理论力学-课件第4章.pptx

1、第第 4 章章 点的运动学点的运动学本章内容本章内容 1 运动学的基本概念运动学的基本概念 2 点的运动方程点的运动方程 3 速度与加速度的矢径表示法速度与加速度的矢径表示法 4 速度与加速度的直角坐标表示法速度与加速度的直角坐标表示法 5 自然轴系自然轴系 6 速度与加速度的自然表示法速度与加速度的自然表示法第一节第一节 运动学的基本概念运动学的基本概念静力学中所研究的对象，都是由于受到平衡力系的作用而处于静止或匀速直线运动的状态，即平衡状态平衡状态。在描述某一物体的运动时，总是选定合适的物体作为参考体。将坐标系固结于参考体上就构成参考坐标系，称为参考系参考系。在运动学里，总是选取地球作为参

2、考系，为了方便，将这个坐标系称为静坐标系静坐标系。点的运动学是研究点在空间中的位置随时间变化的规律。它包括点的运动轨迹运动轨迹、运动方程运动方程、速度速度和加速度加速度。运动学是研究物体机械运动几何规律的学科。第二节第二节 点的运动方程点的运动方程点在空间运动所经过的路线，称为点的运动轨迹。点的运动轨迹如为直线，则称为直线运动；如为曲线，则称为曲线运动。若动点 做直线运动，可取此直线为 轴，如图4-1所示。在直线上任选一点 为坐标原点，并选某一方向为正向，则动点 的位置可由它的坐标 确定。MxOMx4-1当动点运动时，它的坐标 随时间变化，在一般情况下，坐标 是时间 的单值连续函数，即xxt(

3、)xf t（4-1)式（4-1）称为动点沿直线运动相对于点 O的运动方程。(1)自然法自然法一般地，动点做曲线运动时，它的几何位置随时间变化的规律，同样可用数学表达式表示，称为点做曲线运动的运动方程。动点对于不同的参考系，可写出不同形式的运动方程。（2）直角坐标法）直角坐标法（3）矢径法）矢径法（4）柱坐标法）柱坐标法式（4-2）称为动点沿已知轨迹的运动方程。显然，当函数 已知时，动点任一瞬时在轨迹曲线上的位置可完全确定。()f t设动点的轨迹曲线是已知的，可参照点做直线运动时的表示方法，以点的轨迹曲线本身作为参考系来决定点的位置，如图4-2所示。自然法自然法4-2在轨迹曲线上选定一点 作为原

4、点，并规定在原点 某一边的弧长为正，在另一边的弧长为负。点在曲线上的位置由弧长 来确定。为代数量，称为动点 的弧坐标或自然坐标，当动点 沿轨迹曲线运动时，弧坐标 将随时间而变，并可表示为时间 的单值连续函数：OOsO MsMMst()sf t（4-2）直角坐标系法直角坐标系法当动点 在空间运动时，它在任一瞬时的位置可用直角坐标系的三个坐标 来确定，如图4-3所示。三个位置坐标都是时间 的单值连续函数，通常表示为Mxyz，123()()()xf tyftzft（4-3）图4-3式（4-3）就是动点 的直角坐标运动方程。若函数 都已知，则动点 在任一瞬时的位置即可完全确定。M123()()()xf

5、 tyf tzf t，M由上述方程消去时间，即可得到 之间的关系式 ，这就是动点的轨迹方程。x y z，()0F x y z，当动点 始终在同一平面内运动时，如取这个平面为坐标平面，则运动方程（4-3）就简化为MOxy12()()xftyft（4-4）消去 之后，即是轨迹方程t()0f x y，矢径法矢径法如图4-4所示，设动点 沿任一空间曲线运动，选空间任意一点 作为原点，则动点的位置可由如下的矢径来表示：MO M r当动点运动时，矢径 的大小及方向均随时间而改变，因而可表示为时间 的单值连续函数r()trr这就是动点 的矢径运动方程。M当动点运动时，矢径端点所描绘的曲线就是点的运动轨迹。图

