概率论-全套课件.ppt

1、概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论部分概率论部分 第第 页页22.确定性现象和不确定性（随机）现象确定性现象和不确定性（随机）现象4.概率论的应用概率论的应用.前前 言言1.生活中的概率生活中的概率.3.概率论的历史概率论的历史概率论是研究随机现象统计规律的概率论是研究随机现象统计规律的一门数学学科一门数学学科第第 页页31.随机试验随机试验随机现象随机现象：具有多种可能的结果，而事先不能：具有多种可能的结果，而事先不能确定那种结果会发生的现象。确定那种结果会发生的现象。第第 页页4随机试验随机试验(E):E):(1)可在相同的条件下重复试验可在相同的条件下

2、重复试验;(2)每次试验的结果不止一个每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有且能事先明确所有可能的结果可能的结果;(3)一次试验前不能确定会出现哪个结果一次试验前不能确定会出现哪个结果.举例举例:E1:抛一枚硬币，观察正抛一枚硬币，观察正(H)反反(T)面面 的情的情 况况.E2:将一枚硬币抛三次将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况.E5:在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命测试它的寿命.E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数.E4:掷骰子掷骰子,观察点数观察点数第第 页页52.样本空间与随机事件样本空间与随机事

3、件(一一)样本空间样本空间:定义定义 随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称为的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间的样本空间,记为记为S.样本空间的元素称为样本点。样本空间的元素称为样本点。E2和和E3同是抛一枚硬币三同是抛一枚硬币三次，由于试验的目的不一次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样样，其样本空间也不一样.例子：写出例子：写出E1E5的样本空间（第的样本空间（第6页）。页）。第第 页页6(二二)随机事件随机事件 定义定义 样本空间样本空间S的子集称为随机事件的子集称为随机事件,简称事简称事件件,用用A,B,C.来表示来表示.在一次试验中在一次试验中,当且仅当这当且仅

4、当这一子集中的一个样本点出现时一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生称这一事件发生.基本事件基本事件:复合事件复合事件:必然事件必然事件:不可能事件不可能事件：由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.如如:H,T.由两个或两个以上的基本事件复合而成由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件的事件为复合事件.样本空间样本空间S是自身的子集，在每次试验是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。中总是发生的，称为必然事件。空集空集不包含任何样本点不包含任何样本点,它在每次它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。试验中都不发生，称为不可能事件。第第 页页7例例1.在在E

5、2中样本空间中样本空间 S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT,样本点样本点:事件事件A1-“第一次出现正面第一次出现正面”,A1=HHH,HHT,HTH,HTT,事件事件A2-“恰好出现一次正面恰好出现一次正面”,A2=HTT,THT,TTH,事件事件A3-“至少出现一次正面至少出现一次正面”，A3=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH.共有共有23=8个（个（222是是重复排列）重复排列）.第第 页页8（三）事件间的关系与事件的运算（三）事件间的关系与事件的运算1.包含关系和相等关系包含关系和相等关系:BA )1(ABS若事件若事件A发生必然导

6、致事件发生必然导致事件B发生发生,则称事件则称事件B包含包含事件事件A,记作记作A B.若若A B且且A B,即即A=B,则称则称A与与B相等相等.(1)以后考虑事件间关系和运算时以后考虑事件间关系和运算时,参加比较参加比较或运算的事件都是同一样本空间的子集或运算的事件都是同一样本空间的子集.(2)设设A,B,C为任意三个事件为任意三个事件,事件间的包含事件间的包含关系有下列性质关系有下列性质:(a)A S;(b)A A(自反性自反性);(c)若若A B且且B C,则则A C(传递性传递性);(d)若若A B且且B A,则则A=B(反对称性反对称性).第第 页页9.,A,AB.A,BA,BA,

7、.|121 kkABABxAxxBA的的和和事事件件记记为为可可列列个个事事件件记记的的和和与与称称为为中中至至少少有有一一个个发发生生即即的的和和事事件件与与称称为为或或BASBA(2)2.和事件和事件:第第 页页103.积事件：积事件：事件事件A B=x|x A 且且 x B称称A与与B的的积，即事件积，即事件A与与B同时发生同时发生.A B 可简记为可简记为AB.类似地类似地,事件事件 为可列个事件为可列个事件A1,A2,.的积事件的积事件.1kKABASBA)3(第第 页页11.,不不能能同同时时发发生生与与即即或或互互斥斥的的是是互互不不相相容容的的与与则则称称若若BABABA BA

