概率论课件连续型随机变量.ppt

1、连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度定义定义如果对随机变量如果对随机变量X的分布函数的分布函数),(xF负可积函数负可积函数),(xf使得对任意实数使得对任意实数x有有 xdttfxXPxF,)()(则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量，称称)(xfX的的概率密度函概率密度函数数，简称为简称为概率密度概率密度或或密度函数密度函数.的性质，的性质，由定义及分布函数由定义及分布函数(1);0)(xf(2).1)(dxxf存在非存在非易见概率密度具有下列性质：易见概率密度具有下列性质：注注：上述性质有明显的几何意义上述性质有明显的几何意义.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变

2、量及其概率密度(1);0)(xf(2).1)(dxxf易见概率密度具有下列性质：易见概率密度具有下列性质：注注：上述性质有明显的几何意义上述性质有明显的几何意义.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度(1);0)(xf(2).1)(dxxf易见概率密度具有下列性质：易见概率密度具有下列性质：注注：上述性质有明显的几何意义上述性质有明显的几何意义.Oxy)(xfxA 1反之，反之，可证一个函数若满足上述性质，可证一个函数若满足上述性质，则该函数则该函数一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数数.完完连续型随机变量分布函数的性质连续型随机

3、变量分布函数的性质1.对一个连续型随机变量对一个连续型随机变量,X若已知其密度函数若已知其密度函数),(xf则概据定义，则概据定义，可求得其分布函数可求得其分布函数),(xF同时，同时，还可求得还可求得X的取值落在任意区的取值落在任意区间间,(ba上的概率：上的概率：badxxfaFbFbXaP)()()(2.连续型随机变量连续型随机变量X取任一指定值取任一指定值 的概率的概率)(Raa Oxy)(xfx)(xFOxy)(xfabXaP b连续型随机变量分布函数的性质连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量连续型随机变量X取任一指定值取任一指定值 的概率的概率)(Raa 连续型随机变量分

4、布函数的性质连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量连续型随机变量X取任一指定值取任一指定值 的概率的概率)(Raa lim0aXxaPaXPx axaxdxxf,0)(lim0故对连续型随机变量故对连续型随机变量,X有有bXaPbXaPbXaP .bXaP 为为0.3.若若)(xf在点在点x处连续，处连续，则则)()(xfxF (1)连续型随机变量分布函数的性质连续型随机变量分布函数的性质3.若若)(xf在点在点x处连续，处连续，则则)()(xfxF (1)连续型随机变量分布函数的性质连续型随机变量分布函数的性质3.若若)(xf在点在点x处连续，处连续，则则)()(xfxF (1)由定

5、义和积分上限函数导数公式即得，由定义和积分上限函数导数公式即得，由由(1)式得：式得：xxFxxFx )()(lim0)(xfxxxXxPx lim0(2)可将上式理解为：可将上式理解为：X在点在点x的密度的密度),(xf恰好是恰好是X落在区间落在区间,(xxx 上的概率上的概率x 之比的极限之比的极限(比比与区间长度与区间长度连续型随机变量分布函数的性质连续型随机变量分布函数的性质X在点在点x的密度的密度),(xf恰好是恰好是X落在区间落在区间,(xxx 上的概率上的概率x 之比的极限之比的极限(比比与区间长度与区间长度连续型随机变量分布函数的性质连续型随机变量分布函数的性质X在点在点x的密

6、度的密度),(xf恰好是恰好是X落在区间落在区间,(xxx 上的概率上的概率x 之比的极限之比的极限(比比与区间长度与区间长度较线密度的定义）较线密度的定义）.由由(2)式，式，若不计高阶无穷小，则有若不计高阶无穷小，则有,)(xxfxxXxP 即，即，X落在小区间落在小区间,(xxx 上的概率近似等于上的概率近似等于.)(xxf 完完例例1 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 其它其它,011,12)(2xxxf 求其分布函数求其分布函数).(xF解解 xdttfxXPxF)()(当当,1 x;0)(xF当当,11 x xdttdtxF121120)(21arcsin112 xx

