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1、第八章 线性离散控制系统的分析与综合8.1 离散控制系统概述8.2 连续信号的采样与复现8.3 Z变换及Z反变换8.4 线性离散系统的数学模型8.5 离散控制系统稳定性分析8.6 离散控制系统的稳态误差分析8.7 离散控制系统的动态性能分析8.8 数字控制器的模拟化设计8.9 数字控制器离散化设计8.1 离散控制系统概述离散控制系统概述一、离散控制系统特点：一、离散控制系统特点：从系统结构上看，含有采样开关；从系统结构上看，含有采样开关；从信号传递上看，系统中某一处或几处信号是以脉冲或数字形式传递的。从信号传递上看，系统中某一处或几处信号是以脉冲或数字形式传递的。二、离散控制系统的两种典型结构

2、离散控制系统的两种典型结构1、采样控制系统、采样控制系统 e(t)是是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。e*(t)作为脉冲控制器的输入，经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或作为脉冲控制器的输入，经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号，对受控对象实施控制。滤波器）恢复为连续信号，对受控对象实施控制。采样系统中既有离散信号，又有连续信号。采样系统中既有离散信号，又有连续信号。采样开关接通时刻，系统处采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。于闭

3、环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。2 2、计算机控制系统计算机控制系统 计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号，出是连续信号，故需要故需要A/D和和D/A实现两种信号的转换。实现两种信号的转换。三、离散控制系统的分析方法三、离散控制系统的分析方法 建立在建立在Z变换变换的数学基础上，采用的数学基础上，采用脉冲传递函数脉冲传递函数，并利用类

4、似连读控制系，并利用类似连读控制系统的分析方法进行分析、研究。统的分析方法进行分析、研究。8.2 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现一、连续信号的采样、数学描述一、连续信号的采样、数学描述 1 1、采样过程、采样过程 把一连续信号转换成一串脉冲序列或数码信号的过程，称为把一连续信号转换成一串脉冲序列或数码信号的过程，称为 采样过程采样过程。例如下图中，采样器可用一个周期性闭合的采样开关表示，例如下图中，采样器可用一个周期性闭合的采样开关表示，设采样开关每隔设采样开关每隔T T秒闭合一次（接通一次）。秒闭合一次（接通一次）。f(t)f(t)为输入连续信为输入连续信 号，则经采样开关后，号，

5、则经采样开关后，f f*(t)(t)为定宽度等于为定宽度等于的调幅脉冲序的调幅脉冲序 列，在采样瞬时列，在采样瞬时nTnT(n=0,1,2,3(n=0,1,2,3）时出现。由于采样开关闭合时时出现。由于采样开关闭合时 间间很小，很小，TT，分析可认为分析可认为=0=0。采样器的输出采样器的输出f f*(t)(t)信号，信号，等于输入于采样器的连续信号在采样时刻的数值。等于输入于采样器的连续信号在采样时刻的数值。2 2、数学描述、数学描述 为了对采样过程和采样信号进行数学描述，往往把它看成是一个为了对采样过程和采样信号进行数学描述，往往把它看成是一个幅值调幅值调制制的过程，如下图所示。的过程，如

6、下图所示。采样开关类似于一幅值调制器，当采样开关周期性开闭时，产生一串以采样开关类似于一幅值调制器，当采样开关周期性开闭时，产生一串以TsTs为周期的单位理想脉冲为周期的单位理想脉冲T T(t)(t)。幅值调制的过程，数学上表示为两个信号函数相乘，即幅值调制的过程，数学上表示为两个信号函数相乘，即f f*(t)(t)可以认为可以认为是输入连续信号是输入连续信号f(t)f(t)调制在理想脉冲调制在理想脉冲T T(t)(t)上的结果。上的结果。设理想脉冲序列设理想脉冲序列 0kT)kTt()nTt()T2t()Tt()t()t(则采样脉冲序列的数学表达式：则采样脉冲序列的数学表达式：二、信号的复现