6、4-4柱坐标法柱坐标法由高等数学知识可知，动点在空间的位置可由点的柱坐标唯一确定。如图4-5所示，参数为动点的柱坐标。当点在空间运动时，其柱坐标随点的位置不同而变，即为时间的单值连续函数：图4-5123()()()ftrftzft（4-6）式（4-6）即为用柱坐标表示的点的运动方程。当点做平面曲线运动时，其位置用坐标 和 便可唯一确定。因此，可用极坐标系代替柱坐标系来描述动点的运动。如图4-6所示。此时，动点的运动方程简化为r图4-612()()f trf t从上式中消去参数 ，即可得到用极坐标表示的动点的轨迹方程。t例4-1M直杆 两端分别沿两互相垂直的固定直线 与 运动，如图4-7所示。试

7、确定杆上任一点 的运动方程和轨迹方程，已知 ，。ABOxOyMA aMBbt图4-7解选取直角坐标系 ，则动点 的坐标 为Oxyx y，Msinsincoscosxaatybbt这就是 点的运动方程。M从运动方程中消去时间 ，则得 点的轨迹方程tM22221xyab这是以 ，为半轴的椭圆方程。ab例4-2如图4-8所示，刨床的曲柄滑道摇杆机构由曲柄 ，摇杆 及滑块 组成。当曲柄绕 轴转动时，摇杆可绕 轴摆动，摇杆及滑块 与扶架相连，摇杆摆动时可带动扶架做往复运动。已知 ，且 。当曲柄以匀角速度转动时（即 ），求扶架的运动方程。OA1OBA B，O1OB1O BlOAr1OOarat图4-8解解

8、取坐标系 如图4-8所示，令 点表示扶架的运动，由 可知 点的横坐标为1OxyM1O BCM1sinsinxBCOBl为了求出 与时间的关系，应找出 与转角 的关系，由 及 得知：x1O ADOAD1sinsinrOA即2221sinsinsin(cos)sinrrO Aarr将 的值代入前式，即得扶架的运动方程sin222222sinsinsin(cos)sin(cos)sinrlrltxlarrartrt一、点的速度一、点的速度第三节第三节 速度与加速度的矢径表速度与加速度的矢径表示法示法图4-9设动点做曲线运动，从瞬间 到瞬间 ，动点由位置 移动到 ，其矢径分别为 和 ，如图4-9所示。

9、在 时间间隔内，矢径的改变量为ttt MM()tr()tt rt图4-9()()tttMM rrr则 称为动点 在 时间间隔内的位移。rMt 描述点在时间间隔 内运动的平均快慢程度，称为动点在时间间隔 内的平均速度矢量平均速度矢量，以 表示，即trttv*MMtt rv*r因为时间是标量，故知 的方向与 的方向相同。越小，与 的 差别就越小，平均速度就越趋近于动点的真实速度。因此当 趋近于零时，即得动点的瞬时速度，即 表示，即v*tMM MM tv00dlimlimdtttt rrvv*r所以，动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数。注意：函数对时

10、间的导数用在函数上方加 表示。“”速度 描述点在瞬时 运动的快慢与方向。点的速度是矢量，它的方向就是 或 在极限情况下的方向，也就是轨迹曲线上 点的切线方向。一般地说，点的运动方向指的是速度的方向。速度的单位是m/sm/s。vtrMM M二、点的加速度二、点的加速度在一般情况下，动点的速度的大小和方向都可能随时间变化。为了表明点的速度的变化情况，用加速度来表示每一瞬时点的速度对于时间的变化率。加速度既包括速度大小的变化，也包括速度方向的变化。M设动点 在瞬时 的速度是 ，在瞬时 的速度是 ，如图4-10所示，则速度的变化是 ，故动点的平均加速度为tvttv vvv*tva图4-10当 趋近于零

11、时，即得动点在瞬时 的加速度为tt220ddlimddtttt vvra动点的加速度等于动点的速度对于时间的一阶导数，或等于动点的矢径对于时间的二阶导数。如由任一定点 作相当于各瞬时 ，的速度矢量 ，连接速度矢量端点的曲线称为速度矢端曲线。由瞬时加速度的概念，可知瞬时加速度的方向是沿着动点速度矢端曲线的切线方向，如图4-11所示。加速度的单位是 。O1t2t3t1v2v3v2m/s图4-11第四节第四节 速度与加速度的直角坐标速度与加速度的直角坐标表示法表示法一、点的速度的直角坐标表示法一、点的速度的直角坐标表示法动点的直角坐标的运动方程为123()()()xftyftzft由图4-3知，矢径