8、AB4.事件的互不相容事件的互不相容(互斥互斥):(1)基本事件是两两互不相容的基本事件是两两互不相容的,即样本点是互即样本点是互不相容的不相容的,事件事件A与与B-A是互不相容的是互不相容的.(2)对于互不相容的事件对于互不相容的事件A与与B,称它们的并称它们的并(A B)为和为和,记作记作A+B.(3)若用集合表示事件若用集合表示事件,则则A,B互不相容即互不相容即 为为A与与B是不交的是不交的.第第 页页12.,:.且且仅仅有有一一个个发发生生个个发发生生中中必必然然有有一一与与事事件件在在一一次次实实验验中中即即为为对对立立事事件件互互为为逆逆事事件件，也也称称与与，则则称称且且若若B

9、ABABASBA .,.ABBABAAA 或或互互为为对对立立事事件件，则则记记为为与与若若的的对对立立事事件件记记为为5.对立事件对立事件(逆事件逆事件)：SABAB(1)若若A,B二事件互为对立事件二事件互为对立事件,则则A,B必互不相容必互不相容,但反之不真但反之不真.,)2(AAAA 即即的的对对立立事事件件也也是是显显然然(3)必然事件与不可能事件互为对立事件必然事件与不可能事件互为对立事件,.SS 或或第第 页页136.差事件差事件:事件事件A-B=x|x A且且x B 称为称为A与与B的差的差.当且仅当当且仅当A发生发生,B不发生时事件不发生时事件A-B发生发生.即即:ABABA

10、B-A 显然显然:A-A=,A-=A,A-S=ABBA)4(s第第 页页14.ABBAABBA ；7.事件的运算律事件的运算律:).CA()BA()CB(A);CA()BA()CB(A .BABA;BABA 交换律交换律:分配律分配律:对偶律对偶律:.BABA BABA 都不发生都不发生、至少发生一个至少发生一个、第第 页页15例例1.设设A,B,C为任意三个事件为任意三个事件,试用试用A,B,C表示下表示下列各事件：列各事件：(1)A发生但发生但B与与C不发生不发生(H1);(2)A和和B都发生都发生,但但C不发生不发生(H2);(3)三个事件中恰有一个发生三个事件中恰有一个发生(H3);(

11、4)三个事件中恰有两个发生三个事件中恰有两个发生(H4);(5)三个事件都发生三个事件都发生(H5);(6)三个事件至少有一个发生三个事件至少有一个发生(H6);(7)三个事件都不发生三个事件都不发生(H7);(8)三个事件中至少有两个发生三个事件中至少有两个发生(H8);(9)三个事件中不多于一个发生三个事件中不多于一个发生(H9);(0)三个事件中不多于两个事件发生三个事件中不多于两个事件发生(H0).第第 页页16则则有有两两两两互互不不相相容容，、事事件件例例.3CBA 不不成成立立反反之之ABC例例2.设设A,B,C为随机事件，试证明下列各式为随机事件，试证明下列各式:C.BAAC)

12、-(CAB)-(B(4)AB;ABAAB-B)(A3(.)(2(;)(1(练习：练习：BAABABBABABABA第第 页页173.频率与概率频率与概率(一一)频率频率 1.在相同的条件下在相同的条件下,共进行了共进行了n次试验次试验,事件事件A发生发生的次数的次数nA,称为称为A的频数的频数,nA/n称为事件称为事件A发生的频发生的频率率,记为记为fn(A).频率的基本性质：频率的基本性质：.2（非负性）（非负性）；）（10 )1(Afn（规范性）（规范性）;1)()2(Sfn则则两两两两互互不不相相容容，）若若（,A,AA3k21)(21knAAAf有限可加性）有限可加性）).()()(2

13、1knnnAfAfAf 第第 页页183.频率的特性频率的特性:1）随机波动性：）随机波动性：2）稳定性：）稳定性：当当n较小时，波动大；较小时，波动大；当当n较大时，波动小。较大时，波动小。问题：是否能用频率来描述随机事件可能性大小？问题：是否能用频率来描述随机事件可能性大小？fn(A)没有波动没有波动.)()(limAPAfnn第第 页页19)(:(.),APARPCBA第第 页页201.定义定义:设设E是随机试验是随机试验,S是样本空间是样本空间.对于对于E的的每个事件每个事件A对应一个实数对应一个实数P(A),称为事件称为事件 A的概率的概率,其中集合函数其中集合函数P(.)满足下列条

