2020年山东省高考数学模拟试卷（5）.docx

1、 第 1 页（共 24 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = * | +2 0+，则集合 A 子集的个数为（ ） A3 B4 C7 D8 2 （5 分）若复数 z12+i，z2cos+isin（R） ，其中 i 是虚数单位，则|z1z2|的最大值 为（ ） A5 1 B5;1 2 C5 + 1 D5:1 2 3 （5 分）若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 （ ） A210 B180 C160 D1

2、75 4 （5 分）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供 应链、版权和专利、能源、物联网等在区块链技术中，若密码的长度设定为 256 比特， 则密码一共有 2256种可能， 因此， 为了破解密码， 最坏情况需要进行 2256次哈希运算 现 在有一台机器，每秒能进行 2.51011次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏 情况下， 这台机器破译密码所需时间大约为 （ ） （参考数据 lg20.3010， lg30.477） A4.51073秒 B4.51065秒 C4.5107秒 D28 秒 5 （5 分）已知函数 f（x）xsinx+cosx+2020，g

3、（x）是函数 f（x）的导函数，则函数 yg （x）的部分图象是（ ） A B C D 6 （5 分）已知 a0，设函数() = 2020 2020+1（xa，a）的最大值为 M，最小值为 N， 那么 M+N+f（2020）+f（2020）（ ） A1 B2 C3 D4 第 2 页（共 24 页） 7 （5 分）函数 y= 1的定义域是（ ） A B 2 Cx|x= 2 + ， Z Dx|x= 2 + 2， 8（5 分） 已知数列an的通项公式为 an2n+2， 将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵， 记 bn为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n2个数的和，则数列* +的前 20

4、20 项 和为（ ） A1011 2020 B2019 2020 C2020 2021 D1010 2021 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）下列几个命题 若方程 x2+ax+a0 的两个根异号，则实数 a0 函数 = 2 4 + 4 2是偶函数，但不是奇函数； 函数 f（x）x2+2（a1）x+2 在（，4上是减函数，则实数 a 的取值范围是 a 3 方程（m+1）x+4m30 的根 x0满足1x02，则 m 满足的范围1 6 4 3 其中不正确的是（ ） A B C D 10 （5 分）下列说法正确的是（ ） A椭

5、圆 2 2 + 2 2 =1 上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为 2 2 B过双曲线 2 2 2 2 =1 焦点的弦中最短弦长为2 2 C抛物线 y22px 上两点 A（x1，y1） B（x2，y2） ，则弦 AB 经过抛物线焦点的充要条 件为 x1x2= 2 4 D若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 第 3 页（共 24 页） 11 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CD 的中 点，则（ ） A直线 AD1与 BD 的夹角为 60 B平面 AED平面 A1FD1 C点 C1到平面 AB1D1的距离为

6、3 2 D若正方体每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面只能是 三角形和六边形 12 （5 分）已知函数 f（x）2sin（2x 3）+1，则下列说法正确的是（ ） Af（ 6 x）2f（x） Bf（x 6）的图象关于 x= 12对称 C若 0x1x2 2，则 f（x1）f（x2） D若 x1，x2，x3 3， 2，则 f（x1）+f（x2）f（x3） 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、右焦点分别为 F1、F2，若椭圆上的点 P 满足|PF1| 2|PF2|

7、，则|PF1| 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a4，b4，c6I 是ABC 内切 圆的圆心，若 = + ，则 x ；y 15 （5 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACAA12，且 = 2 3 ，若该三棱柱的 所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 16 （5 分）已知 F1、F2分别为双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点，过 F1 第 4 页（共 24 页） 作直线l与圆x2+y2a2相切于点T， 且直线l与双曲线C的右支交于点P， 若41 = 1 ， 则 双曲线 C 的离心率为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满

8、分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，; ; = : （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，求 b+c 的取值范围 18 （12 分）已知数列an的各项都为正数，a12，且+1 = 2 +1 + 1 （）求数列an的通项公式； （）设 bnlg（log2an），其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg991， 求数列bn的前 2020 项和 19 （12 分）四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，PA面 ABCD，BAD 120，E，F 分别是 CD，PC 的中点 （1）求证：平面 AEF平面 PAB；

