数学建模差分模型及层次分析建模方法课件.ppt

1、，减肥，减肥模型，层次分析方法模型，层次分析方法 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型现现象象供大于求供大于求价格下降价格下降减少产量减少产量供不应供不应求求价格上涨价格上涨增加产量增加产量数量与价格在振荡数量与价格在振荡问问 题题 描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定？商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定？当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定？当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定？蛛蛛 网网 模模 型型 xk 第第 k 时段商品数量时段商品数量；yk 第第 k 时段商品价格时段商品价格()kkyfx需求函数：需求函数

2、：减函数减函数供应函数：供应函数：1()kkxh y1()kkyg x增函数增函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦 xk=x0，则则 yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 fxy0 x0y0P0g11223xyxyx0321PPPPxy0fgy0 x0P0y2P3P4x3x2P2y1P1y3x1xy0y0 x0P0fgP3P1P2P4设设x1偏离偏离x000,kkxxyy 0321PPPP P0是稳定平衡点是稳定平衡点P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKK曲线斜率曲线斜率gfKK()kkyf x1()kkxh y 方方 程程 模模 型型

3、在在P P0 0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线00()(0)kkyyxx 100()(0)kkxxyy10 xxk P0稳定稳定fgKK1kx P0不稳定不稳定fgKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致fK1/gK00()kkyyxx 100()kkxxyy结果解释结果解释考察考察 ,的含义的含义xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量 消费者对数量的敏感程度消费者对数量的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对

4、价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定1 经济稳定经济稳定经济不稳定时政府的干预经济不稳定时政府的干预1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 需求曲线变为水平需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直 以行政手段以行政手段控制数量不变控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf背景背景 多数减肥食品达不到减多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持。肥目标，或不能维持。通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻

5、体重并维持下去的目标下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少模型假设模型假设1 1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每80008000千卡增加体重千卡增加体重1 1公斤；公斤；2 2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200200千卡千卡 320 320千卡千卡(因人而异因人而异),),相当于相当于7070公斤的人每天消耗公斤的人每

6、天消耗20002000千卡千卡 3200 3200千卡；千卡；3 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关；4 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.51.5公斤，每周吸收热量不要小于公斤，每周吸收热量不要小于1000010000千卡。千卡。减肥计划减肥计划某甲体重某甲体重100100公斤，目前每周吸收公斤，目前每周吸收2000020000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至7575公斤。公斤。1 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排

7、一个两阶段计划。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1 1公斤，每周吸收热量逐渐减少，公斤，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（直至达到下限（1000010000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。3 3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。200000.0258000 100cw(1)()(1)()w kw kc kw k 基本模型基本模型wwcww(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收

8、热量周吸收热量18000(/公斤千卡）代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数每周吸收每周吸收2000020000千卡千卡 w=100=100公斤不变公斤不变即每周每公斤体重消耗即每周每公斤体重消耗 20000/100=20020000/100=200千卡千卡()(1)1w kw k(1)()(1)()w kw kc kw k()(0)w kwk 第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1公斤公斤,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡1(1)()1c kw kk20012000)

9、1(1)0()1(kwkc10000mC10k1 80000.025第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1公斤，第公斤，第10周末体重周末体重90公斤公斤(1)12000200,0,1,9c kk k吸收热量为吸收热量为1()(1)()1(1)(1)nnmw knw kC(1)()nmmCCwk10.025,100008000mC以代入得 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75公斤公斤 (1)()(1)()w kw kc kw k基本模型基本模型(1)(1)()mw kw kC()0.975 ()5050nw knw k()90,()75w kw knn已知要

10、求，求750.975(9050)50nlg(25/40)19lg 0.975n 第二阶段第二阶段1919周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持1000010000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至7575公斤。公斤。()40 0.97550(1,2,19)nw nn0.003,24tt取即(0.025)(0.028)t()(1)()nmmCCw knw k2）第二阶段增加运动的减肥计划第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每公斤体重消耗的热量根据资料每小时每公斤体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.0 3.0 4

11、.4 2.5 7.9(1)()(1)()()w kw kc kt w k基本基本模型模型t每周运动每周运动时间时间(小时小时)75 0.972(90 44.6)44.6n14n 运动量运动量 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),共共14周。周。3）达到目标体重）达到目标体重75公斤后维持不变的方案公斤后维持不变的方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变(1)()(1)()()wkwkc kt wk ()wwCt w80000.0257515000()C 千卡 不运动不运动80000.028 7516800()C 千卡