14、件满足下列条件:(1)对任一事件对任一事件A,有有P(A)0;(非负性）非负性）(2)P(S)=1;（规范性规范性)(3)设设A1,A2,是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件,则有则有 P(A1 A2 )=P(A1)+P(A2)+(可列可加性可列可加性)(二)概率概率第第 页页212.概率的性质概率的性质：.0)(P .1 性性质质则则是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若性性质质,An,A2,A1 .2)().An(P)A2(P)A1(P )AnA2A1(P有有限限可可加加性性 );A(P)B(P)AB(P ,BA .3 则有则有若若性质性质).A(P)B(P 一般地有一般地有:P

15、(B-A)=P(B)-P(AB).第第 页页22.1)A(P,A.4 对对任任一一事事件件性性质质).A(P1)A(P,A.5 对对任任一一事事件件性性质质).AB(P)B(P)A(P)BA(PB,A.6 有有对对任任意意两两事事件件性性质质)CBA(P).()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAP )AAA(Pn21).AAA(P)1()AAA(P)AA(P)A(Pn211nnkji1kjinji1jin1ii 第第 页页23例例4.设设P(A)=p,P(B)=q,P(AB)=r,用用p,q,r表示下列表示下列事件的概率事件的概率:).(4)P );(3);(2);()

16、1(BABAPBAPBAP 第第 页页244.等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)等可能概型的定义等可能概型的定义:例如例如:掷一颗骰子掷一颗骰子,观察出现的点数观察出现的点数.(1)样本空间中的元素只有有限个样本空间中的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.古典概型求概公式古典概型求概公式:对于古典概型对于古典概型,样本空间样本空间S 1,2,n,设事设事件件A包含包含S的的k个样本点，则事件个样本点，则事件A的概率定义为的概率定义为 )(nkSAAP中样本点总数中样本点数第第 页页25古典概型概率的计算步骤古典概型概率的计算步骤:(

17、1)选取适当的样本空间选取适当的样本空间S,使它满足有限等可能的使它满足有限等可能的要求要求,且把事件且把事件A表示成表示成S的某个子集的某个子集.(2)计算样本点总数计算样本点总数n及事件及事件A包含的样本点数包含的样本点数k.(3)用下列公式计算用下列公式计算:)(nkSAAP中的样本点总数中样本点数加法原理加法原理:完成一件工作完成一件工作,有有m类方法类方法,而第而第1类方法有类方法有n1 种种方法方法,第第2类方法有类方法有n2种方法种方法,第第m类方法有类方法有nm种方种方 法法,任选一种此工作就完成任选一种此工作就完成,那么完成这项工作共有那么完成这项工作共有 N=n1+n2+n

18、m种不同的方法种不同的方法.乘法原理乘法原理:完成一件工作完成一件工作,需要需要m个步骤个步骤,而第而第1步有步有n1 种种方法方法,第第2步步有有n2种方法种方法,第第m步步有有nm种方种方 法法,依依次完成这次完成这m步时这项工作才完成步时这项工作才完成,那么完成这项工那么完成这项工作共有作共有 N=n1 n2 nm种不同的方法种不同的方法.第第 页页26第第 页页27例例2.袋中装有袋中装有4只白球和只白球和2只红球只红球.从袋中摸球两次从袋中摸球两次,每次任取一球每次任取一球.有三种方式有三种方式:(a)放回抽样放回抽样;(b)不放回抽样不放回抽样;(c)一把抓一把抓求求:(1)两球颜

19、色相同的概率两球颜色相同的概率;(2)两球中至少有一只白球的概率两球中至少有一只白球的概率.例例3.设一袋中有编号为设一袋中有编号为1,2,9的球共的球共9只只,现从中现从中任取任取3只只,试求试求:(1)取到取到1号球的概率号球的概率,（事件（事件A）(2)最小号码为最小号码为5的概率的概率.（事件（事件B）第第 页页28例例4.将将n只球随机地放入只球随机地放入N(Nn)个盒子个盒子 中去中去,试试求每个盒子至多有求每个盒子至多有 一只球的概率一只球的概率.(设盒子的容量设盒子的容量不限不限).生日问题生日问题假定每个人在一年假定每个人在一年365天的任一天都等可能天的任一天都等可能,随机