12、 可写成rxyzrijk式中：，沿直角坐标轴正向的单位矢量。ijk图4-3第三节已经证明，动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数，因此动点的速度可写为ddddddddxyzttttrvijk但速度矢量也可表示为xyzvvvvijk式中：，在坐标轴 ，上的投影。xvyvzvvxyz由此我们得到，用直角坐标表示的速度为ddddddxyzxvtyvtzvt这就表明：动点的速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的各对应坐标对于时间的一阶导数。速度的大小及方向余弦为222222ddddddcos()cos()cos()xyzyxzxyzvvvvtttvvvvvv，v iv jv k二、点的加速度的直角

13、坐标表示法二、点的加速度的直角坐标表示法加速度是速度对于时间的导数，所以加速度 在坐标轴上的投影 ，应分别等于速度 在坐标轴上的投影 对于时间的导数，即axayazavxyzvvv，222222ddddddddddddxxyyzzvxattvyattvzatt这就表明：动点的加速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的各对应坐标对于时间的二阶导数。加速度的大小及方向余弦为222222222222ddddddcos()cos()cos()xyzyxzxyzaaaatttaaaaaa，a ia ja k例4-3B曲柄连杆机构在工程中有非常广泛的应用，这种机构能将转动转换为平动，如压气机、往复式水泵、锻

14、压机等；或将平动转换为转动，如蒸汽机、内燃机等。如图4-12所示的曲柄连杆机构中，曲柄 以匀角速度 绕 轴转动，由于连杆 的带动，滑块 沿着直线导槽做往复直线运动。已知 ，且 ，求滑块 的运动方程、速度及加速度。OAOABOA rABllrB图4-12解解滑块 的运动是往复直线运动，轨迹沿 直线，可用直角坐标法建立运动方程。取轴 为原点，选坐标系 ，则滑块 在任一瞬间的位置为BOBOOxyBcoscosxOCCBrl式中，。由直角三角形 及 得到tOACACBsinsinrlsinsinrl或于是22cos1sinrl 因此滑块 的运动方程为B22cos1sinrxrtltl以 和 代入上式，

15、可知滑块的行程或冲程为 。02r为了使运算简单，用二项式定理将 展开，得cos24241 1112 2cos1sinsin21 2rrll 2424111sinsin28rrll 一般均小于1，如当 时，则 ，上述展开式从第三项起以后的所有各高阶项均可略去，于是/rl/1/4r l 81/8(/)1/2048r l222111 cos2cos1sin1222rrll 22111cos244rrll 代入运动方程后，便得工程中常用的滑块的近似运动方程2111coscos244rrxlrttll故滑块的速度为d1sinsin2d2xxrvvrtttl加速度为2dcoscos2dxvraartttl

16、 第五节第五节 自然轴系自然轴系*ksM 设有空间曲线如图4-13所示，令 表示曲线在点 的切线的单位矢量，表示与点 邻近的点 的切线的单位矢量，将矢量 平移至点 ，则矢量 与 的夹角 表明曲线的弧长 内弯曲的程度，可见 M M M sMM 图4-13式中：弧 的平均曲率。*kM M当点 趋近于点 时，平均曲率的极限值就是曲线在点 的曲率k，可表示为M MM0limsks 点 的曲率的倒数称为曲线在点 的曲率半径，以 表示，则有MM01limsk 对于圆周来说，曲率半径即为圆的半径；对于直线来说，曲率半径可视为 。在图4-14中，通过点 作一平面使其永久包含有在点 的两个矢量 和 。当点 向点

17、 接近时，则这个平面的位置也在变化，而且绕切线的单位矢量 转动。当 趋近于 时，即当 趋近于零时，这个平面将趋近于某一极限位置。在这个极限位置的平面称为曲线在点 的密切面密切面。在点 附近无限小的一段弧线在密切面内发生弯曲，因此密切面亦称为曲率平面曲率平面。在平面曲线的特殊情况下，密切面就是曲线所在的平面。MM M M M MsMM图4-14 bnM通过点 作与切线 垂直的平面称为法面，显然在法面内通过 点的任何直线都与切线垂直，因而都是曲线的法线，其中密切面与法面的交线称为曲线在 点的主法线，可见主法线只有一条。法面内与主法线垂直的法线称为副法线。若以 表示主法线的单位矢量，表示副法线的单位