9、 （2）M 是 PB 上的动点，EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45，求二面角 FAED 的 余弦值 20 （12 分）新型冠状病毒属于 属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳 嗽等临床表现，现阶段也出现无症状感染者基于目前的流行病学调查和研究结果，病 毒潜伏期一般为 114 天，大多数为 37 天为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新 型冠状病毒感染对公众健康造成的危害，需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行 检查某地区对与确诊患者有接触史的 1000 名人员进行检查，检查结果统计如下： 发热且咳嗽 发热不咳嗽 咳嗽不发热 不发热也不咳嗽 确诊患病 200 150 80 3

10、0 第 5 页（共 24 页） 确诊未患病 150 150 120 120 （1）能否在犯错率不超过 0.001 的情况下，认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终 确诊患病有关 临界值表： P（K2k） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.645 7.879 10.828 （2）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较 好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但 核酸检测或血清特异性免疫球蛋白 M 抗体检测阳性者） 根据防控要求，无症状感染者 虽然还没有最终确诊患 2019 新

11、冠肺炎， 但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观 察 14 天，已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离 10 天未有临床 症状，若该人员居家隔离第 k 天出现临床症状的概率为(1 2) ;10， （k11，12，13，14） ， 两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并 采取必要治疗，若 14 天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天 数（含有临床症状表现的当天） 的分布列以及数学期望值 （保留小数点后两位） 21 （12 分）设点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （1，0） ，直线 AP，BP 相交于点 P，且它

12、们的斜率之积为2，设点 P 的轨迹是曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）已知直线 l：ykx+m 与曲线 E 相交于不同两点 M、N（均不在坐标轴上的点） ，设 曲线 E 与 y 轴的正半轴交于点 C，若 CHMN，垂足为 H 且 2 = ，求证：直 线 l 恒过定点 22 （12 分）已知函数 f（x）lnx+ (+)2 2 （aR） （）若函数 h（x）f（x）x（a+1）lnx，讨论 h（x）的单调性； （） 若函数 f （x） 的导数 f （x） 的两个零点从小到大依次为 x1， x2， 证明： f （x2） 1+2 2 第 6 页（共 24 页） 2020 年山东省高考数学模

13、拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = * | +2 0+，则集合 A 子集的个数为（ ） A3 B4 C7 D8 【解答】解： = * | +2 0+ =1，0， 则集合 A 子集的个数为 4， 故选：B 2 （5 分）若复数 z12+i，z2cos+isin（R） ，其中 i 是虚数单位，则|z1z2|的最大值 为（ ） A5 1 B5;1 2 C5 + 1 D5:1 2 【解答】解：z12+i，z2cos+isin（R） ， z2

14、对应的点在以原点为圆心，以 1 为半径的圆上，z12+i 对应的点为 Z1 （2，1） 如图： 则|z1z2|的最大值为5 + 1 故选：C 3 （5 分）若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 （ ） A210 B180 C160 D175 【解答】解：若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数5最大，故 n10， 则展开式的通项公式为 Tr+1= 10 （2）r5; 5 2，令 55 2 =0，求得 r2， 第 7 页（共 24 页） 可得展开式中的常数项为 10 2 （2）2180， 故选：B 4 （5 分）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于

15、许多领域，包括金融、政务服务、供 应链、版权和专利、能源、物联网等在区块链技术中，若密码的长度设定为 256 比特， 则密码一共有 2256种可能， 因此， 为了破解密码， 最坏情况需要进行 2256次哈希运算 现 在有一台机器，每秒能进行 2.51011次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏 情况下， 这台机器破译密码所需时间大约为 （ ） （参考数据 lg20.3010， lg30.477） A4.51073秒 B4.51065秒 C4.5107秒 D28 秒 【解答】解：设这台机器破译密码所需时间大约为 x 秒， 则：x2.510112256， 两边同时取常用对数得：lg（x2.5