20、选取随机选取n(小于小于365)人人,他们生日至少有两他们生日至少有两个相同的概率为个相同的概率为:.997.0p,64n,365A1p nn365 取取第第 页页29例例5.若有若有N件产品件产品,其中有其中有D件次品件次品,现在从中现在从中任取任取n件件,求其中恰有求其中恰有k(kD)件件次品的概率次品的概率.第第 页页30例例6.15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生,将这将这15名新生随名新生随机地平均分配到三个班级中去机地平均分配到三个班级中去,问每一个班级各分问每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少配到一名优秀生的概率是多少?例例7.某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一

21、周曾接待过12次来访次来访,且都是且都是在周二和周四来访在周二和周四来访.问是否可以推断接待时间是有问是否可以推断接待时间是有规定的规定的?实际推断原理实际推断原理:“小概率事件在一小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的次试验中实际上是不可能发生的”.第第 页页315.条件概率设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S,A,B是事件是事件,要考要考虑在虑在A已经发生的条件下已经发生的条件下B发生的概率发生的概率,这就是这就是条件概率问题条件概率问题.例例1.将一枚硬币掷两次将一枚硬币掷两次,观察其出现正反面的情况观察其出现正反面的情况.设设 A“至少有一次正面至少有一次正面”,B“两次掷出同

22、一面两次掷出同一面”求：求：A发生的条件下发生的条件下B发生的概率发生的概率.1.定义定义:设设A,B是两个事件是两个事件,且且P(A)0,称称P(A)P(AB)A)|P(B 为在事件为在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率.(一一)条件概率条件概率第第 页页32第第 页页332.性质性质:条件概率符合概率定义中的三个条件条件概率符合概率定义中的三个条件,即即0.A)|P(B1 B,10 有有对对于于每每一一个个事事件件1.A)|P(S 20.A)|P(B)A|BP(,B,B 31ii1ii210 则则两两互不相容两两互不相容设设此外此外,条件概率具有无条件概率

23、类似性质条件概率具有无条件概率类似性质.例如：例如：0.A)|P(1)则则两两两两互互不不相相容容,B,B,B (2)n21设.A)|P(BA)|BP(n1iin1ii 第第 页页34).A|B(P1)A|BP(3)A).|P(BC-A)|P(C A)|P(BA)|CP(B (4)当当AS时时,P(BS)=P(B),条件概率化为无条件概率化为无条件概率条件概率,因此无条件概率可看成条件概率因此无条件概率可看成条件概率.计算条件概率有两种方法计算条件概率有两种方法:然然后后按按公公式式计计算算先先计计算算 P(AB),P(A),.P(A)P(AB)A)|P(B 1.公式法：公式法：第第 页页35

24、第第 页页362.缩减样本空间法：缩减样本空间法：在在A发生的前提下发生的前提下,确定确定B的缩减样本空间的缩减样本空间,并并在其中计算出在其中计算出B发生的概率发生的概率,从而得到从而得到P(B|A).例例2.在在1,2,3,4,5这这5个数码中个数码中,每次取一个每次取一个数码数码,取后不放回取后不放回,连连取两次取两次,求在第求在第1次取到偶数的条次取到偶数的条件下件下,第第2次取到奇数的概率次取到奇数的概率.例例3.3只一等品只一等品2只二等品只二等品任取一只任取一只,不放回不放回再任取一只再任取一只A第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品B 第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品

25、,求求P(B|A).第第 页页37(二二)乘法定理乘法定理:A).|P(A)P(BP(AB)0,P(A),则则有有立立即即可可得得由由条条件件概概率率定定义义P(AB)0,则有则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).一般一般,设设A1,A2,An是是n个事件个事件,(n2),P(A1A2.An-1)0,则有则有乘法公式乘法公式:P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1).第第 页页38r只红球只红球t只白球只白球例例4.每次任取一只球观每次任取一只球观察颜色后察颜色后,放回放回,再再放回放回a只同色球只同色球在袋中

