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1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：三角形 +180 闭合水准 h0 误差误差就是就是观测值与客观真实值之差观测值与客观真实值之差。用重复观测的方法可以发现误差的存用重复观测的方法可以发现误差的存在。在。研究测量误差的目的是找出误差产生研究测量误差的目的是找出误差产生的原因，找出减弱误差的对策，保证的原因，找出减弱误差的对策，保证测量成果达到必需的精度。测量成果达到必需的精度。5.1 概述概述一、误差的来源一、误差的来源二、误差的分类二、误差的分类系统误差系统误差偶然

2、误差偶然误差定义定义特点特点消除办法消除办法一、测量误差来源一、测量误差来源 通常把测量仪器、观测者的技术水通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境统称为平和外界环境统称为。:观测条件相同的各次观测。观测条件相同的各次观测。:观测条件不同的各次观测。观测条件不同的各次观测。定义：定义：在相同的观测条件下，对某量进行了在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果次观测，如果 产生的主要原因：产生的主要原因：是是仪器设备制造不完善。仪器设备制造不完善。二、系统误差二、系统误差 钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。1）用计算的

3、方法加以改正；（2）用一定的观测方法加以消除；（3）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器）三、偶然误差三、偶然误差 定义：定义：在相同的观测条件下，对某量进行了在相同的观测条件下，对某量进行了n次次观测，如果误差出现的观测，如果误差出现的，称为偶然误差（随机误差）。称为偶然误差（随机误差）。偶然误差不能消除，只能通过改善观测条偶然误差不能消除，只能通过改善观测条件加以控制。件加以控制。就单个值而言，偶然误差在观测前就单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其大小和符号。但随着观不能预知其大小和符号。但随着观测次数的增多，偶然误差会呈现出测次数的增多，偶然误差会呈现出一定的一定的。三角形内角和观测

4、三角形内角和观测误差区间误差区间 为正为正 为负为负总数总数0.0 0.22121420.2 0.41919380.4 0.61512270.6 0.8911200.8 1.098171.0 1.256111.2 1.41341.4 1.61231.6以上以上000累计累计8082162偶然误差的特性：偶然误差的特性：有界性有界性 密集性密集性 对称性对称性 抵偿性：即抵偿性：即 频率直方图频率直方图每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对个数。所有长方形面积之和等于1。密度函数法密度函数法误差概率分布曲线，也称为正态分布密度曲线。密度函数法密度函数法密度函数为密度函数为式中式中0

5、，表示与观测条件有关的参，表示与观测条件有关的参数。数。E（）=0D（）=2221()2fe 5.2衡量精度的指标衡量精度的指标 精密度（精度）：指对一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。精度高低主要取决于偶然误差的大小。偶然误差小，观测结果密集，精度高。偶然误差小，观测结果密集，精度高。评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差一、方差一、方差 设对某一未知量设对某一未知量x进行了进行了n次等精度的观次等精度的观测，其观测值为测，其观测值为l1、l2、ln，相应的相应的真误差为真误差为1、2、n，则定义该组观测则定义该组观测值的方差值的方差D为：为：limnDn式中 12+22+.+n

6、2 i=l iX（i1、2、3、.、n）X为未知量的真值。由于由于D 2 所以所以D。称为中误差，在数理统计中称为标准称为中误差，在数理统计中称为标准偏差。偏差。当当n为有限时，为有限时，的估值在测量中常用的估值在测量中常用m来代替。来代替。二、中误差二、中误差 中误差的定义：在相同观测条件下，对中误差的定义：在相同观测条件下，对同一未知量进行同一未知量进行n次观测，所得各个真误次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取平方根，称为中差平方的平均值，再取平方根，称为中误差。用误差。用m表示。表示。nnmn22221.式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：