16、1011）lg2256， lgx+lg2.5+lg1011256lg2， lgx+lg5lg2+11256lg2， lgx+1lg2lg2+11256lg2， lgx258lg2122580.3011265.658， x1065.6581065100.658， 而 lg4.5lg9 2 =2lg3lg20.653，100.6584.5， x4.51065， 故选：B 5 （5 分）已知函数 f（x）xsinx+cosx+2020，g（x）是函数 f（x）的导函数，则函数 yg （x）的部分图象是（ ） A B C D 【解答】解：因为 f（x）xsinx+cosx+2020， 第 8 页（共

17、24 页） 所以 g（x）f（x）sinx+xcosxsinxxcosx， 可知 g（x）为奇函数，故排除 A，B； 当 0x 2时g（x）0，排除 C， 故选：D 6 （5 分）已知 a0，设函数() = 2020 2020+1（xa，a）的最大值为 M，最小值为 N， 那么 M+N+f（2020）+f（2020）（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】 解： 易知函数 f （x） 在a， a上单调， 且() + () = 2020 2020+1 + 2020 2020+1 = 2020(2020+1)+2020(2020+1) 2020+2020+2 = 2020+2020+2 2020+

18、2020+2 = 1， M+N+f（2020）+f（2020）2 故选：B 7 （5 分）函数 y= 1的定义域是（ ） A B 2 Cx|x= 2 + ， Z Dx|x= 2 + 2， 【解答】解：函数 y= 1中， 令 sinx10，得 sinx1， 所以 sinx1， 解得 x= 2 +2k，kZ； 所以函数 y 的定义域为x|x= 2 +2k，kZ 故选：D 8（5 分） 已知数列an的通项公式为 an2n+2， 将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵， 记 bn为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n2个数的和，则数列* +的前 2020 项 和为（ ） 第 9 页（共 24

19、 页） A1011 2020 B2019 2020 C2020 2021 D1010 2021 【解答】解：由题意，设数列an的前 n 项和为 Sn 数列an的通项公式为 an2n+2， 数列an是以 4 为首项，2 为公差的等差数列 第 1 行的所有项的和即为： a1+a2+anSn4n+ (1) 2 2n2+3n 则第 2 行的所有项的和为： a2+a3+an+1（a1+d）+（a2+d）+（an+d）Sn+nd； 第 3 行的所有项的和为： a3+a4+an+2（a1+2d）+（a2+2d）+（an+2d）Sn+2nd； 第 n 行的所有项的和为： an+an+1+a2n1a1+（n1）

20、d+a2+（n1）d+an+（n1）dSn+（n1） nd； bn（a1+a2+an）+（a2+a3+an+1）+（a3+a4+an+2）+（an+an+1+a2n1） Sn+（Sn+nd）+（Sn+2nd）+Sn+（n1）nd nSn+1+2+（n1）nd n（n2+3n）+ (1) 2 n2 2n2（n+1） = 22(:1) = 1 2(:1) = 1 2（ 1 1 :1） 数列* +的前 2020 项和为 第 10 页（共 24 页） 1 1 + 2 2 + + 2020 2020 = 1 2（1 1 2）+ 1 2（ 1 2 1 3）+ 1 2（ 1 2020 1 2021） = 1

21、 2（1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 2020 1 2021） = 1 2（1 1 2021） = 1010 2021 故选：D 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）下列几个命题 若方程 x2+ax+a0 的两个根异号，则实数 a0 函数 = 2 4 + 4 2是偶函数，但不是奇函数； 函数 f（x）x2+2（a1）x+2 在（，4上是减函数，则实数 a 的取值范围是 a 3 方程（m+1）x+4m30 的根 x0满足1x02，则 m 满足的范围1 6 4 3 其中不正确的是（ ） A B C D 【解答】解：