7、x 解解 xdttfxXPxF)()(当当,1 x;0)(xF当当,11 x xdttdtxF121120)(21arcsin112 xxx 解解 xdttfxXPxF)()(当当,1 x;0)(xF当当,11 x xdttdtxF121120)(21arcsin112 xxx 当当,1 x,1)(xF故故 .1,111,21arcsin111,0)(2xxxxxxxF 完完例例2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度.,043,2230,)(其它其它xxxkxxf(1)确定常数确定常数;k(2)求求X的分布函数的分布函数);(xF(3)求求.2/71 XP完完例例2 设随机变量设随

8、机变量X具有概率密度具有概率密度.,043,2230,)(其它其它xxxkxxf(1)确定常数确定常数;k解解 由由 ,1)(dxxf得得解得解得,6/1 k于是于是X的概率密度为的概率密度为,1224330 dxxkxdx解解由由 ,1)(dxxf得得解得解得,6/1 k于是于是X的概率密度为的概率密度为,1224330 dxxkxdx解解由由 ,1)(dxxf得得解得解得,6/1 k于是于是X的概率密度为的概率密度为,1224330 dxxkxdx)(xf ,6x,22x,030 x43 x其它其它.完完例例2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度.,043,2230,)(其它其

9、它xxxkxxf(2)求求X的分布函数的分布函数);(xF解解X的分布函数为的分布函数为)(xF 4,143,22630,60,03030 xxdttdttxdttxxx解解)(xF 4,143,22630,60,03030 xxdttdttxdttxxx解解)(xF 4,143,22630,60,03030 xxdttdttxdttxxx ,0,122x,4232xx ,10 x30 x43 x4 x.完完例例2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度.,043,2230,)(其它其它xxxkxxf(3)求求.2/71 XP解解 2/71)(2/71dxxfXP 2/73312261

10、dxxxdx2/73231242121 xxx例例2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度.,043,2230,)(其它其它xxxkxxf(3)求求.2/71 XP解解2/71 XP2/73231242121 xxx例例2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度.,043,2230,)(其它其它xxxkxxf(3)求求.2/71 XP解解2/71 XP2/73231242121 xxx,4841 或或)1()2/7(2/71FFXP .48/41 完完例例3 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为,1,110,0,0)(2 xxxxxF求求(1)概率概率;7.03.0

11、 XP(2)X的密度函数的密度函数.解解 由连续型随机变量分布函数的性质由连续型随机变量分布函数的性质,有有(1)3.0()7.0(7.03.0FFXP ;4.03.07.022 (2)X的密度函数为的密度函数为例例3 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为,1,110,0,0)(2 xxxxxF求求(2)X的密度函数的密度函数.解解(2)X的密度函数为的密度函数为例例3 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为,1,110,0,0)(2 xxxxxF求求(2)X的密度函数的密度函数.解解(2)X的密度函数为的密度函数为 xxxx1,010,20,0.,010,2 其它其它xx)

12、()(xFxf 完均匀分布均匀分布定义定义若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 ,0,1)(abxfbxa 其它其它).,(baU易见，易见，;0)()1(xf .1)()2(dxxf记为记为X上服从上服从均匀分布均匀分布，则称则称X在区间在区间),(ba注注：在区间在区间),(ba上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量,X其取值落在其取值落在),(ba中任意等长度的子区间内的概率中任意等长度的子区间内的概率是相同的，是相同的，且与子区间的长度成正比且与子区间的长度成正比.事实上，事实上，子区间子区间),(),(balcc 任取任取均匀分布均匀分布是相同的，是相