26、连续取球在袋中连续取球4次次,试求第一、二次取到红球且试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率第三、四次取到白球的概率.例例5.一辆自行车一辆自行车,第一次被撞坏的概率是第一次被撞坏的概率是1/2;若第若第一次未撞坏一次未撞坏,则第二次被撞坏的概率是则第二次被撞坏的概率是7/10;若前若前两次均未撞坏两次均未撞坏,则第三次被撞坏的概率是则第三次被撞坏的概率是9/10.求被撞三次还未坏的概率求被撞三次还未坏的概率.第第 页页39(三三)全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式:1.样本空间的划分样本空间的划分:B,B,B :n21一一组组事事件件满满足足若若定定义义n,.,2,1,j

27、 i,j,i ,BB (i)ji ,SB(ii)n1ii .SB,B,Bn21的的一一个个划划分分本本空空间间为为样样则则称称SB1B2B3.Bn(1)若若B1,B2,Bn是样本空间是样本空间S的一个划分的一个划分,则每次试验中则每次试验中,事件事件B1,B2,Bn 中必有一中必有一个且仅有一个发生个且仅有一个发生.BB,B,B ,SB,B,2n )2(212121 即即对对立立事事件件为为则则的的一一个个划划分分为为时时当当第第 页页402.全概率公式全概率公式:则则的事件的事件为为的一个划分的一个划分为为设设,EA n),2,1,(i0,)P(B,SB,B,Bin21 n1iii)B|)P

28、(AP(BP(A)称为全概率公式称为全概率公式.例例2:男性中有男性中有5%是弱视是弱视,女性中有女性中有0.25%是弱视是弱视.今从男女相等的人群中随机的挑选一人今从男女相等的人群中随机的挑选一人,问此人问此人是弱视的概率是弱视的概率.反问反问:已知此人是弱视已知此人是弱视,问此人是男性的概率问此人是男性的概率.例例1：12个乒乓球个乒乓球,9新新,3旧旧.第一次取出第一次取出3个用于比赛个用于比赛,用用后放回后放回.第二次又取出第二次又取出3个个,求第二次取出求第二次取出3球全新的概率球全新的概率.第第 页页413.贝叶斯公式贝叶斯公式:n.,2,1,i,)B|)P(AP(B)B|)P(A

29、P(BA)|P(B,0)(0,)P(B,.,n1jjjiiii21 则则有有是是一一个个随随机机事事件件且且且且的的下下个个划划分分是是样样本本空空间间设设APASBBBn例例:当机器调整良好时当机器调整良好时,产品合格率是产品合格率是90%;发生发生故障时故障时,合格率为合格率为30%.每天早上开动机器时每天早上开动机器时,机机器良好的概率时器良好的概率时75%.求求:已知某天早上第一件产已知某天早上第一件产品合格时品合格时,机器调整好的概率是多少机器调整好的概率是多少?第第 页页42利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的关键是找出样本空间的一个划分关键是找

30、出样本空间的一个划分,即完备即完备事件组事件组B1,Bn.其要点为：其要点为：(1)事件事件A必须伴随着必须伴随着n个互不相容的事件个互不相容的事件B1,B2,.,Bn之一发生之一发生,求求A的概率就可用全概率公式的概率就可用全概率公式计算计算.(2)如果我们已知事件如果我们已知事件A发生了发生了,求事件求事件Bi(i=1,2,n)的概率的概率,则用贝叶斯公式则用贝叶斯公式.即用贝叶斯公式即用贝叶斯公式所计算的是条件概率所计算的是条件概率P(Bi|A),i=1,2,n.第第 页页431.6 1.6 独立性独立性设设A,B是试验是试验E的两事件的两事件,当当P(A)0,可以定义可以定义P(B|A

31、).P(A)P(AB)A)|P(B 一般地一般地,P(B|A)P(B),但当但当A的发生对的发生对B的发生的概的发生的概率没有影响时率没有影响时,有有P(B|A)=P(B),由乘法公式有由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).例例:抛甲乙两枚硬币抛甲乙两枚硬币,观察正反面的情况观察正反面的情况.A=甲出现正面甲出现正面;B=乙出现正面乙出现正面.求求:P(B|A);P(B).第第 页页441.定义定义:设设A,B是两事件是两事件,如果满足等式如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件则称事件A与事件与事件B是相互独立的事件是相互独立的事件.第第 页页45由定