22、对于，由方程 x2+ax+a0 的两个根异号，得 2 40 12= 0，则 a0，故 正确； 对于，由 2 4 0 4 2 0，解得 x2， = 2 4 + 4 2 =0（x2） ，该函数 即是奇函数又是偶函数，故错误； 对于，函数 f（x）x2+2（a1）x+2 在（，4上是减函数，则其对称轴 x1a 4，得 a3，故错误； 对于，由（m+1）x+4m30，得 = 3 +4 = 1+ 7 +4，由1x2，得 1 6 m 4 3， 故正确 不正确的是 故选：BC 10 （5 分）下列说法正确的是（ ） 第 11 页（共 24 页） A椭圆 2 2 + 2 2 =1 上任意一点（非左右顶点）与左

23、右顶点连线的斜率乘积为 2 2 B过双曲线 2 2 2 2 =1 焦点的弦中最短弦长为2 2 C抛物线 y22px 上两点 A（x1，y1） B（x2，y2） ，则弦 AB 经过抛物线焦点的充要条 件为 x1x2= 2 4 D若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 【解答】解：A正确；设椭圆的左右顶点分别为 A（a，0） ，B（a，0） ， 椭圆上除左右顶点以外的任意一点 P（m，n） ， kPAkPB= + = 2 22， 又点 P（m，n）在椭圆上， 2 2 + 2 2 = 1， n2（1 2 2 ）b2代入，得 kPAkPB= 2 2， B错误；设双曲线 2 2 2 2 =

24、1 右焦点 F（c，0）直线与双曲线右支相交于 A（x1，y1） ， B（x2，y2） ， 当直线 AB 斜率不存在时，则直线 AB 方程为 xc，则|AB|= 22 当直线 AB 斜率存在时，则直线 AB 方程为 yk（xc） ， 联立 2 2 2 2 = 1 = ( ) ，得（b2a2k2）x2+2a2ck2xa2k2c2a2b20 0 1+ 20 120 ，得 k 或 k ， 由焦半径公式可得|AB|AF|+|BF|e（x1+x2）2a = 222 222 2a= 222 222 2a= 22 2 2 2 2 22 2a= 22 ， 所以当直线 AB 与 x 轴垂直时，|AB|的长最小，

25、即最小值为2 2 特别的当直线 AB 斜率存在且为 0 时，|AB|2a， 第 12 页（共 24 页） 所以|AB|最小值为2 2 或 2a C正确；充分性：当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为：ykx+b， 由 = + 2= 2 ，得 k2x2+（2bk2p）x+b20， x1x2= 2 2， 又y22px（p0） ，x1x2= 2 4 ， 2 2 = 2 4 ， k= 2 ，或 k= 2 ， 直线 AB 方程为 y= 2 x+b（舍）或 y= 2 x+b， 当 y0 时，x= 2 当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 方程为 xx1，此时 x1x2， 又因为 x1x2=

26、2 4 ，所以 x1x2= 2 x1x2= 2 4 弦 AB 经过焦点 必要性：当直线 AB 经过抛物线的焦点 F（ 2，0）时， 设过焦点的直线 AB 的方程为 xmy+ 2，代入 y 22px，可得 y22pmyp20， 由韦达定理得，y1y2p2x1x2= 1222 42 = (12)2 42 = 2 4 弦 AB 经过焦点 x1x2= 2 4 抛物线 y22px 上两点 A（x1，y1） B（x2，y2） ，则弦 AB 经过抛物线焦点的充要条件 为 x1x2= 2 4 D错误；当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线和抛物线是 相交关系 故选：AC 11 （5 分）如

27、图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CD 的中 点，则（ ） 第 13 页（共 24 页） A直线 AD1与 BD 的夹角为 60 B平面 AED平面 A1FD1 C点 C1到平面 AB1D1的距离为 3 2 D若正方体每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面只能是 三角形和六边形 【解答】解：在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1，CD 的中点， 根据所求的结论， 建立空间直角坐标系：如图所示： 对于选项 A：连接 B1D1和 AB1，所以AB1D1为等边三角形，所以直线 AD1与 BD 的夹