12、运动运动(内容同前内容同前)层次分析法（Analytic Hierarchy Process,AHP）数学用于研究自然与社会现象的方法主要有：数学用于研究自然与社会现象的方法主要有：机理分析机理分析用经典的数学工具分析现象的因果关系；用经典的数学工具分析现象的因果关系；统计分析统计分析以随机数学为工具，通过大量观测数据寻以随机数学为工具，通过大量观测数据寻 求统计规律。求统计规律。近年来发展起来的第三种方法称为近年来发展起来的第三种方法称为系统分析系统分析，层次，层次分析是系统分析的工具之一，它是美国运筹学教授分析是系统分析的工具之一，它是美国运筹学教授 SaatySaaty 于于 70 70

13、 年代初期提出来的。它年代初期提出来的。它把人的思维过程层次化、数把人的思维过程层次化、数量化量化，并用数学方法为分析、决策、，并用数学方法为分析、决策、预报或控制提供定预报或控制提供定量的依据。这是一种量的依据。这是一种定性与定量相结合定性与定量相结合的方法。的方法。过河的效益过河的效益 A经济效益经济效益B1社会效益社会效益B2环境效益环境效益B3节节省省时时间间C1收收入入C2岸岸间间商商业业C3当当地地商商业业C4建建筑筑就就业业C5安安全全可可靠靠C6交交往往沟沟通通C7自自豪豪感感C8舒舒适适C9进进出出方方便便C10美美化化C11桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）过河效益

14、层次结构）过河效益层次结构例例1 过过河河方案的抉择方案的抉择过河的代价过河的代价 A经济代价经济代价 B1环境代价环境代价B3社会代价社会代价B2投投入入资资金金C1操操作作维维护护C2冲冲击击渡渡船船业业C3冲冲击击生生活活方方式式C4交交通通拥拥挤挤C5居居民民搬搬迁迁C6汽汽车车排排放放物物C7对对水水的的污污染染C8对对生生态态的的破破坏坏C9桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）过河代价层次结构）过河代价层次结构一一.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中选择旅游地个目的地中选择旅游地.O(选择旅游地选择旅游地)C3居住居

15、住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5交通交通P2黄山黄山P1桂林桂林P3张家界张家界目标层目标层准则层准则层方案层方案层“层次分析法层次分析法”思维过程的归思维过程的归纳纳分层分层：将决策问题分为将决策问题分为3 3个层次：目标层个层次：目标层O O，准则层，准则层C C，方案层方案层P P；每层有若干元素，；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的各层元素间的关系用相连的直线表示。直线表示。加权：加权：通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。综合：综合：将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两

16、组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。成以上步骤，给出决策问题的定量结果。基本步骤基本步骤 将问题条理化、层次化。将问题条理化、层次化。比较同一层次元素对上一层次同一目标的影响，从而比较同一层次元素对上一层次同一目标的影响，从而确定它们在目标中所占的比重。采用两两比较的方法，确定它们在目标中所占的比重。采用两两比较的方法，求出它们对于同一个目标的重要性的比例标度，标度等级求出它们对于同一个目标的重要性的比例标度，标度等级为为1 1，2 2，9 9，1/21/2，1/31/

17、3，1/91/9。得到两两比较得到两两比较判断矩阵。判断矩阵。在单一准则下计算元素相对排序权重，以及判断矩阵在单一准则下计算元素相对排序权重，以及判断矩阵一致性检验。一致性检验。计算方案层中各元素对于目标层的总排序权重，从而计算方案层中各元素对于目标层的总排序权重，从而确定首选方案确定首选方案:ijijCCa1(),0,ij n nijjiijAaaaa成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C C1 1,C,C2 2,C,Cn n对目标对目标O O的重要性的重要性选选择择旅旅游游地地11/2433

18、217551/41/711/2 1/31/31/52111/31/5311AA成对比较阵成对比较阵是正互反阵是正互反阵要由要由A A 确定确定C C1 1,C,Cn n 对对 O O 的权向量的权向量11/24217A12121/2(:)aC C13134(:)aCC 成对比较的不一致性成对比较的不一致性不一致不一致 如果一致如果一致23238(:)aC C允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况/ijijaww令12(,)1)Tnww www（111122221212nnnnnnwwwwwwwwwwwwAwwwwww,1,2