13、同的，且与子区间的和度成正比且与子区间的和度成正比.事实上，事实上，子区间子区间),(),(balcc 任取任取均匀分布均匀分布是相同的，是相同的，且与子区间的和度成正比且与子区间的和度成正比.事实上，事实上，子区间子区间),(),(balcc 任取任取.1)(abldxabdxxflcXcPlcclcc 易求得易求得X的分布函数的分布函数 ,1,0)(abaxxFax .bxa bx 完完例例4 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午 7 时起时起,每每 15 分钟来一分钟来一班车班车,即即 7:00,7:15,7:30,7:45 等时刻有汽车到达等时刻有汽车到达此站此站,如果乘客到达此站时间

14、如果乘客到达此站时间X是是 7:00 到到 7:30 之之间的均匀随机变量间的均匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于 5 分钟的分钟的概率概率.解解 以以 7:00 为起点为起点 0,以分为单位以分为单位,依题意依题意X),30,0(U 其它其它,0300,301)(xxf解解 以以 7:00 为起点为起点 0,以分为单位以分为单位,依题意依题意X),30,0(U 其它其它,0300,301)(xxf解解 以以 7:00 为起点为起点 0,以分为单位以分为单位,依题意依题意X),30,0(U 其它其它,0300,301)(xxf为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟分钟,乘客

15、必须在乘客必须在 7:10 到到7:15 之间之间,或在或在 7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站,故所故所求概率为求概率为30251510 XPXP3130130130251510 dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5分钟的概率是分钟的概率是 1/3.完完指数分布指数分布定义定义若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为 ,0,)(xexf 0 x其中其中,0 则称则称X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布，简记为简记为).(eX易见，易见，;0)()1(xf .1)()2(dxxf)(xf的几何图形如图的几何图形如图.注注：指数分布常用来指数分布常用来描述

16、对某一事件发生的等待描述对某一事件发生的等待时间，时间，例如，例如，乘客在公交乘客在公交Ox)(xf指数分布指数分布注注：指数分布常用来指数分布常用来描述对某一事件发生的等待描述对某一事件发生的等待时间，时间，例如，例如，乘客在公交乘客在公交指数分布指数分布注注：指数分布常用来指数分布常用来描述对某一事件发生的等待描述对某一事件发生的等待时间，时间，例如，例如，乘客在公交乘客在公交车站等车的时间，车站等车的时间，电子元件的寿命等，电子元件的寿命等，易求得易求得X的分布的分布 ,0,1)(xexF 0 x其它其它服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X具有具有无记忆性无记忆性，,0,ts有

17、有因而它在可靠因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用性理论和排队论中有广泛的应用.函数函数即对任意即对任意.|tXPsXtsXP ()*指数分布指数分布服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X具有具有无记忆性无记忆性，,0,ts有有即对任意即对任意.|tXPsXtsXP ()*指数分布指数分布服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X具有具有无记忆性无记忆性，,0,ts有有即对任意即对任意.|tXPsXtsXP ()*)()(|sXPsXtsXPsXtsXP sXPtsXP .)(1)(1)(tXPeeesFtsFtsts 若若X表示某一元件的寿命，表示某一元件的寿命，使用了使用了

18、s小时，小时，它总共能使用至少它总共能使用至少ts 则则式表明：式表明：()*已知元件已知元件指数分布指数分布若若X表示某一元件的寿命，表示某一元件的寿命，使用了使用了s小时，小时，它总共能使用至少它总共能使用至少ts 则则式表明：式表明：()*已知元件已知元件指数分布指数分布若若X表示某一元件的寿命，表示某一元件的寿命，使用了使用了s小时，小时，它总共能使用至少它总共能使用至少ts 则则式表明：式表明：()*已知元件已知元件概率与从开始使用时算起概率与从开始使用时算起率相等，率相等，一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.即元件对它使用过即元件对它使用过

19、s小时没有记忆小时没有记忆,完完t它至少能使用它至少能使用 小时的概小时的概具有这具有这小时的条件小时的条件例例5 某元件的寿命某元件的寿命X服从指数分布服从指数分布,已知其参数已知其参数,1000/1 求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 由题设知由题设知,X的分布函数为的分布函数为.0,00,1)(1000 xxexFx由此得到由此得到100011000 XPXP.)1000(11 eF各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的小时是独立的,用用Y表示三个元件中使用表示三个元件中使用 100