7、及装置二、信号的复现及装置 使采样信号使采样信号f f*(t)(t)大体上回复为连续信号大体上回复为连续信号f(t)f(t)的变化规律，称的变化规律，称信号的复现信号的复现。怎样才能使采样信号怎样才能使采样信号f f*(t)(t)大体上反映连续信号大体上反映连续信号f(t)f(t)的变化规律呢？的变化规律呢？从连续信号和其采样后的离散信号的频谱特性分析：从连续信号和其采样后的离散信号的频谱特性分析：对于一个非正弦周期函数对于一个非正弦周期函数f(t)f(t)，可以分解成一个傅氏级数，它的各次谐可以分解成一个傅氏级数，它的各次谐波的振幅波的振幅 随频率变化的分布情况，称为随频率变化的分布情况，称

8、为f(t)f(t)的的频谱特性频谱特性。0kTTTTT)kTt()kT(f)T2t()T2(f)Tt()T(f)t()0(f)t()t(f)t(f)j(Ff(t)f*(t)采样采样复现复现设有一离散信号设有一离散信号对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知将将s=j代入经上述讨论分析可知，对于一连续信号f(t)f(t)，其频率特性为一孤立的连续频谱（maxmax)。以均匀周期T(=2T(=2/s)s)对f(t)f(t)进行采样，采样信号f f*(t)(t)的频谱与采样频率s s有关，而且是以s s为周期的无限多个频谱之和。与为周期

9、的无限多个频谱之和。与原函数频谱相比，各对应频率处的幅值下降为原函数频谱相比，各对应频率处的幅值下降为1/1/T T。0k)kTt()kT(f)t(f0ks)jks(FT1)s(F)k2 jj(FT1)jkj(FT1)j(FT1)jkj(FT1)j(Fss0ks观察上图，观察上图，信号的复现需满足两个条件：信号的复现需满足两个条件：(1)(1)对于一个有限频谱的连续信号进行采样，当采样频率对于一个有限频谱的连续信号进行采样，当采样频率时，采样信号才可能无失真的复现原来的连续信号。时，采样信号才可能无失真的复现原来的连续信号。(香农采样定理香农采样定理)(2)(2)在被控对象前必须串联一个理想的

10、低通滤波器。在被控对象前必须串联一个理想的低通滤波器。maxs2Ts较大时较大时(s2 max)采样定理的采样定理的物理意义物理意义是，采样频率越高，即采样周期越小，故采样越细密，采是，采样频率越高，即采样周期越小，故采样越细密，采样的精度就越高，就能充分反映连续变化的所有信息。因此可以按要求复现原信号。样的精度就越高，就能充分反映连续变化的所有信息。因此可以按要求复现原信号。反之，采样频率越低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样时刻反之，采样频率越低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样时刻之间连续信号变化较大，而这种变化不能在采样信号中得到反映，故不能按一定的之间连续信号

11、变化较大，而这种变化不能在采样信号中得到反映，故不能按一定的精度复现原连续信号。精度复现原连续信号。需要指出，实际的非周期函数，其频谱的最高频率是无限的，不过由于高频分需要指出，实际的非周期函数，其频谱的最高频率是无限的，不过由于高频分量的幅值不大，因此通过低通滤波后的信号基本上能复现。在这种情况下，量的幅值不大，因此通过低通滤波后的信号基本上能复现。在这种情况下，如何选如何选择采样频率的最高频率呢？择采样频率的最高频率呢？一般考虑频谱幅值降为最大值的一般考虑频谱幅值降为最大值的5%5%处的频率为处的频率为maxmax。10.05max-max三、零阶保持器三、零阶保持器低通滤波器低通滤波器

12、使采样信号使采样信号f*(t)在每一个采样瞬间的采样值在每一个采样瞬间的采样值f(kT)一直保持到下一个采样一直保持到下一个采样瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为因为fh(t)在每一个采样区间在每一个采样区间内的值均为常数，其导数为内的值均为常数，其导数为0，故称为，故称为零阶保持器零阶保持器。)Tt(1)t(1)t(y设有一零阶保持器，其数学模型为设有一零阶保持器，其数学模型为对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知将将s=j代入代入)Tt(1)t(1)t(yse1ses1)

13、s(yTsTsjkjTke)j(Gje1)j(G从幅频特性上看，幅值随频率从幅频特性上看，幅值随频率的增加而衰减，所以零阶保持的增加而衰减，所以零阶保持器是一低通滤波器。从相频特器是一低通滤波器。从相频特性上看，零阶保持器会产生负性上看，零阶保持器会产生负相移，使系统的相位滞后增大，相移，使系统的相位滞后增大，使系统稳定性变差。使系统稳定性变差。8.3 8.3 Z Z变换及反变换变换及反变换 一、Z变换变换 )(tf)(*tf)()()()()(0*kssTkTtkTfttftf 在数学上表示：在数学上表示：对上式两边取拉氏变换对上式两边取拉氏变换skTksksssekTfkTtkTfLsF)