19、,ijjkikaaai j kn满足满足的正互反阵的正互反阵A A称称一致阵一致阵一致阵一致阵性质性质 A A的秩为的秩为1 1，A A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n n A A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n n 的特征向量的特征向量 A A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致的成对比较阵对于不一致的成对比较阵A A，可用对应于最大特征，可用对应于最大特征根根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w w，即，即Aww一致性检验一致性检验已知：已知：n n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n n可证：可证：n n 阶正互反

20、阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n n,且且 =n n时为一致阵时为一致阵1nCIn定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重为衡量为衡量CI CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RIRI随机模随机模拟得到拟得到a aij ij,形成形成A A，计算，计算CI CI 即得即得RIRI。RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110定义一致性比率定义一致性比率 CR=CI/RI 当当CR0.1时，时，通过一致性检验通过一致性检验“选择旅游地选择旅游地”中中

21、准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T5.07350.01851CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.016 n n,=n n是是A A为一致阵的充要条件。为一致阵的充要条件。一致性指标一致性指标 定义合理定义合

22、理1nCIn14/16/1412/1621A例091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0w089.0324.0587.02.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 简化计算的思路简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。征向量，可取其某种意义下的平均。和法和法取列向量的算术平均取列向量的算术平均列向量列向量归一化归一化算术算术平均平均286.0974.0769.1AwwAw009

23、.3)089.0268.0324.0974.0587.0769.1(31精确结果精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.0103.特征向量作为权向量特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应成对比较的多步累积效应成对比较成对比较Ci:Cj(直接比较）直接比较）aij 1 1次比较强度次比较强度2(2)()ijAa(2)1nijissjsaa aaij(2)2次比较强度次比较强度通过通过与所有与所有C Cs s 的比较，的比较，更能反映更能反映C Ci i 对对 C Cj j 的强度。的强度。()()(),kkkijijAaa体现体现多步累积效应多步累积效应定理定理1 1li

24、mkTkkA ewe A e特征向量体现特征向量体现多步累积效应多步累积效应 k次比较强度次比较强度4.不完全层次结构中组合权向量的计算不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构不完全层次结构例例:评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构贡献贡献O教学教学C1科研科研C2P2 P1P3P4P1,P2只作教学只作教学,P4只作科研只作科研,P3兼作教学、科研。兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等支配元素的数目不等设第设第2层对第层对第1层权向量层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已

25、定已定第第3层对第层对第2层权向量层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得讨论由讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3)计算计算第第3层对第层对第1层权向量层权向量w(3）的方法的方法(2)(2)(2)(2)(2)1 1221 122(,)/()Twnwnwnwnw考察一个特例：考察一个特例：若若C C1 1,C,C2 2重要性相同重要性相同,w w(2)(2)=(1/2,1/2=(1/2,1/2)T T P P1 1PP4 4能力相同能力相同,w w1 1(3)(3)=(1/3,1/3,1/3,

26、0)=(1/3,1/3,1/3,0)T T,w,w2 2(3)(3)=(0,0,1/2,1/2)=(0,0,1/2,1/2)T T公正的评价应为：公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1不考虑支配元素数目不等的影响不考虑支配元素数目不等的影响(3)(3)(2)wWw 仍用仍用 计算计算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T用支配元素数目用支配元素数目n1,n2 对对w(2)加权修正加权修正12(2)3,2,(3/5,2/5)Tnnw 再用再用 计算计算(3)(3)(2)wWww(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T 层次分析法的优点层次分析法的优点系统性系统性将对

27、象视作系统，按照分解、比较、判断、将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、系统分析（与机理分析、测试分析并列）；测试分析并列）；实用性实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；方法不能解决的问题；简洁性简洁性计算简便，结果明确，便于决策者计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。直接了解和掌握。层次分析法的局限层次分析法的局限囿旧囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；只能从原方案中选优，不能产生新方案；粗略粗略定性化为定量，结果粗糙；定性化为定量，结果粗糙；主观主观主观因素作用大，结果可能难以服人。主观因素作用大，结果可能难以服人。