32、义可知由定义可知:1)零概率事件与任何事件都是相互独立的零概率事件与任何事件都是相互独立的.2)由对称性由对称性,A,B相互独立相互独立,必有必有B,A 相互独立相互独立.2.定义推广定义推广:设设A1,A2,An是任意的是任意的1ij n有有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),则称这则称这n个事件个事件两两相互独立两两相互独立.如果对于任意的如果对于任意的k(kn),任意的任意的1i1i20,则则A,B相互独立相互独立 的充要条件是的充要条件是:P(B|A)=P(B).BA B,A,BBA,(1)相相互互独独立立也也与与与与与与则则相相互互独独立立若若A,有关结论有关结论:.B A,B A

33、,0,P(B)0,P(A)2(不相容不能同时成立不相容不能同时成立互互相互独立与相互独立与则则 在实际问题中在实际问题中,我们往往根据实际意义我们往往根据实际意义而非定义来判断独立性而非定义来判断独立性.第第 页页47第一章第一章 习题课习题课一、主要内容一、主要内容:样本空间样本空间随机事件随机事件概率定义及性质概率定义及性质古典概型古典概型条件概率条件概率全概率公式全概率公式Bayes公式公式 事件的独立性事件的独立性 第第 页页48二、课堂练习二、课堂练习:1.选择题选择题:(1)当事件当事件A与与B同时发生同时发生,事件事件C必发生必发生,则有则有()(A)P(C)=P(AB)(B)P

34、(C)=P(AB)(C)P(C)P(A)+P(B)-1 (D)P(C)P(A)+P(B)-1P(A)P(B)P(AB)(D)P(A)P(B)P(AB)(C)B)|AP(B)|P(A(B)B|AP(B)|P(A(A)(),A|P(BA)|P(B0,P(B)1,P(A)0(2)则必有则必有设设第第 页页492.填空题：填空题：.B)|P(A,)BAP(0.5,P(B)0.1,P(A)B,A(1)则 设(2)设两个事件设两个事件A,B相互独立相互独立,A,B都不发生的概率都不发生的概率为为1/9,A发生而发生而B不发生的概率与不发生的概率与B发生而发生而A不发生不发生的概率相等的概率相等,则则P(A

35、)=_.)BP(A,B A,)B|P(A,B A,1),ba,(0b,P(B)a,P(A),BA,)3(则则相互独立相互独立若若则则互不相容互不相容若若为两事件为两事件设设3.计算题：计算题：第第 页页50(2)甲乙丙三人向飞机射击甲乙丙三人向飞机射击,击中的概率分别为击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击落的概率是飞机被一人击落的概率是0.2,被两被两人击中的概率是人击中的概率是0.6,被三人击中必落下被三人击中必落下.求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.第第 页页51第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 随机变量随机变量X,THH,TS因因而而引引入入以以下

36、下变变量量及及理理论论的的研研究究不不便便于于计计算算不不是是数数量量与与抛抛硬硬币币试试验验中中例例,1.第第 页页52X(e)ReS1.定义定义:设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S=e,若对于每一个若对于每一个eS,有一个实数有一个实数X(e)与之对应与之对应,即即X(e)是定义在是定义在S上的单上的单值实函数，称为随机变量。简记为值实函数，称为随机变量。简记为r.v.2.用随机变量用随机变量X描述事件描述事件.第第 页页53 第第 页页54 第第 页页553.分类：分类：4.X一般看作实轴上的随机点坐标一般看作实轴上的随机点坐标.(1)离散型随机变量离散型随机变量;(2)非

37、离散型随机变量非离散型随机变量10 连续型随机变量连续型随机变量20 奇异型随机变量奇异型随机变量若随机变量全部可能取到若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无的值是有限多个或可列无限多个。限多个。第第 页页562.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 第第 页页57,.)3,2,1(xr.v.k kX所所有有可可能能取取值值为为设设离离散散型型)(,.,kp)x P(Xkk121 .r.v.X(1)的的概概率率分分布布或或分分布布律律式式为为离离散散型型则则称称:(1)式式也也可可用用表表格格形形式式表表示示X x1 x2 xn pk p1 p2 pn .第第 页页581