14、()()()(00*可看出，可看出，)(*sF是以复变量是以复变量s s表示的函数。引入一新变量表示的函数。引入一新变量z zsTseZ Z-定义在定义在Z Z平面上的一个复变量，称为平面上的一个复变量，称为Z Z变换子；变换子；sT -采样周期；采样周期；S-S-拉氏变换算子。拉氏变换算子。(1)(1)Z Z变换的定义变换的定义 8.28.2节指出，一个连续函数节指出，一个连续函数经采样后，其采样函数经采样后，其采样函数式中：式中：kkszkTfsFzF)()()(0*)(*tfkkszkTfzFtfZ)()()(0*上式收敛时，被定义为上式收敛时，被定义为采样函数采样函数 的的Z Z变换变

15、换。即。即注意：注意：1 1、上面三式均为采样函数、上面三式均为采样函数)(*tf的拉氏变换式；的拉氏变换式；2 2、)(zF是是)(*tf的的Z Z变换式；变换式；3 3、)(zF只表征连续函数只表征连续函数)(tf在采样时刻之间的特性，不能反映。在采样时刻之间的特性，不能反映。在采样时刻的信号特性，在采样时刻的信号特性，(2)(2)Z Z变换方法变换方法 Z Z变换方法多种，主要的有变换方法多种，主要的有 1)1)级数求和法级数求和法。以例说明。以例说明例例 求单位价跃函数求单位价跃函数1 1（t t）的的Z Z变换变换.解：因为解：因为qqaSZqZZZSZZZZnTtZtZnnnnnn

16、nnn1)1(1111limlim.1)(1)(1)(*1 1111210或者或者，由，由.1)(21zzzF两边同乘以两边同乘以z-1z-1得：得：.)(321zzzzF两式相减得：两式相减得：1,111)(1zzzzzF例2.试求取衰减的指数函数e-at(a)的Z变换。ssssssaTaTaTaTnnTaTnnanTatezzzeeZzzezezezzeeZ1aT1221aT-011,1e 1 e1 ss则即若解：解：2)2)部分分式法部分分式法 方法是，先求出连续函数的拉氏变换式，并部分分式展开。方法是，先求出连续函数的拉氏变换式，并部分分式展开。niiipsAsF1)(；然后逐项进行；

17、然后逐项进行Z Z变换。变换。例例3)1(1)(sssF)(tf111)1(1)(sssssF巳知原函数巳知原函数的拉氏变换式为的拉氏变换式为，求其，求其Z Z变换。变换。解：对拉氏变换式用部分分式展开解：对拉氏变换式用部分分式展开逐项进行逐项进行Z Z变换变换(查查Z Z变换表变换表)有有)(1()1(1)(sssTTTezzezezzzzzF例4.求取具有拉氏变换为 的连续函数f(t)的Z变换。)()(assasF)(1()(121)(F(z)1a 1a )(21saTsaTsaTezzezzezzzzasasaassaSF求得解：解：例5.求 的Z变换。2)(1)(asssF221)(1

18、11121111dsd312)(1210)(11)()(1)(1()1()-z(1 F(z)(F(S)a )(a a )(22222222232212ssssssaTaTssaTsaTaTsaTaTsaTezzaezzeTazzaaaaaassaasassasassasaasasaassezzaeaTezeaTeasassasssF解：解：1cos2Tzsin 1222z )-z)(-(z-2 -zz-zz21 Zs 2s 2sTT2sszTzzeezjeeeeeejzeejtinjeetinsjjTjTjTjTjTjTjTjTjtjtjssssssss有由欧拉公式例例6 求求 的的Z变换变换

19、tinsf(t)解：解：(3)(3)Z Z 变换的主要性质变换的主要性质 1)1)线性性质线性性质)z(bF)z(aF)t(bx)t(afZ)z(F)t(f Z),z(F)t(f Z21112211则则若若2)2)延迟定理延迟定理)z(F)t(f Z若若)()(zFznTtfZn则 说明：原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数说明：原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以上乘以 ,算子算子 的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟n n个周期。个周期。nznz证毕变换定义由证明 )(z )()()0(z )Zf(nT)Zf(Tf(0)Z)