20、0 小时损坏的元件数小时损坏的元件数,例例5 某元件的寿命某元件的寿命X服从指数分布服从指数分布,已知其参数已知其参数,1000/1 求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的小时是独立的,用用Y表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数,例例5 某元件的寿命某元件的寿命X服从指数分布服从指数分布,已知其参数已知其参数,1000/1 求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少

21、已有一个损坏的概率.解解 各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过1000小时是独立的小时是独立的,用用Y表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数,).1,3(1 ebY所求概率为所求概率为011 YPYP.1)()1(13310103 eeeC则则完完正态分布正态分布定义定义若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为,21)(222)(xexf x其中其中 和和)0(都是常数，都是常数，则称则称X服服从参数为从参数为 和和2 的的正态分布正态分布，记为记为).,(2 NX易见，易见，;0)()1(xf又利用泊松积分又利用泊松积分.2 dtex参见相

22、关知识点参见相关知识点易证，易证，dxedxxfx 222)(21)()2(正态分布正态分布易证，易证，dxedxxfx 222)(21)()2(正态分布正态分布易证，易证，dxedxxfx 222)(21)()2(xt.12122 dtet 注注：正态分布是概率论中最重要的连续型分布，正态分布是概率论中最重要的连续型分布，在十九世纪前叶由高斯加以推广，在十九世纪前叶由高斯加以推广，故又常称为故又常称为高高斯分布斯分布.一般来说，一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，而其中每一个因素都不起主导作用，正态分布正态

23、分布一般来说，一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，而其中每一个因素都不起主导作用，正态分布正态分布一般来说，一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，的影响，而其中每一个因素都不起主导作用，而其中每一个因素都不起主导作用，则它服从正态分布则它服从正态分布.例如，例如，产品的质量指标，产品的质量指标，元元件的尺寸，件的尺寸，某地区成年男子的身高、体重，某地区成年男子的身高、体重，测量测量误差，误差，射击目标的水平或垂直偏差，射击目标的水平或垂直偏差，信号噪声，信号噪声，农

24、作物的产量等等都服从或近似服从正态分布农作物的产量等等都服从或近似服从正态分布.正态分布的图形特征正态分布的图形特征完完正态分布的图形特征正态分布的图形特征 xexfx,21)(222)(1.密度曲线关于密度曲线关于 x对称；对称；2.曲线当曲线当 x时达到最大值时达到最大值;21)(xf3.曲线在曲线在 x处有拐点且以处有拐点且以Ox)(xf Ox)(xf 0.5 1.0 1.5 正态分布的图形特征正态分布的图形特征3.曲线在曲线在 x处有拐点且以处有拐点且以正态分布的图形特征正态分布的图形特征3.曲线在曲线在 x处有拐点且以处有拐点且以x轴为渐轴为渐近线；近线；4.确定了曲线中峰的陡峭程度

25、确定了曲线中峰的陡峭程度.X的的分布函数分布函数：xxxdxexF.,21)(222)(完完标准正态分布标准正态分布正态分布当正态分布当1,0 时称为时称为标准正态分布标准正态分布，此时，此时，其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用)(x 和和)(x 表示：表示：,21)(22xex 221()2txxedt标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.Oxx)(Oxx)(0.51标准正态分布标准正态分布标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一

26、个一般的正态分任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.标准正态分布标准正态分布标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理定理设设),(2 NX则则).1,0(NXY 而对标准正态分布的函数而对标准正态分布的函数),(x 人们利用的近似计算人们利用的近似计算方法计算求出其近似值，方法计算求出其近似值，并编制了并编制了标准正态分布表标准正态分布表.完完定理定理设设),(2 NX则则).1,0(NXY 证明证明