28、角即为直线 AD1与 B1D1的夹角为 60，故正确 对于选项 B：根据建立的空间直角坐标系：D（0，0，0） ，E（1，1，1 2） ，A（1，0，0） ， A1（1，0，1） ，D1（0，0，1） ，F（0，1 2，0） ， 在平面AED中， 设该平面的法向量为 = (，)， = (0，1， 1 2)， = (1，0，0) 所以 = 0 = 0 ，解得： = (0， 1，2)， 同理在平面 A1FD1中，设该平面的法向量为 = (，)，则：11 = (1，0，0)， 1 = (1， 1 2 ， 1) 所以：11 = 0 1 = 0 ，解得： = (0，2， 1 2)， 由于 = 0， 第

29、14 页（共 24 页） 所以平面 AED平面 A1FD1，故正确 对于选项 C：设点 C1到平面 AB1D1的距离为 h，利用1;11= ;111，整理得 1 3 1 2 1 1 1 = 1 3 1 2 2 2 3 2 ， 解得 h= 3 3 故错误 对于选项 D：正方体每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面 只能是位于 8 个顶点的 8 个等边三角形和三角形和加粗线部分的正六边形（如图所示） ， 故正确 故选：ABD 12 （5 分）已知函数 f（x）2sin（2x 3）+1，则下列说法正确的是（ ） Af（ 6 x）2f（x） Bf（x 6）的图象关于 x= 12对称

30、 C若 0x1x2 2，则 f（x1）f（x2） D若 x1，x2，x3 3， 2，则 f（x1）+f（x2）f（x3） 【解答】解：A当 x0 时，f（ 6 x）f（ 6）2sin2 6 3+12sin0+11， 2f（0）22sin（ 3）11+3，此时 f（ 6 x）2f（x）不成立，故 A 错误， Bf（x 6）2sin2（x 6） 3+12sin（2x 2 3 ）+1， 由 2x 2 3 =k+ 2得 x= 7 12 + 2 ，kZ， 当 k1 时，x= 7 12 2 = 12，即函数关于 x= 12对称，故 B 正确， 第 15 页（共 24 页） C当 0x 2时，02x， 3

31、2x 3 2 3 ，此时函数 f（x）不是增函数，故 C 错 误， D. 3 x 2时， 2 3 2x， 3 2x 3 2 3 ， 则当 2x 3 = 3或 2 3 时，函数 f（x）取得最小值为 2sin 3 +1= 3 +1， 当当 2x 3 = 2时，函数 f（x）取得最大值为 2sin 2 +12+13， 则两个最小值之和为3 + 1 + 3 +123 +23，故 D 正确， 故选：BD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、右焦点分别为 F1、F2，若椭圆上的点 P 满足

32、|PF1| 2|PF2|，则|PF1| 4 【解答】解：椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、右焦点分别为 F1、F2， 椭圆上的点 P 满足|PF1|2|PF2|， 因为|PF1|+|PF2|2a6，所以|PF1|4 故答案为：4 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a4，b4，c6I 是ABC 内切 圆的圆心，若 = + ，则 x 2 7 ；y 3 7 【解答】解： = + ， = + ， = + ， 2x+y1 且 9x+8y6， = 2 7 ， = 3 7 故答案为：2 7， 3 7 15 （5 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABACAA12，且 = 2

33、 3 ，若该三棱柱的 所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 20 【解答】解：如图底面三角形 ABC 的外心是 G，GAGBGCr， 在ABC 中 ABAC2，BAC= 2 3 ， 第 16 页（共 24 页） 可得 BC= 2+ 2 2 =22+ 22 2 2 2 2 3 =23， 由正弦定理，2r= ， 可得ABC 外接圆半径 r= 23 22 3 = 2， 设球心为 O，连接 OG，OB，BG， 在 RTOBG 中，求得球半径 R= 5， 此球的表面积为 4R220 故答案为：20 16 （5 分）已知 F1、F2分别为双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点，过