20、KT-Zf(t 0)f(-TK)T-f(1)f(-kT )zf(nT )zf(Tf(0)z)z-kTf(T)f(-kT )()kT-f(t Z:k-1k-)(k-s1)(k-sk-ssss)(k-s1)(k-sk-1-sss0szFznTfzTffzkTnTfZnssnnnnss 3)3)超前定理超前定理)z(F)t(f Z若若则则4 4）复数位移定理）复数位移定理)()(aTatZeFtfeZ)f(m-F(Z)(Ts1-k0mZzTmksktfZ)1(.)2()()0()()(mk.)()0()()2(2)0()()(1)()()1(.)()0()1()()1(.)()0(.)1()(.)(

21、.)2()1()()()kTZf(t:212210)1(1.)1()1(1)!(210sssmsmmmsssskmnskkmsksksksskksksknsssssnssnTmzfTfzTfzfzzFzmTtfZTzffzzFzTtfZkzfzzFTtfZkzmTfZFzzTkfzTffzTkfzkTfzTkfzTffzzTkfzkTfzzkTnTfzTkfzTkfkTfZkTnTf时当时时证明11111 )(1)T-Z1(tzzzsztZzsaT-saT-.se-z1e-zz1-1T-t-a z Zz ZesaTe例7:用实数位移定理计算延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。例8：计算延

22、迟一个采样周期的指数函数e-at的变换。解：解：5 5）终值定理）终值定理)()1()()(zFzzFtfZ且若若在平面上以原点为圆心在平面上以原点为圆心的单位圆上和圆外没有极点或（的单位圆上和圆外没有极点或（z-1z-1）F(z)F(z)全部极点位于全部极点位于Z Z平面平面单位圆内。单位圆内。则则)()1(lim)(1zFzfzt例例设设 的的Z Z 变换函数为变换函数为 求求 的终值。的终值。)(tf)208.0416.0)(1(729.0)(22zzzzzF)(tf解解：用终值定理：用终值定理1)208.0416.0)(1(729.0)1(1lim)(22zzzzzzf二、二、Z Z

23、反变换反变换 Z Z反变换是已知反变换是已知Z Z变换表达式变换表达式F F（z z），），求离散序列求离散序列f f（nTnT）或或 的过程。的过程。)(skTf)(*tf)2)(1(10)(zzzzFZ Z反变换的方法也有多种，主要方法有反变换的方法也有多种，主要方法有1.1.部分分式法（因式分解法，查表法）部分分式法（因式分解法，查表法）步骤：先将变换式写成步骤：先将变换式写成 ，并展开成部分分式，并展开成部分分式，两端乘以两端乘以Z Z。F F（z z）=查查Z Z变化表。变化表。zzF)(zzF)(niiizzA1=niiizzzA1例例,巳知巳知，求，求。解解写成写成zzF)(21

24、0110)2)(1(10)(zzzzzzF两边同乘两边同乘z z210110)(zzzzzF,3,2,1,0),21(10)(kkTfks查查z z 变换表变换表 2 2、幂级数法（长除法）、幂级数法（长除法）将将 表达式直接用长除法，求按降幂排列的展开式表达式直接用长除法，求按降幂排列的展开式 ，便可，便可 直接写出脉冲序列的表达式。直接写出脉冲序列的表达式。.)2()2()()()()0()()(*ssssSTtTfTtTftfkTftf例例 己知己知zzzzzzF5.05.112)(2323求其反求其反z z 变换变换。21315.05.1121)(zzzzzF解解 可先改写可先改写z

25、z表达式表达式)(zF用长除法，分子、分母相除有用长除法，分子、分母相除有.375.675.45.31)(321zzzzF依依z z 变换的定义，有变换的定义，有.)2(75.4)(5.3)()(*TtTtttf 注：在实际应用中，常常只需要计算有限的几项就够了，注：在实际应用中，常常只需要计算有限的几项就够了，是开放形式。是开放形式。8.4 8.4 线性离散系统的数学模型)()()(zRzYzG一、脉冲传递函数的概念一、脉冲传递函数的概念 定义：线性定常系统，在零初始条件下，系统输出信号定义：线性定常系统，在零初始条件下，系统输出信号 的的Z Z变换与输入信号的变换与输入信号的Z Z变换之比