18、矢量，指向弧坐标的正方向，指向曲线内凹的一边，的方向则根据右手法则由下式决定：MMnb nb自然轴系不是固定的坐标系，与 固定坐标系不同。它随动点在轨迹曲线上的位置而改变，因此 ，是方向随着动点的位置而变化的单位矢量。Oxyz nb第六节第六节 速度与加速度的自然表示速度与加速度的自然表示法法一、速度的自然表示法一、速度的自然表示法如图4-15所示，设已知的轨迹及沿此轨迹的运动方程为()sf t已知动点的速度等于动点矢径的一阶导数，即 ；将此式的分母及分子各乘以 ，则得d/dtvrdsddddddddddssttsstrrrv式中0dlimdsss rr其中，是在 时间内动点弧坐标的变化。st

19、图4-15由图4-15可知，及 都在相同的一边变化，故不论 的正负如何，当 趋近于零时，则 的大小趋近于1，其方向趋近于轨迹的切线方向，并指向弧坐标增加的一边，亦即切线单位矢量 的方向，因此rsss/sr dds r此外，显然这是速度的大小。当 时，随时间而增大，因此 的指向与 相同；反之，的指向与 相反。于是，我们得到动点沿曲线运动的瞬时速度的表达式为0d/dlim/ts tstv d/d0s t sv v ddsvt v动点沿已知轨迹的速度的大小等于弧坐标 对于时间的一阶导数，速度的方向是沿着轨迹的切线方向，当 为正时，速度的指向与 相同；反之，速度的指向与 相反。sd/dst 二、加速度

20、的自然表示法二、加速度的自然表示法动点 的加速度 等于动点的速度 对于时间的导数，即Mavdddd()ddddvvvtttt va加速度的第一项 的方向总是沿着曲线的切线方向，称为切向切向加速度加速度，记为 ，即ddvt a22ddddvstta 当 时，指向轨迹的正向；反之，指向轨迹的负向。即为加速度 在沿轨迹切线轴 上的投影。d/d0v taaa 加速度的第二项 代表速度方向的变化。在瞬时 ，轨迹上 点的切线单位矢量是 ；经过时间 ，的改变为ddvt tM t 因此切线单位矢量的导数为0dlimdttt 由图4-16可知，的大小由等腰三角形 得知为 ，当 很小时，即 很小时，则 ，于是 M

21、AB2 1 sin/2 t|2sin|/2|000d|limlimlimdtttstttst 图4-16其中，是动点弧坐标的变化。但已知 恒为正值，为曲线在 点的曲率半径，是速度的大小，因此s0lim/1/ss M0lim/d/dtsts tv 00d|limtssvtst 的方向应与 时 的极限方向一致，在图4-16中，与 的夹角为 ，指向曲线内凹的一侧，当 时，则 与 间的夹角趋于 。可见，垂直于 ，即沿曲线在 点的切线，所以导数 的方向是沿主法线方向，并指向曲率中心，因此d/dt 0t /0t 0 2d/dt Md/dt ddvt n可见，加速度的第二分量为 。因为 恒为正值，因此不论

22、本身的方向如何，加速度的第二项始终沿主法线的正向，并指向曲率中心，称为法向加速度，记为 （见图4-17）：2ddvvtn 2vvna2nvan图4-17综上所述，动点的加速度的自然表示法为2ddvvt a+n称为点的全加速度。加速度的大小为a222ddvvat加速度的方向用其与方法线所夹角度表示为n|arctanaa结论结论：点做曲线运动时的全加速度 等于切向加速度与法向加速度的矢量和，其中，切向加速的大小等于速度大小对时间的一阶导数，或等于弧坐标对时间的二阶导数，它的方向永远沿轨迹的切线方向；法向加速度的大小等于点的速度平方除以该点的曲率半径，它的方向沿着该点的主法线，并指向曲率中心。点做曲