27、XY的分布函数为的分布函数为 xXPxYP xXP dtetx222)(21 tu)(2122xduexu 所以所以).1,0(NXY 证毕证毕.完完标准正态分布表的使用标准正态分布表的使用,21)(22xex dtexxt 2221)(1.表中给出了表中给出了0 x时时)(x 的数值，的数值，当当0 x时，时，利用正态分布的对称性利用正态分布的对称性(如下图如下图)，易见有易见有);(1)(xx 2.若若),1,0(NX则则Oxxx)(x)(Oxx)(xx 标准正态分布表的使用标准正态分布表的使用2.若若),1,0(NX则则标准正态分布表的使用标准正态分布表的使用2.若若),1,0(NX则则

28、);()(abbXaP 3.若若),(2 NX则则),1,0(NXY 故故X的分布函数的分布函数;)(xxXPxXPxF bYaPbXaP.ab完完例例6 设设),4,1(NX求求),5(F,6.10 XP.2|1|XP解解 这里这里,1 ,2 故故)2(215 查表得查表得0.9772;210216.16.10 XP)5.0()3.0()5.0(16179.0 15)5(xPXPF2 152;3094.0)6915.01(6179.0 例例6 设设),4,1(NX求求),5(F,6.10 XP.2|1|XP解解 6.10XP;3094.0 例例6 设设),4,1(NX求求),5(F,6.10

29、 XP.2|1|XP解解 6.10XP;3094.0 312|1|XPXP1)1(2)1()1(.6826.018413.02 11XP 12完完 3准则准则设设),(2 NX则则 XP)1()1(,6826.01)1(2 同理，同理，22 XP33 XP11XP,9544.0)2()2(,9974.0)3()3(如图，如图，尽管正态随机变量尽管正态随机变量X的取值范围是的取值范围是),(2 3 2 368.26%95.44%99.74%3准则准则22 XP33 XP,9544.0)2()2(,9974.0)3()3(如图，如图，尽管正态随机变量尽管正态随机变量X的取值范围是的取值范围是),(

30、2 3 2 368.26%95.44%99.74%3准则准则22 XP33 XP,9544.0)2()2(,9974.0)3()3(如图，如图，尽管正态随机变量尽管正态随机变量X的取值范围是的取值范围是),(但它的值几乎全部集中在但它的值几乎全部集中在)3,3(范围的可能性仅占不到此为范围的可能性仅占不到此为0.3%.这在统计学上称为这在统计学上称为 3准则准则(三倍标准差原则三倍标准差原则).超出这个超出这个完完 2 3 2 368.26%95.44%99.74%例例7 设某项竞赛成绩设某项竞赛成绩),100,65(NX若按参赛人若按参赛人数的数的 10%发奖发奖,问获奖分数线应定为多少问获

31、奖分数线应定为多少?解解 设获奖分数线为设获奖分数线为,0 x立的立的.0 x)(11000 xFxXPxXP ,1.0106510 x 即即,9.010650 x 则求使则求使1.00 xXP成成例例7 设某项竞赛成绩设某项竞赛成绩),100,65(NX若按参赛人若按参赛人数的数的 10%发奖发奖,问获奖分数线应定为多少问获奖分数线应定为多少?解解 设获奖分数线为设获奖分数线为,0 x立的立的.0 x0 xXP,1.0 即即,9.010650 x 则求使则求使1.00 xXP成成例例7 设某项竞赛成绩设某项竞赛成绩),100,65(NX若按参赛人若按参赛人数的数的 10%发奖发奖,问获奖分数

32、线应定为多少问获奖分数线应定为多少?解解 设获奖分数线为设获奖分数线为,0 x立的立的.0 x0 xXP,1.0 即即,9.010650 x 则求使则求使1.00 xXP成成查表得查表得,29.110650 x解得解得,9.770 x定为定为78分分.故分数线可故分数线可完完例例8 将一温度调节器放置在将一温度调节器放置在内内,调节器设定在调节器设定在d,液体的温度液体的温度X(以以 计计)是是一个随机变量一个随机变量,且且)5.0,(2dNX(1)若若 d90,求求X小于小于 89 的概率的概率;(2)若要求保持液体的温度若要求保持液体的温度于于0.99,问问d至少为多少至少为多少?解解(1