26、。用式子为变换之比。用式子为二、开环脉冲传递函数的求法二、开环脉冲传递函数的求法 系统由串联环节组成时，脉冲传递函数与采样开关的位置系统由串联环节组成时，脉冲传递函数与采样开关的位置和数目有关。和数目有关。1.1.串联环节之间有采样开关串联环节之间有采样开关(图图a)a)G(Z)=G1(Z)G2(Z)2.2.串联环节间无采样开关(图b)b)G(Z)=ZG1(s)G2(s)=G1G2(z)(z)G1)(s)ZGz-1(s)zZG-(s)ZG(s)G-(s)ZG(s)(s)GZGG(z)(s)G-(s)G(s)G)-(1(s)(s)GG(s)(s)GG(s)G -1(s)G)1()(s)(s)GG

27、(s)G221-1-2222212222121)(21)(2e-121e-1122ssT-ss-TzzzGeeeeesGsTsTsTssGsTssGsTsssssss令G2(s)零阶保持器y(t)(tr)(*tr3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函)e-a(ze-1 s)Zz-(1 )Zz-(1 ZG(Z)ssSs-TaT-aT-1a11-a)S(S11-1Se-1asaas解：例.求下图所示二环节串联的脉冲传函,其中G1(S)G2(S)assGsG12se-11)(,)(-sTs结论结论:有采样开关断开的线性环节串联时，系统脉冲传递函数有采样开关断开的线性环节串联时，系统脉冲传递函数等于各环

28、节脉冲传递函数的积；无采样开关断开的线性环节串等于各环节脉冲传递函数的积；无采样开关断开的线性环节串联时，系统其脉冲传递函数等于两个连续环节串联之后的联时，系统其脉冲传递函数等于两个连续环节串联之后的Z Z变换。变换。本结论可推广到本结论可推广到n n个环节。个环节。例例：设：设G(s)=1/sG(s)=1/s，G(s)=1/(s+1),G(s)=1/(s+1),分别求上述两种连接时的脉冲传递数。分别求上述两种连接时的脉冲传递数。解解：(1)(1)二环节间有采样器二环节间有采样器 G(z)=G1(Z)G2(z)=Z1/sZ1/(s+1)=)1)(1(111zezT(2)(2)二环节间无采样器二

29、环节间无采样器111111)()()(21sszssZsGsGZZG)1)(1()1(111zezzeTT三、闭环脉冲转递函数 由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置的可能性，故闭环离散系统没有唯一的结构形式，通常须采用列出方程式，再消去中间信号变量求出闭环转递函数。)()()(tbtrte 1.1.采样开关位于误差通道采样开关位于误差通道由图由图)()()(zBzRzE)()()(zGzEzY)()()(zGHzEzB取取Z Z 变换有变换有又由图有又由图有)(1)()()()(zGHzGzRzYz由以上三式，消去中间变量可得该系统的闭环传递函数：由以上三式，消去中间变量可得该系统的闭环传递

30、函数：2采样开关不位于误差通道G(s)H(s)r(t)Tsy(t)m(t)-b(t)(GG1)(z)RGGY(z)(GG1)(RGM(z)M(z)(GG)(RGM(z)(z)M(z)GY(z)21122112112zHzzHzzHzG1(s)e3扰动输入时的脉冲传函H(s)r(t)Tsy(t)e(t)-b(t)G1G2n(t)G2(s)H(s)G1(s)n(t)-m*m(t)y(t)(GG1H(z)NG)(GG-(z)NGY(z)：)()(GG-H(z)NGM(z)()(GG-(z)NGY(z)212212212212zHzzMzHzMz得H(S)D(S)G(S)R(S)X(S)Y(S)(SE

31、-)()(1)()(R(z)Y(z)(S)(S)DGH1)()()(*)()(1(S)R*(S)Y (S)(S)E(S)DG(S)Y (S)E (S)(S)E(S)DGH-(S)R(S)E (S)(S)EH(S)G(S)D-R(S)E(S)H(S)Y(S)-R(S)E(S)(S)(S)ED(S)X (S)D(S)EX(S)(S)G(S)XY(S)*zDzGHzGzDSRSDSGSDSGH 例1.试求右图所示系统的闭环传函解：Y(s)e-1)(z-(z21e)1(1)z-(1 )1(1)1(ZG(z)(1)(R(z)Y(z)1-11-21-ezssZsssezGzGsTs1211-11-1-11