23、线运动时，反映动点速度大小变化的是切向加速度。切向加速度与速度同向时，点做加速度运动，反向时做减速运动。切向加速度为零时，点做匀速运动。法向加速度则反映动点速度方向变化的快慢程度，其大小取决于速度的平方和曲率半径的比值。例如，当 ，即 时，点的运动方向不变，此时做直线运动。2/0v最后将几种特殊情况分别说明如下：ddvtaa（1）直线运动 在此情况下，由于直线轨迹的曲率半径 ，因此 ，全加速度为 n0a 即仅有表明速度大小改变的加速度。（2）匀速曲线运动 在此情况下，速度 是常数，因此 ，全加速度为d/dvst0a2nvaan即仅有表明速度方向改变的加速度。运动方程可求之如下：由 ，积分后得d

24、dsv t00ddstssvt或0ssvt又由 ，得d/dvst由式（4-19）及式（4-20）消去时间，则得00ddvtvvat或0vva t（4-19）0000dd()dsttssv tvat t或20012ssv ta t（4-20）（3）匀变速曲线运动 在此情况下，是常数。由 ，积分后得d/davtddvat22002()vvass（4-21）例4-4 图4-18解解如图4-18所示为一曲柄摇杆机构，曲柄长 ，绕 轴转动，角 与时间 的关系，单位分别为 与 ；摇杆长 ，距离 。求 点的运动方程、速度及加速度。10cmOAOtrads124cmOB110 cmOO B点 的运动轨迹是以

25、为半径的圆弧，时，点 在 处。取 为弧坐标原点，则点 的弧坐标为B1O BB0B0BB01sB BO B由于 是等腰三角形，故 ，则1OAO212sOB这就是点 沿已知轨迹的运动方程。于是点 的速度及加速度为BBd39.42cm/sdsvt 22d0dsat2222n(3)cm/s3.70cm/s24vaa其方向如图所示。可见，点 做匀速圆周运动。B因为列车做匀变速运动，所以 是常数，由式（4-21）得a例4-5列车在曲率半径 的曲线轨道上匀变速行驶。轨道的曲线部分长 ；列车开始走上曲线时的速度是 ，将要离开曲线时的速度是 。求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度。300 mR 200 ml

26、030km/hv 148km/hv 解解2202vva s（a）根据已知条件：200 msl 030 100025m/sm/s36003v148 100040m/sm/s36003vv代入式（a），则求出222201600625m/s0.271m/s29400vval列车开始走上曲线时的法向加速度为22220n0251m/s0.231m/s3300va故其全加速度为2222220n00.2710.231 m/s0.356m/saaa0n0|0.271arctanarctan49 330.231aa列车将要离开曲线时的法向加速度为22221n1401m/s0.593m/s3300va故其全加速度

27、为2222221n10.2710.593 m/s0.652m/saaa1n1|0.271arctanarctan24 340.593aa例4-6如图4-19所示，半径是 的车轮在直线轨道上滚动而不滑动。已知轮心 的速度 是常量。求轮缘上一点 的轨迹、速度和加速度及轨迹的曲率半径。rCuM图4-19解解y在 点建立坐标系 如图，设 时，轮心 在 轴上，瞬时 轮子运动到图示位置。由于轮子只滚动而不滑动，于是OOxy0t CtOHMHrut/rMH rut r因此，点的坐标为MsinsincoscosutxOHAHutrutrrutyCHCBrrrrr （a）式（a）即为用直角坐标表示的点的运动方程

28、。消去时间t后，可得点的轨迹方程。该轨迹称为旋轮线旋轮线（摆线摆线）。M点的速度为dcos1cosddsinsindxyxuututvurutrrryuututvrutrrr 由式（b）可求得动点 的速度大小和方向为M2222221 cossin2 sin2xyutututvvvuuurrrcossinsin22xvutMBvrMDcoscoscos22yvutBDvrMDM点的加速度为2dsindxxvuutatrr2dcosdyyvuutatrr于是，加速度的大小和方向为222xyuaaar常量1cossinsinxautMBarMC1coscoscosyautBCarMC式中，为加速度 的方向角。加速度指向轮心 。11，aC由于2 sin2utvur所以2dcosd2vuutatrr而442222n22cossin22uuutuutaaarrrrr于是，曲率半径为2n4 sin2vutrarThank You!