33、)所求概率为所求概率为 5.0908990899089 XPXP0.50.59772.01)2(1)2(.0228.0 贮存着某种液体的容器贮存着某种液体的容器至少为至少为 80 的概率不低的概率不低例例8 将一温度调节器放置在将一温度调节器放置在内内,调节器设定在调节器设定在d,液体的温度液体的温度X(以以 计计)是是一个随机变量一个随机变量,且且)5.0,(2dNX(2)若要求保持液体的温度若要求保持液体的温度于于0.99,问问d至少为多少至少为多少?解解贮存着某种液体的容器贮存着某种液体的容器至少为至少为 80 的概率不低的概率不低例例8 将一温度调节器放置在将一温度调节器放置在内内,调

34、节器设定在调节器设定在d,液体的温度液体的温度X(以以 计计)是是一个随机变量一个随机变量,且且)5.0,(2dNX(2)若要求保持液体的温度若要求保持液体的温度于于0.99,问问d至少为多少至少为多少?解解贮存着某种液体的容器贮存着某种液体的容器至少为至少为 80 的概率不低的概率不低(2)按题意需求按题意需求满足满足d ddXPXP808099.00.50.5,5.0801801 dddXP 0.50.5解解(2)按题意需求按题意需求满足满足d ddXPXP808099.00.50.5,5.0801801 dddXP 0.50.5解解(2)按题意需求按题意需求满足满足d ddXPXP808

35、099.00.50.5,5.0801801 dddXP 0.50.5),325.2(即即)325.2(199.0180 d0.5亦即亦即,325.25.080 d.1635.81 d故需故需完完例例 9格品的概率格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度已知某台机器生产的螺栓长度(单位单位:厘米厘米)X根据假设根据假设),06.0,05.10(2NX记记表示螺栓为合格品表示螺栓为合格品.则则bXa 解解于是于是规定螺规定螺服从参数服从参数的正态分布的正态分布.,05.10 06.0 内为合格品内为合格品,12.005.10 栓长度在栓长度在试求螺栓为合试求螺栓为合,12.005.10 a,12.0

36、05.10 bbXaP ab)2()2()2(1)2(例例 9格品的概率格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度已知某台机器生产的螺栓长度(单位单位:厘米厘米)X根据假设根据假设),06.0,05.10(2NX记记表示螺栓为合格品表示螺栓为合格品.则则bXa 解解于是于是规定螺规定螺服从参数服从参数的正态分布的正态分布.,05.10 06.0 内为合格品内为合格品,12.005.10 栓长度在栓长度在试求螺栓为合试求螺栓为合,12.005.10 a,12.005.10 bbXaP )2(1)2(例例 9格品的概率格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度已知某台机器生产的螺栓长度(单位单位:厘米厘米

37、)X根据假设根据假设),06.0,05.10(2NX记记表示螺栓为合格品表示螺栓为合格品.则则bXa 解解于是于是规定螺规定螺服从参数服从参数的正态分布的正态分布.,05.10 06.0 内为合格品内为合格品,12.005.10 栓长度在栓长度在试求螺栓为合试求螺栓为合,12.005.10 a,12.005.10 bbXaP )2(1)2(即螺栓为合格品的概率等于即螺栓为合格品的概率等于 0.9544.1)2(2 19772.02 .9544.0 完完课堂练习课堂练习1.已知已知),5.0,8(2NX求求)1()3()2()4();7(),9(FF;105.7 XP;1|8|XP.5.0|9|

38、XP2.某种型号电池的寿命某种型号电池的寿命X近似服从正态分布近似服从正态分布),(2 N已经其寿命在已经其寿命在250小时以上的概率和小时以上的概率和寿命不超过寿命不超过350小时的概念均为小时的概念均为92.36%,为使其为使其寿命在寿命在x 和和x 之间的概率不小于之间的概率不小于0.9,x至少为多少至少为多少?完完练习解答练习解答1.已知已知),5.0,8(2NX求求)1()3()2()4();7(),9(FF;105.7 XP;1|8|XP.5.0|9|XP解解)1()9()9(XPF5.0895.08 XP25.08 XP;97725.0)2(7)7(XPF5.0875.08 XP

