全国100所名校2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题（一）ZX-MNJ,N附详解.docx

1、 绝密启用前绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试数学模拟测试 本试卷共 23 题，共 150 分，考试时间 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 注意事项：注意事项： 1 答题前， 考生先将自己的姓名、 考生号、 考场号和座位号填写清楚， 将条形码准确粘贴在条形码区域内 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清 楚 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上 答题无效 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字

2、迹的签字笔描黑 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知全集U R，集合 | 24,AxxxZ与|2 , k Bx xkZ的关系如图所示，则阴影部 分所表示的集合的元素共有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 2设复数 2 1 ai z i ，若zz，则实数a （ ） A2 B2 C1 D1 3若 1，a，4，b，c成等比数列，则ac（ ） A32

3、 B64 C32 D16 4下图统计了截止到 2019 年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这 5 次统计，下 列说法正确的是（ ） A私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是 2018 年 B公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是 25.7 万台 C公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为 23.12 万台 D从 2017 年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过 50% 5 科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线， 一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到： 任画一条线段， 然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变 成了由

4、4 条小线段构成的折线，称为“一次构造” ；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由 16 条更小的线段构成的折线，称为“二次构造” ；如此进行“n次构造” ，就可以得到一条科赫曲线若要 在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的 1000 倍，则至少需要通过构造的次数是（ ） （取 lg30.4771，lg20.3010） A16 B17 C24 D25 6执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为 4，则输出的a的值为开始（ ） A6 B7 C8 D9 7若 10210 01210 (21)(1)(1)(1)xaa xa xax，xR，则 12310 0 2310 3333 aaaa

5、 a （ ） A 10 7 B 10 5 3 C 10 7 3 D1 8关于函数( )sinf xxx，, x ，有下列三个结论： ( )f x为偶函数；( )f x有 3 个零点；( )f x在0, 2 上单调递增 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 9已知圆锥SC的高是底面半径的 3 倍，且圆锥SC的底面直径体积分别与圆柱OM的底面半径、体积相 等，则圆锥SC与圆柱OM的侧面积之比为（ ） A10 :1 B3:1 C2:1 D10 :2 10 已 知 集 合 12 , n x xx， 定 义 222 10200 c o sc o sc o s n xxxxxx n 为 集 合

6、12 , n x xx相对于 0 x的“余弦方差” ，则集合 32 , 105 105 相对于 0 x的“余弦方差”为（ ） A 1 4 B 1 2 C 2 2 D 3 2 11 已知抛物线 2 1 : 8 C yx的焦点为F，C的准线与对称轴交于点H， 直线2ykx与C交于A，B两 点，若FA为HFB的角平分线，且| 2|ABAH，则|AF （ ） A2 B 8 3 C3 D4 12已知函数 1ln ln1,0 ( ) 1 2,0 2 x x xx x f x x ，则满足方程 () 1 2 ( ( )12f mf f m 的实数m的取值范围 是（ ） A(, 1(0,1 B(,1 C 1

7、, e D 1 (, 1,1 e 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13曲线 1 ( )2xf x x 在1x 处的切线的斜率为 14如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若AFmABnAD uuu ruuu ruuu r ，则 m n 15已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 2 3a ， 5 9a ，若42n n S对任意 * nN恒成立，则实 数的取值范围为 16已知双曲线 22 2 :1(0) 4 xy Cb b 的左、右顶点分别为A、B，点

8、P在双曲线C上，若 2 PBAPAB ，则双曲线C的焦距为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 2 1 3sinsincos 22 AAA （1）求角A的大小； （2）若ABC的面积为 3 4 a，求bc的最小值 18如图，在四棱锥MABCD中，ABAD，2

9、ABAMAD，2 2MBMD （1）证明：AM 平面ABCD； （2）若E是BM的中点，CD AB，2CDAB，求二面角ECDM的余弦值 19已知直线l与椭圆 22 :1 62 xy C交于不同的两点A，B （1）若线段AB的中点为 1 1, 2 ，求直线l的方程； （2）若l的斜率为k，且l过椭圆C的左焦点F，AB的垂直平分线与x轴交于点N，求证： | | FN AB 为定 值 20已知函数 2 ( )2 ln x ea f xax xx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若函数( )f x只有一个零点，求实数a的取值范围 21小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：

10、若掷出的点数之和为 4 的倍数，则由原 投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是 4 的倍数，则由对方接着投掷 （1）规定第 1 次从小明开始； （）求前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率； （）设游戏的前 4 次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与期望； （2）若第 1 次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率 n P （二二）选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 1cos2 1co

