1、数学建模案例选讲数学建模案例选讲 扩散问题的偏微分模型扩散问题的偏微分模型 物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着。凡与反映扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决。有衰减的扩散问题有衰减的扩散问题：设有一扩散源，某物质从此扩散源向四周扩散，沿 x，y，z 三个方向的扩散系数分别为常数，衰减（例如吸收、代谢等）使质量的减少与浓度成正比，扩散前周围空间此物质的浓度为零，估计物质
2、的分布。设 u(x,y,z,t)是 t 时刻点(x,y,z)处某物质的浓度。任取一个闭曲面 S，它所围的区域是，由于扩散，从 t 到 t+t 时刻这段时间内，通过 S流入 的质量为tttStSzucyubxuaMdd)coscoscos(2221其中 a2，b2，c2 分别是沿 x，y，z 方向的扩散系数。由高斯公式 由于衰减，内的质量减少为 ttttzyxzucyubxuaMdddd)(2222222221ttttzyxukMdddd22其中 k2 为衰减系数。由物质不灭定律，在 t 到 t+t 时刻间 内由于扩散与衰减的合作用，积存于 内的质量为M1 M2。换一个角度看，在 t 到 t+t
3、 时刻间 内由于浓度的变化引起的质量增加为 zyxzyxuttzyxuMddd),(),(3ttttzyxtudddd显然，M3=M1 M2，即 由 t，t，的任意性得：ttttzyxtuddddttttzyxukzucyubxuadddd)(2222222222ukzucyubxuatu2222222222上述方程是常系数线性抛物型方程，它就是有衰有衰减的扩散过程的数学模型减的扩散过程的数学模型。设扩散源在点(x0,y0,z0)处，则此扩散问题满足 Cauchy 问题：其中 M 为扩散源的质量。用傅立叶变换可求得Cauchy 问题的解析解为)()()()0,(0002222222222zzy
4、yxxMzyxuukzucyubxuatutktczztbyytaxxttabcMtzyxu22202202204)(4)(4)(exp8),(但值得注意的是值得注意的是，在实际应用中，参数 a，b，c，k 往往是很难获得的，通常都是利用观测取样值进行估计，从而得出 u(x,y,z,t)的近似表达式。参数估计参数估计：目的是对上式中出现的参数 a，b，c，k 进行估计。已知条件：点源（扩散源）的质量 M；点源（扩散源）的位置：(x0,y0,z0)；t0 时刻的观测取样值(xi,yi,zi,mi)，mi 为t0 时刻(xi,yi,zi)处物质的浓度，i=1,n。首先考虑取样时刻。事实上，取样时刻
5、是未知的，但若设取样时刻为 t0，作变量替换 t=t0，则有=t/t0，从而 即tutttuu0uktzuctyubtxuatu20222022202220 上式仍然是常系数线性抛物型方程，与有衰有衰减的扩散过程的数学模型减的扩散过程的数学模型形状完全一致，故可令观测取样值的取样时刻为 t0=1。于是，(xi,yi,zi,mi)满足22202202204)(4)(4)(exp8)1,(kczzbyyaxxttabcMzyxu 其次考虑参数估计。对上式两端取对数，有 222022022024)(4)(4)()ln(2ln)1,(lnkczzbyyaxxabcMzyxu令,4)(20 xxX,4)(20yyY,4)(20zzZ,12a,12b,12c22)ln(2lnkabcM则有关系式：W=lnu(x,y,z,1)=X+Y+Z+由于我们获得的观测取样值(xi,yi,zi,mi)可以转化为相应的观测取样值(Xi,Yi,Zi,Wi)，于是利用多元回归分析可以求出、的估计值，从而得到参数 a，b，c，k的估计值。最后，将参数 a，b，c，k 的估计值代入，就得到 u(x,y,z,t)的近似表达式。谢谢谢谢观看！2020