39、25.08 XP)2(;02275.0)2(1 练习解答练习解答1.已知已知),5.0,8(2NX求求)1()3()2()4();7(),9(FF;105.7 XP;1|8|XP.5.0|9|XP解解练习解答练习解答1.已知已知),5.0,8(2NX求求)1()3()2()4();7(),9(FF;105.7 XP;1|8|XP.5.0|9|XP解解)2(105.7 XP45.081 XP)1()4(1)1()4(;8413.018413.00000.1 5.08105.085.085.7 XP练习解答练习解答1.已知已知),5.0,8(2NX求求)1()3()2()4();7(),9(FF;

40、105.7 XP;1|8|XP.5.0|9|XP解解练习解答练习解答1.已知已知),5.0,8(2NX求求)1()3()2()4();7(),9(FF;105.7 XP;1|8|XP.5.0|9|XP解解)3(2|5.08|1|8|XPXP1)2(2 ;9545.0197724.02 )4(5.95.85.0|9|XPXP35.08.01 XP)1()3(.1574.0 完完8413.09987.0 练习解答练习解答2.某种型号电池的寿命某种型号电池的寿命X近似服从正态分布近似服从正态分布),(2 N已经其寿命在已经其寿命在250小时以上的概率和小时以上的概率和寿命不超过寿命不超过350小时的

41、概念均为小时的概念均为92.36%,为使其为使其寿命在寿命在x 和和x 之间的概率不小于之间的概率不小于0.9,x至少为多少至少为多少?解解 由由,350250 XPXP根据密度函数根据密度函数关于关于 x对称对称,有有,3002250350 又由又由300350300350 XPXP)50(,9236.0 查表得查表得,43.150 于是于是.35 练习解答练习解答解解 由由,350250 XPXP根据密度函数根据密度函数关于关于 x对称对称,有有,3002250350 又由又由300350300350 XPXP)50(,9236.0 查表得查表得,43.150 于是于是.35 练习解答练习

42、解答解解 由由,350250 XPXP根据密度函数根据密度函数关于关于 x对称对称,有有,3002250350 又由又由300350300350 XPXP)50(,9236.0 查表得查表得,43.150 于是于是.35 故故),35,300(2NX又又xXxP|xXP 1)(2 x,9.0 即即95.0)35(x 查表得查表得,645.135 x于是于是.58.57 x完完内容小结内容小结1.如果对随机变量如果对随机变量X的分布函数的分布函数),(xF存在非存在非负可积函数负可积函数),(xf使得对于任意实数使得对于任意实数x有有.)()(xdttfxXPxF则称则称X为为连续型随机变量连续

43、型随机变量,称称)(xf为为X的的概率密度函数概率密度函数.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2.常用连续型分布常用连续型分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布标准正态分布标准正态分布内容小结内容小结2.常用连续型分布常用连续型分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布标准正态分布标准正态分布内容小结内容小结2.常用连续型分布常用连续型分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布标准正态分布标准正态分布其中正态分布应用极为广泛其中正态分布应用极为广泛,在本课程中我们一在本课程中我们一直要和它打交道直要和它打交道.在第在第 4 章中章中,还将介绍

44、为什么还将介绍为什么这么多随机现象这么多随机现象完完都近似服从正态分布都近似服从正态分布.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度定义定义如果对随机变量如果对随机变量X的分布函数的分布函数),(xF非负可积函数非负可积函数),(xf使得对任意实数使得对任意实数x有有 xdttfxXPxF,)()(则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量,度函数度函数,简称为简称为概率密度概率密度或或密度函数密度函数.存在存在称称)(xfX的的概率密概率密为为基本性质基本性质:1.对一个连续型随机变量对一个连续型随机变量,X)()(aFbFbXap .)(badxxf2.连续型随机变量连续型随机变