11、s2 2tan x y （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 sin30 6 （1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程； （2）射线 6 与曲线C交于点A（异于原点） ，与直线l交于点B，求|AB的值 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2 4 ( )|2|(0) a f xxxa a ，( )8 |3|g xx （1）当1a 时，求不等式( )11f x 的解集； （2）若关于x的不等式( )( )f xg x的解集包含 2, 1，求a的取值集合 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试

12、参考答案数学模拟测试参考答案 1B 本题考查 Venn 图因为1,2,4AB，所阴影部分表示的集合为 2, 1,0,3，该集合共有 4 个 元素 2 A 本题考查复数的运算、 复数的概念 依题意， 2(2)(1)2(2)2 1(1)(1)22 aiaiiaaia z iii (2) 2 ai ，因为zz，所以21a，解得2a 3C 本题考查等比中项 2 4a ，2a ， 2 41 c ，16c ，32ac 4D 本题考查统计图表与用样本估计总体私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是 2016 年， 这 5 次统计的公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是 21.4 万台，平均数是 4.914

13、.121.43044.7 5 23.02万台，故 A、B、C 项错误，D 项正确 5 D 本题考查对数的运算与估算 记初始线段长度为a， “一次构造” 后的折线的长度为 4 3 a ， “二次构造” 后的折线的长度为 2 4 3 a ， “n次构造”后的折线的长度为 4 3 n a ，则要使得到的折线的长度达到原 来的 1000 倍，应满足 4 1000 3 n aa ， 4 1000 3 n ，两边同时取对数得 4 lglg10003 3 n，得 (2lg2lg3)3n， 3 2lg2lg3 n 代入数据得 3 24.02 0.60200.4771 n ，故至少需要通过构造的 次数是 25

14、【失分陷阱】 考生不能由复杂的背景抽象出数学模型列出不等式， 考生的数学运算素养不够导致计算错误， 最后一步得出结论时四舍五入导致错误解答本题错误的原因主要是抽象概括能力不够与数学运算素养不 扎实 【满分秘籍】由实际问题抽象出正确的数学模型，平时训练扎实的数学运算素养 6B 本题考查程序框图第一次循环，104M ，4N ，5a ； 第二次循环，109M ，20N ，6a ； 第三次循环，115M ，120N ，7a ； 此时MN不成立，输出7a 7C 本题考查二项式定理，取 2 3 x ，可得 10 12310 0 2310 7 33333 aaaa a 8D 本题考查函数的性质()sin()

15、sin( )fxxxxxf x ，正确；令( )0f x ，得0x 或 sin0x ，解得0x 或x ，正确；( )sincosfxxxx，当0, 2 x 时，( )sinfxx cos0xx ，故( )f x在0, 2 上单调递增，正确 9A 本题考查圆锥、圆柱的体积与侧面积计算设圆锥SC的底面半径为r，高为3r，则圆柱OM的底 面半径为2r，设圆柱OM的高为h，依题意有 22 1 3(2 ) 3 rrrh，解得 4 r h 故圆锥SC的侧面积为 2 10rlr，圆柱OM的侧面积为 2 22 4 r rr，故圆锥SC和圆柱OM的侧面积之比为10 :1 10B 本题考查三角恒等变换与新定义问题

16、由题知集合 32 , 105 105 相对于 0 x的“余弦方差” 为 2222 0000 32 coscoscoscos 105105 4 xxxx 0000 234 1cos21cos21cos21cos2 55 22 55 21 42 22 4 xxxx 11B 本题考查抛物线的性质如图，连接AF，BF，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N， 易知(0,2)F，(0, 2)H，| 4FH 由角平分线定理可得 | 2 | BFBA FHAH ，则 |1 |3 AHAM BHBN | | 2| 8BNBFFH， 8 | | 3 AMAF 【解题方法】本题容易将直线与抛物线的方程联立，依

17、据| 2|ABAH得出A，B两点横坐标的关系， 结合韦达定理求出k，解出A点的坐标，得出|AF的长，这种解法将小题大做了由角平分线定理得出 | 2 | BFBA FHAH ， |1 |3 AHAM BHBN ，避免联立直线与抛物线的方程去解题，再运用抛物线的性质可 得出正确结论圆锥曲线的小题首选运用圆锥曲线的性质去处理 12 A 本题考查函数与方程的综合 由 () 1 2 ( ( )12 f m f f m ， 可得 () 1 ( ( )2 2 f m f f m， 则( )0f m 当0m时，由 1 ( )20 2 m f m ，解得1m 当0m时， 1ln ( )ln1 m f mm m