38、1kkp0kp第第 页页592.求分布律的步骤求分布律的步骤:(1)明确明确X的一切可能取值的一切可能取值;(2)利用概率的计算方法计算利用概率的计算方法计算X取各个确定值的概率取各个确定值的概率,即可即可写出写出X的分布律的分布律.例例1.盒子中有盒子中有3只红球只红球,2只白球只白球,现在任取现在任取3球球,抽到的白球抽到的白球数为随机变量数为随机变量X,求求X的分布律的分布律.例例2.袋中装有袋中装有4只红球和只红球和2只白球只白球,从袋中不放回地逐一地从袋中不放回地逐一地摸球摸球,直到第一次摸出红球为止直到第一次摸出红球为止,设设X表示到第一次摸出红表示到第一次摸出红球时所摸的次数球时

39、所摸的次数,求求X的分布律的分布律.第第 页页603.几种重要的离散型几种重要的离散型r.v.的分布律：的分布律：X 0 1 pk 1-p p 其中其中0p1,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1.(一一)0-1分布分布(二二)二项分布二项分布.,nE,p p :为为贝贝努努利利试试验验这这样样的的试试验验称称次次独独立立重重复复地地进进行行将将试试验验且且与与只只有有两两个个可可能能结结果果设设试试验验定定义义)10()A(P,AAE 贝努利试验贝努利试验 第第 页页61例例1.设设X是是n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数发生的次数,成功的概成功的概率为率为p,则则X是

40、一个随机变量是一个随机变量,我们来求它的分布律我们来求它的分布律.若若n=4,求求:PX=k，k=0,1,2,3,4.当当n=1时时,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为即为0-1分布分布.结论结论:n.,.2,1,0,k ,p)(1p)(kXPknknk 称称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布,记为记为Xb(n,p).设设X是是n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数发生的次数,成功的概率为成功的概率为p,则它的分布律为：则它的分布律为：第第 页页62例例2.某种电子元件的使用寿命超过某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品小时为一级品,已已知一大批

41、该产品的一级品率为知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查从中随机抽查20只只,求求这这20只元件中一级品只数只元件中一级品只数X的分布律的分布律.例例3.某人进行射击某人进行射击,每次命中率为每次命中率为0.02,独立射击独立射击400次次,试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率.第第 页页63(三三)泊松分布泊松分布(Poisson).()(.,0,.,2 ,1 ,0,!PXXkkekXPXk或或记记为为分分布布的的泊泊松松服服从从参参数数为为则则称称是是常常数数其其中中的的分分布布为为若若 0kkPX(1)0kk!ke 0kk!ke.1ee 第第 页页643 3 随机变量的分

42、布函数随机变量的分布函数第第 页页652.定义：设定义：设r.v.X,x R,则则 F(x)=P Xx 称为称为X的分布函的分布函数数.(2)无论是离散型无论是离散型r.v.还是非离散型还是非离散型r.v.,分布函数都分布函数都可以描述它可以描述它.(1)P x1x1,F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.(2)0F(x)1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)是右连续的是右连续的,F(x+0)=F(x).第第 页页66例例1.离散型离散型r.v.,已知分布律可求出分布函数已知分布律可求出分布函数.X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求：求：X的分布函数的分布函数,并求并

43、求P X1/2,P3/2X5/2.pxF(x).2,1,k ,pxX .xX,r.v.x:xkkkkkk PXPX则则分分布布函函数数为为若若分分布布律律处处有有一一个个跃跃度度每每个个可可能能值值的的在在的的分分布布函函数数是是阶阶梯梯函函数数离离散散型型 第第 页页674.4.连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 ,f(x),F(x).:.1有有对于任意的实数对于任意的实数使使存在非负函数存在非负函数的分布函数的分布函数对于对于定义定义xXvr xf(t)dt F(x)则称则称X为连续型为连续型r.v.f(x)称为称为X概率密度函数概率密度函数,简称概率密度简称概率密度.:(x

44、)2.的的性性质质概概率率密密度度 f.0 (1)f(x).1)(2)-dxxf连续型连续型r.v.的分布函数是连续函数的分布函数是连续函数,这种这种r.v.的取值的取值是充满某个区间的是充满某个区间的.几何解释。).(,)()()()3(21122121xxdxxfxFxFxXxPxx第第 页页68 ).()(,)(4)xfxFxxf则有处连续在点若.1.0,000)(.23 XPk,x,xkexfXx并并求求试试确确定定常常数数具具有有概概率率密密度度设设随随机机变变量量例例.2,120,410,0)x(F X.12求其密度函数的分布函数是已知例xxxx (5)设设X为连续型为连续型r.v