34、F1 作直线l与圆x2+y2a2相切于点T， 且直线l与双曲线C的右支交于点P， 若41 = 1 ， 则 双曲线 C 的离心率为 5 3 【解答】解：如图， 第 17 页（共 24 页） 由题意可知|OF1|OF2|c，|OT|a，则|F1T|b， 又1 = 41 ，|TP|3b，|F1P|4b， 又|PF1|PF2|2a，|PF2|4b2a， 作 F2MOT，可得|F2M|2a，|TM|b，则|PM|2b 在MPF2中，|2+ |2|2= |2|2，即 4b2+4a2（4b2a）2， 即 c2（2ba）2，可得 2ba+c 又c2a2+b2，化简可得 3c22ac5a20，得 3e22e50

35、， 解得 = 5 3 故答案为：5 3 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，; ; = : （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，求 b+c 的取值范围 【解答】解： （1）ABC 中，由; ; = :， 利用正弦定理可得：; ; = :， 化为：b2+c2a2bc； 第 18 页（共 24 页） 由余弦定理可得： = 2+22 2 = 1 2，A（0，） ； = 3； （2）在ABC 中，由正弦定理得 3 = = ， 又 a2，所以 = 43 3 ， = 43 3 = 43 3 (2

36、 3 )， 所以 + = 43 3 + 43 3 (2 3 ) = 43 3 (3 2 + 3 2 ) = 4( + 6)； 因为0 2 3 ，所以 6 + 6 5 6 ， 所以1 2 ( + 6) 1， 所以 b+c（2，4， 即 b+c 的取值范围是（2，4 18 （12 分）已知数列an的各项都为正数，a12，且+1 = 2 +1 + 1 （）求数列an的通项公式； （）设 bnlg（log2an），其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg991， 求数列bn的前 2020 项和 【解答】解： （I）由题意，且+1 = 2 +1 + 1，即:1 2 an+1an2 2 =0，

37、整理，得（an+1+an） （an+12an）0 数列an的各项都为正数， an+12an0，即 an+12an 数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， an2n （）由（I）知，bnlg（log2an）lg（log22n）lgn， 故 bn= 0，1 10 1，10 100 2，100 1000 3，1000 2020 ，nN* 数列bn的前 2020 项的和为 190+2900+310214953 19 （12 分）四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，PA面 ABCD，BAD 第 19 页（共 24 页） 120，E，F 分别是 CD，PC 的中点 （1）

38、求证：平面 AEF平面 PAB； （2）M 是 PB 上的动点，EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45，求二面角 FAED 的 余弦值 【解答】解： （1）证明：底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，BAD120， 故ADE60，DE= 1 2 ，ADa， 由 AE2AD2+DE22ADDEcos60a2+ 1 4 2 2a 1 2 1 2 = 3 4 2， 所以 AE2+DE2AD2，故 RtADE，AEED， 又 ABCD，所以 AEAB， 又 PA平面 ABCD，AE平面 ABCD， 所以 AEPA，又 ABPAA， 所以 AE平面 PAB，又 AE平面 AEF， 故平面 AEF平面

39、 PAB； （2）连接 AM，则由（1）知，AE平面 PAB， 则AME 为直线 EM 与平面 PAB 所成的角， 在 RtAME 中，tanAME= ， 当 AM 最小时，即 AMPB 时，AME 取得最大值 45，此时 AEAM， 设 PAx，则由 PAABPBAM 得， ax= 3 2 2+ 2，解得 = 3， 根据题意，以 AB，AE，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 B （a， 0， 0） ， E （0， 3 2 ， 0） ， C （ 2， 3 2 ， 0） ， P （0， 0， 3） ， F （ 4 ， 3 4 ， 3 2 ） ， = (0， 3 2 ，0)， = ( 4， 3 4 ， 3 2 )， 第 20 页（共 24 页） 设平面 AEF 的法向量为 = (，)， 由 = 3 2 = 0 = 4 + 3 2 + 3 2 = 0 ，得 = (23，0，1)， 又平面 AED 的法向量为 = (0，0，1)， 由 cos ， = 230+0+1 13 = 13 13 ， 因为二面角 FAED 为钝角， 所以二面角 FAED 的余弦值为 13 13 20 （12 分）新型冠状病毒属于 属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳 嗽等临床表