7、解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：说明第一组的精度高于第二组的精度。说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高说明：中误差越小，观测精度越高5.210)4(2)1()2(34)3(12022222222221 m2.310)1()3(017)1(0)6(2)1(22222222222 m21mm 相同观测条件下进行的一组观测，对应相同观测条件下进行的一组观测，对应的是同一种误差分布，即一组中的每一的是同一种误差分布，即一组中的每一个观测值都具有相同的精度。个观测值都具有相同的精度。中误差不等于每个观测值的真误差，而中误差不等于每个观测值

8、的真误差，而是一组真误差的代表值，代表了一组测是一组真误差的代表值，代表了一组测量结果中任一观测值的精度，通常把量结果中任一观测值的精度，通常把 m称为观测值中误差或一次观测中误差。称为观测值中误差或一次观测中误差。设有不同精度的两组观测值，对应的参设有不同精度的两组观测值，对应的参数为数为1和和2。设。设1 2，根据误差概率分，根据误差概率分布曲线，布曲线，1对应的曲线峰值比较高，曲对应的曲线峰值比较高，曲线陡峭；线陡峭；2对应的曲线峰值比较小，曲对应的曲线峰值比较小，曲线平缓，线平缓，说明说明值越小，观测精度越高。值越小，观测精度越高。中误差和真误差都是绝对误差，误中误差和真误差都是绝对误

9、差，误差的大小与观测量的大小无关。差的大小与观测量的大小无关。在有些情况下，中误差并不能全面在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精度。反映观测精度。分别丈量两段不同距离，一段为分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段为一段为200m，中误差都是，中误差都是 0.02m。此时。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相是否能认为两段距离观测结果的精度相同？同？必须引入相对误差的概念，目的是为了必须引入相对误差的概念，目的是为了更客观地反映实际测量精度。更客观地反映实际测量精度。是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分子为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:mDDmK1 :角

10、度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。三、相对误差三、相对误差例 已知：D1=100m,m1=0.01m，D2=200m,m2=0.01m，求：K1,K2解：20000120001.010000110001.0222111DmKDmK四、极限误差四、极限误差 根据偶然误差的第一个特性，在一定观根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值称为一定的限值，该限值称为，简，简称限差。称限差。限差是偶然误差限制值，用作观测成果限差是偶然误差限制值，用作观测成果取舍的标准。取舍的标准。理论和实验研究表明，大于两倍中误差的偶然

11、误差个数约占总数的4.5%，大于三倍中误差的偶然误差个数约占总数的0.3%。测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即容=2m 或容=3m 极限误差的作用：极限误差的作用：区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。53误差传播定律误差传播定律误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数5 53 3误差传播定律误差传播定律一、线性函数一、线性函数1、倍数函数 设有函数，x为直接观测值，中误差为mx，K为常数，Z为观测值x的函数。如果对x作n次等精度观测，真误差分别为x1、x2、.xn，对应的函数真误差为Z1、Z2、.Zn

12、，观测值与函数间的真误差存在如下关系：nnxZxZxZKKK.2211 将上述关系式将上述关系式、得：得：nKnxxZZ2nmnmxxxZZZ22222xZmKmxZKmm 设有函数Z=xy，x、y是两个相互独立的观测值，均作n次观测，中误差分别为mx和 my，真误差关系式为2 2、和差函数、和差函数nnnyxZyxZyxZ.222111 nnnnyxyyxxZZ2 由于由于x、y是相互独立的，偶然误差是相互独立的，偶然误差 x、y出现正负符号的机会相等，且正负符出现正负符号的机会相等，且正负符号互不相关，乘积号互不相关，乘积 x y也具有正负机会也具有正负机会相同的性质。根据偶然误差的第三、