45、.它取任一指定的实数值它取任一指定的实数值a的概率的概率均为均为0.即即PX=a=0.第第 页页69.,0 0001)(的的指指数数分分布布服服从从参参数数为为称称则则若若概概率率密密度度为为 X.,x,xexfx 第第 页页704.几个常用的连续型几个常用的连续型r.v.分布分布(一一)均匀分布均匀分布:.,0,1)(其它其它bxaabxf则称随机变量则称随机变量X在在(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布,记作记作XU(a,b).则则若若),b,a(UXdcXcP dccdxab1,abd .,1,),()(,0)(bxbxaabaxaxxF分布函数为分布函数为:第第 页页71(二二)正态

46、分布正态分布:).,(,)0(,)1(22)(22 NXXxex fXx记记作作布布的的正正态态分分服服从从参参数数为为则则称称为为常常数数其其中中的的概概率率密密度度为为设设随随机机变变量量 21)(:其其图图像像为为第第 页页72.t21)(222)t(dexFx 分分布布函函数数性质性质:.hXP Xh-P 0h,x 10 有有这这表表明明对对对对称称曲曲线线关关于于.21)(.x 20 f时时取取最最大大值值当当(2)标准正态分布标准正态分布:).1,0(NX,X,tde21(x),e21)x(,1,0 x2t2x22记记服服从从标标准准正正态态分分布布则则称称时时当当 .,)x(),

47、x(1)x(其表已列出供查用即标准正态分布函数其中 第第 页页73引理引理:).1,0(NXZ),N(X2 则则若若有有对对于于任任意意区区间间,(21xxP 21xXx 21 xXxP)()(12 xx:)(),(2可可写写成成它它的的分分布布函函数数若若xFNX )(xXPxF xXP.)(x求求设设例例如如),4,1(,NX6.10 XP第第 页页74例：若从南郊某地乘车到火车站有两条路可走，第一条例：若从南郊某地乘车到火车站有两条路可走，第一条穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分）穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布服从正态分布N(50,100),

48、第二条路线沿环城公路走，路程第二条路线沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从较长，但意外阻塞较少，所需时间服从N(60,16),问：问：(1)若有若有70分钟可用，应走那一条路线？分钟可用，应走那一条路线？(2)若有若有65分钟可用，应走那一条路线？分钟可用，应走那一条路线？第第 页页75例例 设某商店出售的白糖每包的标准全是设某商店出售的白糖每包的标准全是500克克,设每包重设每包重量量X(以克计以克计)是随机变量是随机变量,XN(500,25),求求:(1)随机抽查一包随机抽查一包,其重量大于其重量大于510克的概率克的概率;(2)随机抽查一包随机抽查一包,其重量与标准重量之

49、差的绝对值在其重量与标准重量之差的绝对值在8克克之内的概率之内的概率;(3 求常数求常数c,使每包的重量小于使每包的重量小于c的概率为的概率为0.05.(1)由由(x)=0.05怎样查表求怎样查表求x的值的值?(2)服从正态分布服从正态分布N(,2)的的r.v.X之值基之值基本上落入本上落入-2,+2 之内之内,几乎全部落几乎全部落入入-3,+3 内内.特别强调特别强调N(0,1)的情况在计算中的应用的情况在计算中的应用.第第 页页76z (x)0(3)标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点:满足条件满足条件若若设设 zNX),1,0(,10 ,zXP,分分位位点点为为标标准准正正态态

50、分分布布的的上上则则称称点点 z表表可可知知由由查查标标准准正正态态分分布布函函数数.975.0)96.1(,95.0)645.1(即即z0.05=1.645,z0.025=1.96(x)=P(Xx)第第 页页775.随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布一、一、X为离散型为离散型r.v.例例1.设设X具有以下的分布律具有以下的分布律,求求 Y=(X-1)2的分布律的分布律.X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4第第 页页78(2)若若g(x1),g(x2),中不是互不相等的中不是互不相等的,则应将那些相等的则应将那些相等的值分别合并值分别合并,并根据概率加法公式把相应的