABCE，D MAB，MNAB，D

22、MMNM，AB平面DMN. 在DMN中，作MHDN于H，则MH 平面ABD， 由题意可得CE平面ABD，MH即为点C到平面ABD的距离， 在RtDMN中，DMMN，1MN ，设DMx，则01xDE， 2 1DNx. 由DM MNDN MH可得 2 1xxMH， 2 2 12 21 1 1 x MH x x ，当1x 时等号成立，此时D E平面ABCE， 综上可得，点C到平面ABD距离的最大值为 2 2 . 三三、解答题：共、解答题：共 70 分分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，毎个试题考生都题为必考题，毎个试题考生都

23、必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.命题意图：本题考查数列的通项公式与前n项和；考查数学运算能力. 解题分析： （1）由题意可得121 n S n n ，可得 2 2 n Snn. 当2n时， 2 2 1 221143 nnn aSSnnnnn . 当1n 时， 1 1a 对上式也成立. * 43 n annN. （2） 12 12 1 545 2 n n n aaa n bbb ， 当2n时， 1 112 121 1 541 2 n n n aaa n bbb ， 两式相减可得

24、1 432 2 n n n a nn b ，又 1 1 1 2 a b 满足上式， * 1 43 2 n n n a nn b N.2n n b，数列 n b的前n项和 1 2 21 22 2 1 n n n T . 18.命题意图：本题考查空间点、线、面的位置关系和空间向量；考查空间想象能力与逻辑推理能力. 解题分析： （1）ABC是正三角形，M是AC的中点，BMAC，即BDAC. 又PA 平面ABCD，PABD， 又PAACA，BD平面PAC，BDPC. （2）取DC的中点G，连接FG，EG，则EG平面PAD， 又直线EF平面PAD，EGEFE， 所以平面EFG平面PAD， 所以FGAD，

25、MG是CAD 的中位线，点M在FG上， M为AC的中点，DMAC，ADCD. 120ADC，4AB ，90BADBACCAD， 则三角形AMF为直角三角形，又30AMF，故1AF . （3）分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 4,0,0B，2,2 3,0C， 4 3 0,0 3 D ，0,0,4P， 4 3 4,0 3 DB 为平面PAC的法向量， 2,2 3, 4PC ，4,0, 4PB ， 设平面PBC的一个法向量为, ,nx y z，则 0 0 n PC n PB ，即 22 340, 440, xyz xz 令3z ，得3x ，3y ，则平面PBC的

26、一个法向量为 3, 3,3n ， 设二面角A PCB的大小为，则 7 cos 7 n DB n DB ， 所以二面角A PCB的余弦值为 7 7 . 19.命题意图：本题考查直线与抛物线的位置关系；考查数学运算能力和转化化归的思想. 解题分析： （1）由抛物线定义，得 0 2 p PFx， 由题意得 00 0 2 2 24 0 p xx px p ，解得 0 2 1 p x ，所以抛物线的方程为 2 4yx. （2）由题意知，过点P引圆 2 22 302xyrr的切线斜率存在，设切线PA的方程为 1 12ykx，则圆心M到切线PA的距离 1 2 1 22 1 k dr k ， 222 11 4

27、840rkkr. 设切线PB的方程为 2 12ykx，同理可得 222 22 4840rkkr， 所以， 1 k， 2 k是方程 222 4840rkkr的两根， 12 2 8 4 kk r ， 12 1k k . 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由 1 2 12 4 ykx yx ，得 2 11 4480k yyk， 由韦达定理知 1 1 1 84 2 k y k ，所以 1 12 11 424 242 k yk kk ，同理可得 21 42yk. 则 22 22 21 1212 0 4242 288 kkxxyy x 2 22 12121212 221223kkkkkkkk

28、， 设 12 tkk，则 2 8 4, 2 4 t r ， 所以 2 0 223xtt，对称轴 1 2 2 t ，所以 0 937x. 20.命题意图：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查数学建模能力和函数与方 程思想. 解题分析： （1）由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a， 由 统 计 数 据 可 知 1 0. 9 6 PXa， 1 0.8 12 P Xa， 1 0.7 12 P Xa， 1 3 P Xa， 1 1.1 4 P Xa， 1 1.3 12 P Xa， 所以X的分布列为 X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1

29、a 1.3a P 1 6 1 12 1 12 1 3 1 4 1 12 11111111.911305 0.90.80.71.11.3942 6121234121212 a EXaaaaaa. （2）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率的为 1 3 ，三辆车中至多有一 辆事故车的概率为 32 1 3 11220 1 33327 PC . 设Y为给销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为5000，10000. 所以Y的分布列为 Y 5000 10000 P 1 3 2 3 所以 12 5000100005000 33 EY . 所以该销售商一次购进 100 辆该

30、品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为10050EY万元. 21.命题意图：本题考査导数的综合应用；考查数学运算能力、抽象思维能力和逻辑推理能力. 解题分析： （1） 22 111 0 xaa fxx xxx ， 当10a ，即1a 时， 0fx，函数 f x在0,上单调递增，无极小值； 当10a ，即1a 时， 001fxxa，函数 f x在0,1a上单调递减. 01fxxa ，函数 f x在1,a 上单调递增， f x极小11 ln1f aa ， 综上所述，当1a 时， f x无极小值；当1a 时， f x极小1 ln1a . （2）令 sin121lnsin1 ln0 axaxxax

31、 F xf xg xxx xxx ， 当01a时，要证 f xg x，即证 0F x ，即证lnsin10xxax ， 要证lnsin10xxax ，即证lnsin1xxax， 当01a时，令 sinh xxx， 1 cos0h xx ，所以 h x在0,上单调递增， 故 00h xh，即sinxx.1sin1axax ， （*） 令 ln1q xxxx ， lnq xx， 当0,1x时， 0q x， q x在0,1上单调递减；当1,x时， 0q x， q x在1,上 单调递增，故 10q xq，即ln1xxx，当且仅当1x 时取等号. 又01a，ln11xxxax ， （*） 由（*） 、

32、（*）可知ln11sin1xxxaxax ，所以当01a时，lnsin1xxax. 当0a时，即证ln1xx.令 lnm xxx， ln1m xx， m x在 1 0, e 上单调递减，在 1 , e 上单调递增， min 11 1m xm ee ，故ln1xx. 综上可知，当01a时， f xg x. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 22.命题意图：本题考查坐标系与参数方程；考查数学运算能力与抽象思维能力. 解题分析： （1）消去参数t，得直线

33、l的普通方程为310xy ， 由cosx，siny， 得直线l的极坐标方程为 3cossin10 ，即 1 sin 32 . 曲线C的极坐标方程为sina（aR且0a） ，即 2 sina， 由 222 xy，siny，得曲线C的直角坐标方程为 22 0xyay. （2） 1, A 在直线l上， 2, 6 B 在曲线C上， 1 1 sin 32 ， 2 sin 6 a ， 2 1 2 sinsin 63 OB a OA 2 sincossin 2 663 aaa . 2a，2a . 23.命题意图：本题考查绝对值不等式与基本不等式；考查数学运算能力与逻辑思维能力. 解题分析： （1）不等式可化为 3 131 x xx 或 31 131 x xx 或 1 131 x xx ，解得 3 2 x . 1f x的解集为 3 | 2 x x . （2）13134xxxx ，4m，24pq，226pq， 211111421424 22442 26262623 qpqp pq pqpqpqpq . 当且仅当223pq，即 1 3 2 p q 时，取“=”. 21 2pq 的最小值为 4 3 . 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B B A C C A A B D A