32、-1-11-1-1-121e21e)e-1)(z-(z21e)e-1)(z-(z21e)e-1)(z-(z21eR(z)Y(z)1ezzezezezezezSeST01)1(1SSR(s)-10 T例2.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函解:注：注：1 1、典型系统的传递函数或输出表达式见表、典型系统的传递函数或输出表达式见表8.18.1 2 2、元部件相同但采样开关的位置或个数不同，系统的传递、元部件相同但采样开关的位置或个数不同，系统的传递 函数不同；函数不同；3 3、有些结构的系统只有输出表达式但求不出闭环传递函数。、有些结构的系统只有输出表达式但求不出闭环传递函数。8.5 离散控制系

33、统稳定性分析离散控制系统稳定性分析典型的离散控制系统如右图所示典型的离散控制系统如右图所示)(1)()()()(zGHzGzRzYz其闭环传递函数为：其闭环传递函数为：分析系统的稳定性能，需对其特征方程的根的分布情况进行分析分析系统的稳定性能，需对其特征方程的根的分布情况进行分析其其特征方程为：特征方程为：D(z)=1+GH(z)=0由由z变换的定义可知，这里的变换的定义可知，这里的z与与s的关系为：的关系为：Tsez 一、一、S S平面与平面与Z Z平面的对应平面的对应(映射映射)关系关系S平面Z平面左半平面单位园内虚轴单位园上右半平面单位园外注注 ：S S平面上的左半平面，相当于平面上的左

34、半平面，相当于Z Z 平面上的单位园内；平面上的单位园内；S S平面的虚轴，相平面的虚轴，相当于当于Z Z 平面上的单位园上；平面上的单位园上；S S平面上的右半平面，相当于平面上的右半平面，相当于Z Z 平面上的单平面上的单位园外。二、离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件二、离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件是，系统的特征方程的根全离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件是，系统的特征方程的根全部位于部位于Z Z平面以原点为园心的单位园内。平面以原点为园心的单位园内。例例 某离散控制系统如右图所示，采样周期为某离散控制系统如右图所示，采样周期为1 1s s，

35、系统能否稳定工作？系统能否稳定工作？解：系统的开环脉冲传递函数为解：系统的开环脉冲传递函数为)(1()1(10)1(10)(11ezzezssZzGk368.0952.432.6)(1)()(2zzzzGzGzkk368.0952.42zz系统的闭环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为特征方程特征方程=0特征方程根特征方程根076.01z876.42z由于由于12z，在在 Z Z 平面的单位园外，所以该系统是不稳定。平面的单位园外，所以该系统是不稳定。11z0)(zD三、离散系统的稳定性判据三、离散系统的稳定性判据劳斯判据。具体方法、步骤；劳斯判据。具体方法、步骤；1 1、求出特征方程式，、

36、求出特征方程式，2 2、Z W Z W 变换：变换：令特征方程式中的令特征方程式中的 ，得到，得到 3 3、用第三章劳斯判据的方法判稳。、用第三章劳斯判据的方法判稳。0)(D 例1.设闭环采样系统的特征方程为D(z)=45z3-117z2 +119z-39=0判断其稳定性.,40 0 18-40 2 2 1 04022 :039)(119)(117)45(z 0123231121131111有两根在单位圆外系统不稳定整理得得令解：解：r(t)-TSeTS1)05.01)(1.01(2ssS 0 0.34 0 1.43 0.34 3.68 1.65 2.33 034.065.168.32.33

37、0,G(z)1 3.0 )z-(1 )Zz-(1G(z)G(s)0123230185.0)1(1.0135.0)1(4.01-z0.41.04.013.01)-(zz2T1-201.0104.03.0s21-)20)(10()e-400(1)05.01)(1.01()e-2(120102s22sT-2s-T系统是稳定的则zzzzezzezzzzssssssssssTsT例2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期Ts=0.2(秒)解:-R(S)G(S)C(S)T 17.3K0 :00.158K-2.736 ,00.158K 0.158K-2.736 0 1.264 0.158K-2.736 0.1