18、， 2 ln ( ) mm fm m 令( )lng mmm， 11 ( )1 m g m mm ，当01m时，( )0g m，( )g m单调递减， 当1m 时，( )0g m，( )g m单调递增，则( )g m的最小值为(1)1g， 故 2 ln ( )0 mm fm m ，()f m单调递增，又(1)0f，故当01m时，( )0f m 综上可知，当(, 1(0,1m 时，( )0f x ，满足 () 1 2 ( ( )12 f m f f m 132ln21 本题考查导数的几何意义 2 1 ( )2ln2 x fx x ，(1)2ln21 f 由导数的几何 意义知曲线 1 ( )2xf

19、 x x 在1x 处的切线的斜率为2ln21 14 2 3 本题考查平面向量的基本定理连接AE， 1111 () 2222 AFADAEADABADAB uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 3 4 AD uuu r ，则 1 2 m ， 3 4 n ， 2 3 m n 15 5 , 2 本题考查等差数列与恒成立问题由已知得 1 1 3 49 ad ad ，解得 1 1 2 a d ， 所以 2 (1) 2 2 n n n Snn 因为42n n S对任意 * nN恒成立， 所以 2 4 2n n 对任意 * nN恒成立，记 2 4 2 n n n b ，则

20、2 1 1 (1)4 (2) 2 n n b n n ， 所以 222 1 1 4(1)446 0(2) 222 nn nnn nnnn bbn ，所以数列 n b是递减数列， 所以 n b的最大项为 1 5 2 b ，所以实数的取值范围为 5 , 2 164 2 本题考查双曲线的性质 2 PBAPAB ，1 PAPB kk设 00 ,P x y， 则 2 000 2 000 1 224 yyy xxx 点P在双曲线C上， 22 00 2 1 4 xy b ， 22 0 2 0 44 yb x ， 2 1 4 b ，2b，焦距为2 444 2 17解：本题考查解三角形 （1）因为 2 1 3s

21、insincos 22 AAA ，所以sin 21 6 A ， 因为(0, )A，所以 11 2, 666 A ，所以2 62 A ， 3 A （2）因为 133 sin 244 ABC SbcAbca ，所以abc 又 因 为 22222 2cos 3 abcbcbcbc ， 由 22 2bcbc， 当 且 仅 当bc时 取 等 号 ， 得 22 2bcbcb c，即1bc，所以当bc时，bc取得最小值 1 18解：本题考查线面垂直的证明与二面角 （1）因为 222 8ABAMBM，所以ABAM，同理可得ADAM 因为ADABA，所以AM 平面ABCD （2）因为ABAD，所以AD、AM、A

22、B两两垂直，以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为2ABAMAD，所以(0,0,0)A，(2,0,0)D，(0,2,0)M，(0,0,2)B， 因为E是BM的中点，所以(0,1,1)E， 因为CD AB，2CDAB，所以(2,0,1)C， 所以( 2,1,0)CE uuu r ，(0,0,1)DC uuu r 设平面CED的一个法向量为 111 ,mx y z r ， 由 111 111 ,(0,0,1)0 ,( 2,1,0)0 m DCx y z m CEx y z uuu r r uuu r r ，得 1 11 0 20 z xy ， 取 1 1x ，得(1,2,0)m r

23、 取DM的中点H，连接AH，易证AH 平面CDM， 则平面CDM的一个法向量为(1,1,0)nAH uuur r 设二面角ECDM的平面角为， 由图知0, 2 ，所以 2222 |(1,2,0) (1,1,0)3 10 cos | |10 1211 m n mn rr rr ， 所以二面角ECDM的余弦值为 3 10 10 19解：本题考查直线与椭圆的位置关系 （1）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 22 11 22 22 1 62 1 62 xy xy ，两式相减得 2222 1212 0 62 xxyy ， 则 12 12 1212 2222 66 13 AB xxyy k

24、 xxyy ，故直线l的方程为 12 (1) 23 yx ， 即4670xy （2）由题知( 2,0)F ，故可设直线l的方程为(2)yk x 当直线l的斜率0k 时，| 2 6AB ，| 2FN ，此时 |6 |6 FN AB 当直线l的斜率k不为 0 时，联立 22 1 62 (2) xy yk x ，可得 2222 13121260kxk xk， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由韦达定理知 2 12 2 12 13 k xx k ， 2 12 2 126 13 k x x k ， 则 2 2 22 2 22 121 2 222 2 6 1 12126 |1414 1313