13、第相同的性质。根据偶然误差的第三、第四特性，当四特性，当n趋于无穷大时，第三项趋于趋于无穷大时，第三项趋于零。零。22222yxZyxZmmmmmm 推广到n个独立观测值代数和差：当当n n个独立观测值是等精度观测时：个独立观测值是等精度观测时：222221.21nxxxZnmmmmxxxZxZxZmnmnmm223、一般线性函数nnxKxKxKZ.221122222112.nnZmKmKmKm根据倍数函数与和差函数的中误差公式：根据倍数函数与和差函数的中误差公式：设非线性函数的一般式为：式中：为；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得),(321nxxxxfz ixnm

14、mmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121式中：是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：ixf),2,1(ni 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm ix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D的中误差？解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 dDDddD)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)15(cos)sin()(cos mDmmDD)(048.0mmD 1

15、.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。),(21nxxxfZ nxnxxZdxfdxfdxfd)()()(2121 )(ixf 求观测值函数中误差的步骤：三、三、运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 例如，设有函数z=xy，而y=3x，此时，。因为x与y不是独立观测值，因为不论n值多少，恒有222yxzmmm2333xxxxxyxmnnn 因此

16、，应把Z化成独立观测值的函数，即z=x+3x=4x 上式中X与3X两项是由同一个观测值X组成的，必须先并项为z=4x 而后求其中误差，即mz=4mx例题例题1.已知已知 设设L1和和L2为独立观测值，且中误差均为为独立观测值，且中误差均为m，试求试求X、Y、Z的中误差。的中误差。12122XLLLLYZXY解：解：1）函数式：）函数式：2）取全微分：）取全微分：3）根据误差传）根据误差传播定律：播定律：12XLL1212d X=d L+d Lf1,f=1222XL1L22222XXmmmmmm2mm2m X=LX=L1 1+L+L2 2解：解：1）函数式：）函数式：2）取全微分：）取全微分：3

17、）根据误差传）根据误差传播定律：播定律：12Y2LL121211d Y=d L-d L2211f,f=-2222222YL 1L 22222YY11m()m()m22111mmmm4422mm2 Y=Y=（L L1 1-L-L2 2）/2/2解：解：1）函数式：）函数式：2）取全微分：）取全微分：3）根据误差传）根据误差传播定律：播定律：1213ZXYLL22121213d Z=d L+d L2213f,f=2222222YL 1L 22222ZZ13m()m()m22195mmmm4421 0mm2 Z=X-YZ=X-Y函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数nxxxz21

18、nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22212znmmmm 2222222121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 5.4等精度直接观测的最可靠值等精度直接观测的最可靠值 一、求最可靠值一、求最可靠值 二、二、算术平均值中误差算术平均值中误差mL 三、用改正数计算中误差三、用改正数计算中误差 四、精度评定四、精度评定一、求最可靠值一、求最可靠值 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、m2 mn，则其算术平均值L 为未知量的最可靠值（最或然值、似真值）nlnlllxn 21 设未知

19、量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为将上式相加得 故 Xln Xlnn推导过程：1122n.nlXlXlX 由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即 （算术平均值）说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。0limnn,XlnLn 因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mL，则有 nlnlnlnnlL11121 22222221221111mnmnmnmnmnL 二、二、算术平均值中误差算术平均值中误差mLnmmL 由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。n1故故三、用改正数计算中误差三、用改正数计算中误差1122.nn

20、vLlvLlvLl1122n.nlXlXlX1122.nnvLXvLXvLX 1122nnvvv 222(1)v vnnnv vmmnnv vmn 2 nvvv 四、精度评定 直接观测的量，经过多次观测后，直接观测的量，经过多次观测后，可通过可通过真误差真误差或或改正数改正数计算出观测计算出观测值中误差，作为衡量观测值精度的值中误差，作为衡量观测值精度的标准。标准。第一公式 第二公式（白塞尔公式）条件：观测值真值 X已知条件：观测值真值X 未知，算术平均值L已知nm1nVVm其中 观测值改正数，iViilLV例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值L中误差是：1.1)16(634)1(nnVVnmmL返回本章作业本章作业 P90：1、3、4、6、7、8