38、58K 0)158.0736.2(264.10.158K 1)-(0158.00.368)-1)(-(z 0)368.01(0.368)-1)(z-(z 0)1()1)(-(zG(z)1 )1()(1()1(-Z )(G11110111212121-111-11-11-1444444444)(1)(R(z)Y(z)(1()1(44S1S14)4(111144111解得并整理得两边同乘以代入上式得令则KKzzeezzeezzzeZzKTKTsTKTTKzGzGezzzeKKSSKsssssTsT例3.设采样系统的方框图如图所示,其中 采样周期T=0.25s,求能使系统稳定的K1值范围解:)4(1

39、)(ssKSG8.6 8.6 离散控制系统的稳态误差分析)()()(zRzEze)()()(zRzzEe 离散系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误差离散系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误差脉冲序列。脉冲序列。由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一般的误差脉冲传递函数由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一般的误差脉冲传递函数的计算公式的计算公式,其稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。其稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。离散系统稳态误差的分析、计算与连续系统的相类拟，计算方法主要两种。离散系统稳态误差的

40、分析、计算与连续系统的相类拟，计算方法主要两种。一、用用Z Z变换的终值定理计算变换的终值定理计算 若系统稳定若系统稳定,即全部极点位于即全部极点位于z z平面单位图内平面单位图内,则可用则可用z z变换终值定理求出采样瞬时变换终值定理求出采样瞬时终值误差。方法、步骤如下：终值误差。方法、步骤如下：1、求出误差传递函数求出误差传递函数 2 2、求出误差、求出误差Z Z变换式变换式3 3、终值定理计算、终值定理计算)()()1lim()()1lim()(zRzzzEzee二、误差系数方法二、误差系数方法其中其中 含有的积分环节个数含有的积分环节个数N N，表征系统的无差度。表征系统的无差度。N=

41、0,0N=0,0阶无差系统；阶无差系统；N=1N=1一阶无差系统；一阶无差系统；N=2 N=2 二阶无差系统二阶无差系统)(zGk1(zzzR）称为位置误差系数。且有称为位置误差系数。且有pkNnjjnikpzzzzkzG1)()1()()(设单位反馈系统，开环传递函数为设单位反馈系统，开环传递函数为（1 1）阶跃输入时）阶跃输入时 由终值定理有由终值定理有 0)(eN=0 0pkpk0)(eN1)(11lim1)(11)1(lim)(11*zGzzzGzezz令令)(1lim1zGkzp(2)(2)斜坡输入斜坡输入2)1()(zzTzRsvkszkzGzTe1)(1)(1()(lim1)()

42、1(1lim1zGzTkkZsv，速度误差系数，速度误差系数当N=0 时，)(0，eKv 当N=1 时，vke1)(vk有限值，vk当N=2 时，0)(e(3)(3)加速度输入加速度输入，zzzTzRs32)1(2)1()()()1(1212limzGzTkkZsa，称为加速度误差系数。称为加速度误差系数。例例1(t)r(t)sesTs1)(AssK求下列系统单位斜波信号作用下的稳态误差。求下列系统单位斜波信号作用下的稳态误差。y(t)()1()1(2)1()(11)1()(221321limlimzGzTzzzTzGzekszskz当当N=0,1 时时 为无穷大（，为)0eka当当N=2 时

43、时 为一有限值。（为有限值，)eka解解)(111)(1()()1()(2222AsAsAAseKAssKesGsTsTkss)(1()1()1)()(22SsATsATkezzAzzATezKzGI I 型系统。型系统。AKzGzTKZsV)()1(1lim1注注：引入保持器，并不会改变系统开环脉冲传递函数极点的个数，系统仍是：引入保持器，并不会改变系统开环脉冲传递函数极点的个数，系统仍是一阶无差系统。一阶无差系统。SeST012)15.0(10ss 1.0K1K1K1)(:10)()1(lim1K)()1(lim1K;)(1limK:.,05402.08.00,）z（G1 )1(8.02.