25、13 k kk ABkxxx xk kkk 设AB的中点为 00 ,M x y，则 2 12 0 2 6 213 xxk x k ，又 00 2 2 2 13 k yk x k ， 故直线MN的方程为 2 22 216 1313 kk yx kkk ，令0y ，得 2 2 4 13 N k x k ， 则 2 2 22 21 4 |2 1313 k k FN kk ，所以 |6 |6 FN AB 综上所述， | | FN AB 为定值 20解：本题考查函数的单调性与零点 （1）( )f x的定义域为(0,)， 2 2(1) ( ) x eax fx x 当 1 2 a 时，20 x ea，(

26、)f x的单调递减区间为( )f x，单调递增区间为(1,)； 当 1 22 e a时，0ln21a，( )f x的单调递增区间为(0,ln2 )a，(1,)，单调递减区间为(ln2 ,1)a； 当 2 e a 时，( )0fx，( )f x的单调递增区间为(0,)； 当 2 e a 时，ln21a ，( )f x的单调递增区间为(0,1)，(ln2 ,)a ，单调递减区间为(1,ln2 )a （2）由（1）知，当 1 2 a 时，( )f x的最小值为(1)20fea，不合题意； 当 1 22 e a时， 22ln ( ) x eaaxx f x x ，(1)20fea， 且当0x时，ln0

27、xx，( )f x ，此时符合题意； 当 2 e a 时，( )eln x ee f xx xx ，(1)0fee，符合题意； 当 2 e a 时，ln21a ，则( )f x在(0,1)，(ln2 ,)a 上单调递增，( )f x在(1,ln2 )a上单调递减， 22ln ( ) x eaaxx f x x ，(1)20fea，且当x 时，( )f x ，此时符合题意 综上所述，实数a的取值范围为 1 , 2 【解后反思】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在性定理来说明由函数零点个 数求参数范围常常分离参数，借助函数的单调性考虑函数的图象与极值求解，或讨论函数的单调性，结合

28、 函数的极值和区间端点处的函数值的正负求解 含参数的不等式的有解问题， 可转化为恒成立问题来处理， 后者以导数为工具讨论函数的单调性，从而得到函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立 21解：本题考查随机变量的分布列与数列综合 （1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为 4 的倍数的概率为 91 364 （）因为第 1 次从小明开始，所以前 4 次投掷中小明恰好投掷 2 次的概率 13133331339 44444444464 P （）设游戏的前 4 次中，小芳投掷的次数为X，依题意，X可取 0，1，2，3， 所以 1111 (0) 44464 P X ， 33113311321 (1) 44

29、444444464 P X ， 39 (2) 64 P X ， 3113 (3) 44464 P X 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 64 21 64 39 64 3 64 所以 12139327 ()0123 6464646416 E X （2）若第 1 次从小芳开始，则第n次由小芳投掷骰子有两种情况： 第1n次由小芳投掷，第n次继续由小芳投掷，其概率为 1 1 1 (2) 4 nn PPn ； 第1n次由小明投掷，第n次由小芳投掷， 其概率为 2 11 133 11(2) 444 nnn PPPn 因为两种情形是互斥的，所以 12 111 13313 (2) 44424 nn

30、nnnn PPPPPPn ， 所以 1 111 (2) 222 nn PPn 因为 1 1P ，所以 1 2 n P 是以 1 2 为首项， 1 2 为公比的等比数列， 所以 1 111 222 n n P ，即 11 22 n n P 22解：本题考查参数方程与极坐标方程的转化、直线参数方程的几何意义 （1） 2 2 2 1cos22sin tan 1cos22cos ， 2 4yx 因为1 cos20，所以 2 k ，kZ，所以yR， 故曲线C的普通方程为 2 4yx 由2 sin30 6 ，可得直线l的直角坐标方程为330xy （2）将曲线 2 :4C yx化为极坐标方程，可得 2 si

31、n4cos，将 6 代入， 可得 2 sin4cos 66 A ，解得8 3 A ，同理可得1 B ， 所以|8 31 AB AB 23解：本题考查绝对值不等式的解集与恒成立问题 （1）当1a 时， 23,2 ( ) |5|2|7, 25 23,5 xx f xxxx xx 当2x 时，( )2311f xx ，解得4x ，此时42x ； 当25x 时，( )711f x ，此时25x； 当5x 时，( )2311f xx，解得7x，此时57x 综上所述，不等式( )11f x 的解集为 4,7 （2）关于x的不等式( )( )f xg x的解集包含 2 4 2, 1|2| 8 |3| a xxx a 在 2, 1x 上恒成立 因为0a， 2 4 0 a a ，所以当 2, 1x 时，不等式 2 4 25 a xxx a 恒成立， 即 2 4 3 a x a 在 2, 1上恒成立，即 2 4 4 a a ，又0a， 2 4 4 a a ，所以 2 4 4 a a ，所以 2a ，故a的取值集合是 2