45、量X取任一指定值取任一指定值)(Raa 的概的概率为率为0.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度基本性质基本性质:1.对一个连续型随机变量对一个连续型随机变量,X)()(aFbFbXap .)(badxxf2.连续型随机变量连续型随机变量X取任一指定值取任一指定值)(Raa 的概的概率为率为0.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度基本性质基本性质:1.对一个连续型随机变量对一个连续型随机变量,X)()(aFbFbXap .)(badxxf2.连续型随机变量连续型随机变量X取任一指定值取任一指定值)(Raa 的概的概率为率为0.3.若若)(xf在点在点x处连续处连

46、续,则则).()(xfxF (1)4.X落在小区间落在小区间,(xxx 上的概率近似等于上的概率近似等于.)(xxf 即即,.)(xxfxxXxP (2)完完均匀分布均匀分布定义定义若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 ,0,1)(abxfbxa 其它其它).,(baU记为记为X上上则称则称X在区间在区间),(ba注注：在区间在区间),(ba上上其取值落在其取值落在),(ba中任意等长度的子区间内的概率中任意等长度的子区间内的概率是相同的是相同的,且与子区间的长度成正比且与子区间的长度成正比.服从服从均匀分布均匀分布,X服从均匀分布的随机变量服从均匀分布的随机变量均匀分布

47、均匀分布均匀分布均匀分布注注：在区间在区间),(ba上上其取值落在其取值落在),(ba中任意等长度的子区间内的概率中任意等长度的子区间内的概率是相同的是相同的,且与子区间的长度成正比且与子区间的长度成正比.,X服从均匀分布的随机变量服从均匀分布的随机变量均匀分布均匀分布X的分布函数的分布函数 ,1,0)(abaxxFax .bxa bx 完完注注：在区间在区间),(ba上上其取值落在其取值落在),(ba中任意等长度的子区间内的概率中任意等长度的子区间内的概率是相同的是相同的,且与子区间的长度成正比且与子区间的长度成正比.,X服从均匀分布的随机变量服从均匀分布的随机变量指数分布指数分布定义定义若

48、随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为0 则称则称X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布,简记为简记为).(eX注注：指数分布常用来描述指数分布常用来描述时间时间,例如例如,乘客在公交车站等车的时间乘客在公交车站等车的时间,0,)(xexf 0 x其它其它,元件的寿命等元件的寿命等,X的分布函数的分布函数因而它在可靠性理论和排队论中因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用有广泛的应用.电子电子对某一事件发生的等待对某一事件发生的等待指数分布指数分布定义定义若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为0 则称则称X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布,简记为简记为).(eX

49、,0,)(xexf 0 x其它其它,X的分布函数的分布函数指数分布指数分布定义定义若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为0 则称则称X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布,简记为简记为).(eX ,0,)(xexf 0 x其它其它,X的分布函数的分布函数服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X具有具有无记忆性无记忆性,有有即对即对.|tXPsXtsXP ,0,1)(xexF 0 x其它其它,完完,0,ts任意任意正态分布正态分布定义定义若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为,21)(222)(xexf x其中其中 和和)0(都是常数都是常数,则称则称X服从参数服从参

50、数记为记为).,(2 NX注注：正态分布是概率论中正态分布是概率论中在十九世纪前叶由高斯加以推广在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为故又常称为高高斯分布斯分布.研究表明研究表明:一个随机变量如果受到大量独立因素一个随机变量如果受到大量独立因素的影响的影响则它一般服从正态分布则它一般服从正态分布.(无主导因素无主导因素),和和2 的的正态分布正态分布,为为最重要的连续型分布最重要的连续型分布,正态分布正态分布注注：正态分布是概率论中正态分布是概率论中在十九世纪前叶由高斯加以推广在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为故又常称为高高斯分布斯分布.研究表明研究表明:一个随机变量如果受到大量独立因