44、1)1(5)1()1(51)(510)1()15.0(10)1()(avp212a1v1p222232233eZGzTZGzTZGwwwzzzzzzTzzzTzzzGssessesGzszszsssTsTss系统的稳态误差为系统稳态误差系数为系统稳定变换得即特征方程为开环脉冲传函为例2.右图所示系统中的采样周期Ts=0.2s,试求在时的稳态误差.解:2/t1r(t)2t 8.7 离散控制系统的动态性能分析一闭环特征根与暂态响应之间的关系njjmiinnnmmmpzzzabazazabzbzb1100110110)()(D(z)M(z)(z)设闭环脉冲传函为在单位阶跃输入信号的作用下，输出的变换

45、为njjjpzzCzzCzz1011D(z)M(z)(z)R(z)Y(z)对其进行反变换，得输出的时间响应njkjjpCC10s)y(kT 当特征根在单位圆内的不同位置时，分析系统的暂态过程kjjjpCky)(jpjp为正实数，暂态分量为，单调衰减，并且越小，衰减得越快为负实数，暂态分量为，暂态过程呈正、负交替的衰减振荡，极点越靠近原点，衰减得越快jpkjjjpCky)(原点为一对共轭的复数设共轭复数的两个极点为jjjjjjjjeppepp,对应的暂态分量为)cos(2)(jjkjjjkpCky为使离散控制系统具有较好的动态性能，闭环极点应尽量避免分布在平面单位圆内的左半部，并且不要靠近负实轴

46、，闭环极点最好分布在单位圆内右部正实轴上并靠近原点的位置。二、离散控制系统的动态性能估算设最靠近单位圆周的一对极点为（称为闭环主导极点），则可以根据这一对主导极点及其他闭环零、极点，估算出系统的超调量和峰值时间。具做的处理公式为1112,1jepjp)2()()1()1)()1(211311131121pjiKnjjmiiminjjipminjpzpspppppzpzpKTKt当由（）计算出的p不是整数时，可令.,1,为整数使ppKqqKKp11111311131121sin1cos)4()()1()1)()3(21qqkpppzpzpkqKTKtcKnjjmiiminjjicminjpzsp

47、ppjipp例求下图所示的系统的单位阶跃响应的峰值时间和超调量1/sZOH0.2/(s+0.1)r-2s2sy解系统的开环脉冲传函（）（）（）其中82.036.01.01112)1.0(2.011.02.01)(,1)(21zssZzzssZzzsseZzGsZzGsTs82.036.01)(zzzzG系统的闭环传函为)54.037.0)(54.037.0(36.082.046.136.0)(1)()(2jzjzzzzzzGzGz系统有一对共轭复数极点和一个零点。主导极点05.362,191.054.073.0jejp进一步可求得93.3)905.3690(5.361210000121minj

48、pzpjiK取407.093.3qKKpp求得峰值时间sTKtspp82*4进一步求得02.1)5.36*07.0sin(54.073.01)5.36*07.0cos(sin1cos001111qqkc于是超调量可求得为%64)91.0(*191.0*02.1)()1()1)(02.1412311111231ppKjjiiijjipppzpzp 数字控制器的模拟化设计c(z)ZOHG(s)-ssR(s)e(s)e(k)u(k)u(s)a)典型离散控制系统结构图c(s)G(s)-e(s)u(s)R(s)b)相似连续系统结构图数字控制器设计方法有：模拟化设计（间接、连续设计方法）；离散化设计（直接

49、设计方法）一、模拟调节器的离散化方法直接差分法（后向差分法）sTzsccsGzG11|)()(双线性变换法11112|)()(zzTsccssGzG二、离散系统模拟化设计的方法与步骤设计模拟调节器：根据被控制对象的传函和系统性能指标要求，用连续系统的校正、综合方法求出模拟化校正装置选择采样频率cssT)1510(2离散化处理：由求)(zGc)(sGc性能检验：不满足要求则返回第一步。求调节器的差分方程编写程序：依差分方程编制控制算法的计算机程序c(z)ZOH-sse(s)u(k)u(s)例某计算机控制系统如下图示，设计数字控制器，使系统的开环截止频率，相角裕度，开环增益（控制精度）30k045

50、)(c)(151scR(s)解（）设计模拟校正装置)(sGc取k=30,将零阶保持器看成是一个惯性环节：，校正前的开环传函为)21/(1sTs)311)(21(30)(0ssTssGs并预选采样周期sTs01.0)13/1(ssk于是可画出开环对数对数频率特性，可求得未校正前系统的开环截止频率和相角裕度)(101sc0008.13)10*005.0arctan(310arctan90180)(c选取串校超前校正装置，其中11)(12sTsTsGc2.0,02.021TT校正后的系统满足性能要求)(191sc060)(c（）选取采样频率，已知，相应的采样频率为sTs01.0285156282cs